第9卷 第4期2010年12月 太原师范学院学报(自然科学版)
JOURNALOFTAIYUANNORMALUNIVERSITY(NaturalScienceEdition)
Vol.9No.4 Dec.2010
弦振动的研究
张开明
(盐城师范学院物理系,江苏盐城224002)
摘要 文章对弦振动横波波动方程进行了讨论,研究了固定线密度时弦振动的拉力与波长、拉力与频率之间的关系,利用origin软件得出实验曲线,并找出研究张力和波长曲线关系时的最佳频率及研究拉力和频率曲线关系时的最佳波长.
关键词 驻波;波动方程;张力;最佳频率;最佳波长
文章编号 1672 2027(2010)04 0096 04 中图分类号 O369 文献标识码 A
0 引言
对于驻波产生,通常采用如图1所示的实验来演示.该实验直观、形象地给出了驻波的波形.对弦振动进行研究时,频率太大形成驻波时波幅太小,不明显;若频率太小时,波长太长,需要的弦线太长,不方便实验.本文就弦线上驻波产生需要满足什么条件,驻波产生时,如何找出弦长、弦上张力、弦线密度的关系以及振源
频率的最佳组合进行了研究
.
图1 驻波实验装置Fig.1 Waveexperiment
device
1-机械振动源 2-振动簧片 3-弦线 4-可动刀口支架 5-可动滑轮支架 6-标尺
7-固定滑轮 8-砝码与砝码盘 9-变压器 10-实验平台 11-实验桌
图2 仪器结构图Fig.2 Instrumentstructure
*收稿日期:2010 06 23
:),,
第4期 张开明:弦振动的研究
97
1 弦上驻波的产生
弦线上的驻波实验常用一端固定的张紧的弦线来演示,将一砝码系在跨过滑轮的弦线的一端,振动器(或电动音叉)接在弦线的另一端.振动器在弦线上激起横波,横波的频率就是振动器的频率.弦线的固定端是波节,A端与振动器相连作谐振动,因而不是波节.当波到达端点B时,由于B端保持固定不动,波就被反射回来与原波形成驻波.1 1 弦线上横波的波动方程
建立如图1所示的坐标,设弦的初始位移和初始速度都是0,振动器的振动方程为
y(l,t)=Asin tA为振幅,(1)式的泛定方程为:
+=0v其边界条件:
y|x=0=0
y|x=l=Asin t
y|t=0=0
(0
t=0
v=f.
n
1 2 形成驻波时各物理量的关系
若横波在张紧的弦线上沿x轴正方向传播,我们取AB=ds的微元段加以讨论(如图3).设弦线的线密度(即单位长质量)为 ,则此微元段弦线ds的质量为 ds.在A,B处受到左右邻段的张力分别为T1,T2,其方向为沿弦线的切线方向与x轴交成!1,!2角[3 5].
由于弦线上传播的横波在x方向无振动,所以作用在微元段ds上的张力的x分量应该为0,即
T2cos!2-T1cos!1=0
又根据牛顿第二定律,在y方向微元段的运动方程为
T2sin!2-T1sin!1= dsdt 根据参考文献[3]可得:
v=
f=2l
(3)
图3 弦线示意图
Fig.3 Schematicdiagramofstring
22
2
[1 2]
:
(1)
其初始条件: 根据参考文献[2]可知:
(2)
将式(2)代入式(3),整理后可得,弦线上可能出现的本证振动的频率为
(4)
以上各式中, 为弦线密度,T为弦线张力,∀为弦线波长,f为弦线频率,v为弦线波速,l为弦长.式(4)表示,以一定频率f振动的弦,其波长将因张力T或线密度 的变化而变化的规律.
2 弦振动的研究
2 1 固定频率、线密度,改变拉力,研究拉力和波长
由弦振动规律得f,T, 之间的关系整理后可得:
2
=2
98
太原师范学院学报(自然科学版) 第9卷
如图2仪器结构装置图,固定线密度和频率,在不同频率的情况下进行实验,改变拉力的大小,研究张力和波长的曲线关系,并找出研究张力和波长的曲线关系时误差最小、实验效果最好的频率大小,即最佳频率.
