高二（上）12月月考数学试卷（文科）
一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 本大题共12小题，每小题5分，共60分. ）
1．椭圆的焦距为( )
A ．10 B ．5 C ． D ．
2．下列各组直线中，互相垂直的一组是( )
A ．2x ﹣3y ﹣5=0与4x ﹣6y ﹣5=0 B ．2x ﹣3y ﹣5=0与4x+6y+5=0
C ．2x+3y﹣6=0与3x ﹣2y+6=0 D ．2x+3y﹣6=0与2x ﹣3y ﹣6=0
3．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为(
)
A ． B ． C．π D ．
4．已知直线l 、m 、n 与平面α、β，给出下列四个命题：
①若m ∥l ，n ∥l ，则m ∥n
②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β
③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α或m ⊂α
其中正确命题的个数是( )
A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
5．两圆x 2+y2=9和x 2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是( )
A ．外切 B．内切 C．相交 D．外离
6．双曲线A ．e ﹣=1的焦点到它的渐近线的距离为( ) C ．a D ．b B ．c
7．与两点（﹣3，0），（3，0）距离的平方和等于38的点的轨迹方程是( )
A ．x 2﹣y 2=10 B ．x 2+y2=10 C ．x 2+y2=38 D ．x 2﹣y 2=38
8．若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系为( )
A ．相交、平行或异面 B．相交或平行
C ．异面 D．平行或异面
9．圆x 2+y2﹣2x=3与直线y=ax+1的交点的个数是( )
A ．0个 B ．1个
C ．2个 D ．随a 值变化而变化
10．正四棱锥V ﹣ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 是V A 中点，O 是底面中心，则异面直线EO 与BC 所成的角是( )
A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
11．双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为( )
A ．+1 B ．+1 C ． D ．
12．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB 与y 轴平行，AB=OA，则三角形AOB 是(
)
A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
13．椭圆+=1上一点M 到一个焦点的距离是5，则它到另一个焦点的距离是
14．已知A （1，﹣5），B （﹣3，0），则点A 关于点B 对称点的坐标．
15．椭圆+=1的两焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，满足∠F 1PF 2=60°，则三角形F 1PF 2的面积__________．
16．圆x 2+y2﹣10x ﹣10y=0和圆x 2+y2﹣6x+2y﹣40=0的公共弦长是__________．
三．解答题（本大题共6小题，满分70分）
17．已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直线x ﹣y=0截得的弦长为
程．
18．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．
（Ⅰ）求证：EF ∥平面CB 1D 1；
（Ⅱ）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．
，求圆的方
19．椭圆C ：
+=10）F 20）（a ＞b ＞0）的焦点分别为F 1（﹣1，，（1，，且经过定点 （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线
y=（x+1）交椭圆C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．
20．已知圆C ：x 2+y2﹣4x ﹣14y+45=0，及点Q （﹣2，3）．
（1）P （a ，a+1）在圆上，求直线PQ 的斜率；
（2）若M 为圆C 上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
（3）求
的最大值和最小值．
21．PA ⊥AC ，PC ⊥BC ，M 为PB 的中点，D 为AB 的中点，如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，且△AMB 为正三角形．
（1）求证：BC ⊥平面PAC ；
（2）若BC=4，PB=10，求点B 到平面DCM 的距离．
22．已知双曲线C ：﹣=1b ＞0）（a ＞0，的渐近线方程为y=±x ，且过点 ．（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）斜率为k 且过点P （1，2）的直线l 与双曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，试判断以Q （1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，说明理由．
高二（上）12月月考数学试卷（文科）
一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 本大题共12小题，每小题5分，共60分. ）
1．椭圆
A ．10 B ．5 的焦距为( ) C ． D ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据椭圆标准方程得a 2=16，b 2=9．再根据椭圆基本量的关系得c=即可得到该椭圆的焦距．
