基本不等式应用
一．基本不等式
a 2+b 21. （1）若a , b ∈R ，则a +b ≥2ab (2)若a , b ∈R ，则ab ≤a =b 时取“=”） 2
2. (1)若a , b ∈R *，则a +b ≥ab （当且仅当a =b 时取“=”） 222
a +b ⎫(2)若a , b ∈R ，则ab ≤⎛） ⎪ (当且仅当a =b 时取“=”2⎝⎭*2
a +b 2a 2+b 23. 若a , b ∈R ，则(（当且仅当a =b 时取“=”） ) ≤22
技巧一、直接利用公式
例：求下列函数的值域
11（1）y ＝3x 2＋2x （2）y ＝x ＋x
1解：（1）y ＝3x 2＋≥2x 3x 2 6 ∴值域为[6 ，+∞） 2x
x · ＝2； x
x · =－2 x 1（2）当x ＞0时，y ＝x ≥2x 11当x ＜0时， y ＝x ＋ = －（－ x －）≤－2x x
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
注意：①运用不等式一定注意：一正，二定，三相等，三者缺一不可。
②若题中字母不是整数，要提两个负号，使之变为正，如（2） 练习：要解题过程
①设x>0，则函数y=2－
②已知x >0，求f （x ）=
4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。 x 12+3x 的最小值为 x
技巧二：凑项
5例 ：已知x >，求函数y =4x -2+1的最大值。 44x -5
解： y =4x -2+1311⎫⎛ ，当且仅当，即时， 4x -5=x =≥2+3=5= 4x -5++3⎪4x -524x -5⎝4x -5⎭
3时，y max =5。 2
4+x 的最小值为 。 x -3上式等号成立，故当x =注意：目的是把分母消掉，不要忘记当且仅当。 练习：①已知x >3, 求y =
②已知x
③ 若x >4, 函数y =-x +
4（注意正负） +x 的最大值为 。x -31（注意正负） , 当x = 时，函数有最 值。4-x
技巧三：凑系数
例： 当
解：时，求y =x (8-2x ) 的最大值。 ，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，y =x (8-2x ) 的最大值为8。 当
注意：原式是乘法的题型，要配系数，配成和括号里x 的系数的绝对值一样即可。
3练习：①设0
②. 设0
③已知：0
1, 则函数y =x (1-4x ) 的最大值。 4
技巧四： 分离 x 2+7x +10(x >-1) 的值域。 例：求y =x +1
解：
当, 即时
, y ≥ 5=9（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 注意：分母是什么，分子就配成什么的平方，最后分子的未知量要和分母的一样。
x 2-3x +1练习：①当x >-1时，求y =的最小值。 x +1
x 2-x +4②：函数y=在x>1的条件下的最小值为为多少？此时x 为多少？ x -1
③求函数y =(x +4)(x +9)的最值。 （注意正负，没说就讨论） x
技巧五、倒数法，再分离
例： 若x >0，求函数y =x 的最大值。 x 2+x +1
1x 2+x +1111解：因为x>0,所以==x +1+=x ++1≥2+1=3，则y ≤ y x x x 3
当且仅当x =1，即x=1时取得等号。 x
注意：因为原式不能约分，只有倒过来才能约分。注意最后取值时符号的变化。 练习：①若x >1，求函数y =
②若x
技巧六、条件求最值 充分利用常数
例：若实数满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是a b a b 解：3和3都是正数，3+3≥23⋅3=23
a b a b a b a +b =6 a b 当3=3时等号成立，由a +b =2及3=3得a =b =1即当a =b =1时，3+3的最小值是6．
11练习：①若log 4x +log 4y =2，求+的最小值. 并求x , y 的值 x y
19 例：已知x >0, y >0，且+=1，求x +y 的最小值。 x y
⎛19⎫9x y 9x y =16 解： (
x +y ) +⎪=1+++9=10++≥10+x y y x y x ⎝⎭
当且仅当9x y 19=即y =3x 时+=1, x =4, y =12时取得等号。 y x x 3x
+注意：有条件常数时，有充分利用常数，一般是乘以这个常数，再做整理。 练习：① 若x , y ∈R 且2x +y =1，求1+1的最小值
x y
②已知正数x 、y 满足81+=1，求x +2y 的最小值。 x y
③若实数x,y 满足1122，则有（ ） x +2y +=122x y
A. 最大值3+22 B. 最小值3+22 C. 最小值6 D. 最小值
技巧七、取平方
例：已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.
