2011年北京市高级中等学校招生考试
一、选择题 (本题共32分，每小题4分) 1. -
数 学 试 卷
3
的绝对值是( ) 444A. - B.
33
C. -
3
4
D.
3 4
2. 我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人。将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为( ) A. 66.6⨯107
B. 0.666⨯108
C. 6.66⨯108
D. 6.66⨯107
3. 下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是( ) A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 矩形
4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AD =1，
C
BC =3，则
1A.
2
AO
的值为( ) CO
11B. C.
34
1
D.
9
B
则这10个区县该日最高气温的人数和中位数分别是( ) A. 32，32 B. 32，30 C. 30，32 D. 32，31
6. 一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其它区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为( )
A.
5 18
2
B.
1 3
C.
2 15
D.
1 15
7. 抛物线
y =x -6x +5的顶点坐标为( )
A. （3
，-4） B. （3，4） C. （-3，-4） D. （-3，4）
8. 如图在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，∠BAC =30︒，AB =2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E 。设AD =x ，CE =y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系图象大致是( )
C
二、填空题 (本题共16分，每小题4分)
x -8
的值为0，则x 的值等于________。 x
10. 分解因式：a 3-10a 2+25a =______________。
9. 若分式
11. 若右图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是____________。
12. 在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为a i , j （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i , j ，规定如下：当i ≥j 时，a i , j =1；当i
a 1,1⋅a i ,1+a 1,2⋅a i ,2+a 1,3⋅a i ,3+a 1,4⋅a i ,4+a 1,5⋅a i ,5
的值为________。
三、解答题 (本题共30分，每小题5 分) 13.
计算：() -1-2cos30︒+(2-π)0。
14. 解不等式：4(x -1) >5x -6。
12
15. 已知a 2+2ab +b 2=0，求代数式a (a +4b ) -(a +2b )(a -2b ) 的值。
16. 如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，BE ∥DF ，∠A =∠F ，AB =FD 。 求证：AE =FC 。
17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =-2x 的图象与反比例函
E
k
的图象的一个交点为A （-1，n ）。 x
k
（1）求反比例函数y =的解析式；
x
（2）若P 是坐标轴上一点，且满足PA =OA ，直接写出点P 的坐标。
数y =
A C B D
18. 列方程或方程组解应用题：
京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车。已知小王家距上班地点18千米。他用乘公交车的方式平均每小时行
驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的
3
。小王用自驾车方式上班平均每7
小时行驶多少千米？
三、解答题 (本题共20分，每小题5 分)
19. 如图，在△ABC ，∠ACB =90︒中，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若AC =2，CE =4，求四边形ACEB 的周长。
20. 如图，在△ABC ，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF =（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线； （2）若AB =
5，sin ∠CBF =
1
∠CAB 。 2
A
F ，求BC 和BF 的长。 B
21. 以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制统计图的一部分。
年份
年份
请根据以上信息解答下列问题：
（1）2008年北京市私人轿车拥有是多少万辆（结果保留三个有效数字）？ （2）补全条形统计图；
（3）汽车数量增多除造成交通拥堵外，还增加了碳排放量，为了了解汽车碳排放量的情况，
小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关。如：一辆排量为1.6L 的轿车，如果一年行驶1万千米，这一年，它碳排放量约为2.7吨。于是他调查了他所居住小区的150辆
如果按照小明的统计数据，请你通过计算估计，2010年北京市仅排量为1.6L 的这类私人轿车（假设每辆车平均一行行驶1万千米）的碳排放总量约为多少万吨？ 22. 阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD
相交于点O 。若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC ，BD ，AD +BC 的长度为三边长的三角形的面积。
图1
C
图2
A
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些 分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可。他先后尝试了
翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题。他的方法是过点D
