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西安理工大学学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＸｉ’ａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（２００５）Ｖ０１．２１Ｎｏ．３２２３
文章编号：１００６—４７１０（２００５）０３—０２２３—０４
３－ＰＲＳ并联机器人的力学分析
程祥，黄玉美，高峰
（西安理工大学机械与精密仪器工程学院，陕西西安７１００４８）
摘要：对３一ＰＲＳ并联机器人的力学求解进行了研究。首先针对并联机器人中的多个被动关节是
影响其刚度和精度的主要原因，进行了３一ＰＲＳ并联机器人的被动Ｒ、Ｓ关节的静力学求解，以作
为设计高刚度的被动关节的依据；然后基于Ｌａｇｒａｎｇｅ方法及３一ＰＲＳ并联机器人的一、二阶影响
系数，建立该机构的动力学模型，并进行了动力学逆解计算仿真。结果表明了该模型的正确性。
关键词：并联机器人；动力学；拉格朗日方法
中图分类号：ＴＰ２４２．３文献标识码：Ａ
ＭｅｃｈａｎｉｃｓＡｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅ３一ＰＲＳＰａｒａｌｌｅｌＲｏｂｏｔ
ＣＨＥＮＧＸｉａｎｇ。ＨＵＡＮＧＹｕ－ｍｅｉ，ＧＡＯＦｅｎｇ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｃｈｉｎｅｒｙａｎｄＰｒｅｃｉｓｉｏｎＩｎｓｔｒｕｍｅｎｔＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉ’ａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉ’ａｎ７１００４８，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｓｔｕｄｉｅｓｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｃｓｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏ３一ＰＲＳｐａｒａｌｌｅｌｒｏｂｏｔ．Ｗｉｔｎａｎａｉｍａｔｔｈｅ
ｆａｃｔｔｈａｔｍｕｌｔｉ—ｐａｓｓｉｖｅｊｏｉｎｔｓｕｓｅｄｉｎｐａｒａｌｌｅｌｒｏｂｏｔｓａｒｅｔｈｅｍａｉｎｆａｃｔｏｒｓｏｆｆｅｃｔｉｎｇｔｈｅｉｒｓｔｉｆｆｎｅｓｓ
ａｎｄｐｒｅｃｉｓｉｏｎ，ｔｈｅｓｔａｔｉｃｓｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐａｓｓｉｖｅＲａｎｄＳｊｏｉｎｔｓｏｆｔｈｅ３－ＰＲＳｐａｒａｌｌｅｌｒｏｂｏｔｉｓｏｂ—
ｔａｉｎｅｄａｓｔｈｅｂａｓｅｆｏｒｄｅｓｉｇｎｉｎｇｔｈｅｐａｓｓｉｖｅｊｏｉｎｔｓｗｉｔｈｈｉｇｈｓｔｉｆｆｎｅｓｓ；ａｎｄｔｈｅｎ，ｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｓ
ｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅｍａｃｈｅｎｉｓｍｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆＬａｇｒａｎｇｅｍｅｔｈｏｄａｓｗｅｌｌａｓｔｈｅｏｎｅｏｒｄｅｒ
ａｎｄｔｗｏｏｒｄｅｒｉｎｆｌｕｅｎｃｉｎｇｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｏｆ３－ＰＲＳｐａｒａｌｌｅｌｒｏｂｏｔ；ａｎｄｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｓｉｎｖｅｒｓｅｓｏｌｕ—
ｔｉｏｎｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｉＳｃａｒｒｉｅｄｏｕｔ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｉｎｄｉｃａｔｅｔｈｅｖａｌｉｄｉｔｙｏｆｔｈｉｓｍｏｄｅｌ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐａｒａｌｌｅｌｒｏｂｏｔ；ｄｙｎａｍｉｃｓ；ｌａｇｒａｎｇｅｍｅｔｈｏｄ
并联机构力学建模包括静力学建模和动力学建模，静力学建模对于指导并联机构的设计有着重要的意义，机构动力学是机构控制器设计和动态仿真的基础。３－ＰＲＳ并联机构的静力学是研究其在承受外力负载或是与外界环境相互作用时的操作状态。它主要是研究机构各构件和末端执行器上受到各种广义外力作用时的静平衡问题，也就是作用力在各坐标系间的相互等效转换口］。相互等效转换原则使两个力系在力学上等效，等效原理可采用静力平衡或虚功原理，本文是用静力平衡原理来进行分析的，借用串联机器人已经成熟的静力学求解方法由动平台的受力求出被动Ｓ和Ｒ关节的受力。
目前，国内外对并联机构动力学的研究主要集中在刚体动力学逆问题上［２］，主要涉及给末端执行器的位置、速度和加速度反求伺服电机的驱动力，是并联机器人动力分析、整机动态设计、动力学尺度综合、控制器参数整定和伺服电机选配的理论基础［３￣５］。动力学分析方法包括牛顿一欧拉法、拉格朗日法、凯恩法、广义达朗贝尔法以及最ｄｘ－－乘法等。每一种方法各有特点，但是各种动力学分析方法的应用都依据具有最快的计算速度，满足具体不同机构的动力学分析及控制要求。本文中应用的拉格朗日方法具有比其他方法较强的分析特性，并且可以得到完整的动力学方程口］，结合３一ＰＲＳ并联机构的一阶影响系数和二阶影响系数推导出了其动力学模型。
本研究所研制开发的３一ＰＲＳ三自由度并联机器人原理图如图１所示，该主轴头机构由成１２０。分布的三个分支构成，各分支均由移动关节只、回转关节Ｒｆ、定长杆厶及球关节Ｓｉ组成，其中只关节为主动关
收稿日期：２００５—０３—３０
基金项目：国家自然科学基金（５００７５０６９）。
作者简介：程祥（１９７５一），男“【Ｊ东宁阳人，博士生，研究方向为机械ＣＡＤ、机器人及机构学。Ｅ—ｍａｉｌ：ＣＸ—ｍｆ＠ｔｏｍ．ｃｏｒｎ。
万 方数据
２２４西安理工大学学报（２００５）第２１卷第３期节，Ｒ及５，关节为被动关节。定、动平台的坐标系分别如图中≥：ｏｏ和
∑Ｏ。，∑Ｏ。在∑Ｏ。下的表示为。Ｔｃ，末端执行器参考点Ｍ在∑Ｏ。，
下的表示为ｏｒＭ。
１静力学求解
３－ＰＲＳ并联机构的每一个分支都相当于～个串联机器人，因此在