【解答】解：∵椭圆方程为
∴a 2=16，b 2=9，得c= =，由此=
由此，可得椭圆的焦距等于2c=2
故选：D
【点评】本题给出椭圆的方程，求椭圆的焦距，着重考查了椭圆的标准方程和椭圆基本量的关系等知识，属于基础题．
2．下列各组直线中，互相垂直的一组是( )
A ．2x ﹣3y ﹣5=0与4x ﹣6y ﹣5=0 B ．2x ﹣3y ﹣5=0与4x+6y+5=0
C ．2x+3y﹣6=0与3x ﹣2y+6=0 D ．2x+3y﹣6=0与2x ﹣3y ﹣6=0
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【专题】直线与圆．
【分析】直线l 1，l 2的斜率存在分别k 1，k 2，由l 1⊥l 2⇔k 1•k 2=﹣1即可判断出．
【解答】解：A ．k 1k 2=
B ．k 1k 2
=
C ．k 1k 2=
﹣
D ．k 1k 2=
﹣=≠﹣1，因此l 1与l 2不垂直； =﹣≠﹣1，因此l 1与l 2不垂直； =﹣1，因此l 1⊥l 2； =﹣≠=﹣1，因此l 1与l 2不垂直．
故选：C ．
【点评】本题考查了两条直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为(
)
A ． B ． C．π D ．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由已知中的三视力可得该几何体是一个圆柱，求出底面半径，和母线长，代入圆柱侧面积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个圆柱，
∵几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，
∴圆柱的底面直径和母线长均为1，
故圆柱的底面周长为：π，
故圆柱的侧面面积为：π×1=π，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
4．已知直线l 、m 、n 与平面α、β，给出下列四个命题：
①若m ∥l ，n ∥l ，则m ∥n
②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β
③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α或m ⊂α
其中正确命题的个数是( )
A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】常规题型；综合题．
【分析】要判断线线、线面、面面的位置关系，要根据线面平行（垂直）、面面平行（垂直）的判定和性质，八个定理来判断．
【解答】解：①若m ∥l ，n ∥l ，则m ∥n ，根据公理4：平行于同一直线的两只线平行，所以①正确．
m ∥β，②若m ⊥α，则α⊥β，因为m ∥β根据线面平行的性质在β内至少存在一条直线与m 平行，
根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面．
③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ，平行于同一平面的两直线可能平行、相交、异面．所以③不正确．
④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α 或m ⊂α，因为α⊥β，根据面面垂直的性质在α内垂直于α、β交线的直线与β垂直，又因为m ⊥β，所以此直线与m 平行或重合，所以m ∥α 或m ⊂α． 故选B ．
【点评】此题考查学生对空间中点、线、面的位置关系的理解与掌握．重点考查学生的空间想象能力．
5．两圆x 2+y2=9和x 2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是( )
A ．外切 B．内切 C．相交 D．外离
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】直线与圆．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求得圆心和半径，再根据两圆的圆心距d=5，大于半径之差而小于半径之和，故它们相交．
【解答】解：圆x 2+y2=9的圆心为O （0，0）、半径等于3；圆x 2+y2﹣8x+6y+9=0，即（x ﹣4）2+（y+3）2 =16，表示以C （4，﹣3）为圆心、半径等于4的圆，
两圆的圆心距d=|CO|=5，大于半径之差而小于半径之和，故它们相交，
故选：C ．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于基础题．
6．双曲线A ．e ﹣=1的焦点到它的渐近线的距离为( ) C ．a D ．b
【考点】双曲线的简单性质． B ．c
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．
【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣c ，0），（c ，0）．渐近线方程为y=±x ，即±bx ﹣ay=0， 所以焦点到其渐近线的距离d==b．
故选：D ．
【点评】本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．
7．与两点（﹣3，0），（3，0）距离的平方和等于38的点的轨迹方程是( )
A ．x 2﹣y 2=10 B ．x 2+y2=10 C ．x 2+y2=38 D ．x 2﹣y 2=38
【考点】轨迹方程．
【专题】计算题．
【分析】设动点M （x ，y ），直接利用题中的条件得 （x+3）2+y2+（x ﹣3）2+y2=38，化简可可得点的轨迹方程．
【解答】解：设动点M （x ，y ），由题意得（x+3）2+y2+（x ﹣3）2+y2=38，化简可得 x 2+y2=10，故点的轨迹方程是 x 2+y2=10，
故选B ．
【点评】本题考查直接利用题中条件求点的轨迹方程的方法，属于容易题．
8．若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系为( )
A ．相交、平行或异面 B．相交或平行
C ．异面 D．平行或异面
