第二讲 矩阵的乘法及逆运算
一、乘法 1、 定义与规律 ① 乘法三要素
ⅰ）条件， ⅱ）AB 的行列数， ⅲ）AB 的元素。
c ij =a i 1b 1j +a i 2b 2j +⋅⋅⋅+a in b nj
② 规律
(A 1+A 2) B =A 1B +A 2B ⅰ）对加法的分配律：A (B 1+B 2) =AB 1+AB 2，
ⅱ）对数乘的结合律：(cA ) B =c (AB ) =A (cB ) ⅲ）结合律：(AB ) C =A (BC ) ⅳ）转置律：(AB ) T =B T A T ⅴ）单位律：AE =A EA =A
ⅵ）行列式性质：当A ，B 都是n 阶矩阵时，=A B 但是，无交换律与消去律
AB =？BA
AB =A C ⇒/B =C A ≠0时，
BA =CA ⇒/B =C
2、 n 解矩阵的方幂与多项式
k 个 A k =AA A
无左消去律
无右消去律
k 为常数时，A =E
B =A 5-4A 3+E
乘法公式与因式分解的应用要谨慎 一般不总是成立，问题是交换律，如
A 2-B 2=?(A +B )(A -B )
A 2+BA -AB -B 2
但是：当式中出现的任何两个n 阶矩阵乘积都可交换时，公式就可用 一个矩阵的多项式总可因式分解：
A 2-E =(A -E )(A +E ) E -A 3=(E -A )(E +A +A 2) E +A 3=(E +A )(E -A +A 2)
⎡21⎤
例1 A =⎢⎥，2阶矩阵B 满足BA =B +2E
-12⎣⎦
求B
解：BA =B +2E ⇔BA -B =2E ⇔B (A -E ) =2E
⇒B A -E =2E =4,
T
例2 α=(1, -2, 3) ,
A -E =
1123
1-1=2，B =
4
=2
A -E
β=(1, -, ) T , A =αβT , 求A 6
解：A 6=(αβT ) 6
=(αβ)(αβ)(αβ)(αβ)(αβ)(αβ) =α(β =(β
T T T
T
T
T
T
T
α)(βT α)(βT α)(βT α)(βT α) βT
α) 5αβT
=35A
1⎡1-⎢2⎢
=35⎢-21
⎢
⎢3-3⎢2⎣1⎤
3⎥2⎥-⎥ 3⎥1⎥⎥⎦
⎛1⎫
⎛11⎫ ⎪βT α= 1, -, ⎪ -2⎪=3
⎝23⎭ ⎪
⎝3⎭
讨论：一般化，当n 阶矩阵A 可分解一个n 维列向量α与一个n 维行向量βT 乘积时，则
A k =(αβT ) k =(βT α) k -1A
⎛a 1⎫ ⎪ a 2⎪
如果α= ⎪
⎪ a ⎪⎝n ⎭
⎛b 1⎫ ⎪ b ⎪β= 2⎪
⎪ b ⎪⎝n ⎭
, ,
则βT α=a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n = r (A )
A 的迹数
⎛1-11⎫ ⎪10
例如：A = -11-1⎪ ， 求 A
1-11⎪⎝⎭⎛1⎫ ⎪
解：因为A = -1⎪(1-11)
1⎪⎝⎭
所以A
10
⎛1⎫ ⎪
()，而1-11 -1⎪=3
1⎪⎝⎭
=39A
T
1⎫⎛1
例3 设n 维列向量α= , 0, , 0, ⎪，记
2⎭⎝2
A =E -ααT
求AB
, B =E +2ααT
解：AB =(E -αα)(E +2αα)
T T
=E +2ααT -ααT -2ααT ααT
=E +ααT -2α(αT α) αT αT
α=
1=E +ααT -ααT 2
=E
⎛1例4 A = 01⎫ 020⎪⎪, 求A n -2A
n -1
(n ≥2)
⎝101⎪⎭
⎛解：看A 2
= 101⎫ 020⎪⎛⎪ 101⎫ 020⎪⎛⎪= 202⎫ 040⎪⎪=2A
⎝101⎪⎭ ⎝101⎪⎭ ⎝202⎪⎭
思路一
A k =A k -1A =2k -1A
于是A n -2A n -1=2n -1A -2⋅2n -2A =0 思路二
A n -2A n -1=A 2A n -2-2⋅A n -1=2A n -1-2A n -1=0
（或A n -2A n -1=A n -2(A 2-2A ) =0） 3、 两个有用的特殊规律 ① 若B =(β1, β2, , βs )
AB =A (β1, β2
, , βs )=(A β1, A β2
, ② 若A =(α1
, α2, , αn ), β=(b 1, b 2, A β=b 1α1+b 2α2+ +b n αn
例如（05年考试中出现的一步计算）
⎛20A =(α1
, α2
, , αs )
, B = 1
⎫ -101⎪ ⎪
⎝0-11⎪⎭
⎛AB = ⎛ A 1⎫ -1⎪⎛2⎫⎛0⎫⎫
⎪, A ⎪ ⎪⎪⎝ 0⎪, A 1⎪⎪
⎝0⎪⎭ ⎝-1⎪⎭ ⎝1⎪⎭⎪⎭
, A βs )
, b T
s ) 则
=(α1-α2
, 2α1-α3
, α2+α3)
应用之一 矩阵分解
例5（05年题） 设A 是3阶矩阵，α1, α2, α3是线性无关的三维列向量组，使得
A α1=α1+α2+α3
求作3阶矩阵B ，使得
,
A α2=2α2+α3, A α3=2α2+3α3
A (α1, α2, α3)=(α1, α2, α3)B
解：左=(A α1, A α2, A α3)
=(α1+α2+α3,2α2+α3,2α2+3α3)
⎛100⎫ ⎪
=(α1, α2, α3) 122⎪
113⎪⎝⎭⎛100⎫
⎪B = 122⎪
113⎪⎝⎭
矩阵分解：如果B 的每个列向量都是A 的列向量组的线性组合，则可构造矩阵C ，使得
B =AC
其中C 的各列就是B 的相应列向量表达成A 的列向量线性组合的系数。 如A =(α, β, γ), B =(α+2β-γ, 3α-β+γ, α+2γ)
31⎫⎛1 ⎪令C = 2-10⎪
-112⎪⎝⎭
则B =AC
