第３３卷第１０期 ２０１４年１０月 数学教学研究９５
识破高考题中基本不等式的真面目
刘运明
）（江西省南康中学 ３４１４００
摘 要：近几年基本不等式在高考题中的出现与应用，其特点是隐蔽性多样化，整合性强．只要在解题过程中善于捕捉并发现基本不等式隐藏的情境，定能及时揭开其神秘的面纱，定能做到解题神速智取．
关键词：高考；基本不等式；应用中图分类号：６３２Ｇ
如函数、方程、 基本不等式与很多知识（数列、三角、向量、解几等）联系紧密，多年来基本不等式是高考中不可缺少的一个考点．从新课标的要求来看，似乎对基本不等式的考查要求并不高，但纵观近几年的高考试题，基本不等式问题都“隐藏”在其中，分散在相关知识考查中，且呈现出整合的趋势．本文从以下几方面例析如何将“隐藏”的基本不等式显现其真面目．
基１ 以函数与方程的关系为背景搭建戏台，本不等式唱主角
例１ （对于实数ａ和ｂ，０１２年福建卷）２：定义运算“＊”
２
，－ａａ≤ｂ）ｂ（ａ＊ｂ＝２
，－ａａ＞ｂ）ｂ（与ｙ＝ｍ有３个不同的交点．不妨设ｘｘ１＜２（由函数图像３图略）可得＜ｘ３，
０＜ｘ１，＜ｘ＜ｘ１＜２＜３＜
４２且 ｘｘ１．２＋３＝
此处隐藏着基本不等式由于所求为ｘｘｘ１２３，
ｘｘｘ２２＋３＞２３可得
，
４
ｘｘ２３＜所以
，
×ｘｘ０＞ｘ１２３＞１＞
４４４，）即 ｘｘｘ０．１２３∈１６
感悟 数形结合是本题的指导思想，正确写出函数式是前提，关键是由图像特征寻找定值与变量，以基本不等式为纽带，成功的沟通定值ｘ使ｘｘ２＋３与变量ｘ２３的关系，问题迎刃而解．
基本不等式蓦然现身２ 在解三角形中，
例２ （０１３年新课标卷Ⅱ）ＢＣ的２△Ａ内角Ａ，已知ａ＝Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，
，设ｆ（且关于ｘ的方＝（２ｘ）ｘ－１）ｘ－１）＊（恰有３个互不相等的实程ｆ（ｘ）ｍ∈Ｒ）＝ｍ（
则ｘ数根ｘｘｘｘｘ１，２，３，１２３的取值范围是
．
解析 首先，根据题中定义的运算得到的解析式分段函数ｆ（ｘ）
２
），ｘ－ｘ（ｘ≤０（）ｆｘ＝２
（），－ｘ＋ｘｘ＞０
恰有３个互不相等的方程ｆ（ｘ）ｍ∈Ｒ）＝ｍ（可以转化为函数ｙ＝ｆ（实数根ｘｘｘｘ）１，２，３，
ｂｃＣ＋ｃｓＢ．ｏｓｉｎ
（求Ｂ；Ⅰ）
６０数学教学研究 第３３卷第１０期 ２０１４年１０月
（Ⅱ）
若ｂ＝２，求△ＡＢＣ面积的最大值．解析 （Ⅰ）
由已知及正弦定理得ｓｉｎ Ａ＝ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ＋ｓｉｎ Ｃｓｉｎ
Ｂ，（１
）又Ａ＝π－（Ｂ＋Ｃ）
，故ｓｉｎ
Ａ＝ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ＋ｃｏｓ Ｂｓｉｎ
Ｃ．（２
）由（１）（２）和Ｃ∈（０，π）得ｓｉｎ Ｂ＝ｃｏｓ
Ｂ．又Ｂ∈（０，π
），所以Ｂ＝４．（Ⅱ）△ＡＢＣ的面积Ｓ＝２ｃｓｉｎ