求解Ｓ关节受力时，可以对每一个分支利用串联机器人的原理写出受
力方程，然后联立三个分支的方程，使之与动平台所受力相平衡，进而
解出三个Ｓ关节的各自受力。
乏：０Ｍ坐标系在ｓ关节下的坐标转换矩阵为‘ＴＭ，则ｓ关节在
≥：０Ｍ坐标系下的坐标转换矩阵为：图１
Ｆｉｇ．１３－ＰＲＳ并联机器人简图３－ＰＲＳｐａｒａｌｌｅｌｒｏｂｏｔ‰，一严喙‘Ｌ０１
式中，ＭＲｓ；为旋转矩阵；Ｍ＾为位置向量。设ＭＳｓｉ＝［ＭＰｓ，Ｘ３・［Ｍ霞薯］，则：
ＪＭＳ，２｜＿岷ｊ‰ｉｊ
单分支的力平衡关系可以表示为：ｒＲｓ．０］
ＭＲ。一ＪＭＳｉ。风ｊ（２）
其中，ＭＦｓｉ为第ｉ个Ｓ关节所承受的力Ｆｓ。折算到∑０Ｍ坐标系下的力。
Ｆｓｉ—ｐｘｓｉＦｙｓｉＦｚＳｉＭｘｓｉＭＹｓｉＭｚＳ了（幻
实际上，由Ｓ关节与Ｒ关节的特点以及图２可使式（３）写为：
Ｆｓ．一ＥｏＦｙｓ，Ｆｚｓ。０００３Ｔ（４）
图２给定动平台所受力ＦＭ，式（５）组成６个方程，共含有６个未知数，
因此由式（５）即可以求出各个Ｓ关节所受的力：３－ＰＲＳ并联机构第ｉ分支Ｒ。、Ｓｉ关节坐标示意图ＲｉａｎｄＳｉＦｉｇ．２ｊｏｉｎｔｓ’ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ
ｏｆ３－ＰＲＳｏｆｔｈｅｉｔｈｂｒａｎｃｈ
ＦＭ一∑ＭＦｓ；
由图２可以方便地得到Ｒ关节的受力：
ＦＲｉ＝Ｅｏ—ＦＹｓｉ—Ｆｚｓｉ
算例
长Ｌ－－－－０．３ＦＹｓｉＬ（５）００３ｎ（∞３－ＰＲＳ并联机构参数如下：动平台外接圆半径ｒ＝Ｏ．１１１３．，定平台外接圆半径Ｒ＝０．１５２ｍ，杆ｍ。动平台绕Ｘ和Ｙ转角分别是：０ｘ＝２００，ａ，＝２０。。∑ＯＭ的Ｚ值为ＺＭ－－－－０．５ｍ时，表１为计
表１被动Ｒ与Ｓ，关节的受力求解
Ｔａｂ．１ＦｏｒｃｅｂｅａｒｉｎｇｏｆｔｈｅｐａｓｓｉｖｅＲｉ算结果（其中ＦＭ表示作用在动平台上的广义力）。ａｎｄ＆ｊｏｉｎｔｓ由表１可以看出，单个关节所受的力可以达到所施加力的１０倍以上，且局部坐标系中Ｚ方向受力总万方数据
程祥等：３一ＰＲＳ并联机器人的力学分析２２５是大于ｙ方向受力，这对于Ｒｉ关节和Ｓ。关节的旋转轴将产生大的弯曲变形，因此应该在不影响关节刚度的前提下，尽量缩短旋转轴的长度。另一方面这对于各个分支的定长杆来说将主要承受拉压力，因此说明２动力学建模
动力学分析分为正解和逆解分析。已知机构各主动关节上的广义驱动力随时间（或位形）的变化规律，以及各点的速度和加速度，求解驱动器提供给主动关节随时间（或位形）变化的广义驱动力，称为逆解问题。动力学逆解问题是我们最为关心的，因此本文仅求解３－ＰＲＳ并联机构的逆解。
曩＋丁拿＋砖＋硪一０（７）
式中，曩为系统惯性力折算到广义坐标上的力；砖为系统外力折算到广义坐标上的力；硝为阻尼摩擦折算到广义坐标上的力，在建模过程中这一项被忽略以避免迭代计算；砰为独立广义坐标的驱动力。利用此动力学方程，在已知运动时可求出驱动力为动力学逆解，当已知驱动力时可求出系统的运动为动力学正解。式中，硝：［ｄ，。ｄ坨ｄ，３］Ｔ是主动关节的三个驱动力；Ｔｑ为外力和惯性力，Ｔｑ一∑∑砭ｃ”＋ＴＨ，其中，∑∑砭ｃｒ，代表３－ＰＲＳ并联机器人的第ｒ个分支、第尼个构件包括惯性力在内的６维作用力对广义坐标的等效力‘川，或ｐ’＝［Ｇ：］ｒｐ’风”，这里［Ｇ：］ｒｐ’为第ｒ分支的构件ｋ对独立广义坐标的一阶影响系数，Ｆ｛订为