B
作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，得到的△BDE 即是以AC ，BD ，AD +BC 的长度为三边长的三角形（如图2）。
参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，△ABC 的三条中线分别为AD ，BE ，CF 。
（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD ，BE ，CF 的长度为三边 长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）若△ABC 的面积为1，则以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的三角 形的面积等于_______。
五、解答题 (本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)
23. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数
D
图3
y =mx
2+(m -3) x -3(m >0) 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在
点B 的左侧），与y 轴交于点C 。 （1）求点A 的坐标；
（2）当∠ABC =45︒时，求m 的值；
（3）已知一次函数y =kx +b ，点P （n ，0）是x 轴上的一个动点，
在（2）的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数
y =mx 2+(m -3) x -3(m >0) 的图象于N 。若只有当-2
求这个一次函数的解析式。
24. 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F 。
（1）在图1中证明CE =CF ；
（2）若∠ABC =90︒，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若∠ABC =120︒，FG ∥CE ，FG =CE ，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数。
G
25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，我把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C （注：不含AB 线段）。已知A （-1，0），B （1，0），AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上。 （1）求两条射线AE ，BF 所在直线的距离；
（2）当一次函数y =x +b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，写出b 的取值范围；
当一次函数y =x +b 的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，写出b 的取值范围； （3）已知□AMPQ （四个顶点A ，M ，P ，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，求点M 的横坐标x 的取值范围。
2011 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考
阅卷须知：
1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要
过程正确写出即可。
2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。 3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 一、选择题 (本题共32分，每小题4分)
1 2 3 4 5 6 7 8 题号
D C D B A B A B 答案
二、填空题 (本题共16分，每小题4分) 9 10 11 题号
8 答案 a(a-5) 2 圆柱 三、解答题 (本题共30分，每小题5分)
13. (本小题满分5分) [解] (
12 15
0 1
1-1
) -2cos30︒+27+(2-π) 0 2
+33+1 2
=2-2⨯
=2-3+33+1 =2+3。 14. (本小题满分5分)
[解] 去括号，得4x -4>5x-6， 移项，得4x -5x>4-6， 合并，得-x>-2 解得x
所以原不等式的解集是x
[解] a(a+4b) -(a+2b)(a-2b) =a2+4ab -(a2-4b 2) =4ab+4b 2
∵ a2+2ab +b 2=0， ∴ a+b=0，
∴ 原式=4b(a+b)=0。
16. (小题满分5分)
证明：∵ BE//DF，∴ ∠ABE=∠D ，
在△ABE 和△FDC 中，∠ABE=∠D ，AB=FD，∠A=∠F ， ∴ △ABE ≅ △FDC ， ∴ AE=FC。
17. (本小题满分5分)
[解] (1) ∵ 点A (-1，n) 在一次函数y= -2x 的图象上， ∴ n= -2⨯(-1)=2。
∴ 点A 的坐标为(-1,2) 。 ∵ 点A 在反比例函数y=k
x
的图象上， ∴ k= -2，
∴ 反比例函数的解析式为y= -
2x
。 (2) 点P 的坐标为(-2,0) 或(0,4)。
18. (本小题满分5分)
[解] 设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x 千米，
依题意, 得
18318
2x +9=7⨯x
, 解得x=27，
经检验，x=27是原方程的解，且符合题意。
答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米。 四、解答题 (本题共20分，每小题5分) 19. (本小题满分5分)
[解] ∵ ∠ACB=90︒，DE ⊥BC ， ∴ AC//DE，又∵ CE//AD，
∴ 四边形ACED 是平行四边形， ∴ DE=AC=2，
在Rt △CDE 中，由勾股定理得CD=CE 2-DE 2=23, ∵ D是BC 的中点， ∴ BC=2CD=4
.
在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB=AC 2+BC 2=2, ∵ D是BC 的中点，DE ⊥BC ， ∴ EB=EC=4,
∴ 四边形ACEB 的周长=AC+CE +EB +BA=10+2。 20. (本小题满分5分)
(1) 证明：连结AE. ∵ AB是圆O 的直径， ∴ ∠AEB=90︒. ∴∠1+∠2=90︒.
