向量的加法
一、教学内容分析
《向量的加法》是苏教版《必修4》第二章第二单元中“平面向量的线性运算”的第一节课。本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用，大约需要1课时。向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法及其几何意义为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。所以本课在“平面向量”及“空间向量”中有很重要的地位。
二、学生学习情况分析
学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过力的合成、位移的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点。
三、设计理念
教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段, 调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。
四、教学目标
根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目的确定为：
1、通过对向量加法的探究，使学生掌握向量加法的概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能正确领会向量加法的平行四边形法则和三角形法则的几何意义，并能运用法则作出两个已知向量的和向量。
2、在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律以及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量之和，比如共线向量，共起点向量、共终点向量等。
3、通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等数学方面的能力。
五、教学重点与难点
1、教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义。（两个向量的和的概念是向量加法的基础，而向量加法是向量运算的基础，向量的线性运算的另一个特点是它有深刻的物理背景和几何意义，因此在引入一种向量运算后，总是要考察一下它的几何意义，正因为向量的几何意义，使得向量在解决几何问题时可以发挥很好的作用。）
2、教学难点：向量加法的运算律。（设计让学生先猜想后验证来学习运算律，需要利用类比的思想进行猜测，还要在猜测的基础上加以验证，有一定难度。）
六、数学思想的体现：
1、分类的思想：总的来说本课中向量的加法分为不共线向量及共线向量两种形式，共线向量又分为方向相同与方向相反两种情形，然后专门对零向量与任意向量相加作了规定，
这样对任意向量的加法都做了讨论，线索清楚。
2、类比思想：使之与数的加法进行类比，使学生对向量的加法不致于太陌生，既有似曾相识的感觉，又能从对比中看出两者的不同，效果较好。
3、归纳思想：主要体现在以下三个环节①学完平行四边形法则和三角形法则后，归纳总结，对不共线向量相加，两个法则都可以选用。②由共线向量的加法总结出三角形法则适用于任意两个向量的相加，而三角形法则仅适用于不共线向量相加。③对向量加法的结合律和探讨中，又使学生发现了三角形法则还适用于任意多个向量的加法。归纳思想在这三个环节中的运用，使得学生对两个加法法则，尤其是三角形法则的理解，步步深入。
六、教学过程设计
1、创设情景：
现在中国人民的生活水平越来越好，五一黄金周期间小王，小张准备去旅游：（用幻灯片进行演示）
（1）小王打算从连云港（A ）做车到南京（B ）再从南京乘飞机到海南（C ），两次位移用向量表示 AB +BC ．
（2）小张打算从连云港（A ）自驾车到南京（B ）再从南京自驾车到海南（C ），两次位移用向量表示 AB +BC ．
问题：以上二个问题中的两个向量的和有什么共同特点？
AB +BC =AC A B C
[设计说明] 利用生活中的实际问题创设情景, 以提高学生对本节课将要解决的问题的兴趣、激发学生的学习热情。
[学情预设] 把实际问题抽象为数学概念是学生的认知难点。
2、新知探究：
（1）像以上二个问题中求两个向量和的运算叫做向量的加法。（用幻灯片打出向量加法的定义）
向量的加法的定义：已知向量a 和b 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA =a , AB =b ，则向量OB 叫做a 与b 的和，记作a +b . 即
a +b =OA +AB =OB 求两个向量和的运算叫做向量的加法.
