２００１年３月
第１期吉林建筑工程学院学报ＪｏｕｎｌａｌｏｆＪｉｌｉｎＡｒｃｌｌｉｔｅｃｔｕｒａｌａｎｄＣｉｖｉｌＥｎ百ｎｅｅｒｉＩｌｇ１１１ｓｔｉｔｕｔｅＮｏ：１Ｍａｒ．２００１文章编号：１００９—０１８５（２００１）０１一００５９．０４・
高次伴随矩形的求法及其特征根
林玎刘伟
（吉林建筑工程学院基础部，长春１３００２１）
摘要：由数域Ｆ上任意咒阶矩阵Ａ可得一个伴随矩阵Ａ（或记为（Ａ）），我们称Ａ为Ａ的一次
伴随，对Ａ来讲又有伴矩阵Ａ，称为Ａ的二次伴随．一般地，一个以阶矩阵Ａ有任意优次伴随，
为了书写方便，我们把Ａ的铆次伴随记为Ａ（ｍ’（相应地麓记为Ａ（２’）．对于二次以上（包括二
次）的伴随矩阵，我们统称为高次伴随矩阵．本文给出求高次伴随矩阵及其特征根的公式．
关键词：高次伴随矩阵；高次伴随矩阵公式；特征根
中图分类号：Ｏ１７２文献标识码：Ａ
ｌ计算高次伴随矩阵的公式
因为，当，２＞２时，若ｒａｎｌ出≤咒一１，则Ａ（２）＝０，因此对于，２（＞２）阶降秩矩阵，故不必讨论高次伴随矩阵．下面我们就满秩矩阵建立计算高次伴随的公式．首先。下面的结论是已知的：
（１）五＝ｄｅｔＡ・Ａ一１；
（２）五（２）：（ｄｅｔＡ）‘ｎ一２）．Ａ（一Ｉ）‘
（３）（Ａ１Ａ２…Ａ。）＝Ａ４。一ｌ…Ａ２Ａ１；
（４）（ｃＡ厂＝ｃ一一ｌＡ（ｃ是任意数）
（５）（Ａ－１）＝（ｄｅｔＡ）ｑ・Ａ．其中Ａ及Ａｉ（ｉ＝１，２…，ｍ）都是咒阶矩阵．
现在我们证明下面的公式：
定理１
公式给出：设Ａ是一个７ｚ（＞２）阶矩阵，且ｍｋＡ＝咒，则Ａ的ｍ次伴随矩阵由下面的
Ａ（ｍ）＝（（１ｅｔＡ）Ｄ（ｍ）．Ａ（一１）”（１）
其中Ｄ（优）：鱼Ｌ二土Ｚ二Ｌ￡二＿皑．
证明
归纳假设ｍ＝足时结论成立，即：当ｍ：１时，五（１）：（ｄｅｔＡ）丑二≯．Ａ（一１）：（ｄｅｔＡ）．Ａ—ｌ所以优＝１时结论成立．
收稿日期：２０００—１ｌ一０６作者简介：林玎（１９６０～）女，长春市人，副教授
６０吉林建筑工程学院学报２００１年３月Ａ（女）：（ｄｅｔＡ）Ｄ（＾）．Ａ（一１ｒ，其中Ｄ（愚）：立坠二』羔二上上型．
那么，优＝忌＋１时，
五（女＋１）＝（Ａ（女）厂＝（（ｄｅｔＡ）Ｄ（女）．Ａ（一１）。厂
＝（ｄｅｔＡ）Ｄ（＾）・（ｎ一１）．（Ａ（一１）。厂
：（ｄｅｔＡ）Ｄ（女）（ｎ一１）．（ｄｅ以）‘一１）‘．Ａ（一１）川
Ｄ（愚）（竹一１）＋（一１）‘：垃＝ｊ笠』型．（咒一１）＋出：（ｄｅｔＡ）Ｄ（女）（ｎ—１）＋（一１）。．Ａ（一１）¨，
一（丝二！）！：！±（二！）！二！：丝二（二！）！二！Ｊ＿（二！）！丝
咒咒
一（丝二１２１：！±（二１２１±ｆ二１２１二！（丝二丝２：垃二咝兰剑：Ｄ（愚‘１）咒
咒
即Ａ（＾＋１）：（ｄｅ认）Ｄ（女＋１）．Ａ（一１）“１
结论对优＝尼＋１时成立，因而，对于任意的自然数研，公式（１）成立．证毕．２特征根的求法