11
∠CAB. ∵∠CBF=∠CAB. 22
∴ ∠1=∠CBF ，∴ ∠CBF +∠2=90︒.
∵ 即∠ABF=90︒. ∵ AB是圆O 的直径， ∴ 直线BF 是圆O 的切线。
∵ AB=AC, ∴ ∠1=
(2) [解] 过点C 作CG ⊥AB 于点G ，∵ sin∠CBF=
5，∠1=∠CBF ，∴ sin∠1=， 55
∵ ∠AEB=90︒,AB=5, ∴BE=AB·sin ∠1=5, ∵ AB=AC，∠AEB=90︒, ∴ BC=2BE=25,
在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE=AB 2-BE 2=25,
2，cos ∠2=，
55
在Rt △CBG 中，可求得GC=4,GB=2。
∴ sin∠2=
∴ AG=3， ∵ GC // BF，∴ △AGC ~ △ABF. ∴21. (本小题满分5分)
[解] (1) 146⨯(1+19%)=173.74≈174(万辆).
所以2008年北京市私人轿车拥有量约 是174万辆. (2) 如右图.
GC AG GC ⋅AB 20
，∴ BF==. =
BF AB AG 3
75
⨯2.7=372.6(万吨). 150
估计2010年北京市仅排量为1.6L 的这类私人轿车的碳排放总量约为 372.6(万吨). 22. (本小题满分5分)
[解] △BDE 的面积等于.
(1) 如图. 以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形是
(3) 276⨯
(2) 以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的三角形面积等于
3.
4
五、解答题 (本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分) 23. (本小题满分7分)
[解] (1) ∵ 点A 、B 是二次函数y=mx2+(m-3)x -3 (m>0)的图象与x 轴的交点, ∴ 令y=0，即mx 2+(m-3)x -3=0，解得x 1= -1, x2=3
, 又∵ 点A 在点B 左侧且m>0, m
∴ 点A 的坐标为(-1,0).
(2) 由(1)可知点B 的坐标为(3m
,0). ∵ 二次函数的图象与y 轴交于点C ， ∴ 点C 的坐标为(0, -3).
∵ ∠ABC=45︒, ∴3
m
=3，∴m=1。
(3) 由(2)得，二次函数解析式为y=x2-2x -3. 依题意并结合图象 可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别 为-2和2, 由此可得交点坐标为(-2,5) 和(2, -3). 将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+b 中， 得 -2k +b=5,且2k +b= -3, 解得k= -2，b=1， ∴ 一次函数的解析式为y= -2x +1。
24. (本小题满分7分) (1) 证明：如图1.
∵ AF平分∠BAD ，∴∠BAF=∠DAF ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD//BC，AB//CD。
∴ ∠DAF=∠CEF ，∠BAF=∠F ， ∴ ∠CEF=∠F ，∴ CE=CF。
(2) ∠BDG=45︒.
(3) [解] 分别连结GB 、GE 、GC(如图2). ∵ AB//DC，∠ABC=120︒， ∴ ∠ECF=∠ABC=120︒， ∵ FG //CE且FG=CE,
∴ 四边形CEGF 是平行四边形. 由(1)得CE=CF, ∴□·CEGF 是菱形, ∴ EG=EC，∠GCF=∠GCE=1
2
∠ECF=60︒. ∴ △ ECG是等边三角形. ∴ EG=CG… , ∠GEC=∠EGC=60︒, ∴∠GEC=∠GCF, ∴∠BEG=∠DCG… ,
由AD//BC及AF 平分∠BAD 可得∠BAE=∠AEB ， ∴AB=BE.
在□ ABCD 中，AB=DC. ∴BE=DC…●
,
由 ●得△BEG ≅ △DCG. ∴ BG=DG，∠1=∠2,
∴ ∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60︒. ∴ ∠BDG=
25. (本小题满分8分)
[解] (1) 分别连结AD 、DB ，则点D 在直线AE 上， 如图1,
∵ 点D 在以AB 为直径的半圆上， ∴ ∠ADB=90︒, ∴ BD⊥AD.
