2013年全国研究生考试数学试题及答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

（1）当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A）xo(x)o(x) （B）o(x)o(x)o(x) （C）o(x)o(x)o(x) （D）o(x)o(x)o(x)

2

2

2

2

2

2

3

23

|x|x1（2）函数f(x)的可去间断点的个数为（ ）

x(x1)ln|x|

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

（3）设Dk是圆域D{(x,y)|xy1}位于第k象限的部分，记

2

2

Ik(yx)dxdyk1,2,3,4，则（ ）

Dk

（A）I10 （B）I20 （C）I30 （D）I40

（4）设{an}为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A）若anan1,则



(1)

n1



n1

an收敛

（B）若

(1)

n1

n1

an收敛，则anan1



（C）若

a

n1

n

收敛，则存在常数P1,使limnan存在

n

P

（D）若存在常数P1，使limnan存在，则

n

P

a

n1



n

收敛

（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC,则B可逆，则 （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价

1a1200

（6）矩阵aba与0b0相似的充分必要条件为

1a1000

（A）a0,b2 （B）a0,b为任意常数 （C）a2,b0

（D）a2,b为任意常数

（7）设X1，X2，X3是随机变量，且X1~N(0,1)，X2~N(0,2），X3~N(5,3),

2

2

PjP{2Xj2}(j1,2,3),则（ ）

（A）P1P2P3 （B）P2P1P3 （C）P3P1P2 （D）P1P3P2

（8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，

则P{XY2} ( )

1 121（B）

81（C）

61（D）

2

（A）

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）设曲线yf(x)和yxx在点(0,1)处有公共的切线，则

2

nlimnf________。 nn2

（10）设函数zz(x,y)由方程(zy)xy确定，则（11）求

x

z

x

(1,2)

________。





1

lnx

________。

(1x)2

（12）微分方程yy

1

y0通解为y________。 4

（13）设A(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若

aijAij0(i,j1,2,3),则A____

（14）设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe

2X

)= ________。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。 （16）（本题满分10分）

设D是由曲线yx，直线xa(a0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy10Vx，求a的值。 （17）（本题满分10分）

设平面内区域D由直线x3y,y3x及xy8围成.计算（18）（本题满分10分）

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：

1

3

n

xdxdy。

D

2

Q

，（P1000

（1）该商品的边际利润。

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。 （19）（本题满分10分）

设函数f(x)在[0,]上可导，f(0)0且limf(x)2，证明

x

（1）存在a0，使得f(a)1

（2）对（1）中的a，存在(0,a),使得f'()（20）（本题满分11分）

1

. a

1a01设A,B，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有

101b

矩阵C。

（21）（本题满分11分） 设

二

次

型

fx1,x2,x32a1x1a2x2a3x3b1x1b2x2b3x3

22

，记

a1b1



a,2b2。

ab33

（I）证明二次型f对应的矩阵为2；

（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型

2

。 2y12y2

TT

（22）（本题满分11分）

3x2,0x1,

设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为fXx

其他.，在给定0,Xx0x1的条件下，Y的条件概率密度fYX

（1） 求X,Y的概率密度fx,y； （2） Y的边缘概率密度fYy. （23）（本题满分11分）

3y2

,0yx,

yxx3

0,其他.

2

3ex,x0,

设总体X的概率密度为fxx其中为未知参数且大于零，

0,其它.

X1,X2，XN为来自总体X的简单随机样本.

（1）求的矩估计量；

（2）求的最大似然估计量.