固定线密度和频率,逐步增加砝码的质量,再细调弦长使出现共振,使出现n=1,2,3,4个波峰,测出弦长l1,l2,l3,l4,由∀=算出波长∀1,∀2,∀3,∀4,重复测量取平均值.T值改变10次左右.所得实验数据如表
n1,其中 =1.55575!10-4kg/m.
表1 波长与张力关系的实验数据
Table1 Wavelengthandtensionrelationsoftheexperimentaldata
T/N 00Hz)1/cm(f1=50 00Hz)2/cm(f2=60 00Hz)3/cm(f3=70 00Hz)4/cm(f4=80 00Hz)5/cm(f5=90
00Hz)6/cm(f6=100
0 40
50 7543 2036 1531 5027 6525 55
0 85
73 6061 1552 4045 5540 9536 70
1 0581 8568 0058 0051 4545 5940 85
1 30
90 5575 7064 1556 6050 9045
55
1 50
97 8581 1570 8561 2054 6049 20
1 751 952 202 402 653 10108 45111 50118 40124 50130 60140 9090 0575 9567 1558 9553 00
93 60
79 0569 9562 1555 80
100 15103 25108 45116 85
85 2088 1593 85100 6574 1066 1059 20
77 45
69 0562 25
82 1572 4065 50
88 95
78 5570 85
由于测量值误差较小,如果取lnT与ln∀作图,不能准确地反应出T=0 40N~3 10N特定拉力对应的最佳频率,又由于不同频率情况下的T与∀的关系图像利用origin(可以制作各种图形的专用软件)作图不能同时显示在同一图像上,由表1数据利用origin作图进行比较得出误差最小的最佳频率f=90 00Hz时的T与∀的关系图像如图3所示.
由图像分析可知有关数据:曲线方程:Y=0 03988-0 00122X+5 12752!10-4X2相对误差为0 06%.
频率越小,波长越长,弦线上不能出现多个波峰,波长测量值误差增大;频率越大,振幅越小,弦线上波动不明显,也会增大波长的测量值误差.所以由表1数据通过origin作图,对各图像进行分析得出,当取f=90 00Hz时,所得图像的相对误差最小,研究拉力与波长曲线关系的效果最好.2 2 不同频率,固定线密度,改变拉力,研究拉力和频率的曲线
由弦振动规律得f,T, 之间的关系:
f=
整理后可得:
2l
2
T=f
n
2
图4 拉力与波长的关系
Fig.4 Thereationshipbetweentensionandwavelength
如图2仪器结构装置图,固定线密度和波长,在不同波长的情况下进行试验,改变拉力的大小,研究张力和频率的曲线关系,并找出研究张力和频率的曲线关系时误差最小、实验效果最好的波长,即最佳波长.
固定线密度和波长,逐步增加频率的大小,在同一频率时,使依次出现n=1,2,3,4个波峰,再细调拉力的大小使出现共振,测出拉力T1,T2,T3,T4,重复测量取平均值.f值改变10次左右.所得实验数据如表2.
表2 波长与波原频率关系的实验数据
Table2 Wavelengthandwavesfrequencyrelationsexperimentaldata
f#zT1/N(∀! 00cm)1=50T2/N(∀! 00cm)2=70T3/N(∀! 00cm)3=9030 000 289
0 45440 00
0 2510 4740 80950 00
0 3810 7391 23960 00
0 5591 0891 80970 00
0 7491 4662 43980 00
1 0141 9393 23990 001 2642 4624 064100 001 5443 0395 129110 001 8883 7156 194
第4期 张开明:弦振动的研究
99
不同波长情况下,在f=30 00Hz~110 00Hz内,T与f的关系图像利用origin作图可以同时显示在同一图像上,由表2数据利用origin作图得出T与f的关系图像如图5所示.从图中可知,当波长为70.00cm时实验效果比较好,如图6所示
.
图5 不同波长时拉力与频率的关系Fig.5 Differentwavelengthandfrequency
oftherelationshipbetweentensio
n
图6 拉力与频率的关系Fig.6 Therelationshipbetweentensionandfrequency
-4
2
由图像分析可知有关数据:
曲线方程:Y=0 08063-0 00308X+3 27911!10X相对误差为0 05%.