例6 设(α1, α2, α3)是线性无关的3维列向量组，3阶矩阵A 使得
A α1=α1+2α2, A α2=α2+2α3, A α3=α3+2α1
求A
解：A (α1, α2, α3) =(α1+2α2, α2+2α3, α3+2α1)
⎛102⎫ ⎪
=(α1, α2, α3) 210⎪
021⎪⎝⎭
102
A 1, α2, α3=α1, α2, α3210
021
1, α2, α3≠0
102
∴A =210=9
021
例7（05年题）
A =(α1, α2, α3), A =1, B =(α1+α2+α3, α1+2α2+3α3, α1+4α2+9α3)
求B
⎛111⎫ ⎪
解：B =A 124⎪
139⎪⎝⎭
11
B =A 24=1⨯2=2
39
例8（06年题）
已知α1, α2为2维列向量，A =(2α1+α2, α1-α2), B =(α1, α2) ，已知=6B 解：A =B ⎢
⎡21⎤
⎥
⎣1-1⎦
1=-3B
A =B B =-2
2
1-
应用之二 在特殊的情形下求矩阵乘积
⎛3-56⎫⎛101⎫⎛8-54⎫ ⎪ ⎪ ⎪
6⎪ 例 27-3⎪ -111⎪= -57
09 ⎪ ⎪8⎪⎝⎭⎝001⎭⎝-9917⎭
诀窍：乘积矩阵的每一列都是左侧矩阵的各列向量的线性组合，系数的右侧矩阵相应列的各元素。
当右边矩阵元素很简单时，可按列写出乘积结果。
⎛0
又如 A =
0 0⎝⎛0 0A 2=
0 0⎝
10000100
100001000⎫⎛0⎪ 0⎪ 01⎪ 0⎪ 0⎪⎭⎝010000100
0⎫⎪0⎪3，求r (A ) 1⎪⎪0⎪⎭100001000⎫⎛0⎪ 0⎪ 0= ⎪10⎪ 0⎪⎭⎝000001000
000010000⎫⎪1⎪ ⎪0⎪0⎪⎭000000001⎫⎪0⎪ ⎪0⎪0⎪⎭
⎛0
A 3=AA 2=
0 0⎝r (A 3) =1
0⎫⎛0⎪ 0⎪ 01⎪ 0⎪ 0⎪⎭⎝00⎫⎛0
⎪ 1⎪ 0= ⎪00⎪ 0⎪⎭⎝0
⎛101⎫⎛101⎫⎛202⎫
⎪ ⎪ ⎪又如 020⎪ 020⎪= 040⎪
101⎪ 101⎪ 202⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
乘积矩阵的行向量是右边矩阵行向量组的线性组合，系数是左边矩阵相应行的各分量。
⎛101⎫⎛3-56⎫⎛3414⎫ ⎪ ⎪ ⎪-11127-3=-121-1 ⎪ ⎪ ⎪ 001⎪ 09 ⎪8⎪⎝⎭⎝⎭⎝098⎭
ⅰ）对角矩阵对乘法中的作用
⎛c 1
(α1, α2, α3) 0
0⎝
0c 20
0⎫⎪
0⎪=(c 1α1, c 2α2, c 3α3) c 3⎪⎭
规律：对角矩阵放在右侧乘一个矩阵，相当于用它的对角上元素分别乘此矩阵的各列。
对角矩阵放在左侧乘一个矩阵，相当于用它的对角线上元素分别乘此矩阵的各行。
⎛λ1 0 0⎝⎛λ1 0 0⎝
λ2
00
0⎫⎛M1⎪ 0⎪ 0 λ3⎪⎭⎝00⎫⎪
0⎪=? λ3⎪⎭
k
0M20
0⎫
⎪0⎪=? M3⎪⎭
λ2
ⅱ）初等矩阵在乘法中的作用
初等矩阵：对E 作一次初等变换所得的矩阵。 有三类初等矩阵
① 交换E 的两行或两列所得矩阵
记E (i , j )是交换E 的i,j 两行（列）所得矩阵，
⎛0 0
例如：E 4(1, 3) =
1 0⎝
01001000
0⎫⎪0⎪ ⎪0⎪1⎪⎭
② 用非0数c 乘E 的i 行（i 列），记作E (i (c ))(c ≠0)
⎛10
0-3
例如：E 4(2(3)) =
00
00⎝
③ 把E 的(i , j )
010
0⎫⎪0⎪ ⎪0⎪1⎪⎭
i ≠j 位元素0换成 ，记作E (i , j ( ))
10000100⎫⎪3⎪ ⎪0⎪1⎪⎭
⎛1
例如E 4(2, 4(3)) =
0 0⎝
它是E 的第4行的3倍加到第2行上所得，或把E 的第2列的3倍加到第4列上所得。
命题：对矩阵A 作一次初等
左行
变换，等同于用一个相应的初等矩阵从侧乘A
右列
相应的初等矩阵：把所作初等变换作用在E 上所得。 例如：
A =(α1, α2, α3, α4)，把A 的第2列的3倍加到第4列上。 A →(α1, α2, α3, 3α2+α4)⎛ 1000⎫
103⎪
=(αα 0
⎪ 1, 2, α3, α4)
0010⎪
⎝
0001⎪
⎪⎭
例9 将3阶矩阵A 的1,3两列变换的B ，再将B 的第2列加到第3列上得C ，求作矩阵Q ，使得C=AQ 解：方法一（用矩阵分解） 设
⎛00A =(α)，则B =(α, α 1, α2, α32, α1, α3)，C =(α21, α1+α3)=(α1, α2, α3) 10 ⎝00⎛0Q = 11⎫
100⎪⎪
⎝001⎪⎭
方法二（用命题）
⎛010⎫
B =A 100⎪⎪
⎝001⎪⎭⎛100⎫C =B 011⎪⎪
⎝001⎪⎭
⎛010⎫⎛100⎫⎛0C =A 100⎪⎪ 011⎪⎪= 11⎫ 100⎪⎪
⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭
0⎫
0⎪
⎪
1⎪⎭
⎛011⎫ ⎪Q = 100⎪
001⎪⎝⎭
二、矩阵方程与可逆矩阵 1、 两类基本矩阵方程
问题：在AB=C中，如果已知C 和A ，B 中的一个，求另一个。 ① AX=B ② XA=B
其中A 是n 阶矩阵，且A ≠0
在克莱姆法则中，AX=B的A ≠0，有唯一解 对AX=B，设B =(β1, , βs )，则X 也有s 列。 设X =(x 1, , x s )，则对每个i, AX i =βi
AX =B ⇔AX i =βi ，i =1, 2, s
因此每个X i 唯一确定，从而X 唯一解。 对AX i =βi ，用初等变换法求X i 。