2013年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

（1）当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A）xo(x)o(x) （B）o(x)o(x)o(x) （C）o(x)o(x)o(x) （D）o(x)o(x)o(x) 【答案】D

【解析】o(x)o(x)o(x)，故D错误。

22

2

2

2

2

2

3

23

|x|x1（2）函数f(x)的可去间断点的个数为（ ）

x(x1)ln|x|

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】C

【解析】由题意可知f(x)的间断点为0,1。又

xx1exlnx1xlnx

limf(x)limlimlim1 x0x0x(x1)lnxx0x(x1)lnxx0x(x1)lnx(x)x1exln(x)1xln(x)limf(x)limlimlim1 x0x0x(x1)ln(x)x0x(x1)ln(x)x0x(x1)ln(x)xx1exlnx1xlnx1limf(x)limlimlim x1x1x(x1)lnxx1x(x1)lnxx1x(x1)lnx2

(x)x1exln(x)1xln(x)

limf(x)limlimlim x1x1x(x1)ln(x)x1x(x1)ln(x)x1x(x1)ln(x)

故f(x)的可去间断点有2个。

（3）设Dk是圆域D{(x,y)|xy1}位于第k象限的部分，记

2

2

Ik(yx)dxdyk1,2,3,4，则（ ）

Dk

（A）I10 （B）I20 （C）I30 （D）I40 【答案】B

【解析】令xrcos,yrsin，则有

Ik

(yx)

Dk

dxdy

1

rdr(sirn





1

cros)3



(cos sin)



故当k2时，



2

,，此时有I2

2

0.故正确答案选B。 3

（4）设{an}为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A）若anan1,则



(1)

n1



n1

an收敛

（B）若

(1)

n1

n1

an收敛，则anan1

（C）若

a

n1



n

收敛，则存在常数P1,使limnan存在

n

P

（D）若存在常数P1，使limnan存在，则

n

P

a

n1



n

收敛

【答案】D



1P

imnan存在，【解析】根据正项级数的比较判别法，当P1时，p，且l则ann

n1nn1





1

与p同敛散，故an收敛. n1nn1



（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC，且C可逆，则（ ） （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】（B）

【解析】由CAB可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有

ACB1，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义

可知正确选项为（B）。

1a1200



（6）矩阵aba与0b0相似的充分必要条件为

1a1000



（A）a0,b2 （B）a0,b为任意常数 （C）a2,b0

（D）a2,b为任意常数 【答案】(B)

1a11a1



【解析】由于aba为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而aba与

1a11a11a1200



aba0b0相似的充分必要条件为的特征值为2,b,0。 

1a1000



1

又EAa

a1

a[(b)(2)2a2]，从而a0,b为任意常数。

b

a

11

2

2

（7）设X1，X2，X3是随机变量，且X1~N(0,1)，X2~N(0,2），X3~N(5,3),

PjP{2Xj2}(j1,2,3),则（ ）

（A）P1P2P3

（B）P2P1P3 （C）P3P1P2 （D）P1P3P2 【答案】（A）

【解析】由X1N0,1,X2N0,2



2

,X

3

N5,32知，

p1P2X12PX12221，

p2P2X22PX22211，故p1p2.

由根据X3N5,3



2

及概率密度的对称性知，p

1

p2p3，故选（A）

（8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，

则P{XY2} ( )

1

121（B）

81（C）

61（D）

2

（A）【答案】（C）

【解析】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y1，又根据题意X,Y独立，故

PXY2PX1PY1PX2PY0PX3PY1

选（C）.

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

1

，6

（9）设曲线yf(x)和yxx在点(0,1)处有公共的切线，则

2

nlimnf________。 n

n2

【答案】2

【解析】yxx在(1,0)处的导数是y'(1)1，故f'(1)1,f(1)0，

2

2

)f(1)

n2nlimnf()limf'(1)(2)2 nn2n2n2

n2

zx

（10）设函数zz(x,y)由方程(zy)xy确定，则(1,2)________。

x

【答案】22ln2

f(1

【解析】原式为e

xln(zy)

xy,左右两边求导得：xy[ln(zy)x

zx

y,令x1,y2 zy

得z0,zx2(1ln2) （11）求





1

lnx

________。 2

(1x)

【答案】ln2 【解析】

lnx1lnx1lnxx

dxlnxd(+dx+ln(1x)21x1xx(1x)1x1x





1

lnxxlnxxlnx

lim+ln+lnln2 2x(1x)1x1x1xx11x

（12）微分方程yy【答案】e

1x2

1

y0通解为y________。 4

C1xC2

2

1x11

【解析】特征方程为0,(二重根)，所以通解为ye2C1xC2

42

（13）设A(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若

aijAij0(i,j1,2,3),则A____

【答案】1

【解析】

由aijAij0可知，ATA*

Aai1Ai1ai2Ai2ai3Ai3a1jA1ja2jA2ja3jA3j

2

aaij0

2

ijj1

i1

3

3

2

从而有AATA*A,故A=-1.

