第二章 有理数及其运算
第8讲 有理数的除法
1．有理数的除法法则1
(1)除法法则10除以任何不为0的数都得0.
①注意：0不能作除数；②除法法则1与有理数的乘法法则相类似，都是先确定运算结果的符号，再确定绝对值．
(2)两个有理数相除的步骤
【例1】 下面的计算中，正确的有( ) ． ①(－800)÷(－20) ＝－(800÷20) ＝－40； ②0÷(－2 013)＝0；
③(＋18)÷(－6) ＝＋(18÷6) ＝3； ④(－0.72)÷0.9＝－(0.72÷0.9) ＝－0.8. A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．②④
2．有理数的除法法则2
1除法法则2a ÷b ＝a b ≠0) ．
b 谈重点 除法法则2的应用
①②本法则是将除法转化为乘法，与有理数的减法类似，体现了转化的数学思想；③本法则适合不能整除或除数是分数的情况．
对于有理数的除法运算，怎样选择法则呢？
在进行有理数除法时，应合理选择法则，在能整除的情况下，应选用法则1. 在不能整除或除数是分数(包括小数) 时，应选用法则2.
【例2】 计算： 128⎛
－1⎫； －⎫÷(1)⎛⎝29⎭⎝29⎭(2)(－1)÷(－2.25) ．
3．求一个数的倒数
(1)(2)具体情况与求法：
11
①一个非0整数a 的倒数为5a 523
把分数的分子和分母颠倒位置即可，如－. 3211316
数化为假分数，再求其倒数，如－＝－，－2. 666131
先把小数化为分数，再求倒数，如0.25＝，0.25的倒数就是
4.
4
【例3】 求下列各数的倒数： 7
－2 013，－0.36.
8
4．有理数的乘除混合运算
(1)进行有理数乘除混合运算时符号的确定
当一个算式中出现几个有理数连乘连除时，一般先确定最后结果的符号．其方法是： 当负因数的个数为奇数时，计算结果为负数；当负因数的个数为偶数时，计算结果为正数．
(2)有理数乘除法运算的顺序： ①从左到右依次进行． ②有括号的要先算括号里面的． 释疑点 有理数的乘除混合运算注意事项
①有理数的乘法与除法是同级运算，因此要从左到右依次进行；②进行乘除法运算时，先确定结果的符号，再根据乘、除法的法则进行计算可简化计算过程．
【例4－1】 用“”或“＝”填空： 1⎛1⎛1－÷－__________0； (1)⎛－7÷48
⎝⎝⎝(2)(－0.2)÷4×(－1.7)__________0； (3)0÷(－3)÷(－8)__________0.
1⎛2⎛1－2÷－； 【例4－2】 计算：(1)3÷
3⎝3⎝437
(2)(－×⎛4.
8⎝
5. 有理数的加减乘除混合运算
(1) (2)常规解法：按照上面的运算顺序进行计算． (3)特殊解法：
①有些运算用运算律或逆用运算律改变运算顺序能简化运算，较为简便． ②利用规律转化运算，如分数乘法与除法的转化．
③倒数求法：交换被除数和除数的位置，求出商，再求商的倒数即为原式的结果．
1111⎛1⎫⎛1－÷－. 【例5】 计算：⎛5－3⎫×⎛45⎫÷203
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
6．除法与绝对值的综合应用
根据条件进行含有绝对值的除法计算或化简，是这类题目的常见形式． 方法与步骤：
①根据条件确定有关的字母或含有字母的式子的值或取值范围； ②根据条件化简绝对值； ③按照运算的顺序进行计算．
x |y |
【例6】 若有理数x ，y 满足xy ≠0，则m ＝＋的最大值是__________．
|x |y
7. 乘法对加法的分配律在除法中的应用
乘法对加法的分配律可以在除法中运用，常见的有以下两种情形： (1) 方法：
①先把除法转化为乘法；
②根据乘法对加法的分配律：a ×(b ＋c ) ＝a ×b ＋a ×c 进行计算． (2) 方法：
①先交换被除数与除数的位置，即把形如a ÷b 的算式先写成b ÷a ； ③求出商的倒数，即为原式的结果． 辨误区 除法没有分配律
除法是没有分配律的，若要在进行除法运算时运用分配律，必须将除法转化为乘法，再根据乘法对加法的分配律解题．
11111【例7－1】 计算：⎛⎝3－491236.
【例7－2】 阅读下列材料，并回答问题．
⎛111⎫. 计算：50÷
⎝4312⎭
111
解：(方法1) 原式＝4312＝50×4－50×3－50×12＝－550.