对构件足包括惯性力的６维作用力‘７１；硝为动平台上包括惯性力的外力和外力矩对广义坐标的等效力，硝一［Ｇ掣］ＴＦＨ，这里［Ｇ；］Ｔ为动平台对独立广义坐标的一阶影响系数矩阵，ＦＨ为动平台包括惯性力的外力
Ｅ订一一［醒］Ａ一『ｗ２癸帆］一，｛；）
其中ｃＪ２，＝［１子，』：。］；。ｉ。Ｏ。—＿＿—Ｏ。ｎ、。。Ｉ。Ｏ。Ｄ、。Ｔ；朋ｍ。＝医‘，｛；。耋。］
［，２］为构件是在基座坐标系下的６×６阶广义惯量张量，包括质量项［Ｊ，０。］和惯量项ｍ。；厶为构件是的惯量张量；ｏ风为大地坐标到构件是的质心坐标转换矩阵；Ａ。为构件ｈ的加速度；躁为构件愚关于原点为ｃ且与固定参考系平行的坐标系的３阶惯量矩阵，与［Ｊ２］有相似算法，此处略写；，｛？为构件ｋ的广义重力矢量；Ｗ。为构件是的角速度矢量；ｗｆ是构件ｈ的角速度矢量组成的矩阵，
ＬⅣ，矾ｏｊ
另外肛一嘲ＡＨ＿［川孕眠］＿，ｈｇ
其中各项与上述Ｆ｛订中各项有相似的定义。
将上述各式代人式（８）可得驱动力如式（９），完成动力学逆解：
式中，ｒ“、Ｌ、ｎ、ｒｓ分别表示动平台ｈ、主动关节组件ｐ、定长杆件组件Ｌ以及球关节组件Ｓ对独立广义坐标的等效力，Ｔｈ＝Ａ１＾ｇ＋Ａ２Ｆｈ＋Ａ３Ｍｈ，Ｔｐ—Ａ４，ｐｇ＋ＡｓＢ＋Ａ６Ｍｐ，丁Ｌ＝Ａ７，ｉ，ｇ＋Ａ８ＦＬ＋Ａ９ＭＬ，Ｔｓ＝Ａ１０，Ｓｇ＋Ａ。。Ｆｓ＋Ａ，。Ｍｓ。Ａ，（ｉ＝１，２，…，１２）为３－ＰＲＳ并联机器人与位姿相关的矩阵，，口。表示重力矢量，如表示惯万 方数据
２２６西安理工大学学报（２００５）第２１卷第３期性力矢量，ＭＤ表示惯性矩矢量。
３动力学仿真
３－ＰＲＳ并联机构参数取ｒ＝０．１ｒｌｌ，Ｌ＝０．３ＩＴＩ，Ｒ一０．１５２ｍ，初始条件取以＝０，以一０，Ｚ。＝Ｏ．５ｍ。在
ｏ／ｓ），无外力作用下按照如下条件进行仿真：动力学仿真条件分别为：①动平台绕Ｘ轴做％一２０・ｓｉｎｔ
绕ｙ轴做ｏ）ｙ一－－－０（。／ｓ），Ｖｚ＝
０（ｍ／ｓ）的运动；②动平台绕
Ｘ轴做％＝０
做倒，＝２０ｓｉｎｔｏ／ｓ），绕ｙ轴ｏ／ｓ），Ｖｚ＝０
（ｍ／ｓ）的运动。①和②条件
下的仿真结果分别如图３中
（ａ）和（ｂ）所示。
从图３中可以看出，动
平台仅绕Ｘ轴转动时，第一
分支驱动力波动最大，第二
分支波动较大，第三分支波
动最小。动平台仅绕ｙ轴转
符，因此也反证了动力学建模的正确性。
４Ｆｉｇ．３ｔ／ｓ（ａ）条件①的仿真结果图３３－ＰＲＳ并联机器人动力学仿真Ｄｙｎａｍｉｃｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅ３－ＰＲＳｐａｒａｌｌｅｌｒｏｂｏｔ动时，第一分支驱动力波动最大，第二分支和第三分支波动相同。这与３－ＰＲＳ并联机器人的构造特性相结 语
并联机构的速度、刚度以及精度有望达到串联机构的数倍，但是在目前，仅在速度方面达到了人们的期望，其中一个主要原因就是并联机器人中存在大量的被动关节，本文分析了被动关节的静态受力状况，对高刚度被动关节的设计具有重要参考价值。应用拉格朗日方法结合３－ＰＲＳ并联机器人的一、二阶影响系数对其进行了动力学建模，仿真结果表明了该模型的正确性，可为３一ＰＲＳ并联机器人研究奠定进一步的理论基础。
参考文献：
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万方数据
3-PRS并联机器人的力学分析
