V o l. 3 4 N o . 物理教师
P H Y S I C S T E A C H E R
第34 卷第6 期
( 2 0 1 3 ) 20 13 年
近日点和远日点速度的两种典型解法
王建伟李兴
(山东省郊城第一中学, 山东郊城27 6 10 0)
总所周知, 太阳系中的八大行星都在按照各自的椭圆
轨道绕太阳进行公转, 太阳位于椭圆的一个焦点上.行星
的运动遵循开普勒三定律.笔者发现, 在各类物理竞赛中,
常会涉及到天体运动速度的计算.本文拟从能量和行星运
动的轨迹方程两个不同的角度来探究行星在近日点和远
日点的速度.
例题. 如图1 所示, 太阳
系中某行星绕太阳公转的轨
道为椭圆, 太阳位于其中的
一个焦点F 上, 椭圆的半长
轴为a , 半短轴为b , 半焦距为
", 太阳质量为M .试求行星运
动到近日点A 和远日点B 的
速度表达式.
解法l:能量法.设该行星
此法巧妙的运用了开普勒第二定律, 进而迅速找出近
日点和远日点之间的速度关联, 并根据只有万有引力做功
的系统中机械能守恒这一重要规律使问题最终得以解决.
解法2 :轨迹方程法. 该解法的指导思想是对椭圆的轨
迹方程求导, 并结合一般曲线的曲率半径通式求出近日点
和远日点的曲率半径表达式,然后利用万有引力提供向心
力列方程求解.
如图1 所示, 椭圆的轨迹方程为
宾+ 霉一,
.
口a -
图1
质量为m , A !B 分别为该行星运动的近日点和远日点, 以琢
和鞠分别表示经这两点的速度, 由于速度沿轨迹的切线方
向,可知vA 和鞠的方向均与椭圆的长轴垂直,且A !B 两点
距太阳的距离分别为与一a 一1一,
L "一a + ", 在A !B 两点分
别取极短的相等时间vt,则行星与太阳连线在这两段时间
内扫过的面积分别为v凡一冬vA .0 .与, vs"一冬". , J J刊~ H J ~ ,, !尸J 月资z J 一 了,
2 一八一一-! . 一刀2 一"
- #L ".根据开普勒第二定律:行星和太阳的连线在相等的
时间内扫过相等的面积, 故有v凡一vS ",代入得
将(5) 式变形为
矿厂+ 夕少一矿1,
2 .
根据隐函数的求导法则将16) 式对二求导有
Z a Zx + 2 b 2夕少-= o ,
即
a Z 之
y 一一云厄丁-
将(7) 式再次对x 求导得
2a2+ 2占,
(少-夕-+ 夕y. )一0.
将(8 ) !(9 ) 两式联立得
a Z bZ少2 + a -x Z
b4 夕3
( 5 )
( 6 )
( 7 )
(8 )
( 9 )
( 1 0 )
( 1 1 )
a ) f
刃0= J 平万v人# ( 1 ) A 点坐标A (O , a) 代入
行星运动的总机械能等于其动能和引力势能之和, 故
当行星分别经过A !B 两点时的机械能为
根据曲率半径公式有
r一{望冬丝卜将(8 ) !( 10 ) !(11 ) 式联立并将
可得A 点的曲率半径为
找_ A - )b Z ( 1 2 )
凡一冬mo Z十- (一黔)一音
(一鲁)一音
m 刀八
E "一冬"v",
- +
找~ 丑= 找~ A 二 )护 ( 1 3 )
2刀V B
旦竺些,
(2)
黔,
根据椭圆的对称性,远日点B 的曲率
半径为
由于行星在运动过程中只受万有引力作用, 所以遵循机械
能守恒定律, 故有
三!一E 日. (4 )
将( 0 ~ (4) 式联立解得
由于在A !B 两点行星运行速度方向与万有引力方向
垂直, 万有引力只改变速度方向, 并不改变速度大小, 故分
别根据万有引力提供向心力得
G M n 王
(a 一c ) 2
m vA Z
一顶,厂. ( 1 4 )
/(a+ c) -M _ /(a 一")G M
月口月= 人l 一丁- - 一一育- - 一TI 日一人1 es 7 竺下一二万甲- #
V ! / 一f 声a V ! / , 一1 夕/
G M m
(a + e ) 2 笔( 1 5 )
经分母有理化并结合椭圆中矿~ 护+ 产可得将(13 ) 一(15 )式联立可得
"一上.!厘, ""一牛#!厘. / ) ( V 以/ .门一L V 以"一二. !厘, ""
b
a + c 漂
很明显, vA > 砌, 正好符合我们对近日点和远日点速
度大小关系的认知.
以上两种解法结果完全相同, 各有千秋, 相得益彰.