实际上，由向量加法的定义，我们可以得到一种求向量和的方法，这种方法称为向量加法的三角形法则。下面我们具体来看一下用这种方法是怎样求出两个向量的和的。（用幻灯片动态演示用三角形法则求两个向量的和）
（引导学生归纳出应用三角形法则的要点，学生有可能总结得不全面或者没有抓住要点，进行适时引导和补充。）
在运用三角形法则时要注意向量的“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量就是和向量。（“首尾相接，首尾连”）。
问题1：如何求两个平行向量的和向量？
问题2：任意一个向量与一个零向量的和是什么？
两个向量为共线向量时，要作出两个向量的和向量，也要使向量首尾相接，当两个向量同向时，和向量的方向与这两个向量的方向相同，和向量的长度等于这两个向量的长度的和。当两个向量反向时，和向量的方向与长度较大的向量方向相同，和向量的长度等于这两个向量的长度之差。
a b
a +b a 特别的，B a +0=0+a =a
a +(-a ) =(-a ) +a =0
[设计说明] 补充说明两个向量和的概念，同时让学生体验分类的思想。
（2）我们知道，实数的加法是满足交换律和结合律的，那么向量的加法也满足这样的运算律吗？我们一起来验证一下。先来验证向量加法是否满足交换律？（引导学生得出结论） 作法： 作平行四边形ＡＢＣＤ，使AB =a , AD =b , 则BC =b ，DC =a 按照作法，有OB =OA +AB =a +b
OB =OC +CB =b +a 所以 a +b =b +a
即向量的加法满足交换律。 这种验证方法表明：对于不共线的非零向量a , b 我们可以作平行四边形来求它们的和。 分别作OA =a , OC =b , 以OA ，OC 为邻边作平行四边形OABC ，则以Ｏ为起点的对角线OB 就是向量a 与向量b 的和，这种方法叫做向量加法的平行四边形法则。
（引导学生观察总结出应用向量加法的平行四边形法则的要点：在应用向量的平行四边形法则求两个向量的和是要将两个向量的起点平移在一起。）
我们同样可以用作图的方法验证向量是否加法满足结合律？
a +b =AC
AC +c =a +b +c
b +c =BD
a +BD =a +b +c b B
所以，(a +b ) +c =a +(b +c )
即向量加法满足结合律
[设计说明] 引导学生类比实数加法的运算律，得出向量加法的运算律，培养学生的类比、迁移归纳能力。
（3）练习 根据图中所给向量a , b ，画出和向量a +b 。
（A ） （B ） 解法1：将两个向量起点重合，应用平行四边形法则画出两个向量的和向量。
解法2：将一个向量的起点与另一向量的终点重合，也可以画出两个向量的和向量。
[设计说明] 1、学生通过练习题（1）可加深对向量加法概念的理解。另外，可由此引出向量加法的三角形法则。2、通过对比的方式让学生了解向量的加法既可以按照平行四边形法则进行，也可以按照三角形法则进行。在向量加法运算中，通过向量的平移使两个向量首尾相接，可使用三角形法则。
引申 求多个向量的和向量。
[设计说明] 求多个向量的和向量时，让学生进一步体会应用首尾相接的三角形法则的优越性。
[学情预设] 学生对从特殊到一般的理解较抽象。 结论：求多个向量的和向量可应用多边形法则。
3、数学运用：
①已知平面内有三个非零向量 a 、b 、c ，它们的模都相等，并且两两的夹角都是120°，求证：a +b +c =0；②在平面内能否构造三个非零向量a 、b 、c ，使 a +b +c =0；③能否说出②的实际模型？
[设计说明] 题①是基本的例题；题②是题①的拓展；题③能体现数学来源于实际又应用于实际的思想。
4、研究讨论 ：
已知a 、b 是非零向量，则|a +b |与|a |+|b |有什么关系？
[设计说明] 设置这一研讨题可以将本节课与上节课的知识联系起来，并进一步渗透分类的思想。
5、小结归纳：
让学生自主回顾和归纳本节的内容。请同学们想一想，这节课我们都学习了哪些内容，用到了哪些数学方法？你通过本节课的学习有哪些收获？（引导学生归纳）
1. 向量加法的概念
2. 向量加法的三角形法则（要点：两个向量要首尾相接）
3. 向量加法的平行四边形法则（要点：两个向量起点重合组成平行四边形的邻边） 向量的加法满足交换律及结合律
[设计说明]1、向量加法的意义；2、理解实际问题数学化的思想，增强数学的应用意识；3、理解分类讨论等数学思想，培养类比、迁移等能力