注意对不同的i, 系数矩阵A 不变，从而作了什么初等行变换不随之变化，可一起求X i 。
(A β, β−−→(E x , x )
行
1
s
1
s
行
即 A B −−→E X
()()
对XA=B转置得
A T X T =B T
(A
T
行
B T −−→E X T
)
()
例10 3阶矩阵A 的三个行向量元素之和都为3，并且，α1=(-1, 2, -1) 和α2=(0, -1, 1) 都是AX=0的解，求A
解：记α3=(1, 1, 1) T ，则A α3=(3, 3, 3) T
T T
⎛-101⎫⎛003⎫ ⎪ ⎪则A 2-11⎪= 003⎪
-111⎪ 003⎪⎝⎭⎝⎭⎛-12-1000⎫ ⎪ 0-11000⎪ 1⎪11333⎝⎭⎛-12-1000⎫ ⎪→ 0-11000⎪ 030333⎪⎝⎭⎛-12-1000⎫ ⎪→ 0-10111⎪ 0⎪01111⎝⎭⎛10011⎫ ⎪→ 01011⎪ 00111⎪⎝⎭
⎛111⎫ ⎪A = 111⎪
111⎪⎝⎭
2、 可逆矩阵及其逆矩阵 对于数，a
≠0时，有a -1, a -1a =aa -1=1，于是ab =ac ⇒a -1ab =a -1ac ⇒b =c
如果对矩阵A ，有H 使得HA=E，则ab =如果AH=E，则BA=CA⇒B=C ① 定义
ac ⇒HAB =HAC ⇒B =C
设A 是n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵H ，使得HA=E，AH=E 则称A 是可逆矩阵，称H 为A 的逆矩阵，记作A 例1（08年考题）已知A 是n 阶非零矩阵，A 解：用定义，E ±
3
-1
=0，判断E+A,E-A的可逆性
A 3=E ，对E ±A 3因式分解，有
(E ±A )(E A +A 2) =E (E A +A )(E ±A ) =E
由定义E+A,E-A都可逆。 ② 可逆性的判断，逆矩阵的计算 定理：n 解矩阵A 可逆证：
2
⇔A ≠0
" ⇒" AA -1⇒A A -1=E =1, ∴A ≠0, (且A ) =A
-1
-1
" ⇐"
CA=E。
分别记作B 和C ，即AB=E， A ≠0, ∴矩阵方程AX=E和XA=E却有唯一解，
则
CAB =C (AB ) =CE =C 又CAB =(CA ) B =EB =B
得B
=C ，于是A 可逆，并且其逆矩阵就是AX=E的解，是唯一的。
-1
计算A 就是AX=E的解
行
(A E ) −−→(E A -1)
在矩阵方程AX=B中，XA=B的解为BA 初等矩阵都可逆，且
-1
A ≠0，即A 可逆，于是有X =A -1B
E (i , j )=E (i , j )，
-1
E (i , (c ) )=E (i , (1)),
-1
E (i , j (l )) -1=E (i , j (-l ))
验证
⎛1 0 0 0⎝
⎛10001
01l 00
00100
00010⎝
⎛10001
01000→
00100
00010⎝
000⎫⎛100
⎪
1l 0⎪ 01-l
= ⎪010001⎪ ⎪ 000001⎭⎝
000⎫
⎪
100⎪
⎪010⎪
001⎪⎭0⎫
⎪
1-l 0⎪
⎪010⎪
001⎪⎭0
-1
0⎫
⎪0⎪ ⎪0⎪1⎪⎭
对角矩阵可逆⇔对角线上元素都不为0
-1
⎛λ10⎫0⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪=
0-1⎪ 0λn ⎪λn ⎭⎝⎭⎝
⎛λ1
-1
推论：对于两个n 阶矩阵A ，B ，AB
=E ⇔BA =E
例12 已知A ，B ，C ，D 都是n 阶矩阵，满足ABCD=E
① 说明A,B,C,D 都是可逆 ② 求A
-1
和B -1
解：①对ABCD=E两边求行列式，因此
A B C D =E =1,
A , B , C , D 都不为0，A ，B ，C ，D 都可逆。
-1
② 由ABCD=E得A 与BCD 互为逆矩阵，A 此时，BCDA=E，B 例13 （06年题）
-1
=BCD
=CDA
B =A +AB , C =A +CA , 求B-C
解：B-C=E+AB-A-CA
由B=E+AB,得(E-A)B=E， 则B 与E-A 互为逆矩阵 由C=A+CA，得 C （E-A ）=A
则C=AB，B-C=B-AB=E ③ 可逆矩阵的性质
由定义可看出，可逆矩阵有消去律，即A 可逆时，
AB =AC ⇒B =C BA =CA ⇒B =C
命题：若A ，B 都是n 阶矩阵，则A ，B 都可逆⇔AB 可逆， 并且(AB )
-1
=B -1A -1AB =A B , AB (B -1A -1=AEA -1=E ) )
T
命题：如果A 可逆，则A ，cA (c ≠0时) 和A k (k ∈N ) 都可逆，并且
-1T
(A )
T
-1
=(A
T
); (cA )
-1
1-1k -1-1k
(A )=(A ) =A ；c
矩阵的三个右肩记号A ，A k ，A -1次序可交换。
(A )=(A )
T
k
k T
3、 n 解矩阵A 的伴随矩阵A 及其性质
*
① 定义
⎛A 11
A 12*
A =
A ⎝1n
A 21 A 22A 2n
A n 1⎫⎪
A n 2⎪T
()=A ij ⎪⎪
A nn ⎪⎭
⎛a b ⎫
例： 2阶矩阵A = c d ⎪⎪
⎝⎭
⎛d -b ⎫**⎛a b ⎫
(A )= A = ⎪⎪， ⎪⎪=A
*
⎝-c a ⎭⎝c d ⎭
② 性质 基本性质：
AA *=A *A =A E
⎛ a 11a 12 a 1n ⎫⎛A 11
AA *
= a a a ⎪
21222n ⎪ ⎪ A ⎝a n 1
a n a ⎪ 12
⎪ 2
nn ⎭ ⎝A 1n
⎛ A
0⎫ = A
⎪
⎪ A
⎪ ⎝
0A ⎪⎪⎭
