二次函数典型例题解析
关于二次函数的概念
例1 如果函数y =(m -3) x m -3m +2+mx +1是二次函数，那么m 的值为 。
例2 抛物线y =x 2+2x -4的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。
2
关于二次函数的性质及图象 例3 函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象如图所示， ∆a +b +c a -b +c 则a 、b 、c ，，，的符号
为 ，
例4 老师给出一个函数y=f（x ）, 甲, 乙, 丙, 丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。
例5 已知二次函数y=x2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是（只要写出一个可能的解析式）
例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ）
（A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限 例7 k
例8 在同一坐标系中，直线y =ax +b 和抛物线y =ax 2+bx +c 的图象只可能是（ ）
确定二次函数的解析式
2例9 已知：函数y =ax +bx +c 的图象如图：那么函数解析式为（
（A ）y =-x 2+2x +3 （B ）y =x 2-2x -3
（C ）y =-x -2x +3 （D ）y =-x -2x -3
22
例10 如图：△ABC 是边长为4的等边三角形，AB 在X 轴上，
点C 在第一象限，AC 与Y 轴交于点D ，点A 的坐标为（-1，0）
（1） 求 B、C 、D 三点的坐标；
（2） 抛物线y =ax 2+bx +c 经过B 、C 、D 三点，求它的解析式；
以二次函数为基架的综合题
例11 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）（0，3），对称轴x= -1。
① 求函数解析式；
② 若图象与x 轴交于A 、B （A 在B 左）与y 轴交于C, 顶点D ，求四边形ABCD 的面积。
例12 已知：抛物线y =-3x 2-2x +m 与X 轴分别交于A 、B 两点（点A 在B 的左边），点P 为抛物线的顶点，（1）若抛物线的顶点在直线y =3x +1上，求抛物线的解析式； 3
（2）若AP ∶BP ∶AB=1∶1∶2，求抛物线的解析式。
例12 已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+6)，设抛物线顶点为A ，与x 轴交于B 、C 两点，问是否存在实数m, 使△ABC 为等腰直角三角形，如果存在求m; 若不存在说明理由。
例13 已知：抛物线y=ax2+bx+c过点A （-1，4），其顶点的横坐标是1/2，与X 轴分别交于B （x 1，0），C （x 2，0）两点（其中x 1
练习题：
21． 已知：抛物线y =mx -(3m +) x +4与X 轴交于两点A 、B ，与Y 轴交于C 点，若△ABC 是等腰4
3
三角形，求抛物线的上解析式。
2． 知抛物线y =ax 2+bx +c 经过P （-2，-2），且与X 轴交于点A ，与Y 轴交于点B ，点A 的横坐标是方程⎧2x -1≥041-=1的根，点B 的纵坐标是不等式组⎨的整数解，求抛物线的解析式。 x x -1⎩4-3x >0
3．抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为A （2，-3），与直线y =-3x +1有一个交点且该交点的横坐标为1。
⑴求它的解析式；
⑵设抛物线对称轴与x 轴交于B 点，抛物线与y 轴交于C 点，求△ABC 的面积。
24．已知：抛物线y =x +mx +6与X 轴相交于点A 、B ，点P 是抛物线的顶点，（1）当△PAB 的面积为
1时，求抛物线的解析式；（2）是否存在实数m ，能使△PAB 为正三角形，若存在，求出m 的值；若不8
存在，说明理由。
二次函数典型例题解析
关于二次函数的概念
例1 如果函数y =(m -3) x m -3m +2+mx +1是二次函数，那么m 的值为 。
例2 抛物线y =x 2+2x -4的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。
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关于二次函数的性质及图象 例3 函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象如图所示， ∆a +b +c a -b +c 则a 、b 、c ，，，的符号
为 ，
例4 老师给出一个函数y=f（x ）, 甲, 乙, 丙, 丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。
例5 已知二次函数y=x2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是（只要写出一个可能的解析式）
例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ）
（A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限 例7 k
例8 在同一坐标系中，直线y =ax +b 和抛物线y =ax 2+bx +c 的图象只可能是（ ）
确定二次函数的解析式
2例9 已知：函数y =ax +bx +c 的图象如图：那么函数解析式为（
（A ）y =-x 2+2x +3 （B ）y =x 2-2x -3
（C ）y =-x -2x +3 （D ）y =-x -2x -3
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例10 如图：△ABC 是边长为4的等边三角形，AB 在X 轴上，
点C 在第一象限，AC 与Y 轴交于点D ，点A 的坐标为（-1，0）
（1） 求 B、C 、D 三点的坐标；
（2） 抛物线y =ax 2+bx +c 经过B 、C 、D 三点，求它的解析式；
以二次函数为基架的综合题
例11 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）（0，3），对称轴x= -1。
① 求函数解析式；
② 若图象与x 轴交于A 、B （A 在B 左）与y 轴交于C, 顶点D ，求四边形ABCD 的面积。
例12 已知：抛物线y =-3x 2-2x +m 与X 轴分别交于A 、B 两点（点A 在B 的左边），点P 为抛物线的顶点，（1）若抛物线的顶点在直线y =3x +1上，求抛物线的解析式； 3
（2）若AP ∶BP ∶AB=1∶1∶2，求抛物线的解析式。
例12 已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+6)，设抛物线顶点为A ，与x 轴交于B 、C 两点，问是否存在实数m, 使△ABC 为等腰直角三角形，如果存在求m; 若不存在说明理由。
例13 已知：抛物线y=ax2+bx+c过点A （-1，4），其顶点的横坐标是1/2，与X 轴分别交于B （x 1，0），C （x 2，0）两点（其中x 1
练习题：
21． 已知：抛物线y =mx -(3m +) x +4与X 轴交于两点A 、B ，与Y 轴交于C 点，若△ABC 是等腰4
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三角形，求抛物线的上解析式。
2． 知抛物线y =ax 2+bx +c 经过P （-2，-2），且与X 轴交于点A ，与Y 轴交于点B ，点A 的横坐标是方程⎧2x -1≥041-=1的根，点B 的纵坐标是不等式组⎨的整数解，求抛物线的解析式。 x x -1⎩4-3x >0
3．抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为A （2，-3），与直线y =-3x +1有一个交点且该交点的横坐标为1。
⑴求它的解析式；
⑵设抛物线对称轴与x 轴交于B 点，抛物线与y 轴交于C 点，求△ABC 的面积。
24．已知：抛物线y =x +mx +6与X 轴相交于点A 、B ，点P 是抛物线的顶点，（1）当△PAB 的面积为
1时，求抛物线的解析式；（2）是否存在实数m ，能使△PAB 为正三角形，若存在，求出m 的值；若不8
存在，说明理由。