第四章 曲线运动 万有引力定律
[考点解读]
顿第二定律、机械能守恒定律等知识在圆周运动中的具体应用。本章中所涉及到的基本方法与第二章牛顿定律的方法基本相同，只是在具体应用知识的过程中要注意结合圆周运动的特点：物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物体的受力情况同样也是本章的基本方法；只有物体所受的合外力的
A
外，由于在具体的圆周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力对物体不做功，所以物体的机械能守恒。
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
[解题方法指导]
[例题1] 关于互成角度的两个匀变速直线运动的合运动，下述说法中正确的是[ ]
A
．一定是直线运动
B ．一定是曲线运动 C ．一定是匀变速运动
D ．可能是直线运动，也可能是曲线运动
[思路点拨] 本题概念性很强，正确进行判定的关键在于搞清物体曲线运动的条件：物体 运动方向与受力方向不在同一直线上．另外题目中“两个匀变速直线运动”并没讲是否有初速
度，这在一定程度上也增大了题目的难度．
[解题过程] 若两个运动均为初速度为零的匀变速直线运动，如图5－1(A)所示，则合运动必为匀变速直线运动．
若两个运动之一的初速度为零，另一个初速度不为零，如图5－1(B)所示，则合运动必为曲线运动．
若两个运动均为初速度不为零的匀变速直线运动，则合运动又有两种情况：①合速度v 与合加速度a 不共线，如图5－1(C)所示．②合速度v 与合加速度a 恰好共线．显然前者为曲线运动，后者为直线运动．
由于两个匀变速直线运动的合加速度必恒定，故不仅上述直线运动为匀变速直线运动，上述曲线运动也为匀变速运动． 本题正确答案应为：C 和D ．
[小结] 正确理解物体做曲线运动的条件是分析上述问题的关键．曲线运动由于其运动方向时刻改变(无论其速度大小是否变化) ，必为变速运动．所以曲线运动的物体必定要受到合外力作用，以改变其运动状态．由于与运动方向沿同一直线的力，只能改变速度的大小；而与运动方向相垂直的力，才能改变物体的运动方向．故做曲线运动的物体的动力学条件应是受到与运动方向不在同一直线的外力作用．
[例题2] 一只小船在静水中速度为u ，若水流速度为v ， 要使之渡过宽度为L 的河，试分析为使渡河时间最短，应如何行驶？
[思路点拨] 小船渡河是一典型的运动合成问题．小船船头指向(即在静水中的航向) 不同，合运动即不同．在该问题中易出现的一个典型错误是认为小船应按图5－2(A)所示，逆水向上渡河，原因是这种情况下渡河路程最短，故用时也最短．真是这样吗？
[解题过程] 依据合运动与分运动的等时性，设船头斜向上游并最终垂直到达对岸所需时间为tA ，则
设船头垂直河岸渡河，如图5－2(B)所示，所需的时间为tB ，则
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
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-高中物理习题汇编 第四章 曲线运动 万有引力定律
省实验中学物理组
比较上面两式易得知：tA ＞tB ．又由于从A 点到达对岸的所有路径中AB 最短，故
[小结] (1)如果物体同时参加两个(或两个以上) 分运动，可以使之依次参加各分运动，最终效果相同，即物体同时参与的分运动是相互独立的、彼此互不干扰，称之为运动的独立性原理．
(2)通过本题对两个互成角度分运动的合成的研究方法已见一斑，关键就是正确使
用矢量计算法则．为使之理解更深刻，请参看下面问题．
若已知小船在静水中航速为u ，水流速度为v(v＞u) ，试用矢量运算法则研究船向何方向航行时，船被河水向下游冲的距离最小．
做有向线段AB ，用以表示水流速度v ，再以B 端为圆心，以表示小船在静水中速度u 大小的线段BC 为半径做圆弧，得到图5－3．依矢量合成法则，该图中从A 点向圆弧任意点C 所做的有向线段，就应该是此状态下的合速度．
现从A 点作圆的切线AD ，(由图可知) 显然有向线段AD 所表示的即为向下游所冲距离最小时合速度．由图5－3也不难看出此时船头指向应由图中α角表示
【例3】 小船在200 m 宽的河中横渡, 水流速度为2 m/s,船在静水中的航速是4 m/s,求: (1)
小船怎样过河时间最短, 最短时间是多少. (2)小船怎样过河位移最小, 最小位移是多少?
[拓展] 上题中如果水流速度是4m/s,船在静水中的航速是2m/s,求(1)小船怎样过河时间最短, 最短时间是多少?(2)小船怎样过河位移最小, 最小位移是多少?
[小结] 解决这类问题时, 首先要明确哪是合运动, 哪是分运动, 然后根据合运动和分运动的等时性及平行四边形定则求解, 解题时要注意画好示意图.
【例4】如图所示，在离水面高H 的岸边有人以大小为
V 0的速度匀速收绳使船靠岸。当船与岸上的定滑轮水平距离为S 时，船速是多大？
【解析】收绳时使船靠岸，船水平向左运动（船的实际运动方向）是合运动，其速度为V 。可看成是由两个运动的合运动：即一个分运动是沿绳收缩方向，速度大小V 1=V0；另一个是倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
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-高中物理习题汇编 第四章 曲线运动 万有引力定律 省实验中学物理组 垂直绳的方向使绳摆动的方向，设速度大小为V 2。设此时绳与水平面的夹角为θ，则
cos θ=S /S 2+H 2
由图可以看出：V =S 2+H 2⋅V 0/S
一个速度矢量按矢量运算法则分解为两个分速度，若与实际情况不符，则所分解得到的分速度毫无物理意义，所以，速度分解的一个基本原则就是按实际效果进行分解。常用的思想方法就是先确定合运动的方向（物体实际运动的方向），然后分析这个合运动所产生的实际效果[一方面沿绳（杆）伸缩的效果；另一方面使绳（杆）转动的效果]以确定两个分速度的方向。由此而构建一个绳拉物(或物拉绳) 类运动的模型。
【例5】 如图所示, 在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下, 小车匀速向右运动时, 物体A 的受力情况是( ) A 、绳的拉力大于A 的重力； B 、绳的拉力等于A 的重力； C 、绳的拉力小于A 的重力；
D 、绳的拉力先大于A 的重力，后变为小于A 的重力；
[例题6] 如图所示，水平圆盘上放一木块m ，木块随着圆盘一起以角速 度ω匀速转动，则物体对圆盘的摩擦力为多少?