引理若咒阶矩阵Ａ是上（下）三角形矩阵，则Ａ也是咒阶上（下）三角形矩阵，并且Ａ之对角线上元素为Ａ之对角线除去对应位置上元素后余下的咒一１个元素之积．
现在我们证明两个重要定理．
定理２设Ａ是一个，２阶矩阵，Ａｌ，Ａ２，…，Ａ。为Ａ之咒个特征根，则Ａ之伴随矩阵Ａ的竹个特征根为：
天产ⅡＡｉ
ｊ＝１（江ｌ，２，…咒）（２）
ｊ≠ｉ
证明因为任意衍阶矩阵与一匕三角形矩阵相似。所以。存在满秩矩阵Ｐ使
Ａ１
Ａ２
Ｐ一１ＡＰ＝＝Ｂ
０
由“１”中“（３）”．
豆＝（Ｐ一１ＡＰ厂＝孩（Ｐ一１）－＝预（；）一１因此，Ａ与豆相似，从而有相同的特征根，又由引理
第ｌ期林玎，刘伟：高次伴随矩形的求法及其特征根６ｌ
Ｂ＝
０
于是～Ｂ的特征根为
～九｜ｌ（ｉ＝１，２，…咒）
。Ⅱ鬻
即Ａ’的咒个特征根．证毕．‘
在定理２中我们看到，如果Ａ是一个满秩矩阵，那么，Ａ的特征根Ａｉ（ｉ寻１，２，…咒）都不为零．从而（２）式便可写为
ｎ・
天ｉ＝Ａｉ一１ⅡＡ，（ｉ＝１，２，…扎）（３）
Ｊ＝１
定理３设Ａ是一个咒阶满秩矩阵，Ａｌ，Ａ２，…，Ａ。为Ａ之咒个特征根，则Ａ之优次伴随矩阵Ａ（”）的咒个特征根为
五ｉ（ｍ）＝Ａ，１）“・Ⅱ妒‘ｍ’（汪１，２，…咒）（４）
Ｊ＝ｌ
熟中当优：１时，天ｉ（１）氆（－１）１．直Ａｉ血型掣黾一，立小／ｋｍ、，｜三｜皑
姬Ｄ明
滓１～Ｊ＝ｌ
故结论成立
归纳假设ｍ＝是时，（４）成立，即
其中Ｄ（忌）：垃＿卫』业天ｉ（‘）＝Ａｉ（一１）’・ⅡＡｊＤ（功（扣ｌ，２，…行）
Ｊ＝ｌ＇
当ｍ｜｜忌＋ｌ时
一Ａ㈣Ⅲ兰一撒愚墨颡一・ⅡＡｊ础’］。Ⅱ潜。Ⅱ瓣Ｊ＝１
＝Ｗ＿１）‘・ⅡＡ尸‘６’］．．．［～一ｌ（＿１）‘・ⅡＡｊ础）］
Ｊ＝ｌＪ＝ｌ
・ｈ＋ｌ（＿１）‘・ⅡＡ，砌）］．．．［Ａ。（．１）６・ⅡＡ尸㈤］
６２吉林建筑工程学哦学报
————————————————————————————————————————————————————一２００１年３月
Ａｌ（－１）‘…～一ｌ㈠）‘－＋ｌ（－１）‘…Ａ。（．１）‘（立Ａｊ础’）州
．ｊ＝１
（Ａｉ（一１）４）／Ｌ。Ⅱ一０∥．（立Ａｊ础）∽１’））
，＝１
＝Ａｉ（＿１）“１．竹妒㈤（州）＋（－１）‘（ｉ＝１，２，…咒）
而Ｄ（足）（，ｚ一１）十（一１）‘＝王丝二二ｊ立兰专掣．（咒一１）＋（一１）ｔＪ＝１
：（丝二１２１：！±（二１２１二！：丝±（二１２１±（二１２１：丝
一（丝二１２１：！±（二！生
＝Ｄ（志＋１）
于是证明了研＝志＋ｌ时，（４）成立，从而定理得证
参考文献
［１］张远达．线性代数原理．上海教育出版社．１９８０
Ｔ１ｌｅＷａｙｔＯＣＯｍｐｕｔｅＨｉ
ａｎｄＩｔｓＬａｔｅｎｔＲＯＯｔｓ
ＬＩＮ
（脘加以行跏ｆ矿缸疵唧ｆ懈，埘赫Ａ砌娩钇ｒ口ｚ口磁嘞ｚＤｉｎｇ，ＬＩＵＷｅｉ
Ｅ堙ｉ行８删略ｈｓ蹴诎？，饧口，神甜雄，１３００２１）