2X

（14）设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe)= ________。 【答案】2e

【解析】由XN0,1及随机变量函数的期望公式知

2

E

Xe

2X







xe

2x

x2dx2





xe

1

x2242

dx2e2.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。 【解析】因为当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小 所以lim

n

n

1cosxcos2xcos3x

1

x0axn

又因为：

1cosxcos2xcos3x

1cosxcosxcosxcos2xcosxcos2xcosxcos2xcos3x 1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)

即

lim

1cosxcos2xcos3x1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)

limnnx0x0axax

1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)

lim(nnnx0axaxax

1211

xo(x2)(2x)2o(x2)(3x)2o(x2)

lim()nnx0axaxaxn

所以n2 且

149

1a7 2a2a2a

（16）（本题满分10分）

13

设D是由曲线yx，直线xa(a0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy10Vx，求a的值。 【解析】由题意可得：

35

Vx(x)dxa3

05

a

1

32

Vy2

a

67

xxdxa3

7

13

5

673

因为：Vy10Vx

所以a310a3a75

（17）（本题满分10分）

设平面内区域D由直线x3y,y3x及xy8围成.计算【解析】

2

2

xdxdy。 D

222

xdxdyxdxdyxdxdy D

D1

D2

xdxxdyxdxxdy

3

2

3

2

3x6

2

8x



416 3

Q

，（P1000

（18）（本题满分10分）

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。

Q2

6000 【解析】（I）设利润为l，则lPQ(20Q6000)40Q

1000

边际利润l'40

Q 500

（II）当P50时，边际利润为20，

经济意义为：当P50时，销量每增加一个，利润增加20 (III)令l'0,得Q20000，此时P60（19）（本题满分10分）

设函数f(x)在[0,]上可导，f(0)0且limf(x)2，证明

x

Q

40 1000

（1）存在a0，使得f(a)1

（2）对（1）中的a，存在(0,a),使得f'()

1. a

3， 2

【答案】（I）证明：limf(x)2,X,当xX时，有f(x)

x

f(x)在[0,X]上连续，根据连续函数介值定理，存在a0,X，使得f(a)1

（II）f(x)在[0,a]上连续且可导，根据拉格朗日中值定理，

f(a)f(0)f'()a1,(0,a)，

故(0,a)，使得f'()（20）（本题满分11分） 设A

1

a

1a01

,B，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有

101b

矩阵C。

【解析】

x1

由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设C

x3x2

则由ACCAB可得线性方程组： ，x4

x2ax30axxax1124

 （1）

x1x3x41x2ax3b01a001011

a10a1a10a1011101a0

01a0b01a0

11011

01a01a

00001a0000b1a

110111

101a01a01a000b01a0b

由于方程组（1）有解，故有1a0,b1a0，即a1,b0,从而有

01a0



a10a1011

01a0011010b00111x1k1k21

xk110021，故有,其中k1、k2任意.