⎛34－1 (方法2) 原式＝50÷
⎝121212⎛－2⎫＝50×(－6) ＝－300. ＝50÷⎝12⎭
111⎛11－1×1＝1×1－1×1－1×1＝－÷(方法3) 原式的倒数为⎛50＝⎝4312⎝[**************]01
300. 300
上面的3种方法，哪几种是正确的？
1. 下列说法中正确的是( )
A ．零除以任何数都等于零 B ．两数相除等于把它们颠倒相乘
C ．一个不等于零的有理数除以它的相反数等于－1 D ．商一定小于被除数
2．下列说法正确的是( )
A ．倒数是本身的数只有1 B ．有理数b C ．任何数除以0仍得0 D ．0乘以任何数，其积为0
b
3．如果a ，b 为有理数，且＝0，那么一定有( )
a
1b
A ．a ＝0 C ．a ＝b ＝0
B ．b ＝0且a≠0 D ．a ＝0且b ＝0
4．若在数轴上表示两个有理数的点分别在原点的两侧，则这两个数的商是( )
A ．正数 B ．负数 C ．零
D ．可能是正数也可能是负数
11
5．计算－1的值为( )
33
A ．－1C 427
13
B ． D .
427
13
6．一个数与－0.5的积是1，则这个数是________． 1x
7．已知|x|＝4，|y|xy ＜0，则的值等于______．
2y
b ＋c
8．已知有理数a ，b ，c 在数轴上所对应的点如图所示，则a
1
9．在等式[(－7.3) － ]÷(－5＝0中， 表示的数是________．
711
10．计算(－3)×的结果为________．
3311．计算：
733
×(－)÷(－) ； 8148131(2)
672
2379
(3)0.8×＋4.8×(－) ；
117311111
(4)－1．
224
12．(探究题) 下列计算过程对不对，若有错误，请指出原因． 111
－) ．
453
111
小明的解答：原式＝60÷＋60÷
453＝60×4－60×5＋60×3 ＝240－300＋180＝120；
151220
小强的解答：原式＝60÷(－)
[1**********] 600＝60÷.
602323
(2015·安徽) －2的倒数是( )
A C ．2
12
B . D ．－2
12
第二章 有理数及其运算
第8讲 有理数的除法
1．有理数的除法法则1
(1)除法法则10除以任何不为0的数都得0.
①注意：0不能作除数；②除法法则1与有理数的乘法法则相类似，都是先确定运算结果的符号，再确定绝对值．
(2)两个有理数相除的步骤
【例1】 下面的计算中，正确的有( ) ． ①(－800)÷(－20) ＝－(800÷20) ＝－40； ②0÷(－2 013)＝0；
③(＋18)÷(－6) ＝＋(18÷6) ＝3； ④(－0.72)÷0.9＝－(0.72÷0.9) ＝－0.8. A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．②④
2．有理数的除法法则2
1除法法则2a ÷b ＝a b ≠0) ．
b 谈重点 除法法则2的应用
①②本法则是将除法转化为乘法，与有理数的减法类似，体现了转化的数学思想；③本法则适合不能整除或除数是分数的情况．
对于有理数的除法运算，怎样选择法则呢？
在进行有理数除法时，应合理选择法则，在能整除的情况下，应选用法则1. 在不能整除或除数是分数(包括小数) 时，应选用法则2.
【例2】 计算： 128⎛
－1⎫； －⎫÷(1)⎛⎝29⎭⎝29⎭(2)(－1)÷(－2.25) ．
3．求一个数的倒数
(1)(2)具体情况与求法：
11
①一个非0整数a 的倒数为5a 523
把分数的分子和分母颠倒位置即可，如－. 3211316
数化为假分数，再求其倒数，如－＝－，－2. 666131
先把小数化为分数，再求倒数，如0.25＝，0.25的倒数就是
4.
4
【例3】 求下列各数的倒数： 7
－2 013，－0.36.
8
4．有理数的乘除混合运算
(1)进行有理数乘除混合运算时符号的确定
当一个算式中出现几个有理数连乘连除时，一般先确定最后结果的符号．其方法是： 当负因数的个数为奇数时，计算结果为负数；当负因数的个数为偶数时，计算结果为正数．
(2)有理数乘除法运算的顺序： ①从左到右依次进行． ②有括号的要先算括号里面的． 释疑点 有理数的乘除混合运算注意事项
①有理数的乘法与除法是同级运算，因此要从左到右依次进行；②进行乘除法运算时，先确定结果的符号，再根据乘、除法的法则进行计算可简化计算过程．
【例4－1】 用“”或“＝”填空： 1⎛1⎛1－÷－__________0； (1)⎛－7÷48
⎝⎝⎝(2)(－0.2)÷4×(－1.7)__________0； (3)0÷(－3)÷(－8)__________0.