[分析与解答] 物体随圆盘一起绕轴线转动，需要向心力，而竖直方向物体受到的重力mg 、支持力N 不可能提供向心力，向心力只能来源于圆盘对物体的静摩擦力．因此根据牛顿第二定律可求出物体受到的静摩擦
2
力的大小：f=F向=mωr 方向沿半径指向圆心．
[例题7] 行星的平均密度为ρ，靠近行星表面的卫星，其运行周期为T ，试证明ρT 2为一常数。
[分析与解答] 将行星看作一球体，半径为R
M M
则ρ= =
3V
πR 3
对卫星，万有引力提供向心力，贴地运行轨道半径r =R
Mm 4π2
G 2=m 2R 代入上式得 R T
ρT 2=
3π
，G 为万有引力恒量，ρT 2是一个对任何行星都适用的常数。 G
可见，若近地卫星运行周期为T ，则行星平均密度ρ=3π/GT 2
点拨：若不是近地卫星，利用环绕周期T 和轨道半径可计算行星质量M 和密度ρ。
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
4π2r 33πr 3
M =，ρ= 223
GT GT R
[例题8]两颗人造卫星绕地球做圆周运动，周期之比T A :T B =18:，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（） A. R A :R B =41: B. v A :v B =12:
C. R A :R B =14:，v A :v B =12:
:，v A :v B =21: D. R A :R B =14
[分析与解答] 由卫星绕行星做匀速圆周运动所需向心力由万有引力提供
mM v 22π
G 2=m =m () 2⋅r
r T r
GM 4π2r 3，T = ∴v =r GM 即v ∝
1
（r 越大，v 越小） r
T ∝r 3（r 越大，T 越大）
答案应选D
[点拨] 卫星绕中心球体作圆轨道运行时，其轨道半径、速度、周期三个量中任意一个量确定之后，其它两个量也就确定了。例如地球同同步卫星。就有“三一定”关系。
. ⨯104km ，轨道一定。––––在赤道上空，高度一定––––离地面36运行速度一定–––
约3km /s 。就是这种特点的体现。
[例题9] 人造卫星沿圆轨道环绕地球运动，因为大气阻力的作用，其运动的高度将逐渐变化，由于高度变化很慢，在变化过程中的任一时刻，仍可认为卫星满足匀速圆周运动规律，下述关于卫星运动的一些物理量变化情况，正确的是（ ） A. 线速度减小 B. 周期变大
C. 半径增大 D. 向心加速度增大 [分析与解答] 此题为人造卫星的变轨问题
当卫星受阻力作用线速度变小时，作圆运动所需的向心力减小，而此时由万有引力提供的向心力大于需要的向心力，所以卫星将做向心运动而使轨道半径逐渐减小，而变轨后的卫
1
星在轨道上运行时，满足v ∝和T ∝r 3，所以v 增大，T 减小，因此正确答案应选D 。
r
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[易错题辨析]
例1 假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则
（ ）
A ．根据公式v=ωr ，可知卫星运动的线速度增大到原来的2倍。
D ．根据上述选项B 和C 给出的公式，可知卫星运动的线速度将减
【错解】选择A ，B ，C
所以选择A ，B ，C 正确。
【错解分析】A ，B ，C 中的三个公式确实是正确的，但使用过程中A ，
【分析解答】正确选项为C ，D 。
A 选项中线速度与半径成正比是在角速度一定的情况下。而r 变化时，角速度也变。所以此选项不正确。同理B 选项也是如此，F∝是在v 一定时，但此时v 变化，故B 选项错。而C 选项中G ，M ，m 都是恒量，所以F∝
【评析】物理公式反映物理规律，不理解死记硬背经常会出错。使用中应理解记忆。知道使用条件，且知道来拢去脉。
卫星绕地球运动近似看成圆周运动，万有引力提供向心力，由此将
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根据以上式子得出
例2 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A 球的质量为m 1， B球的质量为m 2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 0。设A 球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m 1，m 2，R 与v 0应满足关系式是。
【错解】依题意可知在A 球通过最低点时，圆管给A 球向上的弹力N1为向心力，则有
B 球在最高点时，圆管对它的作用力N 2为m 2的向心力，方向向下，则有
因为m 2由最高点到最低点机械能守恒，则有
【错解原因】错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程。没有做受力分析，导致漏掉重力，表面上看分析出了N 1=N2，但实际并没有真正明白为什么圆管给m 2向下的力。总之从根本上看还是解决力学问题的基本功受力分析不过关。
【分析解答】首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图4-1所示。A 球在圆管最低点必受向上弹力N 1，此时两球对圆管的合力为零，m 2必受圆管向下的弹力N 2，且N 1=N2。 倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
- ７２ -高中物理习题汇编
第四章 曲线运动
万有引力定律 省实验中学物理组
据牛顿第二定律A 球在圆管的最低点有
同理m 2在最高点有
m 2球由最高点到最低点机械能守恒
【评析】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。
例3 从地球上发射的两颗人造地球卫星A 和B ，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为R A ∶RB =4∶1，求它们的线速度之比和运动周期之比。
设A ，B 两颗卫星的质量分别为m A ，m B 。
【错解原因】这里错在没有考虑重力加速度与高度有关。根据万有引力定律知道：
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７３ -高中物理习题汇编 第四章 曲线运动 万有引力定律 省实验中学物理组
可见，在“错解”中把A ，B 两卫星的重力加速度g A ，g B 当作相同的g 来处理是不对的。 【分析解答】卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有
【评析】我们在研究地球上的物体的运动时，地面附近物体的重力加速度近似看做是恒量。但研究天体运动时，应注意不能将其认为是常量，随高度变化，g 值是改变的。
例4 使一小球沿半径为R 的圆形轨道从最低点上升，那么需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨道的最高点？
【错解】如图4-2所示，根据机械能守恒，小球在圆形轨道最高点A 时的势能等于它在圆形轨道最低点B 时的动能（以B 点作为零势能位置），所以为
从而得
【错解原因】小球到达最高点A 时的速度v A 不能为零，否则小球早在到达A 点之前就离开了圆形轨道。要使小球到达A 点（自然不脱离圆形轨道），则小球在A 点的速度必须满足
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
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７４ -高中物理习题汇编 第四章 曲线运动 万有引力定律
省实验中学物理组
式中，N A 为圆形轨道对小球的弹力。上式表示小球在A 点作圆周运动所需要的向心力由轨道对它的弹力和它本身的重力共同提供。当NA=0时，
【分析解答】以小球为研究对象。小球在轨道最高点时，受重力和轨道给的弹力。 小球在圆形轨道最高点A 时满足方程
根据机械能守恒，小球在圆形轨道最低点B 时的速度满足方程
解(1)，(2)方程组得
轨道的最高点A 。
例5 用长L=1.6m的细绳，一端系着质量M=1kg的木块，另一端挂在固定点上。现有一颗质量m=20g的子弹以v 1=500m／s 的水平速度向木块中心射击，结果子弹穿出木块后以v 2=100m／s 的速度前进。问木块能运动到多高？（取g=10m／s 2，空气阻力不计） 【错解】在水平方向动量守恒，有
mv 1=Mv+mv2 (1)
式①中v 为木块被子弹击中后的速度。木块被子弹击中后便以速度v 开始摆动。由于绳子对木块的拉力跟木块的位移垂直，对木块不做功，所以木块的机械能守恒，即
h 为木块所摆动的高度。解①，②联立方程组得到 v=8(v/s) h=3.2(m)
【错解原因】这个解法是错误的。h=3.2m，就是木块摆动到了B 点。如图4-3所示。则它在B 点时的速度v B 。应满足方程
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
这时木块的重力提供了木块在B 点做圆周运动所需要的向心力。解
如果v B ＜4 m/s，则木块不能升到B 点，在到达B 点之前的某一位置以某一速度开始做斜向上抛运动。而木块在B 点时的速度v B =4m/s，是不符合机械能守恒定律的，木块在 B点时的能量为(选A 点为零势能点)
两者不相等。可见木块升不到B 点，一定是h ＜3.2 m。
实际上，在木块向上运动的过程中，速度逐渐减小。当木块运动到某一临界位置C 时，如图4－4所示，木块所受的重力在绳子方向的分力恰好等于木块做圆周运动所需要的向心力。此时绳子的拉力为零，绳子便开始松弛了。木块就从这个位置开始，以此刻所具有的速度v c 作斜上抛运动。木块所能到达的高度就是C 点的高度和从C 点开始的斜上抛运动的最大高度之和。 【分析解答】 如上分析，从式①求得v A =v=8m/s。木块在临界位置C 时的速度为v c ，高度为
h′=l(1+cosθ)
如图所示，根据机船能守恒定律有
木块从C 点开始以速度v c 做斜上抛运动所能达到的最大高度h″为
【评析】 物体能否做圆运动，不是我们想象它怎样就怎样这里有一个需要的向心力和提供向心力能否吻合的问题，当需要能从实际提供中找到时，就可以做圆运动。所谓需要就是符合牛顿第二定律F 向=ma向的力，而提供则是实际中的力若两者不相等，则物体将做向心运动或者离心运动。
[学习感悟]
[实战训练场]
一、选择题（以下题目所给出的四个答案中，有一个或多个是正确的。） 1．关于曲线运动下列叙述正确的是（ ）
A．物体之所以做曲线运动，是由于物体受到垂直于速度方向的力（或者分力）的作用 B．物体只有受到一个方向不断改变的力，才可能作曲线运动 C．物体受到不平行于初速度方向的外力作用时，物体做曲线运动
D ．平抛运动是一种匀变速曲线运动
2．若已知物体的速度方向和它所受合力的方向，如图1所示，可能的运动轨迹是（ ）
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７７ -高中物理习题汇编 第四章 曲线运动
万有引力定律 省实验中学物理组
3．河宽420 m，船在静水中速度为4 m／s ，水流速度是3 m／s ，则船过河的最短时间为( )
A ．140 s B．105 s C．84 s D．7 s
4．物体受到几个外力的作用而做匀速直线运动，如果撤去其中的一个力而保持其余的力的大小方向都不变，则物体可能做( ) A．匀减速圆周运动 B．匀加速直线运动
C. 平抛运动 D. 匀速圆周运动
5．下列关于平抛运动说法正确的是（ ）
A ． 在日常生活中，我们将物体以水平速度抛出后物体在空气中一定做平抛运动． B ． 做平抛运动的物体水平位移越大，则说明物体的初速度越大．
C ． 做平抛运动的物体运动时间越长，则说明物体距离地面的竖直高度越大． D ． 做平抛运动的物体落地时速度方向与水平方向夹角的正切值与时间成正比．
6．图2所示在皮带传动中，两轮半径不等，下列说法哪些是正确的? （ ）
A ． 两轮角速度相等
B．两轮边缘线速度的大小相等
C．大轮边缘一点的向心加速度大于小轮边缘一点的向心加速度
D ．同一轮上各点的向心加速度跟该点与中心的距离成正比
7．人造卫星在轨道上绕地球做圆周运动，它所受的向心力F 跟轨道半径r 的关系是( )
mv 2
A ．由公式F 可知F 和r 成反比
r
图2
B ．由公式F=mω2r 可知F 和r 成正比
C ．由公式F=mωv 可知F 和r 无关
GMm
D ．由公式F =可知F 和r 2成反比 2
r
8．由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么，卫星的 ( ) 速率变大，周期变小 B ．速率变小，周期变大 C ．速率变大，周期变大 D ．速率变小，周期变小
9．关于地球同步卫星，下列说法中正确的是( )
A. 同步的含义是该卫星运行的角速度与地球的自转角速度相同 B ．地球同步卫星的轨道一定与赤道平面共面 C ．同步卫星的高度是一个确定的值
D ．它运行的线速度介于第一和第二宇宙速度之间
10．两行星A 、B 各有一颗卫星a 和b ，卫星的圆轨
道接近各自行星表面，
如果两行星质量之比M A ：M B =P ，两
①
行星半径之比R A ：R B ＝q 则两个卫星周期之比T a ：T b 为 ( ) A ．q ⋅
q
p
B. q ⋅p C. p ⋅
q p
二、填空题
11. 一个做匀速圆周运动的物体，如果轨道半径不变，转速变为原来的3倍，所需的向心力就比原来的向心力大40 N，物体原来的向心力大小为________ .