0000xk31

0000x4k2

从而有Ck1k21k1k

1k2

（21）（本题满分11分） 设

二

次

型

fx21,x2,x32a1x1a2x2a3x3b1x1b2x2b3x3

2

，记

a1b1

a

2,b2a3b。

3

（I）证明二次型f对应的矩阵为2TT

；

（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型

2y22

1y2

。 【答案】(1) f(2a222222222

1b1)x1(2a2b2)x2(2a3b3)x3(4a1a2

2b1b(4a

2)x1x2

1a3b1b3)x1x3(4a2a32b2b

)3x2x32a21b2

12a1a2b1b2

2a1a3b1b3

a21a1a2

a1a2

3b1b1b2则f的矩阵为

2a1a2b1b2

2a222b2

2aab

23b232a1a2

a2

2

a2a3b1b2

b222a1a3b1b32a2a3b2b3

2a23b23

a1a3a2a3

a23

b1b3

b2b3

2TT

（2）令A=2T

T

,则A2T

T

2,A2T

T

，则1,2均为A的特征值，又由于r(A)r(2TT)r(T)r(T

)2，故0为A的特征值，则三阶矩阵A的特征值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为2y2

2

1y2 （22）（本题满分11分）

设X,Y

3x2,0x1,

是二维随机变量，X的边缘概率密度为fXx0,其他.，在给定Xx0x1的条件下，Y的条件概率密度fYX

yx3y2

3,0yx,x



0,其他.（3） 求X,Y的概率密度fx,y； （4） Y的边缘概率密度fYy.

b1b3

bb23b23

【答案】（1）fx,yfYX

9y2

,0x1,0yx,

yxfx Xx

0,其他.

（2）fYy







9y2lny,0y1,

fx,ydx

0,其他.

（23）（本题满分11分）

2

3ex,x0,

设总体X的概率密度为fxx其中为未知参数且大于零，

0,其它.

X1,X2，XN为来自总体X的简单随机样本.

（1）求的矩估计量；

（2）求的最大似然估计量. 【答案】(1)EX







xf(x)dx



x

2

edxexd(，令EX，故30xx

x











矩估计量为.

n2

xn

3ei

(2)L()f(xi;)i1xi

i1

0

当xi0时，

2nn1

xi03exi

i1xi

其他0

xi0其他

lnL()2nln3lnxi

i1

i1

nn

1 xi

dlnL()2nn1

0， 令

di1xi



2n2n

得n，所以得极大似然估计量=n.

11i1xii1xi

2013年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

（1）当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A）xo(x)o(x) （B）o(x)o(x)o(x) （C）o(x)o(x)o(x) （D）o(x)o(x)o(x)

2

2

2

2

2

2

3

23

|x|x1（2）函数f(x)的可去间断点的个数为（ ）

x(x1)ln|x|

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

（3）设Dk是圆域D{(x,y)|xy1}位于第k象限的部分，记

2

2

Ik(yx)dxdyk1,2,3,4，则（ ）

Dk

（A）I10 （B）I20 （C）I30 （D）I40

（4）设{an}为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A）若anan1,则



(1)

n1



n1

an收敛

（B）若

(1)

n1

n1

an收敛，则anan1



（C）若

a

n1

n

收敛，则存在常数P1,使limnan存在

n

P

（D）若存在常数P1，使limnan存在，则

n

P

a

n1



n

收敛

（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC,则B可逆，则 （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价

1a1200

（6）矩阵aba与0b0相似的充分必要条件为

1a1000

（A）a0,b2 （B）a0,b为任意常数 （C）a2,b0

（D）a2,b为任意常数

（7）设X1，X2，X3是随机变量，且X1~N(0,1)，X2~N(0,2），X3~N(5,3),

2

2

PjP{2Xj2}(j1,2,3),则（ ）

（A）P1P2P3 （B）P2P1P3 （C）P3P1P2 （D）P1P3P2

（8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，

则P{XY2} ( )

1 121（B）

81（C）

61（D）

2

（A）

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）设曲线yf(x)和yxx在点(0,1)处有公共的切线，则

2

nlimnf________。 nn2

（10）设函数zz(x,y)由方程(zy)xy确定，则（11）求

x

z

x

(1,2)

________。





1

lnx

________。

(1x)2

（12）微分方程yy

1

y0通解为y________。 4

（13）设A(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若

aijAij0(i,j1,2,3),则A____

（14）设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe

2X

)= ________。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。 （16）（本题满分10分）

设D是由曲线yx，直线xa(a0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy10Vx，求a的值。 （17）（本题满分10分）

