高一数学函数人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
函数
二. 学习目标：
1. 理解函数的概念。
2. 掌握函数的三种主要表示方法。
3. 会求一些简单函数的定义域、解析式和值域。
三. 知识讲解：
1. 函数的概念
如果A 、B 都是非空的数集，则A 到B 的映射f :A →B 称为A 到B 的函数，记作y =f (x ) ，其中x ∈A ，y ∈B ，原象集合叫做函数y =f (x ) 的定义域，象的集合C 叫做函数y =f (x ) 的值域。有时也记作C =f (A ) ，C ⊆B 。
2. 函数的表示方法
函数常见的表示法有解析法，列表法和图象法三种。
【典型例题】
[例1] 求下列函数的定义域
4-x 2
（1）y =+(x -2) 0 x -1
⎧4-x 2≥0⎧-2≤x ≤2⎪⎪解：依题意，有⎨x -1≠0 解之，得⎨x ≠1
⎪x ≠2⎪x -2≠0⎩⎩
故原函数定义域为[-2, 1)⋃(1, 2)
[例2] 试问当k 为何值时，函数y =kx -1的定义域为R 。 2kx +2kx +1
解：
（1）当k =0时，原函数即y =-1，即x 取何值实数时，y 都有意义，故此时定义域为R 。
22（2）当k ≠0时，分母为kx +2kx +1，令f (x ) =kx +2kx +1，则f (x ) 恒不为0
2的充要条件为∆
[例3] 已知函数f (x ) 的定义域为[-1, 2]，求下列函数的定义域。
（1）f (x ) -f (-x ) （2）f (x +a ) +f (x -a ) （a >0）
解：
⎧-1≤x ≤2⎧-1≤x ≤2⇔-1≤x ≤1，即定义域为[-1, 1] （1）由⎨⇔⎨-1≤-x ≤2-2≤x ≤1⎩⎩
⎧-1≤x +a ≤2⎧-1-a ≤x ≤2-a （2）由⎨ ⇔⎨⎩-1≤x -a ≤2⎩-1+a ≤x ≤2+a
① 当-1+a 31 ② 当-1+a =2-a ，即a =时，x = 22
3 ③ 当-1+a >2-a ，即a >时，x ∈φ 2
331 综上，当0
3时，定义域φ。 2
[例4] 以下与函数y =2x 2+1不相同的函数为（ ） a >
22A. y =x +x + B. y =(2x 2+1) 2 C. y =2x +1 2 (2x 2+1)(x +1) D. y = x +1
解：函数是由定义域和对应法则确定的，因此函数是否相同也就是函数的定义域和对应法则是否相同。
由选择当中D 中函数y =2x 2+1，定义域为（-∞，-1）⋃（-1，+∞），而已知函数y =x 2+1的定义域为（-∞，+∞），因此尽管两个函数解析式相同，但由于定义域不同，故它们是不同的函数，所以应该选择D 。
[例5] 已知f (x ) 是一次函数，且f [f (x )]=4x -1，求f (x ) 的解析式。
解：对已知类型的函数，在求其解析式时常使用待定系数法。
设f (x ) =ax +b ，则f [f (x )]=af (x ) +b =a (ax +b ) +b =a 2x +(ab +b )
⎧a =2⎧a 2=4⎧a =-2⎪ 又由f (x ) =4x -1，比较系数，有⎨ 解之得⎨ 或 1⎨b =-⎩ab +b =-1⎩b =1⎪3⎩
1 所以，得f (x ) =2x -或f (x ) =-2x +1。 3
【模拟试题】
1. 设对于一切x >0，y >0，函数f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，设f (2) =a ，f (3) =b ，则用a ，b 表示的f (72) 为 。
cx 3（x ≠-）满足f [f (x )]=x ，则c 等于（ ） 2x +32
A. 3 B. -3 C. 3或-3 D. 5或-3
3. 已知f (x ) =3x -1，g (x ) =2x +3，且f [h (x )]=g (x ) ，则h (x ) =。 2. 已知函数f (x ) =
⎧x +1x >01⎪x =0，则f {f [f (-)]}= 4. 若f (x ) =⎨π2⎪0x
5. 已知f (x ) 的定义域为[1，2]，求F (x ) =f (2x +1) 的定义域。
6. 函数y =(x +1) 0
x -x 的定义域是 。
【试题答案】
1. 3a +2b 2. B 3. 21(x +2) 4. π+1 5. [0, ]
）
236. （-∞，-1）⋃（-1，0