如果A 可逆，
则A A *
A
=E
即A -1
=
A *A
A *=A A -1
又
A A
A *
=E ， 即A *
可逆，且
(A *)
-1
=A A
又
(A -1)*
=A -1(A -1)-1
=A A
(A *)
-1
=(A -1)*
其它性质：
A 21 A 22 A 2n
A n 1⎫
A ⎪
n 2⎪
⎪A ⎪
⎪nn ⎭
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
A *=A
T
*
n -1
*T
(A )=(A )
(cA )
k
*
=c n -1A *
*
(AB )
**
=B *A *
*k
(A )=(A )
(A )=A A
n -2
*
如果A 可逆，则由AA =A E 得
A A *=A A =A
*
n -1
n
-1
n -1
(A )
**
=A *(A *)=A
A n -2
=A A A
例14 设A 是n 阶可逆矩阵，交换A 的i,j 两行得到B （1） 证明B 可逆 （2） 求AB
-1
解：（1）由行列式性质，（2）B
B =-A ≠0，因此B 可逆。
=E (i , j ) A
B -1=A -1E (i , j ) -1=A -1E (i , j ) ∴AB -1=AA -1E (i , j ) =E (i , j )
例15 设A 是3阶矩阵，把A 的第2行加到第1行上的B ，将B 的第1列的（-1）倍加到
⎛110⎫
⎪
第2列上得C ，记p = 010⎪，则
001⎪⎝⎭
(A ) C =P -1AP (C ) C =P AP
T
(B ) C =PAP -1(D ) C =PAP
T
解：选（B ）
⎛110⎫ ⎪
B = 010⎪A =PA
001⎪⎝⎭
⎛1-10⎫ ⎪
C =B 010⎪=BP -1=PAP -1
001⎪⎝⎭
例16 设A 是3阶可逆矩阵，交换A 的1，2两行得B ，则 （A ） 交换A 的1，2两行的B
*
*
（B ） 交换A 的1，2两列的B
*
*
（C ） 交换A 的1，2两行的-
*B * B *
（D ） 交换A 的1，2两列的-
*
解：选（D ）
思路：利用伴随矩阵与逆矩阵的关系
⎛010⎫ ⎪B = 100⎪A
001⎪⎝⎭
010⎛010⎫
⎪-1*-1
B =B B =100A A 100⎪
001⎪001⎝⎭
-1
⎛010⎫⎛010⎫ ⎪ ⎪-1*
=-A A 100⎪=-A 100⎪
001⎪ 001⎪⎝⎭⎝⎭
⎛010⎫ ⎪*
A 100⎪=-B * 001⎪⎝⎭
于是，
即（D ）
例17 设A 是n 阶非零实矩阵，满足A （1）
*
=A T ，证明：
A >0
（2）当n>2时，
A =1
⎛A
T *
解：（1）AA =AA =A E =
0⎝
T
A
0⎫⎪⎪⎪ ⎪A ⎪⎭
A
于是，对每个i ，A 的第i 行与A 的第i 列对应元素乘积之和都为而A 的第i 列就是A 的第i 行，得
T
a i 1+a i 2+ +a in =A
A 的元素都为实数，a ij
2
222
≥0，
⇒A ≥0
又A
≠0，有非零元素，设a kl ≠0，则
2
2
2
A =a k 1+ +a kl + +a kn >0
（2）AA
T
T
=A E
n
A A =A
A =A A
n -2
2n
=1
n -2>0, ∴A =1
例18 3阶矩阵A 满足A
*
=A T ，并且它的第一行的元素都是正数a ，则a=( ). (B ) 3
(C )
1c
(D ) 3
(A )
3
解：选（A ）
AA T =AA *=A E
得a 又
2
+a 2+a 2=A
3
3a 2=A
A A T =A ⇒A =1
2
3
∴3a =1, a =
3
例19
⎛210⎫ ⎪
A = 120⎪, 3阶矩阵B 满足ABA *=2BA *+E
001⎪⎝⎭
求B
解：方法一（利用基本公式消A ）
对ABA
*
*
=2BA *+E 两侧右乘A ，得
A =3
A AB =2A B +A
3AB =6B +A
3(A -2E ) B =A
27A -2E B =A
01
A -2E =100
0=1
00-B =
31= 279
A *
的公式）
方法二（利用
ABA *=2BA *+E
(A -2E ) BA *=E
A -2E B A *=1
A -2E =1
A *=A 2=9
B =
1 9
例20
⎛3-51⎫ ⎪
A = 1-10⎪，A -1XA =XA +2A ，求X
-102⎪⎝⎭
解：先化简方程 用A
-1
右乘A -1XA =XA +2A
A -1X =X +2E
再用A 左乘两侧
X =AX +2A
(E -A ) X =2A
⎛-25-6-102⎫ ⎪
(E -A 2A )= -1202-20⎪
10--20⎪4⎝⎭
⎛10--204⎫ ⎪→ 02-0-24⎪
01-2-62⎪⎝⎭
⎛100-6104⎫ ⎪→ 010-242⎪
001-4100⎪⎝⎭
⎛-6104⎫ ⎪X = -242⎪
-4100⎪⎝⎭
一般步骤：
先化简为基本矩阵方程，再用初等变换法。 例21 1-1⎫⎛1 ⎪A = -111⎪ 1-11⎪⎝⎭A *X =A -1+2X ，求X
解：用A 左乘方程两侧
A X =E +2AX (A =4) 4X =E +2AX (4E -2A )X =E X =(4E -2A ) -1
⎛2-22100⎫ ⎪
(4E -2A E )= 22-2010⎪
-22⎪2001⎝⎭
⎛400110⎫ ⎪
→ 040011⎪
-222001⎪⎝⎭
0⎫⎛10044 ⎪11→ 0100⎪
-121001⎪
⎭⎝
⎛100→ 44
01001
⎝0011
⎛440⎫
X = 011⎪
⎪
⎝404⎪⎭0⎫1⎪⎪ 1⎪⎭