设平面内区域D由直线x3y,y3x及xy8围成.计算（18）（本题满分10分）

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：

1

3

n

xdxdy。

D

2

Q

，（P1000

（1）该商品的边际利润。

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。 （19）（本题满分10分）

设函数f(x)在[0,]上可导，f(0)0且limf(x)2，证明

x

（1）存在a0，使得f(a)1

（2）对（1）中的a，存在(0,a),使得f'()（20）（本题满分11分）

1

. a

1a01设A,B，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有

101b

矩阵C。

（21）（本题满分11分） 设

二

次

型

fx1,x2,x32a1x1a2x2a3x3b1x1b2x2b3x3

22

，记

a1b1



a,2b2。

ab33

（I）证明二次型f对应的矩阵为2；

（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型

2

。 2y12y2

TT

（22）（本题满分11分）

3x2,0x1,

设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为fXx

其他.，在给定0,Xx0x1的条件下，Y的条件概率密度fYX

（1） 求X,Y的概率密度fx,y； （2） Y的边缘概率密度fYy. （23）（本题满分11分）

3y2

,0yx,

yxx3

0,其他.

2

3ex,x0,

设总体X的概率密度为fxx其中为未知参数且大于零，

0,其它.

X1,X2，XN为来自总体X的简单随机样本.

（1）求的矩估计量；

（2）求的最大似然估计量.

2013年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

（1）当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A）xo(x)o(x) （B）o(x)o(x)o(x) （C）o(x)o(x)o(x) （D）o(x)o(x)o(x) 【答案】D

【解析】o(x)o(x)o(x)，故D错误。

22

2

2

2

2

2

3

23

|x|x1（2）函数f(x)的可去间断点的个数为（ ）

x(x1)ln|x|

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】C

【解析】由题意可知f(x)的间断点为0,1。又

xx1exlnx1xlnx

limf(x)limlimlim1 x0x0x(x1)lnxx0x(x1)lnxx0x(x1)lnx(x)x1exln(x)1xln(x)limf(x)limlimlim1 x0x0x(x1)ln(x)x0x(x1)ln(x)x0x(x1)ln(x)xx1exlnx1xlnx1limf(x)limlimlim x1x1x(x1)lnxx1x(x1)lnxx1x(x1)lnx2

(x)x1exln(x)1xln(x)

limf(x)limlimlim x1x1x(x1)ln(x)x1x(x1)ln(x)x1x(x1)ln(x)

故f(x)的可去间断点有2个。

（3）设Dk是圆域D{(x,y)|xy1}位于第k象限的部分，记

2

2

Ik(yx)dxdyk1,2,3,4，则（ ）

Dk

（A）I10 （B）I20 （C）I30 （D）I40 【答案】B

【解析】令xrcos,yrsin，则有

Ik

(yx)

Dk

dxdy

1

rdr(sirn





1

cros)3



(cos sin)



故当k2时，



2

,，此时有I2

2

0.故正确答案选B。 3

（4）设{an}为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A）若anan1,则



(1)

n1



n1

an收敛

（B）若

(1)

n1

n1

an收敛，则anan1

（C）若

a

n1



n

收敛，则存在常数P1,使limnan存在

n

P

（D）若存在常数P1，使limnan存在，则

n

P

a

n1



n

收敛

【答案】D



1P

imnan存在，【解析】根据正项级数的比较判别法，当P1时，p，且l则ann

n1nn1





1

与p同敛散，故an收敛. n1nn1



（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC，且C可逆，则（ ） （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】（B）

【解析】由CAB可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有

ACB1，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义

可知正确选项为（B）。

1a1200



（6）矩阵aba与0b0相似的充分必要条件为

1a1000



（A）a0,b2 （B）a0,b为任意常数 （C）a2,b0

（D）a2,b为任意常数 【答案】(B)