ｃ。ｕｌｄｇｅｔａｎａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｘ五，（ｏｒ（Ａ厂），ａｃ∞ｒｄｉｎｇｔｏａｒａＪｌｄｏｍｔｈｅｎｔｈｍａｔｒｉｘｆｉｅｌｄＦ，ｗｈｉｃｈｗｅｃａｌｌｅｄｉｔｔｈｅｏｎｃｅｃｏｎｃｏｍｉｔａｎｃｅｆｏｒＡ，ｔｈｅｒｅｉｓａｎａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉＸ羞ｆｏｒ
ｉｓｃａｌｌｅｄｔｈｅｔｗｉｃｅ∞ｎｃｏｍｉｔａｎｃｅｆｏｒＡ．Ｉｎｔｈｅｇｅｎｅｒａｌ，ｔｈｅｒｅａｒｅｒａｎｄｏｍｍｔｉｍｅｓ
ｆｏｒｔｈｅｎｔｈｍａｔｒｉｘＡ，ｆｏｒｗｄｔｉｎｇｃｏｎｖｅｎｉｅｎｃｅ，ｗｅｗｒｉｔｅｍｔｉｍｅｓｃＯｎｃｏｍｉｔａｎｃｅ
Ａａｓ趸“’，（ｉｅ茇ａｓ趸引．）ｗｅｃａｌｌｅｄｔｈｅｍｈｉｇｈｅｒｄｅｇｒｅｅａｄｊ。ｉｎｔｆｏｒｍ。ｒｅｔｈａｎｔｗｏｔｉｍｅｓ
ｔ～叼ｔｉｍｅｓ）．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｈｅｗａｙｓｈｏｗｔｏｃｏｍｐｕｔｅｈｉｇｈｅｒｄｅｇｒｅｅａｄｊｏｉｎｔａｎｄｔｈｅｆｏｎｎｕｌａｏｆｉｔｓｌａｔｅｎｔｒｏｏｔｓ．
ｄｅｇｒｅｅａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｘ；ｆｏｍｌｕｌａｏｆｈｉｇｈｅｒｄｅｇｒｅｅａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｘ；ｌａｔｅｎｔｒ∞ｔｓ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｗｅＡ，ｏｎＡ，ｗｈｉｃｈｃＯｎｃｏｍｌｔａｎｃｅｆｏｒ（ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｍａｔｒｉｘＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｉｇｈｅｒ
高次伴随矩形的求法及其特征根作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：林玎， 刘伟吉林建筑工程学院基础部,长春,130021吉林建筑工程学院学报JOURNAL OF JILIN ARCHITECTURAL AND CIVIL ENGINEERING INSTITUTE2001(1)
参考文献(1条)
1. 张远达 线性代数原理 1980
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jljzgcxyxb200101014.aspx
２００１年３月