第二讲 矩阵的乘法及逆运算
一、乘法 1、 定义与规律 ① 乘法三要素
ⅰ）条件， ⅱ）AB 的行列数， ⅲ）AB 的元素。
c ij =a i 1b 1j +a i 2b 2j +⋅⋅⋅+a in b nj
② 规律
(A 1+A 2) B =A 1B +A 2B ⅰ）对加法的分配律：A (B 1+B 2) =AB 1+AB 2，
ⅱ）对数乘的结合律：(cA ) B =c (AB ) =A (cB ) ⅲ）结合律：(AB ) C =A (BC ) ⅳ）转置律：(AB ) T =B T A T ⅴ）单位律：AE =A EA =A
ⅵ）行列式性质：当A ，B 都是n 阶矩阵时，=A B 但是，无交换律与消去律
AB =？BA
AB =A C ⇒/B =C A ≠0时，
BA =CA ⇒/B =C
2、 n 解矩阵的方幂与多项式
k 个 A k =AA A
无左消去律
无右消去律
k 为常数时，A =E
B =A 5-4A 3+E
乘法公式与因式分解的应用要谨慎 一般不总是成立，问题是交换律，如
A 2-B 2=?(A +B )(A -B )
A 2+BA -AB -B 2
但是：当式中出现的任何两个n 阶矩阵乘积都可交换时，公式就可用 一个矩阵的多项式总可因式分解：
A 2-E =(A -E )(A +E ) E -A 3=(E -A )(E +A +A 2) E +A 3=(E +A )(E -A +A 2)
⎡21⎤
例1 A =⎢⎥，2阶矩阵B 满足BA =B +2E
-12⎣⎦
求B
解：BA =B +2E ⇔BA -B =2E ⇔B (A -E ) =2E
⇒B A -E =2E =4,
T
例2 α=(1, -2, 3) ,
A -E =
1123
1-1=2，B =
4
=2
A -E
β=(1, -, ) T , A =αβT , 求A 6
解：A 6=(αβT ) 6
=(αβ)(αβ)(αβ)(αβ)(αβ)(αβ) =α(β =(β
T T T
T
T
T
T
T
α)(βT α)(βT α)(βT α)(βT α) βT
α) 5αβT
=35A
1⎡1-⎢2⎢
=35⎢-21
⎢
⎢3-3⎢2⎣1⎤
3⎥2⎥-⎥ 3⎥1⎥⎥⎦
⎛1⎫
⎛11⎫ ⎪βT α= 1, -, ⎪ -2⎪=3
⎝23⎭ ⎪
⎝3⎭
讨论：一般化，当n 阶矩阵A 可分解一个n 维列向量α与一个n 维行向量βT 乘积时，则
A k =(αβT ) k =(βT α) k -1A
⎛a 1⎫ ⎪ a 2⎪
如果α= ⎪
⎪ a ⎪⎝n ⎭
⎛b 1⎫ ⎪ b ⎪β= 2⎪
⎪ b ⎪⎝n ⎭
, ,
则βT α=a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n = r (A )
A 的迹数
⎛1-11⎫ ⎪10
例如：A = -11-1⎪ ， 求 A
1-11⎪⎝⎭⎛1⎫ ⎪
解：因为A = -1⎪(1-11)
1⎪⎝⎭
所以A
10
⎛1⎫ ⎪
()，而1-11 -1⎪=3
1⎪⎝⎭
=39A
T
1⎫⎛1
例3 设n 维列向量α= , 0, , 0, ⎪，记
2⎭⎝2
A =E -ααT
求AB
, B =E +2ααT
解：AB =(E -αα)(E +2αα)
T T
=E +2ααT -ααT -2ααT ααT
=E +ααT -2α(αT α) αT αT
α=
1=E +ααT -ααT 2
=E
⎛1例4 A = 01⎫ 020⎪⎪, 求A n -2A
n -1
(n ≥2)
⎝101⎪⎭
⎛解：看A 2
= 101⎫ 020⎪⎛⎪ 101⎫ 020⎪⎛⎪= 202⎫ 040⎪⎪=2A
⎝101⎪⎭ ⎝101⎪⎭ ⎝202⎪⎭
思路一
A k =A k -1A =2k -1A
于是A n -2A n -1=2n -1A -2⋅2n -2A =0 思路二
A n -2A n -1=A 2A n -2-2⋅A n -1=2A n -1-2A n -1=0
（或A n -2A n -1=A n -2(A 2-2A ) =0） 3、 两个有用的特殊规律 ① 若B =(β1, β2, , βs )
AB =A (β1, β2
, , βs )=(A β1, A β2
, ② 若A =(α1
, α2, , αn ), β=(b 1, b 2, A β=b 1α1+b 2α2+ +b n αn
例如（05年考试中出现的一步计算）
⎛20A =(α1
, α2
, , αs )
, B = 1
⎫ -101⎪ ⎪
⎝0-11⎪⎭
⎛AB = ⎛ A 1⎫ -1⎪⎛2⎫⎛0⎫⎫
⎪, A ⎪ ⎪⎪⎝ 0⎪, A 1⎪⎪
⎝0⎪⎭ ⎝-1⎪⎭ ⎝1⎪⎭⎪⎭
, A βs )
, b T
s ) 则
=(α1-α2
, 2α1-α3
, α2+α3)
应用之一 矩阵分解
例5（05年题） 设A 是3阶矩阵，α1, α2, α3是线性无关的三维列向量组，使得
A α1=α1+α2+α3
求作3阶矩阵B ，使得
,
A α2=2α2+α3, A α3=2α2+3α3
A (α1, α2, α3)=(α1, α2, α3)B
解：左=(A α1, A α2, A α3)
=(α1+α2+α3,2α2+α3,2α2+3α3)
⎛100⎫ ⎪
=(α1, α2, α3) 122⎪
113⎪⎝⎭⎛100⎫
⎪B = 122⎪
113⎪⎝⎭
矩阵分解：如果B 的每个列向量都是A 的列向量组的线性组合，则可构造矩阵C ，使得
B =AC
其中C 的各列就是B 的相应列向量表达成A 的列向量线性组合的系数。 如A =(α, β, γ), B =(α+2β-γ, 3α-β+γ, α+2γ)
31⎫⎛1 ⎪令C = 2-10⎪
-112⎪⎝⎭
则B =AC