Ｂ＝４ｃ．由已知及余弦定理得
４＝
ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓ４
．又ａ２
＋ｃ２
≥２ａｃ，
故ａｃ≤
２－，
当且仅当Ａ＝Ｃ时，
等号成立．因此△ＡＢＣ面积的最大值为＋１．感悟 解三角形问题是常规问题，而本题的亮点是在余弦定理中渗入基本不等式，基本不等式充当着隐蔽性很强的“幕后杀手”这一重要角色，真是“该出手时即出手，风风火火闯九州”．
在向量运算中，基本不等式被秘密隐藏例３ （２０１２年安徽卷）若平面向量ａ，ｂ满足｜２
ａ－ｂ｜≤３，则ａ·ｂ的最小值是．
解析 这是一个向量运算情境的问题．由所求量易想到将条件两边平方可得
４
ａ·ｂ＋９≥４ａ２＋ｂ２．在４ａ２＋ｂ
２
中隐藏着基本不等式：４ａ２＋ｂ２＝４｜
ａ｜２＋｜ｂ｜２
≥４｜ａ｜｜
ｂ｜≥－４ａ·ｂ．进而寻找ａ·ｂ与｜ａ｜｜
ｂ｜之间的不等关系，即ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ≥－｜ａ｜｜
ｂ｜，所以
｜ａ｜｜ｂ｜≥－ａ·ｂ．从而
４
ａ·ｂ＋９≥－４ａ·ｂ，ａ·ｂ≥－８
．
感悟 此题基于向量的运算展开，在运
算的过程中将目标指向基本不等式，即在４ａ２
＋ｂ２中隐藏着基本不等式，即４ａ２＋ｂ２
＝４｜ａ２＋｜ｂ｜２
≥－４
ａ·ｂ．我们不禁惊呼：基本不等式在此处真是深藏不露，惊心动魄． 基本不等式在解析几何中，英雄有用武之地
例４ （２
０１２年天津卷）设ｍ，ｎ∈Ｒ，若直线（ｍ＋１）ｘ＋（ｎ＋１）ｙ－２＝０与圆（ｘ－１）２
＋（ｙ－１
）２＝１相切，则ｍ＋ｎ的取值范围为（ ）
．（Ａ）
［１－１＋（Ｂ）（－∞，１－∪［１＋＋∞）（Ｃ）［２－２＋（Ｄ）（－∞，２－∪［２＋＋∞）解析 由条件可得
（）·（）·ｍ＋１２＋ｎ＋１２
＝ｒ＝１，化简得
ｍ＋ｎ＋１＝ｎｍ．
此式中隐藏着一个基本不等式
ｍｎ≤）
２２
，
由此可得
ｍ＋ｎ＋１≤
（）２
４，即 （ｍ＋ｎ）２
－４（ｍ＋ｎ）－４≥０，
解得
ｍ＋ｎ≥２＋２ｍ＋ｎ≤２－２故选Ｄ．
感悟 此处是直线与圆的位置关系问
｜４３
第３３卷第１０期 ２０１４年１０月 数学教学研究１６
题，看上去相当常规，其新颖之处就在于将参数范围问题置于构造基本不等式的情境中，真可谓英雄虎胆至极，的确是“不识庐山真面目，只缘身在此山中”．
５ 在数列与三角的综合问题中，巧用基本不等式
例５ （２０１３年上海卷）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，点Ａ在ｙ轴正半轴上，点Ｐｎ在ｘ轴上，其横坐标为ｘｎ，且｛ｘｎ｝是首项为１，公比为２的等比数列，记∠ＰｎＡＰｎ－１＝Ｑｎ，
ｎ∈Ｎ＋．（Ⅰ）
若Ｑ３＝ａｒｃｔａｎ３，求点Ａ的坐标；（Ⅱ）若点Ａ的坐标为（０，８，求Ｑｎ的最大值及相应ｎ的值．
解析 （Ⅰ）如图１，设Ａ（０，ｔ），根据题意得ｘｎ＝
