23. 多边形的边与角
解读课标
大街上的行人道，装修一新的居家，在许多地方，我们可以看到各种形状（呈多边形）的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面.
一般地，由n 条不在同一直线上的首尾顺次连接组成的平面图形称为n 边形，又称多边形.
边、角、对角线是多边形中最基本的概念.
多边形的许多性质常可以用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转化为三角形问题来解决的基本策略.
多边形的内角和性质反映出一定的规律性：(n -2)⨯180︒随n 的变化而变化，而多边形的外角和性质反映出更本质的规律：外角和是360°的一个常数. 把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形相关问题的常用技巧.
问题解决
例1 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =.
（河南省竞赛题）
例1图例4图
试一试运用三角形外角的性质，或连线运用对顶角三角形的性质，把分散的角加以集中.
例2 凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是（） A.4 B.5 C.6 D.7
试一试把凸多边形内角问题转化为外角问题.
例3 凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n 的值.
试一试设除去的角为x ︒，可建立关于x ，n 的不定方程；又0︒
.
例4 如图四边形ABCD 中，已知AB ∥CD , AD ∥BC , AE ⊥BC 于E , AF ⊥CD 于F ，求证：
∠BAD +∠EAF =180︒.
试一试从四边形AECF 内角和入手.
例5 （1）如图①，任意画一个五角星，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数. （2）如图②，用“一笔画”方法画成的七角形，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G 度数.
（3）如图③，用“一笔画”方法画成的2n +1角形（n ≥2），且B 1B 2 B 2n B 2n +1是凸2n +1边形，求∠A 1+∠A 2+∠A 3+ +∠A 2n +∠A 2n +1度数.
等角六边形
法国著名数学家傅里叶曾说：“对自然界的深刻研究是数学发现的最丰富的源泉.”蜂房结构、飞舞雪花肥皂泡的聚接等，六边形备受自然界的青睐.
例6定义：六个内角相等的六边形叫等角六边形. （1）研究性质
①如图1，等角六边形ABCDEF 中，三组正对边AB 与DE ，BC 与EF ，CD 与AF 分别有什么位置关系？证明你的结论.
②如图2，等角六边形ABCDEF 中，如果有AB=DE，则其余两组正对边BC 与EF ，CD 与AF 相等吗？证明你的结论.
③如图3，等角六边形ABCDEF 中，如果三条正对角线AD ，BE ，CF 相交于一点O ，那么三组正对边AB 与DE ，BC 与EF ，CD 与AF 分别有什么数量关系？证明你的结论.
（2）探索判定
三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为120°，才能保证六边形一定是等角六边形？
数学冲浪
知识技能广场
1. 平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，
如图，则∠3+∠1-∠2=_____度.
（2015年河北省中考题）
2. 一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510︒，则这个多边形对角线的条数是.
（2015年山东省莱芜市中考题）
1题 3题4题 3. 如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=度.
4. 用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1. 用n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n
的值为（
）
（河北省中考题）
5题6题 7题
5. 将五边形纸片ABCDE 按如图方式折叠，折痕为AF ，点E. D 分别落在E ′、D ′，已知
∠AFC =76︒，则∠CFD ′等于( )
A.31° B.28° C.24° D.22°
（湖北省武汉市中考题）
6. 如图，在四边形ABCD 中，∠A +∠D =α，∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P ，则
∠P 的度数为( )
（四川省达州市中考题）
应用探究乐园
21.
在平面直角坐标系中，若点P (x ，y ) 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L. 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1, N ＝0, L ＝4. (1) 求出图中格点四边形DEFG 对应的S , N , L 的值；
(2) 已知格点多边形的面积可表示为S ＝N ＋aL ＋b ，其中a ，b 为常数. 若某格点多边形对应的N ＝82, L ＝38，求S 的值.
（四川省宜宾市中考题）
22. 如图是一个多边形，求∠A 1+∠A 2+∠A 3+ +∠A 23+∠A 24的度数.
