新课标下的数学概念教学应注重概念的内涵和外延

新课标下的数学概念教学应注重概念的内涵和外延

北师大（珠海）附中 孙连振

摘要：概念是反映事物本质属性的思维形式。正确的概念是科学抽象的结果。每一个科学概念都有其确定的内涵和外延。只有让学生对概念的内涵和外延都有了准确地了解，才是真正掌握了概念。在高中数学的教学中，我们要重视概念教学的每一个环节，经历一个实践-反思-再实践-再反思的过程，为概念教学找到一个更好的方法，洞悉概念的本质，为学生节省宝贵的学习时间，从而达到事半功倍的学习效果。

关键词：概念教学 内涵 外延

在最近几年的高三教学中，我发现这样一个问题：学生可以说出某一概念，但不能运用概念解决与其有关的一些问题，特别是稍微有些深度的问题。原因在哪里呢？

长期以来，由于受应试教育的影响，不少教师重解题、轻概念，造成数学概念与解题脱节、理论与应用两张皮的现象。有些教师仅仅把数学概念看作一个名词，概念教学就是对概念作解释，要求学生记忆。而对于概念的内涵与外延没有进行充分的挖掘，这才是问题的根结之所在。如何挖掘概念的内涵与外延，本文将就此问题进行探讨。

什么是概念？

人们在实践的基础上得到了丰富的感性认识材料，经过“透过现象看本质”的过程，舍掉事物的次要属性，保留事物的本质属性，进而形成了概念。概念是反映事物本质属性的思维形式。正确的概念是科学抽象的结果。

每一个科学概念都有其确定的内涵和外延。概念的内涵就是指反映在概念中的对象的本质属性；概念的外延就是指具有概念所反映的本质属性的对象。概念的内涵是概念的质的方面，它说明概念反映的事物是什么样的；概念的外延是概念的量的方面，通常说的概念的适应范围就是指概念的外延，它说明概念反映的是哪些事物。

在新课标下，概念教学的环节应包括概念的引入----概念的形成----概括概念----明确概念-----应用概念------形成认知。

我们教师在概念教学的过程中，恰恰在明确概念这个重要环节上出了问题。明确概念，基本要求就是要明确概念的内涵和外延，只有让学生对概念的内涵和外延都有了准确地了解，才是真正掌握了概念。

下面举两个例子来说明这个问题：

示例１：函数奇偶性概念的教学

（2010重庆文数）(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)

已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a,b∈R),g(x)f(x)f(x)是奇函数.

(Ⅰ)求f(x)的表达式;

(Ⅱ)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值.

本题的第一小题，实质是对学生函数奇偶性概念理解程度的考察。

解答如下：

(Ⅰ)解：由题意得f'(x)3ax22xb，

因此g(x)f(x)f'(x)ax3(3a1)x2(b2)xb

因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，

即对任意的实数x，有

32a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax(3a1)x(b2)xb

即：(3a1)x2b0

解题思考到这里，很多同学就进行不下去了。问题就出在对概念的理解不到位。

我们首先看一下高中数学人教版（A版）中对奇函数的定义：

一般地，如果对于函数f(x)定义域R内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

在奇函数的概念教学中，对于其中“任意”关键词，我们一般可以做到这种理解程度：从数上看其定义域关于原点对称，从形上看其图象关于原点对称；定义中的每一个x都要让表达式f(-x)=-f(x)都成立。

这种解读如果能更进一步，把此概念解读成“对于函数f(x)定义域R内的任意一个x，表达式f(-x)=-f(x)恒成立”，这样就将奇函数的概念转化成了恒成立问题，使得其本质性的内涵与外延得到充分的挖掘。这样一来，学生思考中因概念把握问题而出现卡壳的难题就容易解决了。

本题的解决方法如下：

要使(3a1)x2b0对于函数定义域R内的任意一个x恒成立，必须将该表达式整理成“0x200型”才能符合题意，所以就要让(3a1)x2b0中的

113a10且b＝０，进而得出a,b0，所以f(x)x3x2 33

示例２：函数零点的教学

9（2009江西文数改编）设函数f(x)x3x26xa 2

(1)若函数yf(x)有且仅有一个零点，求实数a的取值范围。

(2)若函数yf(x)有且仅有两个零点，求实数a的取值范围。

(3)若函数yf(x)有且仅有三个零点，求实数a的取值范围。

在教学实践过程中遇到上述问题时,学生有种无从着手的感觉,症结仍然是概念问题。我们还是先看一下高中数学人教版(A版)中对函数零点的定义:

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zeropoint).

定义下面又给出了如下的三个等价:

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点 在教学过程中,如果教师没有注意对定义内涵与外延的挖掘,只停留在概念的浅层次理解上,学生应用其解决问题当然是有困难的.