２ｎ－１
，由Ｑ３＝ａｒｃｔａｎ３
，知ａｒｃｔａｎ
Ｑ３＝３
，而 ｔａｎ Ｑ３＝ｔａｎ（∠Ｏ
ＡＰ４－∠ＯＡＰ３）４３
＝
－１＋ｘ４ｘ３
ｔ·
ｔ＝ｔ（ｘ４－ｘ３）ｔ２
＋ｘ４ｘ３
＝ｔ２
＋３２，所以
ｔ２
＋３２＝３．解得
ｔ＝４或ｔ＝８．
故点Ａ的坐标为（０，４）或（０，８）
．
图１
（Ⅱ）由题意，点Ｐｎ的坐标为（２ｎ－１
，０），ｎ－ｔａｎ∠ＯＡＰｎ＝１
８，ｔａｎ Ｑｎ＝ｔａｎ（∠ＯＡＰｎ＋１－∠ＯＡＰｎ）
ｎｎ－１
＝－ｎ－１
ｎｎ－１＝ｎ－１
１＋８·８８＋８＝
ｎ
．２ｎ＋８因为
ｎ
２ｎ＋８≥２，所以
ｔａｎ Ｑｎ≤２４，当且仅当ｎ２ｎ＝８即ｎ＝４时等号成立．易知０＜Ｑｎ＜
２，ｙ＝ｔａｎ ｘ在（０２）上为增函数，因此，当ｎ＝４时，Ｑｎ最大，其最大值为ａｒｃｔａｎ４
．感悟 此题展现出数列与三角的精彩嫁接，整合的形式新颖别致，令人赏心悦目，耐人寻味无穷．而基本不等式正是充当着美丽且善良又能干的天使，促进数列与三角两者的完美结合，并顺利圆满结出成功的硕果．
考题千变万化，但万变不离其宗．通过适当的例题、习题教学，让学生把握有关基本不等式的解题策略，在此基础上，根据问题的具体特点，你定能借得一双慧眼，洞察其真面目，让基本不等式问题原形毕露，水落石出，到那时将是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”．
（收稿日期：２０１４－０５－０６
）
第３３卷第１０期 ２０１４年１０月 数学教学研究９５
识破高考题中基本不等式的真面目
刘运明
）（江西省南康中学 ３４１４００
摘 要：近几年基本不等式在高考题中的出现与应用，其特点是隐蔽性多样化，整合性强．只要在解题过程中善于捕捉并发现基本不等式隐藏的情境，定能及时揭开其神秘的面纱，定能做到解题神速智取．
关键词：高考；基本不等式；应用中图分类号：６３２Ｇ
如函数、方程、 基本不等式与很多知识（数列、三角、向量、解几等）联系紧密，多年来基本不等式是高考中不可缺少的一个考点．从新课标的要求来看，似乎对基本不等式的考查要求并不高，但纵观近几年的高考试题，基本不等式问题都“隐藏”在其中，分散在相关知识考查中，且呈现出整合的趋势．本文从以下几方面例析如何将“隐藏”的基本不等式显现其真面目．
基１ 以函数与方程的关系为背景搭建戏台，本不等式唱主角
例１ （对于实数ａ和ｂ，０１２年福建卷）２：定义运算“＊”
２
，－ａａ≤ｂ）ｂ（ａ＊ｂ＝２
，－ａａ＞ｂ）ｂ（与ｙ＝ｍ有３个不同的交点．不妨设ｘｘ１＜２（由函数图像３图略）可得＜ｘ３，
０＜ｘ１，＜ｘ＜ｘ１＜２＜３＜
４２且 ｘｘ１．２＋３＝
此处隐藏着基本不等式由于所求为ｘｘｘ１２３，
ｘｘｘ２２＋３＞２３可得
，
４
ｘｘ２３＜所以
，
×ｘｘ０＞ｘ１２３＞１＞
４４４，）即 ｘｘｘ０．１２３∈１６
感悟 数形结合是本题的指导思想，正确写出函数式是前提，关键是由图像特征寻找定值与变量，以基本不等式为纽带，成功的沟通定值ｘ使ｘｘ２＋３与变量ｘ２３的关系，问题迎刃而解．