在Rt △DOB 中，由勾股定理得 BD=OD 2+OB 2=2.
∵ AE//BF,两条射线AE 、BF 所在直线的距离为2．
(2) 当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围是 b=2或-1
当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是 1
(3) 假设存在满足题意的□ AMPQ ，根据点M 的位置，分以下四种情况讨论： 当点M 在射线AE 上时，如图2.
∵ A、M 、P 、Q 四点按顺时针方向排列， ∴ 直线PQ 必在直线AM 的上方，
∴ P、Q 两点都在AD 弧上，且不与A 、D 重合. ∴ 0当点M 在AD 弧(不包括点D) 上时，如图3. ∵ A、M 、P 、Q 四点按顺时针方向排列， ∴ 直线PQ 必在直线AM 的下方。
此时，不存在满足题意的平行四边形。
● 当点M 在DB 弧上时，设DB 弧的中点为R ， 则OR//BF.
(i) 当点M 在DR 弧(不包括点R) 上时，如图4. 过点M 作OR 的垂线交DB 弧于点O ， 垂足为点S ，可得S 是MQ 的中点. 连结AS 并延长交直线BF 于点P .
∵ O为AB 的中点，可证S 为AP 的中点
.
1
(180︒-∠BGD)=60︒. 2
∴ 四边形AMPQ 为满足题意的平行四边形. ∴ 0≤x
2.
(ii) 当点M 在RB 上时，如图5.
直线PQ 必在直线AM 的下方.
此时，不存在满足题意的平行四边形.
当点M 在射线BF(不包括点B) 上时，如图6. 直线PQ 必在直线AM 的下方.
此时，不存在满足题意的平行四边形.
综上，点M 的横坐标x 的取值范围是-2
2.
11
第页
2011年北京市高级中等学校招生考试
一、选择题 (本题共32分，每小题4分) 1. -
数 学 试 卷
3
的绝对值是( ) 444A. - B.
33
C. -
3
4
D.
3 4
2. 我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人。将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为( ) A. 66.6⨯107
B. 0.666⨯108
C. 6.66⨯108
D. 6.66⨯107
3. 下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是( ) A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 矩形
4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AD =1，
C
BC =3，则
1A.
2
AO
的值为( ) CO
11B. C.
34
1
D.
9
B
则这10个区县该日最高气温的人数和中位数分别是( ) A. 32，32 B. 32，30 C. 30，32 D. 32，31
6. 一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其它区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为( )
A.
5 18
2
B.
1 3
C.
2 15
D.
1 15
7. 抛物线
y =x -6x +5的顶点坐标为( )
A. （3
，-4） B. （3，4） C. （-3，-4） D. （-3，4）
8. 如图在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，∠BAC =30︒，AB =2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E 。设AD =x ，CE =y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系图象大致是( )
C
二、填空题 (本题共16分，每小题4分)
x -8
的值为0，则x 的值等于________。 x
10. 分解因式：a 3-10a 2+25a =______________。
9. 若分式
11. 若右图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是____________。
12. 在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为a i , j （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i , j ，规定如下：当i ≥j 时，a i , j =1；当i
a 1,1⋅a i ,1+a 1,2⋅a i ,2+a 1,3⋅a i ,3+a 1,4⋅a i ,4+a 1,5⋅a i ,5
的值为________。
三、解答题 (本题共30分，每小题5 分) 13.