[学情预设] 要求学生不仅对知识体系进行归纳，还要对本节课中所体现的数学思想方法及数学能力进行总结有一定的难度。
6、作业布置：
1.P61. 练习3，4
2. 预习例2，向量的减法，比较向量减法和加法的区别与联系。
[设计说明]1、巩固所学的内容。2、对所学内容的检测、反馈与及时补充不足。
七．教学反思
本节所授内容基本与原先设想一致，评略得当，重点突出，难点化解。在两个加法则的引入、讲解及运用的处理方法、时间安排都把握得比较好，能够引导学生积极主动地探索平行四边形法则和三角形法则，使学生对两个加法法则形成了正确的认识，留下了深刻的印象，
通过反馈练习，可以看出学生对两个法则的运用掌握的比较好，比较完整地实现了教学目标。
本节课的教学方法运用比较合理：采取了类比、探究、讲练结合及多媒体技术等多种方法。对数学课来说，本节课最显著的特点是将全部板书都移到了课件上，对我来说，是一次尝试，因为以前，我认为数学课没必要用课件，对全部利用课件上课更是不能接受。但是这次讲课改变了我的看法。从学生的反馈情况来看，这样处理对教学效果没有什么不良影响，反而使学生能更直观地理解两个加法法则和运算律，通过课件中的向量的平移，加深了学生对上节课所学的“相等向量”的概念的理解，也加大了课堂容量，还没有拥挤之感。从学生对内容小结的叙述看，没有板书，并没有妨碍本节内容在学生脑海中留下的印象。
通过这节课的讲授，我收获很多：首先，从课程的构思上，我没有按照教参建议及网上普遍的编排方法先讲三角形法则，而是先由学生学过的力的合成引入了平行四边形法则，由此又引入三角形法则，效果也不错。可见，对教材的处理确实要根据学生情况，灵活裁剪，不能生搬硬套。
其次，通过这节课我感到，对有些与图形联系较多的课程，使用课件讲解简便易行，关键是要根据教学设计制作合适的课件，并且合理使用。
本节缺憾也很多。首先，学生活动还是偏少，没有充分、全面地调动学生热情。其次，语言不够精炼，有时比较啰嗦，也耽误了时间，第三，学生发言时，好打断学生，总觉得学生说得不清楚，抢学生话头，打击了学生课堂参与的积极性，很不好。
向量的加法
一、教学内容分析
《向量的加法》是苏教版《必修4》第二章第二单元中“平面向量的线性运算”的第一节课。本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用，大约需要1课时。向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法及其几何意义为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。所以本课在“平面向量”及“空间向量”中有很重要的地位。
二、学生学习情况分析
学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过力的合成、位移的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点。
三、设计理念
教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段, 调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。
四、教学目标
根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目的确定为：
1、通过对向量加法的探究，使学生掌握向量加法的概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能正确领会向量加法的平行四边形法则和三角形法则的几何意义，并能运用法则作出两个已知向量的和向量。
2、在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律以及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量之和，比如共线向量，共起点向量、共终点向量等。
3、通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等数学方面的能力。
五、教学重点与难点
1、教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义。（两个向量的和的概念是向量加法的基础，而向量加法是向量运算的基础，向量的线性运算的另一个特点是它有深刻的物理背景和几何意义，因此在引入一种向量运算后，总是要考察一下它的几何意义，正因为向量的几何意义，使得向量在解决几何问题时可以发挥很好的作用。）