第１期吉林建筑工程学院学报ＪｏｕｎｌａｌｏｆＪｉｌｉｎＡｒｃｌｌｉｔｅｃｔｕｒａｌａｎｄＣｉｖｉｌＥｎ百ｎｅｅｒｉＩｌｇ１１１ｓｔｉｔｕｔｅＮｏ：１Ｍａｒ．２００１文章编号：１００９—０１８５（２００１）０１一００５９．０４・
高次伴随矩形的求法及其特征根
林玎刘伟
（吉林建筑工程学院基础部，长春１３００２１）
摘要：由数域Ｆ上任意咒阶矩阵Ａ可得一个伴随矩阵Ａ（或记为（Ａ）），我们称Ａ为Ａ的一次
伴随，对Ａ来讲又有伴矩阵Ａ，称为Ａ的二次伴随．一般地，一个以阶矩阵Ａ有任意优次伴随，
为了书写方便，我们把Ａ的铆次伴随记为Ａ（ｍ’（相应地麓记为Ａ（２’）．对于二次以上（包括二
次）的伴随矩阵，我们统称为高次伴随矩阵．本文给出求高次伴随矩阵及其特征根的公式．
关键词：高次伴随矩阵；高次伴随矩阵公式；特征根
中图分类号：Ｏ１７２文献标识码：Ａ
ｌ计算高次伴随矩阵的公式
因为，当，２＞２时，若ｒａｎｌ出≤咒一１，则Ａ（２）＝０，因此对于，２（＞２）阶降秩矩阵，故不必讨论高次伴随矩阵．下面我们就满秩矩阵建立计算高次伴随的公式．首先。下面的结论是已知的：
（１）五＝ｄｅｔＡ・Ａ一１；
（２）五（２）：（ｄｅｔＡ）‘ｎ一２）．Ａ（一Ｉ）‘
（３）（Ａ１Ａ２…Ａ。）＝Ａ４。一ｌ…Ａ２Ａ１；
（４）（ｃＡ厂＝ｃ一一ｌＡ（ｃ是任意数）
（５）（Ａ－１）＝（ｄｅｔＡ）ｑ・Ａ．其中Ａ及Ａｉ（ｉ＝１，２…，ｍ）都是咒阶矩阵．
现在我们证明下面的公式：
定理１
公式给出：设Ａ是一个７ｚ（＞２）阶矩阵，且ｍｋＡ＝咒，则Ａ的ｍ次伴随矩阵由下面的
Ａ（ｍ）＝（（１ｅｔＡ）Ｄ（ｍ）．Ａ（一１）”（１）
其中Ｄ（优）：鱼Ｌ二土Ｚ二Ｌ￡二＿皑．
证明
归纳假设ｍ＝足时结论成立，即：当ｍ：１时，五（１）：（ｄｅｔＡ）丑二≯．Ａ（一１）：（ｄｅｔＡ）．Ａ—ｌ所以优＝１时结论成立．
收稿日期：２０００—１ｌ一０６作者简介：林玎（１９６０～）女，长春市人，副教授
６０吉林建筑工程学院学报２００１年３月Ａ（女）：（ｄｅｔＡ）Ｄ（＾）．Ａ（一１ｒ，其中Ｄ（愚）：立坠二』羔二上上型．
那么，优＝忌＋１时，
五（女＋１）＝（Ａ（女）厂＝（（ｄｅｔＡ）Ｄ（女）．Ａ（一１）。厂
＝（ｄｅｔＡ）Ｄ（＾）・（ｎ一１）．（Ａ（一１）。厂
：（ｄｅｔＡ）Ｄ（女）（ｎ一１）．（ｄｅ以）‘一１）‘．Ａ（一１）川
Ｄ（愚）（竹一１）＋（一１）‘：垃＝ｊ笠』型．（咒一１）＋出：（ｄｅｔＡ）Ｄ（女）（ｎ—１）＋（一１）。．Ａ（一１）¨，
一（丝二！）！：！±（二！）！二！：丝二（二！）！二！Ｊ＿（二！）！丝
咒咒
一（丝二１２１：！±（二１２１±ｆ二１２１二！（丝二丝２：垃二咝兰剑：Ｄ（愚‘１）咒
咒
即Ａ（＾＋１）：（ｄｅ认）Ｄ（女＋１）．Ａ（一１）“１
结论对优＝尼＋１时成立，因而，对于任意的自然数研，公式（１）成立．证毕．２特征根的求法