1a11a1



【解析】由于aba为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而aba与

1a11a11a1200



aba0b0相似的充分必要条件为的特征值为2,b,0。 

1a1000



1

又EAa

a1

a[(b)(2)2a2]，从而a0,b为任意常数。

b

a

11

2

2

（7）设X1，X2，X3是随机变量，且X1~N(0,1)，X2~N(0,2），X3~N(5,3),

PjP{2Xj2}(j1,2,3),则（ ）

（A）P1P2P3

（B）P2P1P3 （C）P3P1P2 （D）P1P3P2 【答案】（A）

【解析】由X1N0,1,X2N0,2



2

,X

3

N5,32知，

p1P2X12PX12221，

p2P2X22PX22211，故p1p2.

由根据X3N5,3



2

及概率密度的对称性知，p

1

p2p3，故选（A）

（8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，

则P{XY2} ( )

1

121（B）

81（C）

61（D）

2

（A）【答案】（C）

【解析】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y1，又根据题意X,Y独立，故

PXY2PX1PY1PX2PY0PX3PY1

选（C）.

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

1

，6

（9）设曲线yf(x)和yxx在点(0,1)处有公共的切线，则

2

nlimnf________。 n

n2

【答案】2

【解析】yxx在(1,0)处的导数是y'(1)1，故f'(1)1,f(1)0，

2

2

)f(1)

n2nlimnf()limf'(1)(2)2 nn2n2n2

n2

zx

（10）设函数zz(x,y)由方程(zy)xy确定，则(1,2)________。

x

【答案】22ln2

f(1

【解析】原式为e

xln(zy)

xy,左右两边求导得：xy[ln(zy)x

zx

y,令x1,y2 zy

得z0,zx2(1ln2) （11）求





1

lnx

________。 2

(1x)

【答案】ln2 【解析】

lnx1lnx1lnxx

dxlnxd(+dx+ln(1x)21x1xx(1x)1x1x





1

lnxxlnxxlnx

lim+ln+lnln2 2x(1x)1x1x1xx11x

（12）微分方程yy【答案】e

1x2

1

y0通解为y________。 4

C1xC2

2

1x11

【解析】特征方程为0,(二重根)，所以通解为ye2C1xC2

42

（13）设A(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若

aijAij0(i,j1,2,3),则A____

【答案】1

【解析】

由aijAij0可知，ATA*

Aai1Ai1ai2Ai2ai3Ai3a1jA1ja2jA2ja3jA3j

2

aaij0

2

ijj1

i1

3

3

2

从而有AATA*A,故A=-1.

2X

（14）设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe)= ________。 【答案】2e

【解析】由XN0,1及随机变量函数的期望公式知

2

E

Xe

2X







xe

2x

x2dx2





xe

1

x2242

dx2e2.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。 【解析】因为当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小 所以lim

n

n

1cosxcos2xcos3x

1

x0axn

又因为：

1cosxcos2xcos3x

1cosxcosxcosxcos2xcosxcos2xcosxcos2xcos3x 1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)

即

lim

1cosxcos2xcos3x1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)

limnnx0x0axax

1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)

lim(nnnx0axaxax

1211

xo(x2)(2x)2o(x2)(3x)2o(x2)

lim()nnx0axaxaxn

所以n2 且

149

1a7 2a2a2a

（16）（本题满分10分）

13

设D是由曲线yx，直线xa(a0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy10Vx，求a的值。 【解析】由题意可得：

35

Vx(x)dxa3

05

a

1

32

Vy2

a

67

xxdxa3

7

13

5

673

因为：Vy10Vx

所以a310a3a75

（17）（本题满分10分）

设平面内区域D由直线x3y,y3x及xy8围成.计算【解析】

2

2

xdxdy。 D

222

xdxdyxdxdyxdxdy D

D1

D2

xdxxdyxdxxdy

3

2

3

2

3x6

2

8x



416 3

Q

，（P1000

（18）（本题满分10分）

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。

Q2

6000 【解析】（I）设利润为l，则lPQ(20Q6000)40Q

1000

边际利润l'40

Q 500

（II）当P50时，边际利润为20，

经济意义为：当P50时，销量每增加一个，利润增加20 (III)令l'0,得Q20000，此时P60（19）（本题满分10分）

设函数f(x)在[0,]上可导，f(0)0且limf(x)2，证明

x

Q

40 1000

（1）存在a0，使得f(a)1

（2）对（1）中的a，存在(0,a),使得f'()