（世界数学团体锦标赛试题）
23. 多边形的边与角
解读课标
大街上的行人道，装修一新的居家，在许多地方，我们可以看到各种形状（呈多边形）的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面.
一般地，由n 条不在同一直线上的首尾顺次连接组成的平面图形称为n 边形，又称多边形.
边、角、对角线是多边形中最基本的概念.
多边形的许多性质常可以用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转化为三角形问题来解决的基本策略.
多边形的内角和性质反映出一定的规律性：(n -2)⨯180︒随n 的变化而变化，而多边形的外角和性质反映出更本质的规律：外角和是360°的一个常数. 把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形相关问题的常用技巧.
问题解决
例1 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =.
（河南省竞赛题）
例1图例4图
试一试运用三角形外角的性质，或连线运用对顶角三角形的性质，把分散的角加以集中.
例2 凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是（） A.4 B.5 C.6 D.7
试一试把凸多边形内角问题转化为外角问题.
例3 凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n 的值.
试一试设除去的角为x ︒，可建立关于x ，n 的不定方程；又0︒
.
例4 如图四边形ABCD 中，已知AB ∥CD , AD ∥BC , AE ⊥BC 于E , AF ⊥CD 于F ，求证：
∠BAD +∠EAF =180︒.
试一试从四边形AECF 内角和入手.
例5 （1）如图①，任意画一个五角星，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数. （2）如图②，用“一笔画”方法画成的七角形，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G 度数.
（3）如图③，用“一笔画”方法画成的2n +1角形（n ≥2），且B 1B 2 B 2n B 2n +1是凸2n +1边形，求∠A 1+∠A 2+∠A 3+ +∠A 2n +∠A 2n +1度数.
等角六边形
法国著名数学家傅里叶曾说：“对自然界的深刻研究是数学发现的最丰富的源泉.”蜂房结构、飞舞雪花肥皂泡的聚接等，六边形备受自然界的青睐.
例6定义：六个内角相等的六边形叫等角六边形. （1）研究性质
①如图1，等角六边形ABCDEF 中，三组正对边AB 与DE ，BC 与EF ，CD 与AF 分别有什么位置关系？证明你的结论.
②如图2，等角六边形ABCDEF 中，如果有AB=DE，则其余两组正对边BC 与EF ，CD 与AF 相等吗？证明你的结论.
③如图3，等角六边形ABCDEF 中，如果三条正对角线AD ，BE ，CF 相交于一点O ，那么三组正对边AB 与DE ，BC 与EF ，CD 与AF 分别有什么数量关系？证明你的结论.
（2）探索判定
三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为120°，才能保证六边形一定是等角六边形？
数学冲浪
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1. 平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，
如图，则∠3+∠1-∠2=_____度.
（2015年河北省中考题）
2. 一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510︒，则这个多边形对角线的条数是.
（2015年山东省莱芜市中考题）
1题 3题4题 3. 如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=度.
4. 用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1. 用n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n
的值为（
）
（河北省中考题）
5题6题 7题
5. 将五边形纸片ABCDE 按如图方式折叠，折痕为AF ，点E. D 分别落在E ′、D ′，已知
∠AFC =76︒，则∠CFD ′等于( )
A.31° B.28° C.24° D.22°
（湖北省武汉市中考题）
6. 如图，在四边形ABCD 中，∠A +∠D =α，∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P ，则
∠P 的度数为( )
（四川省达州市中考题）
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21.
在平面直角坐标系中，若点P (x ，y ) 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L. 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1, N ＝0, L ＝4. (1) 求出图中格点四边形DEFG 对应的S , N , L 的值；
(2) 已知格点多边形的面积可表示为S ＝N ＋aL ＋b ，其中a ，b 为常数. 若某格点多边形对应的N ＝82, L ＝38，求S 的值.
（四川省宜宾市中考题）
22. 如图是一个多边形，求∠A 1+∠A 2+∠A 3+ +∠A 23+∠A 24的度数.
（世界数学团体锦标赛试题）