(收稿日期:20 13 一0 2 一15 )
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P H Y S I C S T E A C H E R
第34 卷第6 期
( 2 0 1 3 ) 20 13 年
近日点和远日点速度的两种典型解法
王建伟李兴
(山东省郊城第一中学, 山东郊城27 6 10 0)
总所周知, 太阳系中的八大行星都在按照各自的椭圆
轨道绕太阳进行公转, 太阳位于椭圆的一个焦点上.行星
的运动遵循开普勒三定律.笔者发现, 在各类物理竞赛中,
常会涉及到天体运动速度的计算.本文拟从能量和行星运
动的轨迹方程两个不同的角度来探究行星在近日点和远
日点的速度.
例题. 如图1 所示, 太阳
系中某行星绕太阳公转的轨
道为椭圆, 太阳位于其中的
一个焦点F 上, 椭圆的半长
轴为a , 半短轴为b , 半焦距为
", 太阳质量为M .试求行星运
动到近日点A 和远日点B 的
速度表达式.
解法l:能量法.设该行星
此法巧妙的运用了开普勒第二定律, 进而迅速找出近
日点和远日点之间的速度关联, 并根据只有万有引力做功
的系统中机械能守恒这一重要规律使问题最终得以解决.
解法2 :轨迹方程法. 该解法的指导思想是对椭圆的轨
迹方程求导, 并结合一般曲线的曲率半径通式求出近日点
和远日点的曲率半径表达式,然后利用万有引力提供向心
力列方程求解.
如图1 所示, 椭圆的轨迹方程为
宾+ 霉一,
.
口a -
图1
质量为m , A !B 分别为该行星运动的近日点和远日点, 以琢
和鞠分别表示经这两点的速度, 由于速度沿轨迹的切线方
向,可知vA 和鞠的方向均与椭圆的长轴垂直,且A !B 两点
距太阳的距离分别为与一a 一1一,
L "一a + ", 在A !B 两点分
别取极短的相等时间vt,则行星与太阳连线在这两段时间
内扫过的面积分别为v凡一冬vA .0 .与, vs"一冬". , J J刊~ H J ~ ,, !尸J 月资z J 一 了,
2 一八一一-! . 一刀2 一"
- #L ".根据开普勒第二定律:行星和太阳的连线在相等的
时间内扫过相等的面积, 故有v凡一vS ",代入得
将(5) 式变形为
矿厂+ 夕少一矿1,
2 .
根据隐函数的求导法则将16) 式对二求导有
Z a Zx + 2 b 2夕少-= o ,
即
a Z 之
y 一一云厄丁-
将(7) 式再次对x 求导得
2a2+ 2占,
(少-夕-+ 夕y. )一0.
将(8 ) !(9 ) 两式联立得
a Z bZ少2 + a -x Z
b4 夕3
( 5 )
( 6 )
( 7 )
(8 )
( 9 )
( 1 0 )
( 1 1 )
a ) f
刃0= J 平万v人# ( 1 ) A 点坐标A (O , a) 代入
行星运动的总机械能等于其动能和引力势能之和, 故
当行星分别经过A !B 两点时的机械能为
根据曲率半径公式有
r一{望冬丝卜将(8 ) !( 10 ) !(11 ) 式联立并将
可得A 点的曲率半径为
找_ A - )b Z ( 1 2 )
凡一冬mo Z十- (一黔)一音
(一鲁)一音
m 刀八
E "一冬"v",
- +
找~ 丑= 找~ A 二 )护 ( 1 3 )
2刀V B
旦竺些,
(2)
黔,
根据椭圆的对称性,远日点B 的曲率
半径为
由于行星在运动过程中只受万有引力作用, 所以遵循机械
能守恒定律, 故有
三!一E 日. (4 )
将( 0 ~ (4) 式联立解得
由于在A !B 两点行星运行速度方向与万有引力方向
垂直, 万有引力只改变速度方向, 并不改变速度大小, 故分
别根据万有引力提供向心力得
G M n 王
(a 一c ) 2
m vA Z
一顶,厂. ( 1 4 )
/(a+ c) -M _ /(a 一")G M
月口月= 人l 一丁- - 一一育- - 一TI 日一人1 es 7 竺下一二万甲- #
V ! / 一f 声a V ! / , 一1 夕/
G M m
(a + e ) 2 笔( 1 5 )
经分母有理化并结合椭圆中矿~ 护+ 产可得将(13 ) 一(15 )式联立可得
"一上.!厘, ""一牛#!厘. / ) ( V 以/ .门一L V 以"一二. !厘, ""
b
a + c 漂
很明显, vA > 砌, 正好符合我们对近日点和远日点速
度大小关系的认知.
以上两种解法结果完全相同, 各有千秋, 相得益彰.
(收稿日期:20 13 一0 2 一15 )
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