【考点】异面直线的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据异面直线的定义可得直线a ，c 的位置关系可能平行，可能是异面直线．
【解答】解：因为a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系可能平行，可能是异面直线，也可能是相交直线．
故选A ．
【点评】本题主要考查空间异面直线的位置关系的判断，比较基础．
9．圆x 2+y2﹣2x=3与直线y=ax+1的交点的个数是( )
A ．0个 B ．1个
C ．2个 D ．随a 值变化而变化
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；转化思想．
【分析】把圆的方程整理成标准方程，求得圆心和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离的表达式，利用不等式的性质可比较出＜2，进而推断出直线与圆相交，故可知交点为2个．
【解答】解：整理圆的方程为（x ﹣1）2+y2=4，圆心为（1，0），半径为2， 圆心到直线的距离为 （）2﹣4=，
对于y=3a2﹣2a+3，△=4﹣36＜0
∴3a 2﹣2a+3＞0， ∴（）2﹣4＜0 ∴（）2＜4 即＜2
∴直线与圆相交，即交点有2个．
故选C
【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质．判断直线与圆的位置关系时，一般是看圆心到直线的距离与半径的大小的比较．
10．正四棱锥V ﹣ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 是V A 中点，O 是底面中心，则异面直线EO 与BC 所成的角是( )
A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】空间角．
【分析】以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OV 为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线EO 与BC 所成的角的大小．
【解答】解：以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OV 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正四棱锥V ﹣ABCD 的侧棱长与底面边长都为2，
则O （0，0，0），A （
B （0，
∴=（，0），C （﹣，0，0），V （0，0，，0，0）， =（﹣，﹣），E （，0，）， ），，0），
设异面直线EO 与BC 所成的角为θ，
则cos θ=|cos＜＞|=||=|
|=，
∴θ=60°，
∴异面直线EO 与BC 所成的角是60°．
故选：C ．
【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
11．双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为( )
A ．+1 B ．+1 C ． D ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线的对称性可推断出三角形的顶点在y 轴，根据正三角形的性质求得顶点的坐标，进而求得正三角形的边与双曲线的交点，代入双曲线方程与b 2=c2﹣a 2联立整理求得e ．
【解答】解：双曲线恰好平分正三角形的另两边，
顶点就在Y 轴上坐标是（0，c ）或（0，﹣c ） 那么正三角形的边与双曲线的交点就是边的中点（，c ） 在双曲线上代入方程
联立b 2=c2﹣a 2求得e 4﹣8e 2+4=0
求得e=+1
故选：B ． =1
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的综合把握．
12．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB 与y 轴平行，AB=OA，则三角形AOB 是(
)
A ．等边三角形
C ．直角三角形 B ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形
【考点】平面图形的直观图．
【专题】作图题；空间位置关系与距离．
【分析】直接利用水平放置的三角形的直观图的画法，判断原图中△A ′B ′O ′的形状即可．
【解答】解：因为水平放置的三角形的直观图，AB ∥y 轴，AB=OA，所以原图中∠B ′A ′C ′=90°，A ′B ′=2O′A ′，则原图中△A ′B ′O ′是直角三角形．
故选：C ．
【点评】本题考查三角形形状的判断，平面图形直观图的画法，基本知识的考查．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
13．椭圆+=1上一点M 到一个焦点的距离是5，则它到另一个焦点的距离是
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得椭圆的a=6，设椭圆的两个焦点为F ，F' ，由椭圆的定义可得|PF|+|PF'|=2a=12，计算即可得到所求距离．
【解答】解：椭圆+=1的a=6，
设椭圆的两个焦点为F ，F' ，
由椭圆的定义可得|PF|+|PF'|=2a=12，
可令|PF|=5，
即有|PF'|=12﹣|PF|=12﹣5=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查椭圆的定义和方程，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．
14．已知A （1，﹣5），B （﹣3，0），则点A 关于点B ．
【考点】直线的斜率．
【专题】直线与圆．
【分析】设点A 关于点B 对称点的坐标为（x ，y ），利用中点坐标公式可得，解得即可．
【解答】解：设点A 关于点B 对称点的坐标为（x ，y ），则，解得x=﹣7，y=5． 故答案为：（﹣7，5）．
【点评】本题考查了中点坐标公式、对称问题，考查了计算能力，属于基础题．