1⎛2⎛1－2÷－； 【例4－2】 计算：(1)3÷
3⎝3⎝437
(2)(－×⎛4.
8⎝
5. 有理数的加减乘除混合运算
(1) (2)常规解法：按照上面的运算顺序进行计算． (3)特殊解法：
①有些运算用运算律或逆用运算律改变运算顺序能简化运算，较为简便． ②利用规律转化运算，如分数乘法与除法的转化．
③倒数求法：交换被除数和除数的位置，求出商，再求商的倒数即为原式的结果．
1111⎛1⎫⎛1－÷－. 【例5】 计算：⎛5－3⎫×⎛45⎫÷203
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
6．除法与绝对值的综合应用
根据条件进行含有绝对值的除法计算或化简，是这类题目的常见形式． 方法与步骤：
①根据条件确定有关的字母或含有字母的式子的值或取值范围； ②根据条件化简绝对值； ③按照运算的顺序进行计算．
x |y |
【例6】 若有理数x ，y 满足xy ≠0，则m ＝＋的最大值是__________．
|x |y
7. 乘法对加法的分配律在除法中的应用
乘法对加法的分配律可以在除法中运用，常见的有以下两种情形： (1) 方法：
①先把除法转化为乘法；
②根据乘法对加法的分配律：a ×(b ＋c ) ＝a ×b ＋a ×c 进行计算． (2) 方法：
①先交换被除数与除数的位置，即把形如a ÷b 的算式先写成b ÷a ； ③求出商的倒数，即为原式的结果． 辨误区 除法没有分配律
除法是没有分配律的，若要在进行除法运算时运用分配律，必须将除法转化为乘法，再根据乘法对加法的分配律解题．
11111【例7－1】 计算：⎛⎝3－491236.
【例7－2】 阅读下列材料，并回答问题．
⎛111⎫. 计算：50÷
⎝4312⎭
111
解：(方法1) 原式＝4312＝50×4－50×3－50×12＝－550.
⎛34－1 (方法2) 原式＝50÷
⎝121212⎛－2⎫＝50×(－6) ＝－300. ＝50÷⎝12⎭
111⎛11－1×1＝1×1－1×1－1×1＝－÷(方法3) 原式的倒数为⎛50＝⎝4312⎝[**************]01
300. 300
上面的3种方法，哪几种是正确的？
1. 下列说法中正确的是( )
A ．零除以任何数都等于零 B ．两数相除等于把它们颠倒相乘
C ．一个不等于零的有理数除以它的相反数等于－1 D ．商一定小于被除数
2．下列说法正确的是( )
A ．倒数是本身的数只有1 B ．有理数b C ．任何数除以0仍得0 D ．0乘以任何数，其积为0
b
3．如果a ，b 为有理数，且＝0，那么一定有( )
a
1b
A ．a ＝0 C ．a ＝b ＝0
B ．b ＝0且a≠0 D ．a ＝0且b ＝0
4．若在数轴上表示两个有理数的点分别在原点的两侧，则这两个数的商是( )
A ．正数 B ．负数 C ．零
D ．可能是正数也可能是负数
11
5．计算－1的值为( )
33
A ．－1C 427
13
B ． D .
427
13
6．一个数与－0.5的积是1，则这个数是________． 1x
7．已知|x|＝4，|y|xy ＜0，则的值等于______．
2y
b ＋c
8．已知有理数a ，b ，c 在数轴上所对应的点如图所示，则a
1
9．在等式[(－7.3) － ]÷(－5＝0中， 表示的数是________．
711
10．计算(－3)×的结果为________．
3311．计算：
733
×(－)÷(－) ； 8148131(2)
672
2379
(3)0.8×＋4.8×(－) ；
117311111
(4)－1．
224
12．(探究题) 下列计算过程对不对，若有错误，请指出原因． 111
－) ．
453
111
小明的解答：原式＝60÷＋60÷
453＝60×4－60×5＋60×3 ＝240－300＋180＝120；
151220
小强的解答：原式＝60÷(－)
[1**********] 600＝60÷.
602323
(2015·安徽) －2的倒数是( )
A C ．2
12
B . D ．－2
12