12. 一根质量可以忽略不计的轻杆．它的一端固定在光滑水平轴O 上，另一端固定着一个质量为m 的小球．使小球绕O 轴在竖直平面内转动．在最低点小球受到轻杆作用力的方向是________ ,在最高点小球受到轻杆作用力的方向是__________________.
13. 从高为5 m的楼上，以 5 m/s的速度水平抛出一个小球，从抛出点到落地点的位移大小是_________________m.(g取10 m/s2, 结果保留一位有效数字．)
14.人造地球卫星运行轨道离地面的高度与地球半径R 相等．已知地球表面的重力加速度为g ，此卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度为__________________.
三、计算题
15．从距离地面1 m的高度水平抛出两个物体，它们的速度分别为1 m/s和2 m/s，则它们落地时的速度大小之比是多少？(g 取10 m/s2)
16．如图3所示，在光滑的水平面上有两个质量相同的球A 和球B ，A 、B 之间以及Ｂ球与固定点Ｏ之间分别用两段轻绳相连，以相同的角速度绕着O 点做匀速圆周运动．
1） 画出球A 、B 的受力图．
2） 如果OB =2AB ,, 求出两段绳子拉力之比T AB :T OB
[能力提升篇]
一、选择题（以下题目所给出的四个答案中，有一个或多个是正确的．）
1．关于运动合成的下列说法中正确的是( ) A. 合速度的大小一定比每个分速度的大小都大 B ．合运动的时间等于两个分运动经历的时间 C ．两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动 D. 只要两个分运动是直线运动，合运动一定也是直线运动
2．游泳运动员以恒定的速率垂直河岸横渡，当水速突然增大时，对运动员横渡经历的路程、时间发生的影响是( )
A ．路程增加、时间增加 B．路程增加、时间缩短 C ．路程增加、时间不变 D．路程、时间均与水速无关
3．从同一高度、同时水平抛出五个质量不同的小球，它们初速度分别为v ，2v ，3v ，4v ，5v ．在小球落地前的某个时刻，小球在空中的位置关系是（ ）
A ． 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面平行．
图3
B ． 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面垂直．
C ． 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面既不平行，也不垂直． D ． 五个小球的连线为一条曲线．
4．如图1所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体与圆筒一起运动，物体相对桶壁静止．则（ ）
A ． 物体受到4个力的作用．
B ． 物体所受向心力是物体所受的重力提供的． C ． 物体所受向心力是物体所受的弹力提供的． D ． 物体所受向心力是物体所受的静摩擦力提供的．
5．一物体做平抛运动，在两个不同时刻的速度分别为v 1和v 2, 时间间隔为Δｔ那么（ ）
A ． v
1和v 2的方向一定不同．
B ． 若v 2是后一时刻的速度，则v 1
C ． 由v 1到v 2的速度变化量Δv 的方向一定竖直向下． D ． 由v 1到v 2的速度变化量Δv 的大小为g ⋅∆t ．
6．一个物体在光滑水平面上以初速度v 做曲线运动，已知物体在运动过程中只受到水平恒力的作用，其运动轨迹如图2所示，那么，物体在由M 点运动到N 点的过程中，速度大小的变化情况是（ ）
A ． 逐渐增大． B ． 逐渐减小． C ． 先增大后减小． D ． 先减小后增大．
7．下说法正确的是（ ）
A. 同一物体在地球上的任何位置所受重力都相同． B. 把物体从地面移向空中，物体所受重力减小． C. 同一物体在赤道上受到的重力比两极大．
D. 物体所受重力的方向与所受万有引力的方向一定不相同．
8．当一个做匀速圆周运动的人造卫星的轨道半径增大到原来的2倍时，则 A. 卫星的线速度也增大到原来的2倍．
图2
图1
- ８１ -高中物理习题汇编 第四章 曲线运动 万有引力定律 省实验中学物理组 B. 卫星所需向心力减小到原来的1/2倍． C. 卫星的线速度减小到原来的2/2倍．
D. 卫星所需向心力减小到原来的1/4
倍．
9．已知万有引力恒量G ，则还已知下面哪一选项的数据，可以计算地球的质量（ ） A. 已知地球绕太阳运行的周期及地球中心到太阳中心的距离．
B. 已知月球绕地球运行的周期及月球中心到地球中心的距离． C. 已知人造地球卫星在地面附近绕行的速度和运行周期． D. 已知地球同步卫星离地面的高度．
10．在太阳的活动期，地球大气受太阳风的影响而扩张，这样使一些在大气层外绕地球飞行的太空垃圾被大气包围，而开始下落．大部分垃圾在落地前已经燃烧成灰烬，但体积较大的则会落到地面上给我们造成威胁和危害．那么太空垃圾下落的原因是（ ） A. 大气的扩张使垃圾受到的万有引力增大而导致的．
B. 太空垃圾在燃烧过程中质量不断减小，根据牛顿第二运动定律，向心加速度就会不断增大，所以垃圾落向地面．
C. 太空垃圾在大气阻力的作用下速度减小，那么它做圆运动所需的向心力就小于实际的万有引力，因此过大的万有引力将垃圾拉向了地面．
D. 太空垃圾上表面受到的大气压力大于下表面受到的大气压力，所以是大气的力量将它推向地面的． 11．两个靠近的天体称为双星，它们以两者连线上某点O 为圆心做匀速圆周运动，其质量分别为m 1、m 2，如右图所示，以下说法正确
的是（ ）
m A. 它们的角速度相同． B. 线速度与质量成反比．
C. 向心力与质量的乘积成正比． D. 轨道半径与质量成反比．
12．一辆汽车的质量为M ，当它通过拱形桥时，可能因为速度过快而飞离桥面，导致汽车失去控制．所以为了车内车外人的安全，我们应该限制汽车的车速．这辆汽车要想安全通过拱形桥，在桥顶处车速不应该超过_________．已知拱形桥的曲率半径为R ．
13．如图3所示，斜面倾角为θ，从此斜面上的A 点以速度v 0将一小球水平抛出，它落在斜面的B 点处，则小球从A 点到B 点的运动时间为__________．
14．一根长为l 的轻绳悬吊着一个质量为m 的物体沿着水平方向以
速度v 做匀速直线运动，突然悬点遇到障碍物停下来，小球将_____________运动．此刻轻绳受到小球的拉力大小为___________.