波长越大,弦线上不能出现多个波峰,拉力测量值误差增大;波长越小,拉力越小,拉力改变量更小,拉力测量值误差增大.所以由表2数据通过origin作图,对各图像进行分析得出,当取∀=70.00cm时,所得图像的相对误差最小,研究拉力与频率曲线关系的效果最好.
3 总结
通过对弦振动的研究,在研究弦张力与波长的曲线关系和弦张力与频率的曲线关系的同时,得出研究弦张力与波长的曲线关系的最佳频率和研究弦张力与频率的曲线关系的最佳波长,即:1)张力与波长成二次函数关系,且在f=90 00Hz时,所得数据的图像的相对误差最小;2)张力与频率成二次函数关系,且在∀=70 00cm时,所得数据的图像的相对误差最小.学生通过以上得出的结论在以后的实验过程中,可以更简单、更准确地研究弦振动的实验.
参考文献:
[1] 冯法军.驻波实验之研究[J].承德石油高等专科学校学报,2001(3):14 17[2] 刘东红.弦振动驻波分析[J].大学物理实验,2002(3):13 14[3] 杨述武.普通物理实验[M].北京:高等教育出版社,2006
[4] 张忠厚,王 皓,丁红旗.驻波实验的一般性研究[J].大学物理实验,2000(4):32 34[5] 李 尧,冯正南,卢海燕.弦振动实验装置的改进[J].大学物理实验,2004(4):56 57[6] 赵 艳,王春兴.弦线上的驻波研究[J].山东师范大学学报(自然科学版),2000(3):20 21
TheResearchofVibration
ZhangKaiming
(DepartmentofPhysics,YanchengTeacher∀sCollege,Yancheng224002,China)
Abstract Inthispaper,vibrationequationonthestringisdiscussedtostudytherelation shipamongthefrequencyofvibrationofthestring,thestringlength,tensionandthelineardensi ty.Useingthesoftwareoforigintodrawtheexperimentalcurves,aswellasidentifythebestfre quencytoresearchtherelationshipbetweenthetensioncurvesandthewavelengthandidentifythebestwavelengthtoResearchtherelationshipbetweenfrequencycurvesandtension.
Keywords standingwave;waveequation;tension;bestfrequency;bestwavelength
第9卷 第4期2010年12月 太原师范学院学报(自然科学版)
JOURNALOFTAIYUANNORMALUNIVERSITY(NaturalScienceEdition)
Vol.9No.4 Dec.2010
弦振动的研究
张开明
(盐城师范学院物理系,江苏盐城224002)
摘要 文章对弦振动横波波动方程进行了讨论,研究了固定线密度时弦振动的拉力与波长、拉力与频率之间的关系,利用origin软件得出实验曲线,并找出研究张力和波长曲线关系时的最佳频率及研究拉力和频率曲线关系时的最佳波长.
关键词 驻波;波动方程;张力;最佳频率;最佳波长
文章编号 1672 2027(2010)04 0096 04 中图分类号 O369 文献标识码 A
0 引言
对于驻波产生,通常采用如图1所示的实验来演示.该实验直观、形象地给出了驻波的波形.对弦振动进行研究时,频率太大形成驻波时波幅太小,不明显;若频率太小时,波长太长,需要的弦线太长,不方便实验.本文就弦线上驻波产生需要满足什么条件,驻波产生时,如何找出弦长、弦上张力、弦线密度的关系以及振源
频率的最佳组合进行了研究
.
图1 驻波实验装置Fig.1 Waveexperiment
device
1-机械振动源 2-振动簧片 3-弦线 4-可动刀口支架 5-可动滑轮支架 6-标尺
7-固定滑轮 8-砝码与砝码盘 9-变压器 10-实验平台 11-实验桌
图2 仪器结构图Fig.2 Instrumentstructure
*收稿日期:2010 06 23
:),,
第4期 张开明:弦振动的研究
97
1 弦上驻波的产生
弦线上的驻波实验常用一端固定的张紧的弦线来演示,将一砝码系在跨过滑轮的弦线的一端,振动器(或电动音叉)接在弦线的另一端.振动器在弦线上激起横波,横波的频率就是振动器的频率.弦线的固定端是波节,A端与振动器相连作谐振动,因而不是波节.当波到达端点B时,由于B端保持固定不动,波就被反射回来与原波形成驻波.1 1 弦线上横波的波动方程
建立如图1所示的坐标,设弦的初始位移和初始速度都是0,振动器的振动方程为
y(l,t)=Asin tA为振幅,(1)式的泛定方程为:
+=0v其边界条件:
y|x=0=0
y|x=l=Asin t
y|t=0=0
(0
t=0
v=f.