引理若咒阶矩阵Ａ是上（下）三角形矩阵，则Ａ也是咒阶上（下）三角形矩阵，并且Ａ之对角线上元素为Ａ之对角线除去对应位置上元素后余下的咒一１个元素之积．
现在我们证明两个重要定理．
定理２设Ａ是一个，２阶矩阵，Ａｌ，Ａ２，…，Ａ。为Ａ之咒个特征根，则Ａ之伴随矩阵Ａ的竹个特征根为：
天产ⅡＡｉ
ｊ＝１（江ｌ，２，…咒）（２）
ｊ≠ｉ
证明因为任意衍阶矩阵与一匕三角形矩阵相似。所以。存在满秩矩阵Ｐ使
Ａ１
Ａ２
Ｐ一１ＡＰ＝＝Ｂ
０
由“１”中“（３）”．
豆＝（Ｐ一１ＡＰ厂＝孩（Ｐ一１）－＝预（；）一１因此，Ａ与豆相似，从而有相同的特征根，又由引理
第ｌ期林玎，刘伟：高次伴随矩形的求法及其特征根６ｌ
Ｂ＝
０
于是～Ｂ的特征根为
～九｜ｌ（ｉ＝１，２，…咒）
。Ⅱ鬻
即Ａ’的咒个特征根．证毕．‘
在定理２中我们看到，如果Ａ是一个满秩矩阵，那么，Ａ的特征根Ａｉ（ｉ寻１，２，…咒）都不为零．从而（２）式便可写为
ｎ・
天ｉ＝Ａｉ一１ⅡＡ，（ｉ＝１，２，…扎）（３）
Ｊ＝１
定理３设Ａ是一个咒阶满秩矩阵，Ａｌ，Ａ２，…，Ａ。为Ａ之咒个特征根，则Ａ之优次伴随矩阵Ａ（”）的咒个特征根为
五ｉ（ｍ）＝Ａ，１）“・Ⅱ妒‘ｍ’（汪１，２，…咒）（４）
Ｊ＝ｌ
熟中当优：１时，天ｉ（１）氆（－１）１．直Ａｉ血型掣黾一，立小／ｋｍ、，｜三｜皑
姬Ｄ明
滓１～Ｊ＝ｌ
故结论成立
归纳假设ｍ＝是时，（４）成立，即
其中Ｄ（忌）：垃＿卫』业天ｉ（‘）＝Ａｉ（一１）’・ⅡＡｊＤ（功（扣ｌ，２，…行）
Ｊ＝ｌ＇
当ｍ｜｜忌＋ｌ时
一Ａ㈣Ⅲ兰一撒愚墨颡一・ⅡＡｊ础’］。Ⅱ潜。Ⅱ瓣Ｊ＝１
＝Ｗ＿１）‘・ⅡＡ尸‘６’］．．．［～一ｌ（＿１）‘・ⅡＡｊ础）］
Ｊ＝ｌＪ＝ｌ
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６２吉林建筑工程学哦学报
————————————————————————————————————————————————————一２００１年３月
Ａｌ（－１）‘…～一ｌ㈠）‘－＋ｌ（－１）‘…Ａ。（．１）‘（立Ａｊ础’）州
．ｊ＝１
（Ａｉ（一１）４）／Ｌ。Ⅱ一０∥．（立Ａｊ础）∽１’））
，＝１
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而Ｄ（足）（，ｚ一１）十（一１）‘＝王丝二二ｊ立兰专掣．（咒一１）＋（一１）ｔＪ＝１
：（丝二１２１：！±（二１２１二！：丝±（二１２１±（二１２１：丝
一（丝二１２１：！±（二！生
＝Ｄ（志＋１）
于是证明了研＝志＋ｌ时，（４）成立，从而定理得证
参考文献
［１］张远达．线性代数原理．上海教育出版社．１９８０
Ｔ１ｌｅＷａｙｔＯＣＯｍｐｕｔｅＨｉ
ａｎｄＩｔｓＬａｔｅｎｔＲＯＯｔｓ
ＬＩＮ
（脘加以行跏ｆ矿缸疵唧ｆ懈，埘赫Ａ砌娩钇ｒ口ｚ口磁嘞ｚＤｉｎｇ，ＬＩＵＷｅｉ