图3
15．一个物体做平抛运动，位移方向与水平方向之间的夹角为α，某时刻它的速度方向与水平方向之间的夹角为β
，如图4所示，请证明2tan α=tan β
图4
16．在距离地面1500 m的高空，一架飞机正以v 0＝360 km/h的速度水平飞行，有一名跳伞运动员从机上落下，在离开飞机10 s后张开降落伞，开始做匀速运动，跳伞运动员要准确地落到地面某处，应该在离开该处水平距离多远处开始跳下?(假设水平方向运动不受降落伞影响，g 取10 m／s 2)
[本章高考试题集合]
1. （2001春季）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R ，其运动周期为T ，求两星的总质量。 2．（2000年全国）在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ。设拐弯路段是半径为R 的圆弧，要使车速为v 时车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，θ应等于
v 2v 2
（A ）arc sin （B ）arc tg
Rg Rg 12v 2v 2
（C ）arc sin （D ）arc ctg
2Rg Rg
3．（2000年全国）2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬
α=40 ，已知地球半径R 、地球自转周期T
、地球表面重力加速度g （视为常量）和光速c 。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。 4．（2000年上海保送）1999年11月20日，我国在酒泉卫星发射中心成功发射“神舟”号载入试验飞船。飞船绕地球14圈后，地面控制中心发出返回指令，飞船启动制动发动机、调整姿态后，在内蒙古中部地区平安降落。
假定飞船速度为7.72×103m/s，沿离地面高度为300km 的圆轨道运行，轨道半径为 ；其运行周期为 分；在该高度处的重力加速度为 （已知地球半径为6.4×103km ，地球质量为6.0×1024kg ，万有引力恒量G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg）。
飞船脱离原来轨道返回大气层的过程中，其重力势能将
，动能将 ，机械能将 （均填增大或减小或不变）。 5．（2000年上海）右图为一名宇航员“漂浮”在地球外层空间 的照片，根据照片展现的情景提出两个与物理知识有关的问 题（所提的问题可以涉及力学、电磁学、热学、光学、原子 物理学等各个部分，只需提出问题，不必作出回答和解释）： 例：这名“漂浮”在空中的宇航员相对地球是运动还是静止 的？ （1） 。 （2） 。
6.(2000年全国) 某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻气作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动。某次测量卫星的轨道半径为，后来变为
。以
、
表示卫星在这两个轨道上的动能，
表示卫星在这两上轨道
上绕地运动的周期，则 （A ）（C ）
（B ） （D ）
7. （1999年全国）如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是
A.a 处为拉力，b 处为拉力 B.a 处为拉力，b 处为推力 C.a 处为推力，b 处为拉力 D.a处为推力，b 处为推力
8. （1999年全国）地球同步卫星到地心的距离r 可由
求出，已知式中a
的单位是m ，b 的单位是S ，c 的单位是m/s2，则
A.a 是地球半径，b 是地球自转的周期，c 是地球表面处的重力加速度 B.a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是同步卫星的加速度 C.a 是赤道周长，b 是地球自转周期，c 是同步卫星的车速度
D.a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是地球表面处的重力加速度
9. （1998年全国）宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时
间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L 。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。求该星球的质量M 。 10．（1997年全国）已知地球半径约为6.4×106米，又知月球绕地球的运动可近似看作匀速
圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为________________米。（结果只保留一位有效数字）
11. （1997年全国）一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的
半径大得多）。在圆管中 有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A 球的质量为m 1，B 球的质量为m 2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 0。设A 球运动到最低点时，B 球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m 1，m 2，R 与v 0应满足的关系式________。
12. （1995年全国）两颗人造卫星A 、B 绕地球作圆周运动, 周期之比为T A :TB =1:8,则轨道半
径之比和运动速率之比分别为
A.R A :RB =4:1,VA :VB =1:2; B.RA :RB =4:1,VA :VB =2:1; C.R A :R
B =1:4,VA :VB =1:2; D.R A :RB =1:4,VA :VB =2:1. 13. （1995年全国）在研究平抛物体运动的实验中, 用一张印有小方格的
纸记录轨迹, 小方格的边长l=1.25厘米. 若小球在平抛运动途中的几个位置如图11中的a 、b 、c 、d 所示, 则小球平抛的初速度的计算式为V 0＝______(用l 、g 表示), 其值是 .(取g=9.8米/秒2)
14. （1994年全国）人造地球卫星的轨道半径越大，则( )。
A 速度越小，周期越小； B速度越小，周期越大； C 速度越大，周期越小； D速度越大，周期越大。
15. （2001年全国理综）在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人。假设江岸是平直的，洪水沿 江向下游流去，水流速度为v 1摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为
- ８５ -高中物理习题汇编 第四章 曲线运动 万有引力定律 省实验中学物理组
A. dv 2
2v 2-v 12 B.0 C.dv dv 1 D. 2 v 1v 2
1416. （2001年全国理综）太阳现正处于序星演化阶段。它主要是由电子和1H 、2He 等 原
子核组成。维持太阳辐射的是它内部的核聚变反应，核反应方程是
142e +41H →2He +释放的核能，这些核能最后转化为辐射能。根据目前关于恒星演化的理论，若
1由于核变反应而使太阳中的1H 核数目从现有减少10%，太阳将离开主序星阶段而转入红巨
1星的演化阶段。为了简化，假定目前太阳全部由电子和1H 核组成。
⑴为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M 。以知地球半径R=6.4×106m ，地球质量m=6.0×1024kg ，日地中心的距离r=1.5×1011m ，地球表面处重力加速度g=10m/s2，1年约为3.2×107秒。试估算目前太阳的质量M 。
⑵已知质子质量m p =1.6726×10-27kg ，质量m α=6.6458×10-27kg ，电子质量me=0.9×10-30kg ，光速c=3×108m/s。求每发生一次题中所述的核聚变反应所释放发能量。
⑶又已知地球上与太阳光垂直的每平方米截面上，每秒通过的太阳辐射能w=1.35×103w/m2，试估算太阳继续保持在主序星阶段还有多少年的寿命。（估算结果只要求一位有效数字。）
17．（2001年上海物理）组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的
自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动。由此能得到半径为R 、密度为ρ、质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T 。下列表达式中正确的是
（A ）T ＝2πR 3/GM （B ）T ＝2π3R 3/GM
（C ）T ＝/G （D ）T ＝/G
18. （2002广东物理）一个有一定厚度的圆盘，可以绕通过中心垂直于盘面的水平轴转动。
用下面的方法测量它匀速转动的角速度。
实验器材：电磁打点计时器，米尺，纸带，复写纸片。
实验步骤：
如图1所示，将电磁打点计时器固定在桌面上，将纸带的一端穿过打点计时器的限位孔后，固定在待测圆盘的侧面上，使得圆盘转动时，纸带可以卷在圆盘侧面上。 启动控制装置使圆盘转动，同时接通电源，打点计时器开始打点。
经过一段时间，停止转动和打点，取下纸带，进行测量。
①由已知量和测得量表示的角速度的表达式为ω=
式中各量的意义是：
②某次实验测得圆盘半径r =5.50×10-2m ，得到的纸带的一段如图2所示。求得角速度为: .
—— 维 尼
单位：cm 图2 19. （2002广东物理）有人利用安装在气球载人舱内的单摆来测定气球的高度。已 知该单摆在海平面处的周期是T 0。当气球停在某一高度时，测得单摆周期为T 。求该气
球此时离海平面的高度h 。把地球看着质量均匀分布的半径为R 的球体。
20. （2003全国新）中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，
观察到它的自转周期为T s 。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳
定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。（引力常量G =6.67×10-11m 2/kg s 2）
143 1.27×10kg/m
21．（2003上海春）我国航天技术已跻身于世界先进行列。2002年4月1日，我国“神舟
三号”飞船返回舱成功降落，“模拟宇航员”邀游太空数百万公里后安然无恙。10月27日，“资源二号”传输型遥感卫星又被成功运入预定轨道。
22．“神舟三号”返回舱利用降落伞系统和缓冲发动机进一步降低着陆阶段的下降速度。为
防止地面气流通过降落伞拖动已着陆的返回舱，在着陆前几秒种，必须自动割断伞绳，使返回舱在缓冲发动机工作下平稳着陆，割断伞绳后，返回舱在降落过程中
（填“遵守”或“不遵守”）机械能守恒定律（不计空气阻力），其原因是 。