计算：() -1-2cos30︒+(2-π)0。
14. 解不等式：4(x -1) >5x -6。
12
15. 已知a 2+2ab +b 2=0，求代数式a (a +4b ) -(a +2b )(a -2b ) 的值。
16. 如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，BE ∥DF ，∠A =∠F ，AB =FD 。 求证：AE =FC 。
17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =-2x 的图象与反比例函
E
k
的图象的一个交点为A （-1，n ）。 x
k
（1）求反比例函数y =的解析式；
x
（2）若P 是坐标轴上一点，且满足PA =OA ，直接写出点P 的坐标。
数y =
A C B D
18. 列方程或方程组解应用题：
京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车。已知小王家距上班地点18千米。他用乘公交车的方式平均每小时行
驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的
3
。小王用自驾车方式上班平均每7
小时行驶多少千米？
三、解答题 (本题共20分，每小题5 分)
19. 如图，在△ABC ，∠ACB =90︒中，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若AC =2，CE =4，求四边形ACEB 的周长。
20. 如图，在△ABC ，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF =（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线； （2）若AB =
5，sin ∠CBF =
1
∠CAB 。 2
A
F ，求BC 和BF 的长。 B
21. 以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制统计图的一部分。
年份
年份
请根据以上信息解答下列问题：
（1）2008年北京市私人轿车拥有是多少万辆（结果保留三个有效数字）？ （2）补全条形统计图；
（3）汽车数量增多除造成交通拥堵外，还增加了碳排放量，为了了解汽车碳排放量的情况，
小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关。如：一辆排量为1.6L 的轿车，如果一年行驶1万千米，这一年，它碳排放量约为2.7吨。于是他调查了他所居住小区的150辆
如果按照小明的统计数据，请你通过计算估计，2010年北京市仅排量为1.6L 的这类私人轿车（假设每辆车平均一行行驶1万千米）的碳排放总量约为多少万吨？ 22. 阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD
相交于点O 。若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC ，BD ，AD +BC 的长度为三边长的三角形的面积。
图1
C
图2
A
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些 分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可。他先后尝试了
翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题。他的方法是过点D
B
作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，得到的△BDE 即是以AC ，BD ，AD +BC 的长度为三边长的三角形（如图2）。
参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，△ABC 的三条中线分别为AD ，BE ，CF 。
（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD ，BE ，CF 的长度为三边 长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）若△ABC 的面积为1，则以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的三角 形的面积等于_______。
五、解答题 (本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)
23. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数
D
图3
y =mx
2+(m -3) x -3(m >0) 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在
点B 的左侧），与y 轴交于点C 。 （1）求点A 的坐标；
（2）当∠ABC =45︒时，求m 的值；
（3）已知一次函数y =kx +b ，点P （n ，0）是x 轴上的一个动点，
在（2）的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数
y =mx 2+(m -3) x -3(m >0) 的图象于N 。若只有当-2
求这个一次函数的解析式。
24. 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F 。
（1）在图1中证明CE =CF ；
（2）若∠ABC =90︒，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若∠ABC =120︒，FG ∥CE ，FG =CE ，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数。
G
25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，我把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C （注：不含AB 线段）。已知A （-1，0），B （1，0），AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上。 （1）求两条射线AE ，BF 所在直线的距离；