高一数学函数人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
函数
二. 学习目标：
1. 理解函数的概念。
2. 掌握函数的三种主要表示方法。
3. 会求一些简单函数的定义域、解析式和值域。
三. 知识讲解：
1. 函数的概念
如果A 、B 都是非空的数集，则A 到B 的映射f :A →B 称为A 到B 的函数，记作y =f (x ) ，其中x ∈A ，y ∈B ，原象集合叫做函数y =f (x ) 的定义域，象的集合C 叫做函数y =f (x ) 的值域。有时也记作C =f (A ) ，C ⊆B 。
2. 函数的表示方法
函数常见的表示法有解析法，列表法和图象法三种。
【典型例题】
[例1] 求下列函数的定义域
4-x 2
（1）y =+(x -2) 0 x -1
⎧4-x 2≥0⎧-2≤x ≤2⎪⎪解：依题意，有⎨x -1≠0 解之，得⎨x ≠1
⎪x ≠2⎪x -2≠0⎩⎩
故原函数定义域为[-2, 1)⋃(1, 2)
[例2] 试问当k 为何值时，函数y =kx -1的定义域为R 。 2kx +2kx +1
解：
（1）当k =0时，原函数即y =-1，即x 取何值实数时，y 都有意义，故此时定义域为R 。
22（2）当k ≠0时，分母为kx +2kx +1，令f (x ) =kx +2kx +1，则f (x ) 恒不为0
2的充要条件为∆
[例3] 已知函数f (x ) 的定义域为[-1, 2]，求下列函数的定义域。
（1）f (x ) -f (-x ) （2）f (x +a ) +f (x -a ) （a >0）
解：
⎧-1≤x ≤2⎧-1≤x ≤2⇔-1≤x ≤1，即定义域为[-1, 1] （1）由⎨⇔⎨-1≤-x ≤2-2≤x ≤1⎩⎩
⎧-1≤x +a ≤2⎧-1-a ≤x ≤2-a （2）由⎨ ⇔⎨⎩-1≤x -a ≤2⎩-1+a ≤x ≤2+a
① 当-1+a 31 ② 当-1+a =2-a ，即a =时，x = 22
3 ③ 当-1+a >2-a ，即a >时，x ∈φ 2
331 综上，当0
3时，定义域φ。 2
[例4] 以下与函数y =2x 2+1不相同的函数为（ ） a >
22A. y =x +x + B. y =(2x 2+1) 2 C. y =2x +1 2 (2x 2+1)(x +1) D. y = x +1
解：函数是由定义域和对应法则确定的，因此函数是否相同也就是函数的定义域和对应法则是否相同。
由选择当中D 中函数y =2x 2+1，定义域为（-∞，-1）⋃（-1，+∞），而已知函数y =x 2+1的定义域为（-∞，+∞），因此尽管两个函数解析式相同，但由于定义域不同，故它们是不同的函数，所以应该选择D 。
[例5] 已知f (x ) 是一次函数，且f [f (x )]=4x -1，求f (x ) 的解析式。
解：对已知类型的函数，在求其解析式时常使用待定系数法。
设f (x ) =ax +b ，则f [f (x )]=af (x ) +b =a (ax +b ) +b =a 2x +(ab +b )
⎧a =2⎧a 2=4⎧a =-2⎪ 又由f (x ) =4x -1，比较系数，有⎨ 解之得⎨ 或 1⎨b =-⎩ab +b =-1⎩b =1⎪3⎩
1 所以，得f (x ) =2x -或f (x ) =-2x +1。 3
【模拟试题】
1. 设对于一切x >0，y >0，函数f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，设f (2) =a ，f (3) =b ，则用a ，b 表示的f (72) 为 。
cx 3（x ≠-）满足f [f (x )]=x ，则c 等于（ ） 2x +32
A. 3 B. -3 C. 3或-3 D. 5或-3
3. 已知f (x ) =3x -1，g (x ) =2x +3，且f [h (x )]=g (x ) ，则h (x ) =。 2. 已知函数f (x ) =
⎧x +1x >01⎪x =0，则f {f [f (-)]}= 4. 若f (x ) =⎨π2⎪0x
5. 已知f (x ) 的定义域为[1，2]，求F (x ) =f (2x +1) 的定义域。
6. 函数y =(x +1) 0
x -x 的定义域是 。
【试题答案】
1. 3a +2b 2. B 3. 21(x +2) 4. π+1 5. [0, ]
）
236. （-∞，-1）⋃（-1，0