23．有科学家预测，2024年左右人类有可能在月球上建造永久性的太空城市，若在月球上
生活，人体可能产生的不良反应有（举—例）： 。可以采取的相关措施是 。
24. （2003全国春）质量为m 的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周
运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用. 设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg ，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为
A. mgR/4 B. mgR /2
C. mg/R D. mgR
25．（2003全国春）在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。 —— 维 尼
正确的是
A 它们的质量可能不同 B 它们的速度可能不同
C 它们的向心加速度可能不同 D 它们离地心的距离可能不同
26．（2003全国春）（9分）2002年12月30日凌晨，我国“神舟”四号航天飞船成
功发射升空，飞船将继续进行预定的空间科学试验，这是自1999年11月20日，我国第—艘航天试验飞船“神舟”号成功发射以来的第四次发射，由此表明我国的载人航天技术已经有了突破性的进展，这对于发展我国空间科学技术和提高我国的国际地位都具有非常重要的意义。
（3）在飞船环绕地球飞行的过程中，由于受到大气阻力的作用，轨道半径将 ，飞船的动能将 ，机械的将 （均选填“增大”、“不变”或“减小”）。
27．（2004全国）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过
多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为 h ，速度方向是水平的，速度大小为 v0 ，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时
不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r ，周期为T ，火星可视为半径为r 0 的均匀球体。
28．（2004新课程）一水平放置的水管，距地面高h ＝l.8m ，管内横截面积S ＝2.0cm 2。有
水从管口处以不变的速度v ＝2.0m/s源源不断地沿水平方向射出，设出口处横截面上
2各处水的速度都相同，并假设水流在空中不散开。取重力加速度g ＝10m ／s ，不计空
气阻力。求水流稳定后在空中有多少立方米的水。
29．(2004江苏物理) 若人造卫星绕地球作匀速圆周运动，则下列说法正确的是 （ ）
A. 卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大
B 卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小
C. 卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越大
D. 卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越小
30．（2004上海物理）火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆。已
知火卫一的周期为7小时39分。火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比（ ）
A ．火卫一距火星表面较近。 B ．火卫二的角速度较大
C ．火卫一的运动速度较大。 D ．火卫二的向心加速度较大。
31．（2004全国春）神舟五号载入飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道
变为距地面高度h=342km的圆形轨道。已知地球半径R=6.37×103km ，地面处的重力加速度g=10m/s2。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T 的公式（用h 、R 、g 表示），然后计算周期T 的数值（保留两位有效数字）。
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。 —— 维 尼
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。 —— 维 尼
第四章 曲线运动 万有引力定律
[考点解读]
顿第二定律、机械能守恒定律等知识在圆周运动中的具体应用。本章中所涉及到的基本方法与第二章牛顿定律的方法基本相同，只是在具体应用知识的过程中要注意结合圆周运动的特点：物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物体的受力情况同样也是本章的基本方法；只有物体所受的合外力的
A
外，由于在具体的圆周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力对物体不做功，所以物体的机械能守恒。
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
[解题方法指导]
[例题1] 关于互成角度的两个匀变速直线运动的合运动，下述说法中正确的是[ ]
A
．一定是直线运动
B ．一定是曲线运动 C ．一定是匀变速运动
D ．可能是直线运动，也可能是曲线运动
[思路点拨] 本题概念性很强，正确进行判定的关键在于搞清物体曲线运动的条件：物体 运动方向与受力方向不在同一直线上．另外题目中“两个匀变速直线运动”并没讲是否有初速
度，这在一定程度上也增大了题目的难度．
[解题过程] 若两个运动均为初速度为零的匀变速直线运动，如图5－1(A)所示，则合运动必为匀变速直线运动．
若两个运动之一的初速度为零，另一个初速度不为零，如图5－1(B)所示，则合运动必为曲线运动．
若两个运动均为初速度不为零的匀变速直线运动，则合运动又有两种情况：①合速度v 与合加速度a 不共线，如图5－1(C)所示．②合速度v 与合加速度a 恰好共线．显然前者为曲线运动，后者为直线运动．
由于两个匀变速直线运动的合加速度必恒定，故不仅上述直线运动为匀变速直线运动，上述曲线运动也为匀变速运动． 本题正确答案应为：C 和D ．
[小结] 正确理解物体做曲线运动的条件是分析上述问题的关键．曲线运动由于其运动方向时刻改变(无论其速度大小是否变化) ，必为变速运动．所以曲线运动的物体必定要受到合外力作用，以改变其运动状态．由于与运动方向沿同一直线的力，只能改变速度的大小；而与运动方向相垂直的力，才能改变物体的运动方向．故做曲线运动的物体的动力学条件应是受到与运动方向不在同一直线的外力作用．
[例题2] 一只小船在静水中速度为u ，若水流速度为v ， 要使之渡过宽度为L 的河，试分析为使渡河时间最短，应如何行驶？
[思路点拨] 小船渡河是一典型的运动合成问题．小船船头指向(即在静水中的航向) 不同，合运动即不同．在该问题中易出现的一个典型错误是认为小船应按图5－2(A)所示，逆水向上渡河，原因是这种情况下渡河路程最短，故用时也最短．真是这样吗？
[解题过程] 依据合运动与分运动的等时性，设船头斜向上游并最终垂直到达对岸所需时间为tA ，则
设船头垂直河岸渡河，如图5－2(B)所示，所需的时间为tB ，则
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
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６７
-高中物理习题汇编 第四章 曲线运动 万有引力定律
省实验中学物理组
比较上面两式易得知：tA ＞tB ．又由于从A 点到达对岸的所有路径中AB 最短，故
[小结] (1)如果物体同时参加两个(或两个以上) 分运动，可以使之依次参加各分运动，最终效果相同，即物体同时参与的分运动是相互独立的、彼此互不干扰，称之为运动的独立性原理．
(2)通过本题对两个互成角度分运动的合成的研究方法已见一斑，关键就是正确使
用矢量计算法则．为使之理解更深刻，请参看下面问题．
若已知小船在静水中航速为u ，水流速度为v(v＞u) ，试用矢量运算法则研究船向何方向航行时，船被河水向下游冲的距离最小．
做有向线段AB ，用以表示水流速度v ，再以B 端为圆心，以表示小船在静水中速度u 大小的线段BC 为半径做圆弧，得到图5－3．依矢量合成法则，该图中从A 点向圆弧任意点C 所做的有向线段，就应该是此状态下的合速度．
现从A 点作圆的切线AD ，(由图可知) 显然有向线段AD 所表示的即为向下游所冲距离最小时合速度．由图5－3也不难看出此时船头指向应由图中α角表示
【例3】 小船在200 m 宽的河中横渡, 水流速度为2 m/s,船在静水中的航速是4 m/s,求: (1)
小船怎样过河时间最短, 最短时间是多少. (2)小船怎样过河位移最小, 最小位移是多少?
[拓展] 上题中如果水流速度是4m/s,船在静水中的航速是2m/s,求(1)小船怎样过河时间最短, 最短时间是多少?(2)小船怎样过河位移最小, 最小位移是多少?
[小结] 解决这类问题时, 首先要明确哪是合运动, 哪是分运动, 然后根据合运动和分运动的等时性及平行四边形定则求解, 解题时要注意画好示意图.
【例4】如图所示，在离水面高H 的岸边有人以大小为
V 0的速度匀速收绳使船靠岸。当船与岸上的定滑轮水平距离为S 时，船速是多大？
【解析】收绳时使船靠岸，船水平向左运动（船的实际运动方向）是合运动，其速度为V 。可看成是由两个运动的合运动：即一个分运动是沿绳收缩方向，速度大小V 1=V0；另一个是倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
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６８
-高中物理习题汇编 第四章 曲线运动 万有引力定律 省实验中学物理组 垂直绳的方向使绳摆动的方向，设速度大小为V 2。设此时绳与水平面的夹角为θ，则
cos θ=S /S 2+H 2
由图可以看出：V =S 2+H 2⋅V 0/S
一个速度矢量按矢量运算法则分解为两个分速度，若与实际情况不符，则所分解得到的分速度毫无物理意义，所以，速度分解的一个基本原则就是按实际效果进行分解。常用的思想方法就是先确定合运动的方向（物体实际运动的方向），然后分析这个合运动所产生的实际效果[一方面沿绳（杆）伸缩的效果；另一方面使绳（杆）转动的效果]以确定两个分速度的方向。由此而构建一个绳拉物(或物拉绳) 类运动的模型。
【例5】 如图所示, 在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下, 小车匀速向右运动时, 物体A 的受力情况是( ) A 、绳的拉力大于A 的重力； B 、绳的拉力等于A 的重力； C 、绳的拉力小于A 的重力；
D 、绳的拉力先大于A 的重力，后变为小于A 的重力；
[例题6] 如图所示，水平圆盘上放一木块m ，木块随着圆盘一起以角速 度ω匀速转动，则物体对圆盘的摩擦力为多少?