15．椭圆+=1的两焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，满足∠F 1PF 2=60°，则三角形F 1PF 2的面积．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】依题意，在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2=60°，|F1P|+|PF2|=2a=20，|F1F 2|=12，利用余弦定理可求得|F1P|•|PF2|的值，从而可求得△PF 1F 2的面积．
【解答】解：∵椭圆的方程为∴a=10，b=8，c=6． +=1，
又∵P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2=60°，F 1、F 2为左、右焦点，
∴|F1P|+|PF2|=2a=20，|F1F 2|=12，
∴|F1F 2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P|•|PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°
=400﹣3|F1P|•|PF2|=144，
∴|F1P|•|PF2
|=，
∴S △PF 1F 2
=|F1P|•|PF2|sin60° =××=． ． 故答案为：
【点评】本题考查椭圆的定义和方程、简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．
16．圆x 2+y2﹣10x ﹣10y=0和圆x 2+y2﹣6x+2y﹣40=0的公共弦长是．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】先把2个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长．
【解答】解：∵两圆为x 2+y2﹣10x ﹣10y=0①，x 2+y2﹣6x+2y﹣40=0，②
②﹣①可得：4x+12y﹣40=0，
即x+3y﹣10=0．
∴两圆的公共弦所在直线的方程是x+3y﹣10=0，
∵x 2+y2﹣10x ﹣10y=0的圆心坐标为（5，5），半径为5
∴圆心到公共弦的距离为d=∴AB=2
=． =， ，
故答案为：．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
三．解答题（本大题共6小题，满分70分）
17．已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直线x ﹣y=0截得的弦长为，求圆的方程．
【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
【专题】计算题．
【分析】设圆心（a ，2a ），由弦长求出a 的值，得到圆心的坐标，又已知半径，故可写出圆的标准方程．
【解答】解：设圆心（a ，2a ），由弦长公式求得弦心距d==，
再由点到直线的距离公式得 d==|a|，
∴a=±2，∴圆心坐标为（2，4），或（﹣2，﹣4），又半径为，
∴所求的圆的方程为：（x ﹣2）2+（y ﹣4）2=10或（x+2）2+（y+4）2=10．
【点评】本题考查圆的标准方程的求法，利用弦长公式和点到直线的距离公式，关键是求出圆心的坐标．
18．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．
（Ⅰ）求证：EF ∥平面CB 1D 1；
（Ⅱ）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．
【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
【专题】证明题．
【分析】（Ⅰ）欲证EF ∥平面CB 1D 1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF 与平面CB 1D 1内一直线平行，连接BD ，根据中位线可知EF ∥BD ，则EF ∥B 1D 1，又B 1D 1⊂平面CB 1D 1，EF ⊄平面CB 1D 1，满足定理所需条件；
（Ⅱ）欲证平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1，根据面面垂直的判定定理可知在平面CB 1D 1内一直线与
B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊥B 1D 1，平面CAA 1C 1垂直，而AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，则AA 1⊥B 1D 1，
满足线面垂直的判定定理则B 1D 1⊥平面CAA 1C 1，而B 1D 1⊂平面CB 1D 1，满足定理所需条件．
【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BD ．
在正方体AC 1中，对角线BD ∥B 1D 1．
又因为E 、F 为棱AD 、AB 的中点，
所以EF ∥BD ．
所以EF ∥B 1D 1．
又B 1D 1⊂平面CB 1D 1，EF ⊄平面CB 1D 1，
所以EF ∥平面CB 1D 1．
（Ⅱ）因为在正方体AC 1中，
AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，
所以AA 1⊥B 1D 1．
又因为在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，
所以B 1D 1⊥平面CAA 1C 1．
又因为B 1D 1⊂平面CB 1D 1，
所以平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．（14分）
【点评】本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．
19．椭圆C ：
+=10）F 20）（a ＞b ＞0）的焦点分别为F 1（﹣1，，（1，，且经过定点 （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线
y=（x+1）交椭圆C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由椭圆的定义，求出a ，结合c=1，求出b ，即可由此能求出椭圆方程．