（2）当一次函数y =x +b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，写出b 的取值范围；
当一次函数y =x +b 的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，写出b 的取值范围； （3）已知□AMPQ （四个顶点A ，M ，P ，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，求点M 的横坐标x 的取值范围。
2011 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考
阅卷须知：
1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要
过程正确写出即可。
2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。 3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 一、选择题 (本题共32分，每小题4分)
1 2 3 4 5 6 7 8 题号
D C D B A B A B 答案
二、填空题 (本题共16分，每小题4分) 9 10 11 题号
8 答案 a(a-5) 2 圆柱 三、解答题 (本题共30分，每小题5分)
13. (本小题满分5分) [解] (
12 15
0 1
1-1
) -2cos30︒+27+(2-π) 0 2
+33+1 2
=2-2⨯
=2-3+33+1 =2+3。 14. (本小题满分5分)
[解] 去括号，得4x -4>5x-6， 移项，得4x -5x>4-6， 合并，得-x>-2 解得x
所以原不等式的解集是x
[解] a(a+4b) -(a+2b)(a-2b) =a2+4ab -(a2-4b 2) =4ab+4b 2
∵ a2+2ab +b 2=0， ∴ a+b=0，
∴ 原式=4b(a+b)=0。
16. (小题满分5分)
证明：∵ BE//DF，∴ ∠ABE=∠D ，
在△ABE 和△FDC 中，∠ABE=∠D ，AB=FD，∠A=∠F ， ∴ △ABE ≅ △FDC ， ∴ AE=FC。
17. (本小题满分5分)
[解] (1) ∵ 点A (-1，n) 在一次函数y= -2x 的图象上， ∴ n= -2⨯(-1)=2。
∴ 点A 的坐标为(-1,2) 。 ∵ 点A 在反比例函数y=k
x
的图象上， ∴ k= -2，
∴ 反比例函数的解析式为y= -
2x
。 (2) 点P 的坐标为(-2,0) 或(0,4)。
18. (本小题满分5分)
[解] 设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x 千米，
依题意, 得
18318
2x +9=7⨯x
, 解得x=27，
经检验，x=27是原方程的解，且符合题意。
答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米。 四、解答题 (本题共20分，每小题5分) 19. (本小题满分5分)
[解] ∵ ∠ACB=90︒，DE ⊥BC ， ∴ AC//DE，又∵ CE//AD，
∴ 四边形ACED 是平行四边形， ∴ DE=AC=2，
在Rt △CDE 中，由勾股定理得CD=CE 2-DE 2=23, ∵ D是BC 的中点， ∴ BC=2CD=4
.
在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB=AC 2+BC 2=2, ∵ D是BC 的中点，DE ⊥BC ， ∴ EB=EC=4,
∴ 四边形ACEB 的周长=AC+CE +EB +BA=10+2。 20. (本小题满分5分)
(1) 证明：连结AE. ∵ AB是圆O 的直径， ∴ ∠AEB=90︒. ∴∠1+∠2=90︒.
11
∠CAB. ∵∠CBF=∠CAB. 22
∴ ∠1=∠CBF ，∴ ∠CBF +∠2=90︒.
∵ 即∠ABF=90︒. ∵ AB是圆O 的直径， ∴ 直线BF 是圆O 的切线。
∵ AB=AC, ∴ ∠1=
(2) [解] 过点C 作CG ⊥AB 于点G ，∵ sin∠CBF=
5，∠1=∠CBF ，∴ sin∠1=， 55
∵ ∠AEB=90︒,AB=5, ∴BE=AB·sin ∠1=5, ∵ AB=AC，∠AEB=90︒, ∴ BC=2BE=25,
在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE=AB 2-BE 2=25,
2，cos ∠2=，
55
在Rt △CBG 中，可求得GC=4,GB=2。
∴ sin∠2=
∴ AG=3， ∵ GC // BF，∴ △AGC ~ △ABF. ∴21. (本小题满分5分)
[解] (1) 146⨯(1+19%)=173.74≈174(万辆).
所以2008年北京市私人轿车拥有量约 是174万辆. (2) 如右图.
GC AG GC ⋅AB 20
，∴ BF==. =
BF AB AG 3
75
⨯2.7=372.6(万吨). 150
估计2010年北京市仅排量为1.6L 的这类私人轿车的碳排放总量约为 372.6(万吨). 22. (本小题满分5分)
[解] △BDE 的面积等于.
(1) 如图. 以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形是
(3) 276⨯
(2) 以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的三角形面积等于
3.
4
五、解答题 (本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分) 23. (本小题满分7分)
[解] (1) ∵ 点A 、B 是二次函数y=mx2+(m-3)x -3 (m>0)的图象与x 轴的交点, ∴ 令y=0，即mx 2+(m-3)x -3=0，解得x 1= -1, x2=3
, 又∵ 点A 在点B 左侧且m>0, m
∴ 点A 的坐标为(-1,0).