n
1 2 形成驻波时各物理量的关系
若横波在张紧的弦线上沿x轴正方向传播,我们取AB=ds的微元段加以讨论(如图3).设弦线的线密度(即单位长质量)为 ,则此微元段弦线ds的质量为 ds.在A,B处受到左右邻段的张力分别为T1,T2,其方向为沿弦线的切线方向与x轴交成!1,!2角[3 5].
由于弦线上传播的横波在x方向无振动,所以作用在微元段ds上的张力的x分量应该为0,即
T2cos!2-T1cos!1=0
又根据牛顿第二定律,在y方向微元段的运动方程为
T2sin!2-T1sin!1= dsdt 根据参考文献[3]可得:
v=
f=2l
(3)
图3 弦线示意图
Fig.3 Schematicdiagramofstring
22
2
[1 2]
:
(1)
其初始条件: 根据参考文献[2]可知:
(2)
将式(2)代入式(3),整理后可得,弦线上可能出现的本证振动的频率为
(4)
以上各式中, 为弦线密度,T为弦线张力,∀为弦线波长,f为弦线频率,v为弦线波速,l为弦长.式(4)表示,以一定频率f振动的弦,其波长将因张力T或线密度 的变化而变化的规律.
2 弦振动的研究
2 1 固定频率、线密度,改变拉力,研究拉力和波长
由弦振动规律得f,T, 之间的关系整理后可得:
2
=2
98
太原师范学院学报(自然科学版) 第9卷
如图2仪器结构装置图,固定线密度和频率,在不同频率的情况下进行实验,改变拉力的大小,研究张力和波长的曲线关系,并找出研究张力和波长的曲线关系时误差最小、实验效果最好的频率大小,即最佳频率.
固定线密度和频率,逐步增加砝码的质量,再细调弦长使出现共振,使出现n=1,2,3,4个波峰,测出弦长l1,l2,l3,l4,由∀=算出波长∀1,∀2,∀3,∀4,重复测量取平均值.T值改变10次左右.所得实验数据如表
n1,其中 =1.55575!10-4kg/m.
表1 波长与张力关系的实验数据
Table1 Wavelengthandtensionrelationsoftheexperimentaldata
T/N 00Hz)1/cm(f1=50 00Hz)2/cm(f2=60 00Hz)3/cm(f3=70 00Hz)4/cm(f4=80 00Hz)5/cm(f5=90
00Hz)6/cm(f6=100
0 40
50 7543 2036 1531 5027 6525 55
0 85
73 6061 1552 4045 5540 9536 70
1 0581 8568 0058 0051 4545 5940 85
1 30
90 5575 7064 1556 6050 9045
55
1 50
97 8581 1570 8561 2054 6049 20
1 751 952 202 402 653 10108 45111 50118 40124 50130 60140 9090 0575 9567 1558 9553 00
93 60
79 0569 9562 1555 80
100 15103 25108 45116 85
85 2088 1593 85100 6574 1066 1059 20
77 45
69 0562 25
82 1572 4065 50
88 95
78 5570 85
由于测量值误差较小,如果取lnT与ln∀作图,不能准确地反应出T=0 40N~3 10N特定拉力对应的最佳频率,又由于不同频率情况下的T与∀的关系图像利用origin(可以制作各种图形的专用软件)作图不能同时显示在同一图像上,由表1数据利用origin作图进行比较得出误差最小的最佳频率f=90 00Hz时的T与∀的关系图像如图3所示.
由图像分析可知有关数据:曲线方程:Y=0 03988-0 00122X+5 12752!10-4X2相对误差为0 06%.