[分析与解答] 物体随圆盘一起绕轴线转动，需要向心力，而竖直方向物体受到的重力mg 、支持力N 不可能提供向心力，向心力只能来源于圆盘对物体的静摩擦力．因此根据牛顿第二定律可求出物体受到的静摩擦
2
力的大小：f=F向=mωr 方向沿半径指向圆心．
[例题7] 行星的平均密度为ρ，靠近行星表面的卫星，其运行周期为T ，试证明ρT 2为一常数。
[分析与解答] 将行星看作一球体，半径为R
M M
则ρ= =
3V
πR 3
对卫星，万有引力提供向心力，贴地运行轨道半径r =R
Mm 4π2
G 2=m 2R 代入上式得 R T
ρT 2=
3π
，G 为万有引力恒量，ρT 2是一个对任何行星都适用的常数。 G
可见，若近地卫星运行周期为T ，则行星平均密度ρ=3π/GT 2
点拨：若不是近地卫星，利用环绕周期T 和轨道半径可计算行星质量M 和密度ρ。
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
4π2r 33πr 3
M =，ρ= 223
GT GT R
[例题8]两颗人造卫星绕地球做圆周运动，周期之比T A :T B =18:，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（） A. R A :R B =41: B. v A :v B =12:
C. R A :R B =14:，v A :v B =12:
:，v A :v B =21: D. R A :R B =14
[分析与解答] 由卫星绕行星做匀速圆周运动所需向心力由万有引力提供
mM v 22π
G 2=m =m () 2⋅r
r T r
GM 4π2r 3，T = ∴v =r GM 即v ∝
1
（r 越大，v 越小） r
T ∝r 3（r 越大，T 越大）
答案应选D
[点拨] 卫星绕中心球体作圆轨道运行时，其轨道半径、速度、周期三个量中任意一个量确定之后，其它两个量也就确定了。例如地球同同步卫星。就有“三一定”关系。
. ⨯104km ，轨道一定。––––在赤道上空，高度一定––––离地面36运行速度一定–––
约3km /s 。就是这种特点的体现。
[例题9] 人造卫星沿圆轨道环绕地球运动，因为大气阻力的作用，其运动的高度将逐渐变化，由于高度变化很慢，在变化过程中的任一时刻，仍可认为卫星满足匀速圆周运动规律，下述关于卫星运动的一些物理量变化情况，正确的是（ ） A. 线速度减小 B. 周期变大
C. 半径增大 D. 向心加速度增大 [分析与解答] 此题为人造卫星的变轨问题
当卫星受阻力作用线速度变小时，作圆运动所需的向心力减小，而此时由万有引力提供的向心力大于需要的向心力，所以卫星将做向心运动而使轨道半径逐渐减小，而变轨后的卫
1
星在轨道上运行时，满足v ∝和T ∝r 3，所以v 增大，T 减小，因此正确答案应选D 。
r
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
[易错题辨析]
例1 假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则
（ ）
A ．根据公式v=ωr ，可知卫星运动的线速度增大到原来的2倍。
D ．根据上述选项B 和C 给出的公式，可知卫星运动的线速度将减
【错解】选择A ，B ，C
所以选择A ，B ，C 正确。
【错解分析】A ，B ，C 中的三个公式确实是正确的，但使用过程中A ，
【分析解答】正确选项为C ，D 。
A 选项中线速度与半径成正比是在角速度一定的情况下。而r 变化时，角速度也变。所以此选项不正确。同理B 选项也是如此，F∝是在v 一定时，但此时v 变化，故B 选项错。而C 选项中G ，M ，m 都是恒量，所以F∝
【评析】物理公式反映物理规律，不理解死记硬背经常会出错。使用中应理解记忆。知道使用条件，且知道来拢去脉。
卫星绕地球运动近似看成圆周运动，万有引力提供向心力，由此将
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
根据以上式子得出
例2 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A 球的质量为m 1， B球的质量为m 2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 0。设A 球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m 1，m 2，R 与v 0应满足关系式是。
【错解】依题意可知在A 球通过最低点时，圆管给A 球向上的弹力N1为向心力，则有
B 球在最高点时，圆管对它的作用力N 2为m 2的向心力，方向向下，则有
因为m 2由最高点到最低点机械能守恒，则有
【错解原因】错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程。没有做受力分析，导致漏掉重力，表面上看分析出了N 1=N2，但实际并没有真正明白为什么圆管给m 2向下的力。总之从根本上看还是解决力学问题的基本功受力分析不过关。
【分析解答】首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图4-1所示。A 球在圆管最低点必受向上弹力N 1，此时两球对圆管的合力为零，m 2必受圆管向下的弹力N 2，且N 1=N2。 倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
- ７２ -高中物理习题汇编
第四章 曲线运动
万有引力定律 省实验中学物理组
据牛顿第二定律A 球在圆管的最低点有
同理m 2在最高点有
m 2球由最高点到最低点机械能守恒
【评析】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。
例3 从地球上发射的两颗人造地球卫星A 和B ，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为R A ∶RB =4∶1，求它们的线速度之比和运动周期之比。
设A ，B 两颗卫星的质量分别为m A ，m B 。
【错解原因】这里错在没有考虑重力加速度与高度有关。根据万有引力定律知道：
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
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７３ -高中物理习题汇编 第四章 曲线运动 万有引力定律 省实验中学物理组
可见，在“错解”中把A ，B 两卫星的重力加速度g A ，g B 当作相同的g 来处理是不对的。 【分析解答】卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有
【评析】我们在研究地球上的物体的运动时，地面附近物体的重力加速度近似看做是恒量。但研究天体运动时，应注意不能将其认为是常量，随高度变化，g 值是改变的。
例4 使一小球沿半径为R 的圆形轨道从最低点上升，那么需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨道的最高点？
【错解】如图4-2所示，根据机械能守恒，小球在圆形轨道最高点A 时的势能等于它在圆形轨道最低点B 时的动能（以B 点作为零势能位置），所以为
从而得
【错解原因】小球到达最高点A 时的速度v A 不能为零，否则小球早在到达A 点之前就离开了圆形轨道。要使小球到达A 点（自然不脱离圆形轨道），则小球在A 点的速度必须满足
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
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７４ -高中物理习题汇编 第四章 曲线运动 万有引力定律
省实验中学物理组
式中，N A 为圆形轨道对小球的弹力。上式表示小球在A 点作圆周运动所需要的向心力由轨道对它的弹力和它本身的重力共同提供。当NA=0时，
【分析解答】以小球为研究对象。小球在轨道最高点时，受重力和轨道给的弹力。 小球在圆形轨道最高点A 时满足方程
根据机械能守恒，小球在圆形轨道最低点B 时的速度满足方程
解(1)，(2)方程组得
轨道的最高点A 。
例5 用长L=1.6m的细绳，一端系着质量M=1kg的木块，另一端挂在固定点上。现有一颗质量m=20g的子弹以v 1=500m／s 的水平速度向木块中心射击，结果子弹穿出木块后以v 2=100m／s 的速度前进。问木块能运动到多高？（取g=10m／s 2，空气阻力不计） 【错解】在水平方向动量守恒，有
mv 1=Mv+mv2 (1)
式①中v 为木块被子弹击中后的速度。木块被子弹击中后便以速度v 开始摆动。由于绳子对木块的拉力跟木块的位移垂直，对木块不做功，所以木块的机械能守恒，即
h 为木块所摆动的高度。解①，②联立方程组得到 v=8(v/s) h=3.2(m)
【错解原因】这个解法是错误的。h=3.2m，就是木块摆动到了B 点。如图4-3所示。则它在B 点时的速度v B 。应满足方程
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
这时木块的重力提供了木块在B 点做圆周运动所需要的向心力。解
如果v B ＜4 m/s，则木块不能升到B 点，在到达B 点之前的某一位置以某一速度开始做斜向上抛运动。而木块在B 点时的速度v B =4m/s，是不符合机械能守恒定律的，木块在 B点时的能量为(选A 点为零势能点)
两者不相等。可见木块升不到B 点，一定是h ＜3.2 m。
实际上，在木块向上运动的过程中，速度逐渐减小。当木块运动到某一临界位置C 时，如图4－4所示，木块所受的重力在绳子方向的分力恰好等于木块做圆周运动所需要的向心力。此时绳子的拉力为零，绳子便开始松弛了。木块就从这个位置开始，以此刻所具有的速度v c 作斜上抛运动。木块所能到达的高度就是C 点的高度和从C 点开始的斜上抛运动的最大高度之和。 【分析解答】 如上分析，从式①求得v A =v=8m/s。木块在临界位置C 时的速度为v c ，高度为
h′=l(1+cosθ)
如图所示，根据机船能守恒定律有
木块从C 点开始以速度v c 做斜上抛运动所能达到的最大高度h″为
【评析】 物体能否做圆运动，不是我们想象它怎样就怎样这里有一个需要的向心力和提供向心力能否吻合的问题，当需要能从实际提供中找到时，就可以做圆运动。所谓需要就是符合牛顿第二定律F 向=ma向的力，而提供则是实际中的力若两者不相等，则物体将做向心运动或者离心运动。
[学习感悟]
[实战训练场]
一、选择题（以下题目所给出的四个答案中，有一个或多个是正确的。） 1．关于曲线运动下列叙述正确的是（ ）
A．物体之所以做曲线运动，是由于物体受到垂直于速度方向的力（或者分力）的作用 B．物体只有受到一个方向不断改变的力，才可能作曲线运动 C．物体受到不平行于初速度方向的外力作用时，物体做曲线运动
D ．平抛运动是一种匀变速曲线运动
2．若已知物体的速度方向和它所受合力的方向，如图1所示，可能的运动轨迹是（ ）
-
７７ -高中物理习题汇编 第四章 曲线运动
万有引力定律 省实验中学物理组
3．河宽420 m，船在静水中速度为4 m／s ，水流速度是3 m／s ，则船过河的最短时间为( )
A ．140 s B．105 s C．84 s D．7 s
4．物体受到几个外力的作用而做匀速直线运动，如果撤去其中的一个力而保持其余的力的大小方向都不变，则物体可能做( ) A．匀减速圆周运动 B．匀加速直线运动
C. 平抛运动 D. 匀速圆周运动
5．下列关于平抛运动说法正确的是（ ）
A ． 在日常生活中，我们将物体以水平速度抛出后物体在空气中一定做平抛运动． B ． 做平抛运动的物体水平位移越大，则说明物体的初速度越大．
C ． 做平抛运动的物体运动时间越长，则说明物体距离地面的竖直高度越大． D ． 做平抛运动的物体落地时速度方向与水平方向夹角的正切值与时间成正比．
6．图2所示在皮带传动中，两轮半径不等，下列说法哪些是正确的? （ ）
A ． 两轮角速度相等
B．两轮边缘线速度的大小相等
C．大轮边缘一点的向心加速度大于小轮边缘一点的向心加速度
D ．同一轮上各点的向心加速度跟该点与中心的距离成正比
7．人造卫星在轨道上绕地球做圆周运动，它所受的向心力F 跟轨道半径r 的关系是( )
mv 2
A ．由公式F 可知F 和r 成反比
r
图2
B ．由公式F=mω2r 可知F 和r 成正比
C ．由公式F=mωv 可知F 和r 无关
GMm
D ．由公式F =可知F 和r 2成反比 2
r
8．由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么，卫星的 ( ) 速率变大，周期变小 B ．速率变小，周期变大 C ．速率变大，周期变大 D ．速率变小，周期变小
9．关于地球同步卫星，下列说法中正确的是( )
A. 同步的含义是该卫星运行的角速度与地球的自转角速度相同 B ．地球同步卫星的轨道一定与赤道平面共面 C ．同步卫星的高度是一个确定的值
D ．它运行的线速度介于第一和第二宇宙速度之间
10．两行星A 、B 各有一颗卫星a 和b ，卫星的圆轨
道接近各自行星表面，
如果两行星质量之比M A ：M B =P ，两
①
行星半径之比R A ：R B ＝q 则两个卫星周期之比T a ：T b 为 ( ) A ．q ⋅
q
p
B. q ⋅p C. p ⋅
q p
二、填空题
11. 一个做匀速圆周运动的物体，如果轨道半径不变，转速变为原来的3倍，所需的向心力就比原来的向心力大40 N，物体原来的向心力大小为________ .