在教学过程中,我通过对三个等价关系来加强对此概念的内涵与外延的挖掘:

(1)、函数yf(x)有零点方程f(x)0有实根（数）

函数yf(x)的图象与x轴有交点（形）

(2)、函数yf(x)的零点方程f(x)0的实根（数）

函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标（形数）

解读如下:

函数有零点,在数上等价于对应方程有根,在形上等价于对应图象与x 轴有交点，这样就将函数零点的概念在数与形上完美的结合起来了。

(2)与(1)的区别就在于将一个“有”字换成“的”，其目的还是要让学生由形回到数上来，因为数学问题最终还是要通过数进行严格数学论证的。

据此可以对刚才的问题提出如下设问：

①本题通过数，即解对应方程还能不能得到解决？

②如果在数上不能解决，有没有别的办法解决？（学生自然想到形）

9③如何通过形进行解决？（学生自然会想到画函数f(x)x3x26xa的2

9图象，观察其与x轴交点的个数；甚至有的学生会想到画函数g(x)x3x26x2

与函数h(x)a的图象，观察二者图象交点的个数）

④三次函数的图象怎么来画？能画出精确图象吗？（学生会想到利用导数这个工具画函数草图）

这样，以上三个问题就迎刃而解。解决问题的根本原因就在于，通过对零点概念内涵与外延的挖掘，加深了学生对问题的认识，并能够从数与形的这种灵活转化中找到一种解决问题的有效方法，也让学生从中体会到了数学的美感。

中国科学院数学与系统科学研究院研究员李邦河院士认为数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！高中数学课程标准指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。因此，在高中数学的教学中，我们要重视概念教学的每一个环节，经历一个实践-反思-再实践-再反思的过程，为概

念教学找到一个更好的方法，洞悉概念的本质，为学生节省宝贵的学习时间，从而达到事半功倍的学习效果。

参考文献：

1．《概念教学必须体现概念的形成过程》,章建跃，陶维林，《数学通报》，2010.1.

2.《中学数学教学概论》，曹才翰，章建跃，北京师范大学出版社，2008.4.

3.《注重学生思维参与和感悟的函数概念教学》，章建跃，陶维林，《数学通报》，2009.8.

地址:珠海市香洲区唐家湾华夏路88号

单位:北师大(珠海)附属高级中学

作者:孙连振

邮编:519000

联系电话:[1**********]

新课标下的数学概念教学应注重概念的内涵和外延

北师大（珠海）附中 孙连振

摘要：概念是反映事物本质属性的思维形式。正确的概念是科学抽象的结果。每一个科学概念都有其确定的内涵和外延。只有让学生对概念的内涵和外延都有了准确地了解，才是真正掌握了概念。在高中数学的教学中，我们要重视概念教学的每一个环节，经历一个实践-反思-再实践-再反思的过程，为概念教学找到一个更好的方法，洞悉概念的本质，为学生节省宝贵的学习时间，从而达到事半功倍的学习效果。

关键词：概念教学 内涵 外延

在最近几年的高三教学中，我发现这样一个问题：学生可以说出某一概念，但不能运用概念解决与其有关的一些问题，特别是稍微有些深度的问题。原因在哪里呢？

长期以来，由于受应试教育的影响，不少教师重解题、轻概念，造成数学概念与解题脱节、理论与应用两张皮的现象。有些教师仅仅把数学概念看作一个名词，概念教学就是对概念作解释，要求学生记忆。而对于概念的内涵与外延没有进行充分的挖掘，这才是问题的根结之所在。如何挖掘概念的内涵与外延，本文将就此问题进行探讨。

什么是概念？

人们在实践的基础上得到了丰富的感性认识材料，经过“透过现象看本质”的过程，舍掉事物的次要属性，保留事物的本质属性，进而形成了概念。概念是反映事物本质属性的思维形式。正确的概念是科学抽象的结果。

每一个科学概念都有其确定的内涵和外延。概念的内涵就是指反映在概念中的对象的本质属性；概念的外延就是指具有概念所反映的本质属性的对象。概念的内涵是概念的质的方面，它说明概念反映的事物是什么样的；概念的外延是概念的量的方面，通常说的概念的适应范围就是指概念的外延，它说明概念反映的是哪些事物。

在新课标下，概念教学的环节应包括概念的引入----概念的形成----概括概念----明确概念-----应用概念------形成认知。

我们教师在概念教学的过程中，恰恰在明确概念这个重要环节上出了问题。明确概念，基本要求就是要明确概念的内涵和外延，只有让学生对概念的内涵和外延都有了准确地了解，才是真正掌握了概念。

下面举两个例子来说明这个问题：

示例１：函数奇偶性概念的教学

（2010重庆文数）(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)

已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a,b∈R),g(x)f(x)f(x)是奇函数.