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：程祥， 黄玉美， 高峰， CHENG Xiang， HUANG Yu-mei， GAO Feng西安理工大学,机械与精密仪器工程学院,陕西,西安,710048西安理工大学学报JOURNAL OF XI'AN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY2005,21(3)1次
参考文献(7条)
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为设计高刚度的被动关节的依据；然后基于Ｌａｇｒａｎｇｅ方法及３一ＰＲＳ并联机器人的一、二阶影响
系数，建立该机构的动力学模型，并进行了动力学逆解计算仿真。结果表明了该模型的正确性。
关键词：并联机器人；动力学；拉格朗日方法
中图分类号：ＴＰ２４２．３文献标识码：Ａ
ＭｅｃｈａｎｉｃｓＡｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅ３一ＰＲＳＰａｒａｌｌｅｌＲｏｂｏｔ
ＣＨＥＮＧＸｉａｎｇ。ＨＵＡＮＧＹｕ－ｍｅｉ，ＧＡＯＦｅｎｇ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｃｈｉｎｅｒｙａｎｄＰｒｅｃｉｓｉｏｎＩｎｓｔｒｕｍｅｎｔＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉ’ａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉ’ａｎ７１００４８，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｓｔｕｄｉｅｓｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｃｓｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏ３一ＰＲＳｐａｒａｌｌｅｌｒｏｂｏｔ．Ｗｉｔｎａｎａｉｍａｔｔｈｅ
ｆａｃｔｔｈａｔｍｕｌｔｉ—ｐａｓｓｉｖｅｊｏｉｎｔｓｕｓｅｄｉｎｐａｒａｌｌｅｌｒｏｂｏｔｓａｒｅｔｈｅｍａｉｎｆａｃｔｏｒｓｏｆｆｅｃｔｉｎｇｔｈｅｉｒｓｔｉｆｆｎｅｓｓ
ａｎｄｐｒｅｃｉｓｉｏｎ，ｔｈｅｓｔａｔｉｃｓｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐａｓｓｉｖｅＲａｎｄＳｊｏｉｎｔｓｏｆｔｈｅ３－ＰＲＳｐａｒａｌｌｅｌｒｏｂｏｔｉｓｏｂ—
ｔａｉｎｅｄａｓｔｈｅｂａｓｅｆｏｒｄｅｓｉｇｎｉｎｇｔｈｅｐａｓｓｉｖｅｊｏｉｎｔｓｗｉｔｈｈｉｇｈｓｔｉｆｆｎｅｓｓ；ａｎｄｔｈｅｎ，ｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｓ
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ａｎｄｔｗｏｏｒｄｅｒｉｎｆｌｕｅｎｃｉｎｇｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｏｆ３－ＰＲＳｐａｒａｌｌｅｌｒｏｂｏｔ；ａｎｄｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｓｉｎｖｅｒｓｅｓｏｌｕ—
ｔｉｏｎｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｉＳｃａｒｒｉｅｄｏｕｔ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｉｎｄｉｃａｔｅｔｈｅｖａｌｉｄｉｔｙｏｆｔｈｉｓｍｏｄｅｌ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐａｒａｌｌｅｌｒｏｂｏｔ；ｄｙｎａｍｉｃｓ；ｌａｇｒａｎｇｅｍｅｔｈｏｄ
并联机构力学建模包括静力学建模和动力学建模，静力学建模对于指导并联机构的设计有着重要的意义，机构动力学是机构控制器设计和动态仿真的基础。３－ＰＲＳ并联机构的静力学是研究其在承受外力负载或是与外界环境相互作用时的操作状态。它主要是研究机构各构件和末端执行器上受到各种广义外力作用时的静平衡问题，也就是作用力在各坐标系间的相互等效转换口］。相互等效转换原则使两个力系在力学上等效，等效原理可采用静力平衡或虚功原理，本文是用静力平衡原理来进行分析的，借用串联机器人已经成熟的静力学求解方法由动平台的受力求出被动Ｓ和Ｒ关节的受力。
目前，国内外对并联机构动力学的研究主要集中在刚体动力学逆问题上［２］，主要涉及给末端执行器的位置、速度和加速度反求伺服电机的驱动力，是并联机器人动力分析、整机动态设计、动力学尺度综合、控制器参数整定和伺服电机选配的理论基础［３￣５］。动力学分析方法包括牛顿一欧拉法、拉格朗日法、凯恩法、广义达朗贝尔法以及最ｄｘ－－乘法等。每一种方法各有特点，但是各种动力学分析方法的应用都依据具有最快的计算速度，满足具体不同机构的动力学分析及控制要求。本文中应用的拉格朗日方法具有比其他方法较强的分析特性，并且可以得到完整的动力学方程口］，结合３一ＰＲＳ并联机构的一阶影响系数和二阶影响系数推导出了其动力学模型。
本研究所研制开发的３一ＰＲＳ三自由度并联机器人原理图如图１所示，该主轴头机构由成１２０。分布的三个分支构成，各分支均由移动关节只、回转关节Ｒｆ、定长杆厶及球关节Ｓｉ组成，其中只关节为主动关
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２２４西安理工大学学报（２００５）第２１卷第３期节，Ｒ及５，关节为被动关节。定、动平台的坐标系分别如图中≥：ｏｏ和
∑Ｏ。，∑Ｏ。在∑Ｏ。下的表示为。Ｔｃ，末端执行器参考点Ｍ在∑Ｏ。，
下的表示为ｏｒＭ。
１静力学求解
３－ＰＲＳ并联机构的每一个分支都相当于～个串联机器人，因此在
求解Ｓ关节受力时，可以对每一个分支利用串联机器人的原理写出受
力方程，然后联立三个分支的方程，使之与动平台所受力相平衡，进而
解出三个Ｓ关节的各自受力。
乏：０Ｍ坐标系在ｓ关节下的坐标转换矩阵为‘ＴＭ，则ｓ关节在
≥：０Ｍ坐标系下的坐标转换矩阵为：图１
Ｆｉｇ．１３－ＰＲＳ并联机器人简图３－ＰＲＳｐａｒａｌｌｅｌｒｏｂｏｔ‰，一严喙‘Ｌ０１
式中，ＭＲｓ；为旋转矩阵；Ｍ＾为位置向量。设ＭＳｓｉ＝［ＭＰｓ，Ｘ３・［Ｍ霞薯］，则：
ＪＭＳ，２｜＿岷ｊ‰ｉｊ
单分支的力平衡关系可以表示为：ｒＲｓ．０］
ＭＲ。一ＪＭＳｉ。风ｊ（２）