解：W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x 2y ＝10＋23x 2y ≤10＋(3x ) 2+(2y ) 2 ＝10＋(3x＋2y) ＝20 ∴ W 20 ＝25 当且仅当3x =2y =5时取得等号。
注意：待根号的可以平方。
练习：
求函数y 1
课后练习A
1、已知正数x 、y 满足
2、求函数y =81+=1，求x +2y 的最小值。 x y (x +4)(x +9)(x >0) 的最值 x
3、若正数a , b 满足ab =a +b +3，则ab 的取值范围是（求谁就留谁）
114、若x , y ∈R +, 且2x +y =1，则+的最小值为x y
5、已知x >3，求函数y =2x +
16、设x >0，求y =(2+)(1+x ) 的最小值。 x 8的最小值。 x -3
7、求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
1x 2+3x +1y =2x +, x >3 ,(x >0) （2） （1）y =x x -3
(3)y =2sin x +
1, x ∈(0,π) sin x
8、已知0
1，求函数y =的最大值. ；
9、0
+10、已知a , b , x , y ∈R 且a +b =1，求x +y 的最小值 2，求函数y =. 3x y
课后练习B
一、选择题
1、已知x >1, y >1，且lg x +lg y =4，那么lg x lg y 的最大值是（ ）
A 、2 B 、1 2C 、4 D 、1 4
2、若x >0, y >0，且2x +y =20，则lg x +lg y 的最大值是（ ）
A 、50 B 、2 C 、1+lg 5 D 、1
3、若x >0, y >0，且x +y ≤4，则下列不等式恒成立的是（ ）
A 、11≤ x +y 4 B 、11+≥1 x y C 、xy ≥2 D 、1≥1 xy
4、已知a ≥0, b ≥0，2a +3b =10，则2a +3b 的最大值是 （ ）
A 、 B、2 C 、5 D 、10
二、填空题
1、若a >0, b >0，且a +b =1，则ab 的最大值是 。
2、已知x , y ∈R +，且xy -x -y =1，则x +y 的最小值是
6的最小值是 2x +1
1(x
5、已知x >0, y >0，且
21+=1，则x +y 的最小值是 。 x y
6、已知正数x 、y 满足xy =x +y +3，则xy ，x +y
7．设x>0，则函数y=2－
4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。 x
8. 若x>1，则log 2x ＋log x 2的最小值为 ；此时x 的值是 。
x 2
9．函数f(x)=4(x≠0) 的最大值是 ；此时的x 值为 ___ x +2
10．若x , y ∈R +, 且2x +y =1，则
11 若x >0，则1-2x -
12. 若x >3, 函数y =x +
13. 若x >4, 函数y =-x +
11+的最小值为x y 11的最x
14. 设0
基本不等式应用
一．基本不等式
a 2+b 21. （1）若a , b ∈R ，则a +b ≥2ab (2)若a , b ∈R ，则ab ≤a =b 时取“=”） 2
2. (1)若a , b ∈R *，则a +b ≥ab （当且仅当a =b 时取“=”） 222
a +b ⎫(2)若a , b ∈R ，则ab ≤⎛） ⎪ (当且仅当a =b 时取“=”2⎝⎭*2
a +b 2a 2+b 23. 若a , b ∈R ，则(（当且仅当a =b 时取“=”） ) ≤22
技巧一、直接利用公式
例：求下列函数的值域
11（1）y ＝3x 2＋2x （2）y ＝x ＋x
1解：（1）y ＝3x 2＋≥2x 3x 2 6 ∴值域为[6 ，+∞） 2x
x · ＝2； x
x · =－2 x 1（2）当x ＞0时，y ＝x ≥2x 11当x ＜0时， y ＝x ＋ = －（－ x －）≤－2x x
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
注意：①运用不等式一定注意：一正，二定，三相等，三者缺一不可。
②若题中字母不是整数，要提两个负号，使之变为正，如（2） 练习：要解题过程
①设x>0，则函数y=2－
②已知x >0，求f （x ）=
4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。 x 12+3x 的最小值为 x
技巧二：凑项
5例 ：已知x >，求函数y =4x -2+1的最大值。 44x -5
解： y =4x -2+1311⎫⎛ ，当且仅当，即时， 4x -5=x =≥2+3=5= 4x -5++3⎪4x -524x -5⎝4x -5⎭
3时，y max =5。 2
4+x 的最小值为 。 x -3上式等号成立，故当x =注意：目的是把分母消掉，不要忘记当且仅当。 练习：①已知x >3, 求y =
②已知x
③ 若x >4, 函数y =-x +
4（注意正负） +x 的最大值为 。x -31（注意正负） , 当x = 时，函数有最 值。4-x
技巧三：凑系数
例： 当
解：时，求y =x (8-2x ) 的最大值。 ，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，y =x (8-2x ) 的最大值为8。 当
注意：原式是乘法的题型，要配系数，配成和括号里x 的系数的绝对值一样即可。
3练习：①设0
②. 设0
③已知：0
1, 则函数y =x (1-4x ) 的最大值。 4