基本不等式蓦然现身２ 在解三角形中，
例２ （０１３年新课标卷Ⅱ）ＢＣ的２△Ａ内角Ａ，已知ａ＝Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，
，设ｆ（且关于ｘ的方＝（２ｘ）ｘ－１）ｘ－１）＊（恰有３个互不相等的实程ｆ（ｘ）ｍ∈Ｒ）＝ｍ（
则ｘ数根ｘｘｘｘｘ１，２，３，１２３的取值范围是
．
解析 首先，根据题中定义的运算得到的解析式分段函数ｆ（ｘ）
２
），ｘ－ｘ（ｘ≤０（）ｆｘ＝２
（），－ｘ＋ｘｘ＞０
恰有３个互不相等的方程ｆ（ｘ）ｍ∈Ｒ）＝ｍ（可以转化为函数ｙ＝ｆ（实数根ｘｘｘｘ）１，２，３，
ｂｃＣ＋ｃｓＢ．ｏｓｉｎ
（求Ｂ；Ⅰ）
６０数学教学研究 第３３卷第１０期 ２０１４年１０月
（Ⅱ）
若ｂ＝２，求△ＡＢＣ面积的最大值．解析 （Ⅰ）
由已知及正弦定理得ｓｉｎ Ａ＝ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ＋ｓｉｎ Ｃｓｉｎ
Ｂ，（１
）又Ａ＝π－（Ｂ＋Ｃ）
，故ｓｉｎ
Ａ＝ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ＋ｃｏｓ Ｂｓｉｎ
Ｃ．（２
）由（１）（２）和Ｃ∈（０，π）得ｓｉｎ Ｂ＝ｃｏｓ
Ｂ．又Ｂ∈（０，π
），所以Ｂ＝４．（Ⅱ）△ＡＢＣ的面积Ｓ＝２ｃｓｉｎ
Ｂ＝４ｃ．由已知及余弦定理得
４＝
ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓ４
．又ａ２
＋ｃ２
≥２ａｃ，
故ａｃ≤
２－，
当且仅当Ａ＝Ｃ时，
等号成立．因此△ＡＢＣ面积的最大值为＋１．感悟 解三角形问题是常规问题，而本题的亮点是在余弦定理中渗入基本不等式，基本不等式充当着隐蔽性很强的“幕后杀手”这一重要角色，真是“该出手时即出手，风风火火闯九州”．
在向量运算中，基本不等式被秘密隐藏例３ （２０１２年安徽卷）若平面向量ａ，ｂ满足｜２
ａ－ｂ｜≤３，则ａ·ｂ的最小值是．
解析 这是一个向量运算情境的问题．由所求量易想到将条件两边平方可得
４
ａ·ｂ＋９≥４ａ２＋ｂ２．在４ａ２＋ｂ
２
中隐藏着基本不等式：４ａ２＋ｂ２＝４｜
ａ｜２＋｜ｂ｜２
≥４｜ａ｜｜
ｂ｜≥－４ａ·ｂ．进而寻找ａ·ｂ与｜ａ｜｜
ｂ｜之间的不等关系，即ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ≥－｜ａ｜｜
ｂ｜，所以
｜ａ｜｜ｂ｜≥－ａ·ｂ．从而
４
ａ·ｂ＋９≥－４ａ·ｂ，ａ·ｂ≥－８
．
感悟 此题基于向量的运算展开，在运
算的过程中将目标指向基本不等式，即在４ａ２
＋ｂ２中隐藏着基本不等式，即４ａ２＋ｂ２
＝４｜ａ２＋｜ｂ｜２
≥－４
ａ·ｂ．我们不禁惊呼：基本不等式在此处真是深藏不露，惊心动魄． 基本不等式在解析几何中，英雄有用武之地