12. 一根质量可以忽略不计的轻杆．它的一端固定在光滑水平轴O 上，另一端固定着一个质量为m 的小球．使小球绕O 轴在竖直平面内转动．在最低点小球受到轻杆作用力的方向是________ ,在最高点小球受到轻杆作用力的方向是__________________.
13. 从高为5 m的楼上，以 5 m/s的速度水平抛出一个小球，从抛出点到落地点的位移大小是_________________m.(g取10 m/s2, 结果保留一位有效数字．)
14.人造地球卫星运行轨道离地面的高度与地球半径R 相等．已知地球表面的重力加速度为g ，此卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度为__________________.
三、计算题
15．从距离地面1 m的高度水平抛出两个物体，它们的速度分别为1 m/s和2 m/s，则它们落地时的速度大小之比是多少？(g 取10 m/s2)
16．如图3所示，在光滑的水平面上有两个质量相同的球A 和球B ，A 、B 之间以及Ｂ球与固定点Ｏ之间分别用两段轻绳相连，以相同的角速度绕着O 点做匀速圆周运动．
1） 画出球A 、B 的受力图．
2） 如果OB =2AB ,, 求出两段绳子拉力之比T AB :T OB
[能力提升篇]
一、选择题（以下题目所给出的四个答案中，有一个或多个是正确的．）
1．关于运动合成的下列说法中正确的是( ) A. 合速度的大小一定比每个分速度的大小都大 B ．合运动的时间等于两个分运动经历的时间 C ．两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动 D. 只要两个分运动是直线运动，合运动一定也是直线运动
2．游泳运动员以恒定的速率垂直河岸横渡，当水速突然增大时，对运动员横渡经历的路程、时间发生的影响是( )
A ．路程增加、时间增加 B．路程增加、时间缩短 C ．路程增加、时间不变 D．路程、时间均与水速无关
3．从同一高度、同时水平抛出五个质量不同的小球，它们初速度分别为v ，2v ，3v ，4v ，5v ．在小球落地前的某个时刻，小球在空中的位置关系是（ ）
A ． 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面平行．
图3
B ． 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面垂直．
C ． 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面既不平行，也不垂直． D ． 五个小球的连线为一条曲线．
4．如图1所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体与圆筒一起运动，物体相对桶壁静止．则（ ）
A ． 物体受到4个力的作用．
B ． 物体所受向心力是物体所受的重力提供的． C ． 物体所受向心力是物体所受的弹力提供的． D ． 物体所受向心力是物体所受的静摩擦力提供的．
5．一物体做平抛运动，在两个不同时刻的速度分别为v 1和v 2, 时间间隔为Δｔ那么（ ）
A ． v
1和v 2的方向一定不同．
B ． 若v 2是后一时刻的速度，则v 1
C ． 由v 1到v 2的速度变化量Δv 的方向一定竖直向下． D ． 由v 1到v 2的速度变化量Δv 的大小为g ⋅∆t ．
6．一个物体在光滑水平面上以初速度v 做曲线运动，已知物体在运动过程中只受到水平恒力的作用，其运动轨迹如图2所示，那么，物体在由M 点运动到N 点的过程中，速度大小的变化情况是（ ）
A ． 逐渐增大． B ． 逐渐减小． C ． 先增大后减小． D ． 先减小后增大．
7．下说法正确的是（ ）
A. 同一物体在地球上的任何位置所受重力都相同． B. 把物体从地面移向空中，物体所受重力减小． C. 同一物体在赤道上受到的重力比两极大．
D. 物体所受重力的方向与所受万有引力的方向一定不相同．
8．当一个做匀速圆周运动的人造卫星的轨道半径增大到原来的2倍时，则 A. 卫星的线速度也增大到原来的2倍．
图2
图1
- ８１ -高中物理习题汇编 第四章 曲线运动 万有引力定律 省实验中学物理组 B. 卫星所需向心力减小到原来的1/2倍． C. 卫星的线速度减小到原来的2/2倍．
D. 卫星所需向心力减小到原来的1/4
倍．
9．已知万有引力恒量G ，则还已知下面哪一选项的数据，可以计算地球的质量（ ） A. 已知地球绕太阳运行的周期及地球中心到太阳中心的距离．
B. 已知月球绕地球运行的周期及月球中心到地球中心的距离． C. 已知人造地球卫星在地面附近绕行的速度和运行周期． D. 已知地球同步卫星离地面的高度．
10．在太阳的活动期，地球大气受太阳风的影响而扩张，这样使一些在大气层外绕地球飞行的太空垃圾被大气包围，而开始下落．大部分垃圾在落地前已经燃烧成灰烬，但体积较大的则会落到地面上给我们造成威胁和危害．那么太空垃圾下落的原因是（ ） A. 大气的扩张使垃圾受到的万有引力增大而导致的．
B. 太空垃圾在燃烧过程中质量不断减小，根据牛顿第二运动定律，向心加速度就会不断增大，所以垃圾落向地面．
C. 太空垃圾在大气阻力的作用下速度减小，那么它做圆运动所需的向心力就小于实际的万有引力，因此过大的万有引力将垃圾拉向了地面．
D. 太空垃圾上表面受到的大气压力大于下表面受到的大气压力，所以是大气的力量将它推向地面的． 11．两个靠近的天体称为双星，它们以两者连线上某点O 为圆心做匀速圆周运动，其质量分别为m 1、m 2，如右图所示，以下说法正确
的是（ ）
m A. 它们的角速度相同． B. 线速度与质量成反比．
C. 向心力与质量的乘积成正比． D. 轨道半径与质量成反比．
12．一辆汽车的质量为M ，当它通过拱形桥时，可能因为速度过快而飞离桥面，导致汽车失去控制．所以为了车内车外人的安全，我们应该限制汽车的车速．这辆汽车要想安全通过拱形桥，在桥顶处车速不应该超过_________．已知拱形桥的曲率半径为R ．
13．如图3所示，斜面倾角为θ，从此斜面上的A 点以速度v 0将一小球水平抛出，它落在斜面的B 点处，则小球从A 点到B 点的运动时间为__________．
14．一根长为l 的轻绳悬吊着一个质量为m 的物体沿着水平方向以
速度v 做匀速直线运动，突然悬点遇到障碍物停下来，小球将_____________运动．此刻轻绳受到小球的拉力大小为___________.