例6 设(α1, α2, α3)是线性无关的3维列向量组，3阶矩阵A 使得
A α1=α1+2α2, A α2=α2+2α3, A α3=α3+2α1
求A
解：A (α1, α2, α3) =(α1+2α2, α2+2α3, α3+2α1)
⎛102⎫ ⎪
=(α1, α2, α3) 210⎪
021⎪⎝⎭
102
A 1, α2, α3=α1, α2, α3210
021
1, α2, α3≠0
102
∴A =210=9
021
例7（05年题）
A =(α1, α2, α3), A =1, B =(α1+α2+α3, α1+2α2+3α3, α1+4α2+9α3)
求B
⎛111⎫ ⎪
解：B =A 124⎪
139⎪⎝⎭
11
B =A 24=1⨯2=2
39
例8（06年题）
已知α1, α2为2维列向量，A =(2α1+α2, α1-α2), B =(α1, α2) ，已知=6B 解：A =B ⎢
⎡21⎤
⎥
⎣1-1⎦
1=-3B
A =B B =-2
2
1-
应用之二 在特殊的情形下求矩阵乘积
⎛3-56⎫⎛101⎫⎛8-54⎫ ⎪ ⎪ ⎪
6⎪ 例 27-3⎪ -111⎪= -57
09 ⎪ ⎪8⎪⎝⎭⎝001⎭⎝-9917⎭
诀窍：乘积矩阵的每一列都是左侧矩阵的各列向量的线性组合，系数的右侧矩阵相应列的各元素。
当右边矩阵元素很简单时，可按列写出乘积结果。
⎛0
又如 A =
0 0⎝⎛0 0A 2=
0 0⎝
10000100
100001000⎫⎛0⎪ 0⎪ 01⎪ 0⎪ 0⎪⎭⎝010000100
0⎫⎪0⎪3，求r (A ) 1⎪⎪0⎪⎭100001000⎫⎛0⎪ 0⎪ 0= ⎪10⎪ 0⎪⎭⎝000001000
000010000⎫⎪1⎪ ⎪0⎪0⎪⎭000000001⎫⎪0⎪ ⎪0⎪0⎪⎭
⎛0
A 3=AA 2=
0 0⎝r (A 3) =1
0⎫⎛0⎪ 0⎪ 01⎪ 0⎪ 0⎪⎭⎝00⎫⎛0
⎪ 1⎪ 0= ⎪00⎪ 0⎪⎭⎝0
⎛101⎫⎛101⎫⎛202⎫
⎪ ⎪ ⎪又如 020⎪ 020⎪= 040⎪
101⎪ 101⎪ 202⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
乘积矩阵的行向量是右边矩阵行向量组的线性组合，系数是左边矩阵相应行的各分量。
⎛101⎫⎛3-56⎫⎛3414⎫ ⎪ ⎪ ⎪-11127-3=-121-1 ⎪ ⎪ ⎪ 001⎪ 09 ⎪8⎪⎝⎭⎝⎭⎝098⎭
ⅰ）对角矩阵对乘法中的作用
⎛c 1
(α1, α2, α3) 0
0⎝
0c 20
0⎫⎪
0⎪=(c 1α1, c 2α2, c 3α3) c 3⎪⎭
规律：对角矩阵放在右侧乘一个矩阵，相当于用它的对角上元素分别乘此矩阵的各列。
对角矩阵放在左侧乘一个矩阵，相当于用它的对角线上元素分别乘此矩阵的各行。
⎛λ1 0 0⎝⎛λ1 0 0⎝
λ2
00
0⎫⎛M1⎪ 0⎪ 0 λ3⎪⎭⎝00⎫⎪
0⎪=? λ3⎪⎭
k
0M20
0⎫
⎪0⎪=? M3⎪⎭
λ2
ⅱ）初等矩阵在乘法中的作用
初等矩阵：对E 作一次初等变换所得的矩阵。 有三类初等矩阵
① 交换E 的两行或两列所得矩阵
记E (i , j )是交换E 的i,j 两行（列）所得矩阵，
⎛0 0
例如：E 4(1, 3) =
1 0⎝
01001000
0⎫⎪0⎪ ⎪0⎪1⎪⎭
② 用非0数c 乘E 的i 行（i 列），记作E (i (c ))(c ≠0)
⎛10
0-3
例如：E 4(2(3)) =
00
00⎝
③ 把E 的(i , j )
010
0⎫⎪0⎪ ⎪0⎪1⎪⎭
i ≠j 位元素0换成 ，记作E (i , j ( ))
10000100⎫⎪3⎪ ⎪0⎪1⎪⎭
⎛1
例如E 4(2, 4(3)) =
0 0⎝
它是E 的第4行的3倍加到第2行上所得，或把E 的第2列的3倍加到第4列上所得。
命题：对矩阵A 作一次初等
左行
变换，等同于用一个相应的初等矩阵从侧乘A
右列
相应的初等矩阵：把所作初等变换作用在E 上所得。 例如：
A =(α1, α2, α3, α4)，把A 的第2列的3倍加到第4列上。 A →(α1, α2, α3, 3α2+α4)⎛ 1000⎫
103⎪
=(αα 0
⎪ 1, 2, α3, α4)
0010⎪
⎝
0001⎪
⎪⎭
例9 将3阶矩阵A 的1,3两列变换的B ，再将B 的第2列加到第3列上得C ，求作矩阵Q ，使得C=AQ 解：方法一（用矩阵分解） 设
⎛00A =(α)，则B =(α, α 1, α2, α32, α1, α3)，C =(α21, α1+α3)=(α1, α2, α3) 10 ⎝00⎛0Q = 11⎫
100⎪⎪
⎝001⎪⎭
方法二（用命题）
⎛010⎫
B =A 100⎪⎪
⎝001⎪⎭⎛100⎫C =B 011⎪⎪
⎝001⎪⎭
⎛010⎫⎛100⎫⎛0C =A 100⎪⎪ 011⎪⎪= 11⎫ 100⎪⎪
⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭ ⎝001⎪⎭
0⎫
0⎪
⎪
1⎪⎭
⎛011⎫ ⎪Q = 100⎪
001⎪⎝⎭
二、矩阵方程与可逆矩阵 1、 两类基本矩阵方程
问题：在AB=C中，如果已知C 和A ，B 中的一个，求另一个。 ① AX=B ② XA=B
其中A 是n 阶矩阵，且A ≠0
在克莱姆法则中，AX=B的A ≠0，有唯一解 对AX=B，设B =(β1, , βs )，则X 也有s 列。 设X =(x 1, , x s )，则对每个i, AX i =βi
AX =B ⇔AX i =βi ，i =1, 2, s
因此每个X i 唯一确定，从而X 唯一解。 对AX i =βi ，用初等变换法求X i 。