例４ （２
０１２年天津卷）设ｍ，ｎ∈Ｒ，若直线（ｍ＋１）ｘ＋（ｎ＋１）ｙ－２＝０与圆（ｘ－１）２
＋（ｙ－１
）２＝１相切，则ｍ＋ｎ的取值范围为（ ）
．（Ａ）
［１－１＋（Ｂ）（－∞，１－∪［１＋＋∞）（Ｃ）［２－２＋（Ｄ）（－∞，２－∪［２＋＋∞）解析 由条件可得
（）·（）·ｍ＋１２＋ｎ＋１２
＝ｒ＝１，化简得
ｍ＋ｎ＋１＝ｎｍ．
此式中隐藏着一个基本不等式
ｍｎ≤）
２２
，
由此可得
ｍ＋ｎ＋１≤
（）２
４，即 （ｍ＋ｎ）２
－４（ｍ＋ｎ）－４≥０，
解得
ｍ＋ｎ≥２＋２ｍ＋ｎ≤２－２故选Ｄ．
感悟 此处是直线与圆的位置关系问
｜４３
第３３卷第１０期 ２０１４年１０月 数学教学研究１６
题，看上去相当常规，其新颖之处就在于将参数范围问题置于构造基本不等式的情境中，真可谓英雄虎胆至极，的确是“不识庐山真面目，只缘身在此山中”．
５ 在数列与三角的综合问题中，巧用基本不等式
例５ （２０１３年上海卷）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，点Ａ在ｙ轴正半轴上，点Ｐｎ在ｘ轴上，其横坐标为ｘｎ，且｛ｘｎ｝是首项为１，公比为２的等比数列，记∠ＰｎＡＰｎ－１＝Ｑｎ，
ｎ∈Ｎ＋．（Ⅰ）
若Ｑ３＝ａｒｃｔａｎ３，求点Ａ的坐标；（Ⅱ）若点Ａ的坐标为（０，８，求Ｑｎ的最大值及相应ｎ的值．
解析 （Ⅰ）如图１，设Ａ（０，ｔ），根据题意得ｘｎ＝
２ｎ－１
，由Ｑ３＝ａｒｃｔａｎ３
，知ａｒｃｔａｎ
Ｑ３＝３
，而 ｔａｎ Ｑ３＝ｔａｎ（∠Ｏ
ＡＰ４－∠ＯＡＰ３）４３
＝
－１＋ｘ４ｘ３
ｔ·
ｔ＝ｔ（ｘ４－ｘ３）ｔ２
＋ｘ４ｘ３
＝ｔ２
＋３２，所以
ｔ２
＋３２＝３．解得
ｔ＝４或ｔ＝８．
故点Ａ的坐标为（０，４）或（０，８）
．
图１
（Ⅱ）由题意，点Ｐｎ的坐标为（２ｎ－１
，０），ｎ－ｔａｎ∠ＯＡＰｎ＝１
８，ｔａｎ Ｑｎ＝ｔａｎ（∠ＯＡＰｎ＋１－∠ＯＡＰｎ）
ｎｎ－１
＝－ｎ－１
ｎｎ－１＝ｎ－１
１＋８·８８＋８＝
ｎ
．２ｎ＋８因为
ｎ
２ｎ＋８≥２，所以
ｔａｎ Ｑｎ≤２４，当且仅当ｎ２ｎ＝８即ｎ＝４时等号成立．易知０＜Ｑｎ＜
２，ｙ＝ｔａｎ ｘ在（０２）上为增函数，因此，当ｎ＝４时，Ｑｎ最大，其最大值为ａｒｃｔａｎ４
．感悟 此题展现出数列与三角的精彩嫁接，整合的形式新颖别致，令人赏心悦目，耐人寻味无穷．而基本不等式正是充当着美丽且善良又能干的天使，促进数列与三角两者的完美结合，并顺利圆满结出成功的硕果．
考题千变万化，但万变不离其宗．通过适当的例题、习题教学，让学生把握有关基本不等式的解题策略，在此基础上，根据问题的具体特点，你定能借得一双慧眼，洞察其真面目，让基本不等式问题原形毕露，水落石出，到那时将是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”．
（收稿日期：２０１４－０５－０６
）