图3
15．一个物体做平抛运动，位移方向与水平方向之间的夹角为α，某时刻它的速度方向与水平方向之间的夹角为β
，如图4所示，请证明2tan α=tan β
图4
16．在距离地面1500 m的高空，一架飞机正以v 0＝360 km/h的速度水平飞行，有一名跳伞运动员从机上落下，在离开飞机10 s后张开降落伞，开始做匀速运动，跳伞运动员要准确地落到地面某处，应该在离开该处水平距离多远处开始跳下?(假设水平方向运动不受降落伞影响，g 取10 m／s 2)
[本章高考试题集合]
1. （2001春季）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R ，其运动周期为T ，求两星的总质量。 2．（2000年全国）在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ。设拐弯路段是半径为R 的圆弧，要使车速为v 时车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，θ应等于
v 2v 2
（A ）arc sin （B ）arc tg
Rg Rg 12v 2v 2
（C ）arc sin （D ）arc ctg
2Rg Rg
3．（2000年全国）2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬
α=40 ，已知地球半径R 、地球自转周期T
、地球表面重力加速度g （视为常量）和光速c 。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。 4．（2000年上海保送）1999年11月20日，我国在酒泉卫星发射中心成功发射“神舟”号载入试验飞船。飞船绕地球14圈后，地面控制中心发出返回指令，飞船启动制动发动机、调整姿态后，在内蒙古中部地区平安降落。
假定飞船速度为7.72×103m/s，沿离地面高度为300km 的圆轨道运行，轨道半径为 ；其运行周期为 分；在该高度处的重力加速度为 （已知地球半径为6.4×103km ，地球质量为6.0×1024kg ，万有引力恒量G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg）。
飞船脱离原来轨道返回大气层的过程中，其重力势能将
，动能将 ，机械能将 （均填增大或减小或不变）。 5．（2000年上海）右图为一名宇航员“漂浮”在地球外层空间 的照片，根据照片展现的情景提出两个与物理知识有关的问 题（所提的问题可以涉及力学、电磁学、热学、光学、原子 物理学等各个部分，只需提出问题，不必作出回答和解释）： 例：这名“漂浮”在空中的宇航员相对地球是运动还是静止 的？ （1） 。 （2） 。
6.(2000年全国) 某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻气作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动。某次测量卫星的轨道半径为，后来变为
。以
、
表示卫星在这两个轨道上的动能，
表示卫星在这两上轨道
上绕地运动的周期，则 （A ）（C ）
（B ） （D ）
7. （1999年全国）如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是
A.a 处为拉力，b 处为拉力 B.a 处为拉力，b 处为推力 C.a 处为推力，b 处为拉力 D.a处为推力，b 处为推力
8. （1999年全国）地球同步卫星到地心的距离r 可由
求出，已知式中a
的单位是m ，b 的单位是S ，c 的单位是m/s2，则
A.a 是地球半径，b 是地球自转的周期，c 是地球表面处的重力加速度 B.a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是同步卫星的加速度 C.a 是赤道周长，b 是地球自转周期，c 是同步卫星的车速度
D.a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是地球表面处的重力加速度
9. （1998年全国）宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时
间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L 。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。求该星球的质量M 。 10．（1997年全国）已知地球半径约为6.4×106米，又知月球绕地球的运动可近似看作匀速
圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为________________米。（结果只保留一位有效数字）
11. （1997年全国）一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的
半径大得多）。在圆管中 有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A 球的质量为m 1，B 球的质量为m 2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 0。设A 球运动到最低点时，B 球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m 1，m 2，R 与v 0应满足的关系式________。
12. （1995年全国）两颗人造卫星A 、B 绕地球作圆周运动, 周期之比为T A :TB =1:8,则轨道半
径之比和运动速率之比分别为
A.R A :RB =4:1,VA :VB =1:2; B.RA :RB =4:1,VA :VB =2:1; C.R A :R
B =1:4,VA :VB =1:2; D.R A :RB =1:4,VA :VB =2:1. 13. （1995年全国）在研究平抛物体运动的实验中, 用一张印有小方格的
纸记录轨迹, 小方格的边长l=1.25厘米. 若小球在平抛运动途中的几个位置如图11中的a 、b 、c 、d 所示, 则小球平抛的初速度的计算式为V 0＝______(用l 、g 表示), 其值是 .(取g=9.8米/秒2)
14. （1994年全国）人造地球卫星的轨道半径越大，则( )。
A 速度越小，周期越小； B速度越小，周期越大； C 速度越大，周期越小； D速度越大，周期越大。
15. （2001年全国理综）在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人。假设江岸是平直的，洪水沿 江向下游流去，水流速度为v 1摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为
- ８５ -高中物理习题汇编 第四章 曲线运动 万有引力定律 省实验中学物理组
A. dv 2
2v 2-v 12 B.0 C.dv dv 1 D. 2 v 1v 2
1416. （2001年全国理综）太阳现正处于序星演化阶段。它主要是由电子和1H 、2He 等 原
子核组成。维持太阳辐射的是它内部的核聚变反应，核反应方程是
142e +41H →2He +释放的核能，这些核能最后转化为辐射能。根据目前关于恒星演化的理论，若
1由于核变反应而使太阳中的1H 核数目从现有减少10%，太阳将离开主序星阶段而转入红巨
1星的演化阶段。为了简化，假定目前太阳全部由电子和1H 核组成。
⑴为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M 。以知地球半径R=6.4×106m ，地球质量m=6.0×1024kg ，日地中心的距离r=1.5×1011m ，地球表面处重力加速度g=10m/s2，1年约为3.2×107秒。试估算目前太阳的质量M 。
⑵已知质子质量m p =1.6726×10-27kg ，质量m α=6.6458×10-27kg ，电子质量me=0.9×10-30kg ，光速c=3×108m/s。求每发生一次题中所述的核聚变反应所释放发能量。
⑶又已知地球上与太阳光垂直的每平方米截面上，每秒通过的太阳辐射能w=1.35×103w/m2，试估算太阳继续保持在主序星阶段还有多少年的寿命。（估算结果只要求一位有效数字。）
17．（2001年上海物理）组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的
自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动。由此能得到半径为R 、密度为ρ、质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T 。下列表达式中正确的是
（A ）T ＝2πR 3/GM （B ）T ＝2π3R 3/GM
（C ）T ＝/G （D ）T ＝/G
18. （2002广东物理）一个有一定厚度的圆盘，可以绕通过中心垂直于盘面的水平轴转动。
用下面的方法测量它匀速转动的角速度。
实验器材：电磁打点计时器，米尺，纸带，复写纸片。
实验步骤：
如图1所示，将电磁打点计时器固定在桌面上，将纸带的一端穿过打点计时器的限位孔后，固定在待测圆盘的侧面上，使得圆盘转动时，纸带可以卷在圆盘侧面上。 启动控制装置使圆盘转动，同时接通电源，打点计时器开始打点。
经过一段时间，停止转动和打点，取下纸带，进行测量。
①由已知量和测得量表示的角速度的表达式为ω=
式中各量的意义是：
②某次实验测得圆盘半径r =5.50×10-2m ，得到的纸带的一段如图2所示。求得角速度为: .
—— 维 尼
单位：cm 图2 19. （2002广东物理）有人利用安装在气球载人舱内的单摆来测定气球的高度。已 知该单摆在海平面处的周期是T 0。当气球停在某一高度时，测得单摆周期为T 。求该气
球此时离海平面的高度h 。把地球看着质量均匀分布的半径为R 的球体。
20. （2003全国新）中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，
观察到它的自转周期为T s 。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳
定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。（引力常量G =6.67×10-11m 2/kg s 2）
143 1.27×10kg/m
21．（2003上海春）我国航天技术已跻身于世界先进行列。2002年4月1日，我国“神舟
三号”飞船返回舱成功降落，“模拟宇航员”邀游太空数百万公里后安然无恙。10月27日，“资源二号”传输型遥感卫星又被成功运入预定轨道。
22．“神舟三号”返回舱利用降落伞系统和缓冲发动机进一步降低着陆阶段的下降速度。为
防止地面气流通过降落伞拖动已着陆的返回舱，在着陆前几秒种，必须自动割断伞绳，使返回舱在缓冲发动机工作下平稳着陆，割断伞绳后，返回舱在降落过程中
（填“遵守”或“不遵守”）机械能守恒定律（不计空气阻力），其原因是 。
23．有科学家预测，2024年左右人类有可能在月球上建造永久性的太空城市，若在月球上
生活，人体可能产生的不良反应有（举—例）： 。可以采取的相关措施是 。
24. （2003全国春）质量为m 的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周
运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用. 设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg ，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为
A. mgR/4 B. mgR /2
C. mg/R D. mgR
25．（2003全国春）在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。 —— 维 尼
正确的是
A 它们的质量可能不同 B 它们的速度可能不同
C 它们的向心加速度可能不同 D 它们离地心的距离可能不同
26．（2003全国春）（9分）2002年12月30日凌晨，我国“神舟”四号航天飞船成
功发射升空，飞船将继续进行预定的空间科学试验，这是自1999年11月20日，我国第—艘航天试验飞船“神舟”号成功发射以来的第四次发射，由此表明我国的载人航天技术已经有了突破性的进展，这对于发展我国空间科学技术和提高我国的国际地位都具有非常重要的意义。
（3）在飞船环绕地球飞行的过程中，由于受到大气阻力的作用，轨道半径将 ，飞船的动能将 ，机械的将 （均选填“增大”、“不变”或“减小”）。
27．（2004全国）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过
多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为 h ，速度方向是水平的，速度大小为 v0 ，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时
不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r ，周期为T ，火星可视为半径为r 0 的均匀球体。
28．（2004新课程）一水平放置的水管，距地面高h ＝l.8m ，管内横截面积S ＝2.0cm 2。有
水从管口处以不变的速度v ＝2.0m/s源源不断地沿水平方向射出，设出口处横截面上
2各处水的速度都相同，并假设水流在空中不散开。取重力加速度g ＝10m ／s ，不计空
气阻力。求水流稳定后在空中有多少立方米的水。
29．(2004江苏物理) 若人造卫星绕地球作匀速圆周运动，则下列说法正确的是 （ ）
A. 卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大
B 卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小
C. 卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越大
D. 卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越小
30．（2004上海物理）火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆。已
知火卫一的周期为7小时39分。火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比（ ）
A ．火卫一距火星表面较近。 B ．火卫二的角速度较大
C ．火卫一的运动速度较大。 D ．火卫二的向心加速度较大。
31．（2004全国春）神舟五号载入飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道
变为距地面高度h=342km的圆形轨道。已知地球半径R=6.37×103km ，地面处的重力加速度g=10m/s2。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T 的公式（用h 、R 、g 表示），然后计算周期T 的数值（保留两位有效数字）。
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。 —— 维 尼
倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。 —— 维 尼