注意对不同的i, 系数矩阵A 不变，从而作了什么初等行变换不随之变化，可一起求X i 。
(A β, β−−→(E x , x )
行
1
s
1
s
行
即 A B −−→E X
()()
对XA=B转置得
A T X T =B T
(A
T
行
B T −−→E X T
)
()
例10 3阶矩阵A 的三个行向量元素之和都为3，并且，α1=(-1, 2, -1) 和α2=(0, -1, 1) 都是AX=0的解，求A
解：记α3=(1, 1, 1) T ，则A α3=(3, 3, 3) T
T T
⎛-101⎫⎛003⎫ ⎪ ⎪则A 2-11⎪= 003⎪
-111⎪ 003⎪⎝⎭⎝⎭⎛-12-1000⎫ ⎪ 0-11000⎪ 1⎪11333⎝⎭⎛-12-1000⎫ ⎪→ 0-11000⎪ 030333⎪⎝⎭⎛-12-1000⎫ ⎪→ 0-10111⎪ 0⎪01111⎝⎭⎛10011⎫ ⎪→ 01011⎪ 00111⎪⎝⎭
⎛111⎫ ⎪A = 111⎪
111⎪⎝⎭
2、 可逆矩阵及其逆矩阵 对于数，a
≠0时，有a -1, a -1a =aa -1=1，于是ab =ac ⇒a -1ab =a -1ac ⇒b =c
如果对矩阵A ，有H 使得HA=E，则ab =如果AH=E，则BA=CA⇒B=C ① 定义
ac ⇒HAB =HAC ⇒B =C
设A 是n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵H ，使得HA=E，AH=E 则称A 是可逆矩阵，称H 为A 的逆矩阵，记作A 例1（08年考题）已知A 是n 阶非零矩阵，A 解：用定义，E ±
3
-1
=0，判断E+A,E-A的可逆性
A 3=E ，对E ±A 3因式分解，有
(E ±A )(E A +A 2) =E (E A +A )(E ±A ) =E
由定义E+A,E-A都可逆。 ② 可逆性的判断，逆矩阵的计算 定理：n 解矩阵A 可逆证：
2
⇔A ≠0
" ⇒" AA -1⇒A A -1=E =1, ∴A ≠0, (且A ) =A
-1
-1
" ⇐"
CA=E。
分别记作B 和C ，即AB=E， A ≠0, ∴矩阵方程AX=E和XA=E却有唯一解，
则
CAB =C (AB ) =CE =C 又CAB =(CA ) B =EB =B
得B
=C ，于是A 可逆，并且其逆矩阵就是AX=E的解，是唯一的。
-1
计算A 就是AX=E的解
行
(A E ) −−→(E A -1)
在矩阵方程AX=B中，XA=B的解为BA 初等矩阵都可逆，且
-1
A ≠0，即A 可逆，于是有X =A -1B
E (i , j )=E (i , j )，
-1
E (i , (c ) )=E (i , (1)),
-1
E (i , j (l )) -1=E (i , j (-l ))
验证
⎛1 0 0 0⎝
⎛10001
01l 00
00100
00010⎝
⎛10001
01000→
00100
00010⎝
000⎫⎛100
⎪
1l 0⎪ 01-l
= ⎪010001⎪ ⎪ 000001⎭⎝
000⎫
⎪
100⎪
⎪010⎪
001⎪⎭0⎫
⎪
1-l 0⎪
⎪010⎪
001⎪⎭0
-1
0⎫
⎪0⎪ ⎪0⎪1⎪⎭
对角矩阵可逆⇔对角线上元素都不为0
-1
⎛λ10⎫0⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪=
0-1⎪ 0λn ⎪λn ⎭⎝⎭⎝
⎛λ1
-1
推论：对于两个n 阶矩阵A ，B ，AB
=E ⇔BA =E
例12 已知A ，B ，C ，D 都是n 阶矩阵，满足ABCD=E
① 说明A,B,C,D 都是可逆 ② 求A
-1
和B -1
解：①对ABCD=E两边求行列式，因此
A B C D =E =1,
A , B , C , D 都不为0，A ，B ，C ，D 都可逆。
-1
② 由ABCD=E得A 与BCD 互为逆矩阵，A 此时，BCDA=E，B 例13 （06年题）
-1
=BCD
=CDA
B =A +AB , C =A +CA , 求B-C
解：B-C=E+AB-A-CA
由B=E+AB,得(E-A)B=E， 则B 与E-A 互为逆矩阵 由C=A+CA，得 C （E-A ）=A
则C=AB，B-C=B-AB=E ③ 可逆矩阵的性质
由定义可看出，可逆矩阵有消去律，即A 可逆时，
AB =AC ⇒B =C BA =CA ⇒B =C
命题：若A ，B 都是n 阶矩阵，则A ，B 都可逆⇔AB 可逆， 并且(AB )
-1
=B -1A -1AB =A B , AB (B -1A -1=AEA -1=E ) )
T
命题：如果A 可逆，则A ，cA (c ≠0时) 和A k (k ∈N ) 都可逆，并且
-1T
(A )
T
-1
=(A
T
); (cA )
-1
1-1k -1-1k
(A )=(A ) =A ；c
矩阵的三个右肩记号A ，A k ，A -1次序可交换。
(A )=(A )
T
k
k T
3、 n 解矩阵A 的伴随矩阵A 及其性质
*
① 定义
⎛A 11
A 12*
A =
A ⎝1n
A 21 A 22A 2n
A n 1⎫⎪
A n 2⎪T
()=A ij ⎪⎪
A nn ⎪⎭
⎛a b ⎫
例： 2阶矩阵A = c d ⎪⎪
⎝⎭
⎛d -b ⎫**⎛a b ⎫
(A )= A = ⎪⎪， ⎪⎪=A
*
⎝-c a ⎭⎝c d ⎭
② 性质 基本性质：
AA *=A *A =A E
⎛ a 11a 12 a 1n ⎫⎛A 11
AA *
= a a a ⎪
21222n ⎪ ⎪ A ⎝a n 1
a n a ⎪ 12
⎪ 2
nn ⎭ ⎝A 1n
⎛ A
0⎫ = A
⎪
⎪ A
⎪ ⎝
0A ⎪⎪⎭