Ｅ堙ｉ行８删略ｈｓ蹴诎？，饧口，神甜雄，１３００２１）
ｃ。ｕｌｄｇｅｔａｎａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｘ五，（ｏｒ（Ａ厂），ａｃ∞ｒｄｉｎｇｔｏａｒａＪｌｄｏｍｔｈｅｎｔｈｍａｔｒｉｘｆｉｅｌｄＦ，ｗｈｉｃｈｗｅｃａｌｌｅｄｉｔｔｈｅｏｎｃｅｃｏｎｃｏｍｉｔａｎｃｅｆｏｒＡ，ｔｈｅｒｅｉｓａｎａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉＸ羞ｆｏｒ
ｉｓｃａｌｌｅｄｔｈｅｔｗｉｃｅ∞ｎｃｏｍｉｔａｎｃｅｆｏｒＡ．Ｉｎｔｈｅｇｅｎｅｒａｌ，ｔｈｅｒｅａｒｅｒａｎｄｏｍｍｔｉｍｅｓ
ｆｏｒｔｈｅｎｔｈｍａｔｒｉｘＡ，ｆｏｒｗｄｔｉｎｇｃｏｎｖｅｎｉｅｎｃｅ，ｗｅｗｒｉｔｅｍｔｉｍｅｓｃＯｎｃｏｍｉｔａｎｃｅ
Ａａｓ趸“’，（ｉｅ茇ａｓ趸引．）ｗｅｃａｌｌｅｄｔｈｅｍｈｉｇｈｅｒｄｅｇｒｅｅａｄｊ。ｉｎｔｆｏｒｍ。ｒｅｔｈａｎｔｗｏｔｉｍｅｓ
ｔ～叼ｔｉｍｅｓ）．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｈｅｗａｙｓｈｏｗｔｏｃｏｍｐｕｔｅｈｉｇｈｅｒｄｅｇｒｅｅａｄｊｏｉｎｔａｎｄｔｈｅｆｏｎｎｕｌａｏｆｉｔｓｌａｔｅｎｔｒｏｏｔｓ．
ｄｅｇｒｅｅａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｘ；ｆｏｍｌｕｌａｏｆｈｉｇｈｅｒｄｅｇｒｅｅａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｘ；ｌａｔｅｎｔｒ∞ｔｓ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｗｅＡ，ｏｎＡ，ｗｈｉｃｈｃＯｎｃｏｍｌｔａｎｃｅｆｏｒ（ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｍａｔｒｉｘＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｉｇｈｅｒ
高次伴随矩形的求法及其特征根作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：林玎， 刘伟吉林建筑工程学院基础部,长春,130021吉林建筑工程学院学报JOURNAL OF JILIN ARCHITECTURAL AND CIVIL ENGINEERING INSTITUTE2001(1)
参考文献(1条)
1. 张远达 线性代数原理 1980
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jljzgcxyxb200101014.aspx