2、教学难点：向量加法的运算律。（设计让学生先猜想后验证来学习运算律，需要利用类比的思想进行猜测，还要在猜测的基础上加以验证，有一定难度。）
六、数学思想的体现：
1、分类的思想：总的来说本课中向量的加法分为不共线向量及共线向量两种形式，共线向量又分为方向相同与方向相反两种情形，然后专门对零向量与任意向量相加作了规定，
这样对任意向量的加法都做了讨论，线索清楚。
2、类比思想：使之与数的加法进行类比，使学生对向量的加法不致于太陌生，既有似曾相识的感觉，又能从对比中看出两者的不同，效果较好。
3、归纳思想：主要体现在以下三个环节①学完平行四边形法则和三角形法则后，归纳总结，对不共线向量相加，两个法则都可以选用。②由共线向量的加法总结出三角形法则适用于任意两个向量的相加，而三角形法则仅适用于不共线向量相加。③对向量加法的结合律和探讨中，又使学生发现了三角形法则还适用于任意多个向量的加法。归纳思想在这三个环节中的运用，使得学生对两个加法法则，尤其是三角形法则的理解，步步深入。
六、教学过程设计
1、创设情景：
现在中国人民的生活水平越来越好，五一黄金周期间小王，小张准备去旅游：（用幻灯片进行演示）
（1）小王打算从连云港（A ）做车到南京（B ）再从南京乘飞机到海南（C ），两次位移用向量表示 AB +BC ．
（2）小张打算从连云港（A ）自驾车到南京（B ）再从南京自驾车到海南（C ），两次位移用向量表示 AB +BC ．
问题：以上二个问题中的两个向量的和有什么共同特点？
AB +BC =AC A B C
[设计说明] 利用生活中的实际问题创设情景, 以提高学生对本节课将要解决的问题的兴趣、激发学生的学习热情。
[学情预设] 把实际问题抽象为数学概念是学生的认知难点。
2、新知探究：
（1）像以上二个问题中求两个向量和的运算叫做向量的加法。（用幻灯片打出向量加法的定义）
向量的加法的定义：已知向量a 和b 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA =a , AB =b ，则向量OB 叫做a 与b 的和，记作a +b . 即
a +b =OA +AB =OB 求两个向量和的运算叫做向量的加法.
实际上，由向量加法的定义，我们可以得到一种求向量和的方法，这种方法称为向量加法的三角形法则。下面我们具体来看一下用这种方法是怎样求出两个向量的和的。（用幻灯片动态演示用三角形法则求两个向量的和）
（引导学生归纳出应用三角形法则的要点，学生有可能总结得不全面或者没有抓住要点，进行适时引导和补充。）
在运用三角形法则时要注意向量的“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量就是和向量。（“首尾相接，首尾连”）。
问题1：如何求两个平行向量的和向量？
问题2：任意一个向量与一个零向量的和是什么？
两个向量为共线向量时，要作出两个向量的和向量，也要使向量首尾相接，当两个向量同向时，和向量的方向与这两个向量的方向相同，和向量的长度等于这两个向量的长度的和。当两个向量反向时，和向量的方向与长度较大的向量方向相同，和向量的长度等于这两个向量的长度之差。
a b
a +b a 特别的，B a +0=0+a =a
a +(-a ) =(-a ) +a =0
[设计说明] 补充说明两个向量和的概念，同时让学生体验分类的思想。
（2）我们知道，实数的加法是满足交换律和结合律的，那么向量的加法也满足这样的运算律吗？我们一起来验证一下。先来验证向量加法是否满足交换律？（引导学生得出结论） 作法： 作平行四边形ＡＢＣＤ，使AB =a , AD =b , 则BC =b ，DC =a 按照作法，有OB =OA +AB =a +b
OB =OC +CB =b +a 所以 a +b =b +a
即向量的加法满足交换律。 这种验证方法表明：对于不共线的非零向量a , b 我们可以作平行四边形来求它们的和。 分别作OA =a , OC =b , 以OA ，OC 为邻边作平行四边形OABC ，则以Ｏ为起点的对角线OB 就是向量a 与向量b 的和，这种方法叫做向量加法的平行四边形法则。
（引导学生观察总结出应用向量加法的平行四边形法则的要点：在应用向量的平行四边形法则求两个向量的和是要将两个向量的起点平移在一起。）