技巧四： 分离 x 2+7x +10(x >-1) 的值域。 例：求y =x +1
解：
当, 即时
, y ≥ 5=9（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 注意：分母是什么，分子就配成什么的平方，最后分子的未知量要和分母的一样。
x 2-3x +1练习：①当x >-1时，求y =的最小值。 x +1
x 2-x +4②：函数y=在x>1的条件下的最小值为为多少？此时x 为多少？ x -1
③求函数y =(x +4)(x +9)的最值。 （注意正负，没说就讨论） x
技巧五、倒数法，再分离
例： 若x >0，求函数y =x 的最大值。 x 2+x +1
1x 2+x +1111解：因为x>0,所以==x +1+=x ++1≥2+1=3，则y ≤ y x x x 3
当且仅当x =1，即x=1时取得等号。 x
注意：因为原式不能约分，只有倒过来才能约分。注意最后取值时符号的变化。 练习：①若x >1，求函数y =
②若x
技巧六、条件求最值 充分利用常数
例：若实数满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是a b a b 解：3和3都是正数，3+3≥23⋅3=23
a b a b a b a +b =6 a b 当3=3时等号成立，由a +b =2及3=3得a =b =1即当a =b =1时，3+3的最小值是6．
11练习：①若log 4x +log 4y =2，求+的最小值. 并求x , y 的值 x y
19 例：已知x >0, y >0，且+=1，求x +y 的最小值。 x y
⎛19⎫9x y 9x y =16 解： (
x +y ) +⎪=1+++9=10++≥10+x y y x y x ⎝⎭
当且仅当9x y 19=即y =3x 时+=1, x =4, y =12时取得等号。 y x x 3x
+注意：有条件常数时，有充分利用常数，一般是乘以这个常数，再做整理。 练习：① 若x , y ∈R 且2x +y =1，求1+1的最小值
x y
②已知正数x 、y 满足81+=1，求x +2y 的最小值。 x y
③若实数x,y 满足1122，则有（ ） x +2y +=122x y
A. 最大值3+22 B. 最小值3+22 C. 最小值6 D. 最小值
技巧七、取平方
例：已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.
解：W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x 2y ＝10＋23x 2y ≤10＋(3x ) 2+(2y ) 2 ＝10＋(3x＋2y) ＝20 ∴ W 20 ＝25 当且仅当3x =2y =5时取得等号。
注意：待根号的可以平方。
练习：
求函数y 1
课后练习A
1、已知正数x 、y 满足
2、求函数y =81+=1，求x +2y 的最小值。 x y (x +4)(x +9)(x >0) 的最值 x
3、若正数a , b 满足ab =a +b +3，则ab 的取值范围是（求谁就留谁）
114、若x , y ∈R +, 且2x +y =1，则+的最小值为x y
5、已知x >3，求函数y =2x +
16、设x >0，求y =(2+)(1+x ) 的最小值。 x 8的最小值。 x -3
7、求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
1x 2+3x +1y =2x +, x >3 ,(x >0) （2） （1）y =x x -3
(3)y =2sin x +
1, x ∈(0,π) sin x
8、已知0
1，求函数y =的最大值. ；
9、0
+10、已知a , b , x , y ∈R 且a +b =1，求x +y 的最小值 2，求函数y =. 3x y
课后练习B
一、选择题
1、已知x >1, y >1，且lg x +lg y =4，那么lg x lg y 的最大值是（ ）
A 、2 B 、1 2C 、4 D 、1 4
2、若x >0, y >0，且2x +y =20，则lg x +lg y 的最大值是（ ）
A 、50 B 、2 C 、1+lg 5 D 、1
3、若x >0, y >0，且x +y ≤4，则下列不等式恒成立的是（ ）
A 、11≤ x +y 4 B 、11+≥1 x y C 、xy ≥2 D 、1≥1 xy
4、已知a ≥0, b ≥0，2a +3b =10，则2a +3b 的最大值是 （ ）
A 、 B、2 C 、5 D 、10
二、填空题
1、若a >0, b >0，且a +b =1，则ab 的最大值是 。
2、已知x , y ∈R +，且xy -x -y =1，则x +y 的最小值是
6的最小值是 2x +1
1(x
5、已知x >0, y >0，且
21+=1，则x +y 的最小值是 。 x y
6、已知正数x 、y 满足xy =x +y +3，则xy ，x +y
7．设x>0，则函数y=2－
4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。 x
8. 若x>1，则log 2x ＋log x 2的最小值为 ；此时x 的值是 。
x 2
9．函数f(x)=4(x≠0) 的最大值是 ；此时的x 值为 ___ x +2
10．若x , y ∈R +, 且2x +y =1，则
11 若x >0，则1-2x -
12. 若x >3, 函数y =x +
13. 若x >4, 函数y =-x +
11+的最小值为x y 11的最x
14. 设0