其中，ＭＦｓｉ为第ｉ个Ｓ关节所承受的力Ｆｓ。折算到∑０Ｍ坐标系下的力。
Ｆｓｉ—ｐｘｓｉＦｙｓｉＦｚＳｉＭｘｓｉＭＹｓｉＭｚＳ了（幻
实际上，由Ｓ关节与Ｒ关节的特点以及图２可使式（３）写为：
Ｆｓ．一ＥｏＦｙｓ，Ｆｚｓ。０００３Ｔ（４）
图２给定动平台所受力ＦＭ，式（５）组成６个方程，共含有６个未知数，
因此由式（５）即可以求出各个Ｓ关节所受的力：３－ＰＲＳ并联机构第ｉ分支Ｒ。、Ｓｉ关节坐标示意图ＲｉａｎｄＳｉＦｉｇ．２ｊｏｉｎｔｓ’ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ
ｏｆ３－ＰＲＳｏｆｔｈｅｉｔｈｂｒａｎｃｈ
ＦＭ一∑ＭＦｓ；
由图２可以方便地得到Ｒ关节的受力：
ＦＲｉ＝Ｅｏ—ＦＹｓｉ—Ｆｚｓｉ
算例
长Ｌ－－－－０．３ＦＹｓｉＬ（５）００３ｎ（∞３－ＰＲＳ并联机构参数如下：动平台外接圆半径ｒ＝Ｏ．１１１３．，定平台外接圆半径Ｒ＝０．１５２ｍ，杆ｍ。动平台绕Ｘ和Ｙ转角分别是：０ｘ＝２００，ａ，＝２０。。∑ＯＭ的Ｚ值为ＺＭ－－－－０．５ｍ时，表１为计
表１被动Ｒ与Ｓ，关节的受力求解
Ｔａｂ．１ＦｏｒｃｅｂｅａｒｉｎｇｏｆｔｈｅｐａｓｓｉｖｅＲｉ算结果（其中ＦＭ表示作用在动平台上的广义力）。ａｎｄ＆ｊｏｉｎｔｓ由表１可以看出，单个关节所受的力可以达到所施加力的１０倍以上，且局部坐标系中Ｚ方向受力总万方数据
程祥等：３一ＰＲＳ并联机器人的力学分析２２５是大于ｙ方向受力，这对于Ｒｉ关节和Ｓ。关节的旋转轴将产生大的弯曲变形，因此应该在不影响关节刚度的前提下，尽量缩短旋转轴的长度。另一方面这对于各个分支的定长杆来说将主要承受拉压力，因此说明２动力学建模
动力学分析分为正解和逆解分析。已知机构各主动关节上的广义驱动力随时间（或位形）的变化规律，以及各点的速度和加速度，求解驱动器提供给主动关节随时间（或位形）变化的广义驱动力，称为逆解问题。动力学逆解问题是我们最为关心的，因此本文仅求解３－ＰＲＳ并联机构的逆解。
曩＋丁拿＋砖＋硪一０（７）
式中，曩为系统惯性力折算到广义坐标上的力；砖为系统外力折算到广义坐标上的力；硝为阻尼摩擦折算到广义坐标上的力，在建模过程中这一项被忽略以避免迭代计算；砰为独立广义坐标的驱动力。利用此动力学方程，在已知运动时可求出驱动力为动力学逆解，当已知驱动力时可求出系统的运动为动力学正解。式中，硝：［ｄ，。ｄ坨ｄ，３］Ｔ是主动关节的三个驱动力；Ｔｑ为外力和惯性力，Ｔｑ一∑∑砭ｃ”＋ＴＨ，其中，∑∑砭ｃｒ，代表３－ＰＲＳ并联机器人的第ｒ个分支、第尼个构件包括惯性力在内的６维作用力对广义坐标的等效力‘川，或ｐ’＝［Ｇ：］ｒｐ’风”，这里［Ｇ：］ｒｐ’为第ｒ分支的构件ｋ对独立广义坐标的一阶影响系数，Ｆ｛订为
对构件足包括惯性力的６维作用力‘７１；硝为动平台上包括惯性力的外力和外力矩对广义坐标的等效力，硝一［Ｇ掣］ＴＦＨ，这里［Ｇ；］Ｔ为动平台对独立广义坐标的一阶影响系数矩阵，ＦＨ为动平台包括惯性力的外力
Ｅ订一一［醒］Ａ一『ｗ２癸帆］一，｛；）
其中ｃＪ２，＝［１子，』：。］；。ｉ。Ｏ。—＿＿—Ｏ。ｎ、。。Ｉ。Ｏ。Ｄ、。Ｔ；朋ｍ。＝医‘，｛；。耋。］
［，２］为构件是在基座坐标系下的６×６阶广义惯量张量，包括质量项［Ｊ，０。］和惯量项ｍ。；厶为构件是的惯量张量；ｏ风为大地坐标到构件是的质心坐标转换矩阵；Ａ。为构件ｈ的加速度；躁为构件愚关于原点为ｃ且与固定参考系平行的坐标系的３阶惯量矩阵，与［Ｊ２］有相似算法，此处略写；，｛？为构件ｋ的广义重力矢量；Ｗ。为构件是的角速度矢量；ｗｆ是构件ｈ的角速度矢量组成的矩阵，