频率越小,波长越长,弦线上不能出现多个波峰,波长测量值误差增大;频率越大,振幅越小,弦线上波动不明显,也会增大波长的测量值误差.所以由表1数据通过origin作图,对各图像进行分析得出,当取f=90 00Hz时,所得图像的相对误差最小,研究拉力与波长曲线关系的效果最好.2 2 不同频率,固定线密度,改变拉力,研究拉力和频率的曲线
由弦振动规律得f,T, 之间的关系:
f=
整理后可得:
2l
2
T=f
n
2
图4 拉力与波长的关系
Fig.4 Thereationshipbetweentensionandwavelength
如图2仪器结构装置图,固定线密度和波长,在不同波长的情况下进行试验,改变拉力的大小,研究张力和频率的曲线关系,并找出研究张力和频率的曲线关系时误差最小、实验效果最好的波长,即最佳波长.
固定线密度和波长,逐步增加频率的大小,在同一频率时,使依次出现n=1,2,3,4个波峰,再细调拉力的大小使出现共振,测出拉力T1,T2,T3,T4,重复测量取平均值.f值改变10次左右.所得实验数据如表2.
表2 波长与波原频率关系的实验数据
Table2 Wavelengthandwavesfrequencyrelationsexperimentaldata
f#zT1/N(∀! 00cm)1=50T2/N(∀! 00cm)2=70T3/N(∀! 00cm)3=9030 000 289
0 45440 00
0 2510 4740 80950 00
0 3810 7391 23960 00
0 5591 0891 80970 00
0 7491 4662 43980 00
1 0141 9393 23990 001 2642 4624 064100 001 5443 0395 129110 001 8883 7156 194
第4期 张开明:弦振动的研究
99
不同波长情况下,在f=30 00Hz~110 00Hz内,T与f的关系图像利用origin作图可以同时显示在同一图像上,由表2数据利用origin作图得出T与f的关系图像如图5所示.从图中可知,当波长为70.00cm时实验效果比较好,如图6所示
.
图5 不同波长时拉力与频率的关系Fig.5 Differentwavelengthandfrequency
oftherelationshipbetweentensio
n
图6 拉力与频率的关系Fig.6 Therelationshipbetweentensionandfrequency
-4
2
由图像分析可知有关数据:
曲线方程:Y=0 08063-0 00308X+3 27911!10X相对误差为0 05%.
波长越大,弦线上不能出现多个波峰,拉力测量值误差增大;波长越小,拉力越小,拉力改变量更小,拉力测量值误差增大.所以由表2数据通过origin作图,对各图像进行分析得出,当取∀=70.00cm时,所得图像的相对误差最小,研究拉力与频率曲线关系的效果最好.
3 总结
通过对弦振动的研究,在研究弦张力与波长的曲线关系和弦张力与频率的曲线关系的同时,得出研究弦张力与波长的曲线关系的最佳频率和研究弦张力与频率的曲线关系的最佳波长,即:1)张力与波长成二次函数关系,且在f=90 00Hz时,所得数据的图像的相对误差最小;2)张力与频率成二次函数关系,且在∀=70 00cm时,所得数据的图像的相对误差最小.学生通过以上得出的结论在以后的实验过程中,可以更简单、更准确地研究弦振动的实验.
参考文献:
[1] 冯法军.驻波实验之研究[J].承德石油高等专科学校学报,2001(3):14 17[2] 刘东红.弦振动驻波分析[J].大学物理实验,2002(3):13 14[3] 杨述武.普通物理实验[M].北京:高等教育出版社,2006
[4] 张忠厚,王 皓,丁红旗.驻波实验的一般性研究[J].大学物理实验,2000(4):32 34[5] 李 尧,冯正南,卢海燕.弦振动实验装置的改进[J].大学物理实验,2004(4):56 57[6] 赵 艳,王春兴.弦线上的驻波研究[J].山东师范大学学报(自然科学版),2000(3):20 21
TheResearchofVibration
ZhangKaiming
(DepartmentofPhysics,YanchengTeacher∀sCollege,Yancheng224002,China)
Abstract Inthispaper,vibrationequationonthestringisdiscussedtostudytherelation shipamongthefrequencyofvibrationofthestring,thestringlength,tensionandthelineardensi ty.Useingthesoftwareoforigintodrawtheexperimentalcurves,aswellasidentifythebestfre quencytoresearchtherelationshipbetweenthetensioncurvesandthewavelengthandidentifythebestwavelengthtoResearchtherelationshipbetweenfrequencycurvesandtension.
Keywords standingwave;waveequation;tension;bestfrequency;bestwavelength