1. a

3， 2

【答案】（I）证明：limf(x)2,X,当xX时，有f(x)

x

f(x)在[0,X]上连续，根据连续函数介值定理，存在a0,X，使得f(a)1

（II）f(x)在[0,a]上连续且可导，根据拉格朗日中值定理，

f(a)f(0)f'()a1,(0,a)，

故(0,a)，使得f'()（20）（本题满分11分） 设A

1

a

1a01

,B，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有

101b

矩阵C。

【解析】

x1

由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设C

x3x2

则由ACCAB可得线性方程组： ，x4

x2ax30axxax1124

 （1）

x1x3x41x2ax3b01a001011

a10a1a10a1011101a0

01a0b01a0

11011

01a01a

00001a0000b1a

110111

101a01a01a000b01a0b

由于方程组（1）有解，故有1a0,b1a0，即a1,b0,从而有

01a0



a10a1011

01a0011010b00111x1k1k21

xk110021，故有,其中k1、k2任意.

0000xk31

0000x4k2

从而有Ck1k21k1k

1k2

（21）（本题满分11分） 设

二

次

型

fx21,x2,x32a1x1a2x2a3x3b1x1b2x2b3x3

2

，记

a1b1

a

2,b2a3b。

3

（I）证明二次型f对应的矩阵为2TT

；

（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型

2y22

1y2

。 【答案】(1) f(2a222222222

1b1)x1(2a2b2)x2(2a3b3)x3(4a1a2

2b1b(4a

2)x1x2

1a3b1b3)x1x3(4a2a32b2b

)3x2x32a21b2

12a1a2b1b2

2a1a3b1b3

a21a1a2

a1a2

3b1b1b2则f的矩阵为

2a1a2b1b2

2a222b2

2aab

23b232a1a2

a2

2

a2a3b1b2

b222a1a3b1b32a2a3b2b3

2a23b23

a1a3a2a3

a23

b1b3

b2b3

2TT

（2）令A=2T

T

,则A2T

T

2,A2T

T

，则1,2均为A的特征值，又由于r(A)r(2TT)r(T)r(T

)2，故0为A的特征值，则三阶矩阵A的特征值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为2y2

2

1y2 （22）（本题满分11分）

设X,Y

3x2,0x1,

是二维随机变量，X的边缘概率密度为fXx0,其他.，在给定Xx0x1的条件下，Y的条件概率密度fYX

yx3y2

3,0yx,x



0,其他.（3） 求X,Y的概率密度fx,y； （4） Y的边缘概率密度fYy.

b1b3

bb23b23

【答案】（1）fx,yfYX

9y2

,0x1,0yx,

yxfx Xx

0,其他.

（2）fYy







9y2lny,0y1,

fx,ydx

0,其他.

（23）（本题满分11分）

2

3ex,x0,

设总体X的概率密度为fxx其中为未知参数且大于零，

0,其它.

X1,X2，XN为来自总体X的简单随机样本.

（1）求的矩估计量；

（2）求的最大似然估计量. 【答案】(1)EX







xf(x)dx



x

2

edxexd(，令EX，故30xx

x











矩估计量为.

n2

xn

3ei

(2)L()f(xi;)i1xi

i1

0

当xi0时，

2nn1

xi03exi

i1xi

其他0

xi0其他

lnL()2nln3lnxi

i1

i1

nn

1 xi

dlnL()2nn1

0， 令

di1xi



2n2n

得n，所以得极大似然估计量=n.

11i1xii1xi