我们同样可以用作图的方法验证向量是否加法满足结合律？
a +b =AC
AC +c =a +b +c
b +c =BD
a +BD =a +b +c b B
所以，(a +b ) +c =a +(b +c )
即向量加法满足结合律
[设计说明] 引导学生类比实数加法的运算律，得出向量加法的运算律，培养学生的类比、迁移归纳能力。
（3）练习 根据图中所给向量a , b ，画出和向量a +b 。
（A ） （B ） 解法1：将两个向量起点重合，应用平行四边形法则画出两个向量的和向量。
解法2：将一个向量的起点与另一向量的终点重合，也可以画出两个向量的和向量。
[设计说明] 1、学生通过练习题（1）可加深对向量加法概念的理解。另外，可由此引出向量加法的三角形法则。2、通过对比的方式让学生了解向量的加法既可以按照平行四边形法则进行，也可以按照三角形法则进行。在向量加法运算中，通过向量的平移使两个向量首尾相接，可使用三角形法则。
引申 求多个向量的和向量。
[设计说明] 求多个向量的和向量时，让学生进一步体会应用首尾相接的三角形法则的优越性。
[学情预设] 学生对从特殊到一般的理解较抽象。 结论：求多个向量的和向量可应用多边形法则。
3、数学运用：
①已知平面内有三个非零向量 a 、b 、c ，它们的模都相等，并且两两的夹角都是120°，求证：a +b +c =0；②在平面内能否构造三个非零向量a 、b 、c ，使 a +b +c =0；③能否说出②的实际模型？
[设计说明] 题①是基本的例题；题②是题①的拓展；题③能体现数学来源于实际又应用于实际的思想。
4、研究讨论 ：
已知a 、b 是非零向量，则|a +b |与|a |+|b |有什么关系？
[设计说明] 设置这一研讨题可以将本节课与上节课的知识联系起来，并进一步渗透分类的思想。
5、小结归纳：
让学生自主回顾和归纳本节的内容。请同学们想一想，这节课我们都学习了哪些内容，用到了哪些数学方法？你通过本节课的学习有哪些收获？（引导学生归纳）
1. 向量加法的概念
2. 向量加法的三角形法则（要点：两个向量要首尾相接）
3. 向量加法的平行四边形法则（要点：两个向量起点重合组成平行四边形的邻边） 向量的加法满足交换律及结合律
[设计说明]1、向量加法的意义；2、理解实际问题数学化的思想，增强数学的应用意识；3、理解分类讨论等数学思想，培养类比、迁移等能力
[学情预设] 要求学生不仅对知识体系进行归纳，还要对本节课中所体现的数学思想方法及数学能力进行总结有一定的难度。
6、作业布置：
1.P61. 练习3，4
2. 预习例2，向量的减法，比较向量减法和加法的区别与联系。
[设计说明]1、巩固所学的内容。2、对所学内容的检测、反馈与及时补充不足。
七．教学反思
本节所授内容基本与原先设想一致，评略得当，重点突出，难点化解。在两个加法则的引入、讲解及运用的处理方法、时间安排都把握得比较好，能够引导学生积极主动地探索平行四边形法则和三角形法则，使学生对两个加法法则形成了正确的认识，留下了深刻的印象，
通过反馈练习，可以看出学生对两个法则的运用掌握的比较好，比较完整地实现了教学目标。
本节课的教学方法运用比较合理：采取了类比、探究、讲练结合及多媒体技术等多种方法。对数学课来说，本节课最显著的特点是将全部板书都移到了课件上，对我来说，是一次尝试，因为以前，我认为数学课没必要用课件，对全部利用课件上课更是不能接受。但是这次讲课改变了我的看法。从学生的反馈情况来看，这样处理对教学效果没有什么不良影响，反而使学生能更直观地理解两个加法法则和运算律，通过课件中的向量的平移，加深了学生对上节课所学的“相等向量”的概念的理解，也加大了课堂容量，还没有拥挤之感。从学生对内容小结的叙述看，没有板书，并没有妨碍本节内容在学生脑海中留下的印象。
通过这节课的讲授，我收获很多：首先，从课程的构思上，我没有按照教参建议及网上普遍的编排方法先讲三角形法则，而是先由学生学过的力的合成引入了平行四边形法则，由此又引入三角形法则，效果也不错。可见，对教材的处理确实要根据学生情况，灵活裁剪，不能生搬硬套。
其次，通过这节课我感到，对有些与图形联系较多的课程，使用课件讲解简便易行，关键是要根据教学设计制作合适的课件，并且合理使用。
本节缺憾也很多。首先，学生活动还是偏少，没有充分、全面地调动学生热情。其次，语言不够精炼，有时比较啰嗦，也耽误了时间，第三，学生发言时，好打断学生，总觉得学生说得不清楚，抢学生话头，打击了学生课堂参与的积极性，很不好。