如果A 可逆，
则A A *
A
=E
即A -1
=
A *A
A *=A A -1
又
A A
A *
=E ， 即A *
可逆，且
(A *)
-1
=A A
又
(A -1)*
=A -1(A -1)-1
=A A
(A *)
-1
=(A -1)*
其它性质：
A 21 A 22 A 2n
A n 1⎫
A ⎪
n 2⎪
⎪A ⎪
⎪nn ⎭
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
A *=A
T
*
n -1
*T
(A )=(A )
(cA )
k
*
=c n -1A *
*
(AB )
**
=B *A *
*k
(A )=(A )
(A )=A A
n -2
*
如果A 可逆，则由AA =A E 得
A A *=A A =A
*
n -1
n
-1
n -1
(A )
**
=A *(A *)=A
A n -2
=A A A
例14 设A 是n 阶可逆矩阵，交换A 的i,j 两行得到B （1） 证明B 可逆 （2） 求AB
-1
解：（1）由行列式性质，（2）B
B =-A ≠0，因此B 可逆。
=E (i , j ) A
B -1=A -1E (i , j ) -1=A -1E (i , j ) ∴AB -1=AA -1E (i , j ) =E (i , j )
例15 设A 是3阶矩阵，把A 的第2行加到第1行上的B ，将B 的第1列的（-1）倍加到
⎛110⎫
⎪
第2列上得C ，记p = 010⎪，则
001⎪⎝⎭
(A ) C =P -1AP (C ) C =P AP
T
(B ) C =PAP -1(D ) C =PAP
T
解：选（B ）
⎛110⎫ ⎪
B = 010⎪A =PA
001⎪⎝⎭
⎛1-10⎫ ⎪
C =B 010⎪=BP -1=PAP -1
001⎪⎝⎭
例16 设A 是3阶可逆矩阵，交换A 的1，2两行得B ，则 （A ） 交换A 的1，2两行的B
*
*
（B ） 交换A 的1，2两列的B
*
*
（C ） 交换A 的1，2两行的-
*B * B *
（D ） 交换A 的1，2两列的-
*
解：选（D ）
思路：利用伴随矩阵与逆矩阵的关系
⎛010⎫ ⎪B = 100⎪A
001⎪⎝⎭
010⎛010⎫
⎪-1*-1
B =B B =100A A 100⎪
001⎪001⎝⎭
-1
⎛010⎫⎛010⎫ ⎪ ⎪-1*
=-A A 100⎪=-A 100⎪
001⎪ 001⎪⎝⎭⎝⎭
⎛010⎫ ⎪*
A 100⎪=-B * 001⎪⎝⎭
于是，
即（D ）
例17 设A 是n 阶非零实矩阵，满足A （1）
*
=A T ，证明：
A >0
（2）当n>2时，
A =1
⎛A
T *
解：（1）AA =AA =A E =
0⎝
T
A
0⎫⎪⎪⎪ ⎪A ⎪⎭
A
于是，对每个i ，A 的第i 行与A 的第i 列对应元素乘积之和都为而A 的第i 列就是A 的第i 行，得
T
a i 1+a i 2+ +a in =A
A 的元素都为实数，a ij
2
222
≥0，
⇒A ≥0
又A
≠0，有非零元素，设a kl ≠0，则
2
2
2
A =a k 1+ +a kl + +a kn >0
（2）AA
T
T
=A E
n
A A =A
A =A A
n -2
2n
=1
n -2>0, ∴A =1
例18 3阶矩阵A 满足A
*
=A T ，并且它的第一行的元素都是正数a ，则a=( ). (B ) 3
(C )
1c
(D ) 3
(A )
3
解：选（A ）
AA T =AA *=A E
得a 又
2
+a 2+a 2=A
3
3a 2=A
A A T =A ⇒A =1
2
3
∴3a =1, a =
3
例19
⎛210⎫ ⎪
A = 120⎪, 3阶矩阵B 满足ABA *=2BA *+E
001⎪⎝⎭
求B
解：方法一（利用基本公式消A ）
对ABA
*
*
=2BA *+E 两侧右乘A ，得
A =3
A AB =2A B +A
3AB =6B +A
3(A -2E ) B =A
27A -2E B =A
01
A -2E =100
0=1
00-B =
31= 279
A *
的公式）
方法二（利用
ABA *=2BA *+E
(A -2E ) BA *=E
A -2E B A *=1
A -2E =1
A *=A 2=9
B =
1 9
例20
⎛3-51⎫ ⎪
A = 1-10⎪，A -1XA =XA +2A ，求X
-102⎪⎝⎭
解：先化简方程 用A
-1
右乘A -1XA =XA +2A
A -1X =X +2E
再用A 左乘两侧
X =AX +2A
(E -A ) X =2A
⎛-25-6-102⎫ ⎪
(E -A 2A )= -1202-20⎪
10--20⎪4⎝⎭
⎛10--204⎫ ⎪→ 02-0-24⎪
01-2-62⎪⎝⎭
⎛100-6104⎫ ⎪→ 010-242⎪
001-4100⎪⎝⎭
⎛-6104⎫ ⎪X = -242⎪
-4100⎪⎝⎭
一般步骤：
先化简为基本矩阵方程，再用初等变换法。 例21 1-1⎫⎛1 ⎪A = -111⎪ 1-11⎪⎝⎭A *X =A -1+2X ，求X
解：用A 左乘方程两侧
A X =E +2AX (A =4) 4X =E +2AX (4E -2A )X =E X =(4E -2A ) -1
⎛2-22100⎫ ⎪
(4E -2A E )= 22-2010⎪
-22⎪2001⎝⎭
⎛400110⎫ ⎪
→ 040011⎪
-222001⎪⎝⎭
0⎫⎛10044 ⎪11→ 0100⎪
-121001⎪
⎭⎝
⎛100→ 44
01001
⎝0011
⎛440⎫
X = 011⎪
⎪
⎝404⎪⎭0⎫1⎪⎪ 1⎪⎭