(Ⅰ)求f(x)的表达式;

(Ⅱ)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值.

本题的第一小题，实质是对学生函数奇偶性概念理解程度的考察。

解答如下：

(Ⅰ)解：由题意得f'(x)3ax22xb，

因此g(x)f(x)f'(x)ax3(3a1)x2(b2)xb

因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，

即对任意的实数x，有

32a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax(3a1)x(b2)xb

即：(3a1)x2b0

解题思考到这里，很多同学就进行不下去了。问题就出在对概念的理解不到位。

我们首先看一下高中数学人教版（A版）中对奇函数的定义：

一般地，如果对于函数f(x)定义域R内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

在奇函数的概念教学中，对于其中“任意”关键词，我们一般可以做到这种理解程度：从数上看其定义域关于原点对称，从形上看其图象关于原点对称；定义中的每一个x都要让表达式f(-x)=-f(x)都成立。

这种解读如果能更进一步，把此概念解读成“对于函数f(x)定义域R内的任意一个x，表达式f(-x)=-f(x)恒成立”，这样就将奇函数的概念转化成了恒成立问题，使得其本质性的内涵与外延得到充分的挖掘。这样一来，学生思考中因概念把握问题而出现卡壳的难题就容易解决了。

本题的解决方法如下：

要使(3a1)x2b0对于函数定义域R内的任意一个x恒成立，必须将该表达式整理成“0x200型”才能符合题意，所以就要让(3a1)x2b0中的

113a10且b＝０，进而得出a,b0，所以f(x)x3x2 33

示例２：函数零点的教学

9（2009江西文数改编）设函数f(x)x3x26xa 2

(1)若函数yf(x)有且仅有一个零点，求实数a的取值范围。

(2)若函数yf(x)有且仅有两个零点，求实数a的取值范围。

(3)若函数yf(x)有且仅有三个零点，求实数a的取值范围。

在教学实践过程中遇到上述问题时,学生有种无从着手的感觉,症结仍然是概念问题。我们还是先看一下高中数学人教版(A版)中对函数零点的定义:

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zeropoint).

定义下面又给出了如下的三个等价:

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点 在教学过程中,如果教师没有注意对定义内涵与外延的挖掘,只停留在概念的浅层次理解上,学生应用其解决问题当然是有困难的.

在教学过程中,我通过对三个等价关系来加强对此概念的内涵与外延的挖掘:

(1)、函数yf(x)有零点方程f(x)0有实根（数）

函数yf(x)的图象与x轴有交点（形）

(2)、函数yf(x)的零点方程f(x)0的实根（数）

函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标（形数）

解读如下:

函数有零点,在数上等价于对应方程有根,在形上等价于对应图象与x 轴有交点，这样就将函数零点的概念在数与形上完美的结合起来了。

(2)与(1)的区别就在于将一个“有”字换成“的”，其目的还是要让学生由形回到数上来，因为数学问题最终还是要通过数进行严格数学论证的。

据此可以对刚才的问题提出如下设问：

①本题通过数，即解对应方程还能不能得到解决？

②如果在数上不能解决，有没有别的办法解决？（学生自然想到形）

9③如何通过形进行解决？（学生自然会想到画函数f(x)x3x26xa的2

9图象，观察其与x轴交点的个数；甚至有的学生会想到画函数g(x)x3x26x2

与函数h(x)a的图象，观察二者图象交点的个数）

④三次函数的图象怎么来画？能画出精确图象吗？（学生会想到利用导数这个工具画函数草图）

这样，以上三个问题就迎刃而解。解决问题的根本原因就在于，通过对零点概念内涵与外延的挖掘，加深了学生对问题的认识，并能够从数与形的这种灵活转化中找到一种解决问题的有效方法，也让学生从中体会到了数学的美感。

中国科学院数学与系统科学研究院研究员李邦河院士认为数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！高中数学课程标准指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。因此，在高中数学的教学中，我们要重视概念教学的每一个环节，经历一个实践-反思-再实践-再反思的过程，为概

念教学找到一个更好的方法，洞悉概念的本质，为学生节省宝贵的学习时间，从而达到事半功倍的学习效果。

参考文献：

1．《概念教学必须体现概念的形成过程》,章建跃，陶维林，《数学通报》，2010.1.

2.《中学数学教学概论》，曹才翰，章建跃，北京师范大学出版社，2008.4.

3.《注重学生思维参与和感悟的函数概念教学》，章建跃，陶维林，《数学通报》，2009.8.

地址:珠海市香洲区唐家湾华夏路88号

单位:北师大(珠海)附属高级中学

作者:孙连振

邮编:519000

联系电话:[1**********]