(2) 由(1)可知点B 的坐标为(3m
,0). ∵ 二次函数的图象与y 轴交于点C ， ∴ 点C 的坐标为(0, -3).
∵ ∠ABC=45︒, ∴3
m
=3，∴m=1。
(3) 由(2)得，二次函数解析式为y=x2-2x -3. 依题意并结合图象 可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别 为-2和2, 由此可得交点坐标为(-2,5) 和(2, -3). 将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+b 中， 得 -2k +b=5,且2k +b= -3, 解得k= -2，b=1， ∴ 一次函数的解析式为y= -2x +1。
24. (本小题满分7分) (1) 证明：如图1.
∵ AF平分∠BAD ，∴∠BAF=∠DAF ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD//BC，AB//CD。
∴ ∠DAF=∠CEF ，∠BAF=∠F ， ∴ ∠CEF=∠F ，∴ CE=CF。
(2) ∠BDG=45︒.
(3) [解] 分别连结GB 、GE 、GC(如图2). ∵ AB//DC，∠ABC=120︒， ∴ ∠ECF=∠ABC=120︒， ∵ FG //CE且FG=CE,
∴ 四边形CEGF 是平行四边形. 由(1)得CE=CF, ∴□·CEGF 是菱形, ∴ EG=EC，∠GCF=∠GCE=1
2
∠ECF=60︒. ∴ △ ECG是等边三角形. ∴ EG=CG… , ∠GEC=∠EGC=60︒, ∴∠GEC=∠GCF, ∴∠BEG=∠DCG… ,
由AD//BC及AF 平分∠BAD 可得∠BAE=∠AEB ， ∴AB=BE.
在□ ABCD 中，AB=DC. ∴BE=DC…●
,
由 ●得△BEG ≅ △DCG. ∴ BG=DG，∠1=∠2,
∴ ∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60︒. ∴ ∠BDG=
25. (本小题满分8分)
[解] (1) 分别连结AD 、DB ，则点D 在直线AE 上， 如图1,
∵ 点D 在以AB 为直径的半圆上， ∴ ∠ADB=90︒, ∴ BD⊥AD.
在Rt △DOB 中，由勾股定理得 BD=OD 2+OB 2=2.
∵ AE//BF,两条射线AE 、BF 所在直线的距离为2．
(2) 当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围是 b=2或-1
当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是 1
(3) 假设存在满足题意的□ AMPQ ，根据点M 的位置，分以下四种情况讨论： 当点M 在射线AE 上时，如图2.
∵ A、M 、P 、Q 四点按顺时针方向排列， ∴ 直线PQ 必在直线AM 的上方，
∴ P、Q 两点都在AD 弧上，且不与A 、D 重合. ∴ 0当点M 在AD 弧(不包括点D) 上时，如图3. ∵ A、M 、P 、Q 四点按顺时针方向排列， ∴ 直线PQ 必在直线AM 的下方。
此时，不存在满足题意的平行四边形。
● 当点M 在DB 弧上时，设DB 弧的中点为R ， 则OR//BF.
(i) 当点M 在DR 弧(不包括点R) 上时，如图4. 过点M 作OR 的垂线交DB 弧于点O ， 垂足为点S ，可得S 是MQ 的中点. 连结AS 并延长交直线BF 于点P .
∵ O为AB 的中点，可证S 为AP 的中点
.
1
(180︒-∠BGD)=60︒. 2
∴ 四边形AMPQ 为满足题意的平行四边形. ∴ 0≤x
2.
(ii) 当点M 在RB 上时，如图5.
直线PQ 必在直线AM 的下方.
此时，不存在满足题意的平行四边形.
当点M 在射线BF(不包括点B) 上时，如图6. 直线PQ 必在直线AM 的下方.
此时，不存在满足题意的平行四边形.
综上，点M 的横坐标x 的取值范围是-2
2.
11
第页