ＬⅣ，矾ｏｊ
另外肛一嘲ＡＨ＿［川孕眠］＿，ｈｇ
其中各项与上述Ｆ｛订中各项有相似的定义。
将上述各式代人式（８）可得驱动力如式（９），完成动力学逆解：
式中，ｒ“、Ｌ、ｎ、ｒｓ分别表示动平台ｈ、主动关节组件ｐ、定长杆件组件Ｌ以及球关节组件Ｓ对独立广义坐标的等效力，Ｔｈ＝Ａ１＾ｇ＋Ａ２Ｆｈ＋Ａ３Ｍｈ，Ｔｐ—Ａ４，ｐｇ＋ＡｓＢ＋Ａ６Ｍｐ，丁Ｌ＝Ａ７，ｉ，ｇ＋Ａ８ＦＬ＋Ａ９ＭＬ，Ｔｓ＝Ａ１０，Ｓｇ＋Ａ。。Ｆｓ＋Ａ，。Ｍｓ。Ａ，（ｉ＝１，２，…，１２）为３－ＰＲＳ并联机器人与位姿相关的矩阵，，口。表示重力矢量，如表示惯万 方数据
２２６西安理工大学学报（２００５）第２１卷第３期性力矢量，ＭＤ表示惯性矩矢量。
３动力学仿真
３－ＰＲＳ并联机构参数取ｒ＝０．１ｒｌｌ，Ｌ＝０．３ＩＴＩ，Ｒ一０．１５２ｍ，初始条件取以＝０，以一０，Ｚ。＝Ｏ．５ｍ。在
ｏ／ｓ），无外力作用下按照如下条件进行仿真：动力学仿真条件分别为：①动平台绕Ｘ轴做％一２０・ｓｉｎｔ
绕ｙ轴做ｏ）ｙ一－－－０（。／ｓ），Ｖｚ＝
０（ｍ／ｓ）的运动；②动平台绕
Ｘ轴做％＝０
做倒，＝２０ｓｉｎｔｏ／ｓ），绕ｙ轴ｏ／ｓ），Ｖｚ＝０
（ｍ／ｓ）的运动。①和②条件
下的仿真结果分别如图３中
（ａ）和（ｂ）所示。
从图３中可以看出，动
平台仅绕Ｘ轴转动时，第一
分支驱动力波动最大，第二
分支波动较大，第三分支波
动最小。动平台仅绕ｙ轴转
符，因此也反证了动力学建模的正确性。
４Ｆｉｇ．３ｔ／ｓ（ａ）条件①的仿真结果图３３－ＰＲＳ并联机器人动力学仿真Ｄｙｎａｍｉｃｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅ３－ＰＲＳｐａｒａｌｌｅｌｒｏｂｏｔ动时，第一分支驱动力波动最大，第二分支和第三分支波动相同。这与３－ＰＲＳ并联机器人的构造特性相结 语
并联机构的速度、刚度以及精度有望达到串联机构的数倍，但是在目前，仅在速度方面达到了人们的期望，其中一个主要原因就是并联机器人中存在大量的被动关节，本文分析了被动关节的静态受力状况，对高刚度被动关节的设计具有重要参考价值。应用拉格朗日方法结合３－ＰＲＳ并联机器人的一、二阶影响系数对其进行了动力学建模，仿真结果表明了该模型的正确性，可为３一ＰＲＳ并联机器人研究奠定进一步的理论基础。
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万方数据
3-PRS并联机器人的力学分析
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：程祥， 黄玉美， 高峰， CHENG Xiang， HUANG Yu-mei， GAO Feng西安理工大学,机械与精密仪器工程学院,陕西,西安,710048西安理工大学学报JOURNAL OF XI'AN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY2005,21(3)1次
参考文献(7条)
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