（2）联立方程组，消去y 得，2x 2+2x﹣1=0，由此利用弦长公式能够求出张段AB 的长．
【解答】解：（1）由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a， 即
，
又c=1，∴b 2=a2﹣c 2=1．… ∴
故椭圆C 的方程为．… ， （2）联立方程组，
消去y 得，2x 2+2x﹣1=0且△=22﹣4×2×（﹣1）＞0，…8 分
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由韦达定理可知x 1+x2=﹣1，
由弦长公式可得，…10 分 ．…12 分
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．已知圆C ：x 2+y2﹣4x ﹣14y+45=0，及点Q （﹣2，3）．
（1）P （a ，a+1）在圆上，求直线PQ 的斜率；
（2）若M 为圆C 上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）把点代入，即可求出a 的值，再根据斜率公式计算即可；
（2）求出圆心坐标和半径，结合图形即可求出最值；
（3）y ）3）的几何意义是圆上一点M （x ，与A （﹣2，连线的斜率，则当直线kx ﹣y ﹣2k+3=0与圆C 相切时有最值．
【解答】解：（1）∵点P （a ，a+1）在圆上，
∴a 2+（a+1）2﹣4a ﹣14（a+1）+45=0，
∴a=4，P （4，5），
∴K PQ
=，
， ，
（2）∵圆心坐标C 为（2，7），∴∴
．
（3）设点（﹣2，3）的直线l 的方程为：y ﹣3=k（x+2），即kx ﹣y ﹣2k+3=0，
易知直线l 与圆方程相切时，k 有最值， ∴
∴
∴ 的最大值为，最小值为． ， 【点评】本题考查了直线与圆，点与圆的位置关系，点在圆外时d ﹣r ≤|MQ|≤d+r，从而求最值，直线与圆相切时有最值，属于中档题．
21．PA ⊥AC ，PC ⊥BC ，M 为PB 的中点，D 为AB 的中点，如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，且△AMB 为正三角形．
（1）求证：BC ⊥平面PAC ；
（2）若BC=4，PB=10，求点B 到平面DCM 的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】（1）要证BC ⊥平面PAC ，只需证明BC 与平面PAC 内的两条相交直线PA 、PC 垂直，利用直线与平面垂直的判定定理证明即可；
（2）解法一：通过BC=4，PB=10，利用等体积法V M ﹣BCD =VB ﹣MCD ，即可求解点B 到平面DCM 的距离．
解法二：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，证明BH ⊥平面DCM ．说明BH 为点B 到平面DCM 的距离，一是利用等面积法求解，二是利用解直角三角形求解．
【解答】（本小题满分14分）
（1）证明：在正△AMB 中，D 是AB 的中点，∴MD ⊥AB ．…
∵M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，∴MD ∥PA ，故PA ⊥AB ．…
又PA ⊥AC ，AB ∩AC=A，AB ，AC ⊂平面ABC ，
∴PA ⊥平面ABC ．…
∵BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC ．…
又PC ⊥BC ，PA ∩PC=P，PA ，PC ⊂平面PAC ，
∴BC ⊥平面PAC ．…
（2）解法1：设点B 到平面DCM 的距离为h ，…
∵PB=10，M 是PB 的中点，∴MB=5．
∵△AMB 为正三角形，∴AB=MB=5．…
∵BC=4，BC ⊥AC ，∴AC=3． ∴．… ∵，
由（1）知MD ∥PA ，∴MD ⊥DC ．
在△ABC 中，
∴
∵V M ﹣BCD =VB ﹣MCD ，… ， ．…
∴
即
∴． ， ．…（13分） 故点B 到平面DCM 的距离为．…（14分）
解法2：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，…
由（1）知，PA ⊥平面ABC ，MD ∥PA ，
∴MD ⊥平面ABC ．
∵BH ⊂平面ABC ，∴MD ⊥BH ．
∵CD ∩MD=D，∴BH ⊥平面DCM ．
∴BH 为点B 到平面DCM 的距离．…
∵PB=10，M 是PB 的中点，∴MB=5．
∵△AMB 为正三角形，∴AB=MB=5．…
∵D 为AB 的中点，∴．
以下给出两种求BH 的方法：
方法1：在△BCD 中，过点D 作BC 的垂线，垂足为点E ， 则
∵．… ，… ∴．
方法2：在Rt △BHD 中，
在Rt △BHC 中，∵BC=4，
∴BH 2+CH2=BC2， 即
由①，②解得．
．…（14分） ． ①… ． ②… 故点B 到平面DCM 的距离为
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断与证明，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
22．已知双曲线C ：﹣=1b ＞0）（a ＞0，的渐近线方程为y=±x ，且过点 ．（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）斜率为k 且过点P （1，2）的直线l 与双曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，试判断以Q （1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，说明理由．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±x
，且过点
，建立方程，求出a ，b ，即可求双曲线C 的标准方程；
（2）设直线l 的方程为y ﹣2=k（x ﹣1），即y=kx+2﹣k ，与双曲线方程联立，利用直线l 与双曲线C 有两个公共点，建立不等式，即可求k 的取值范围；
（3）假设存在，设出直线与双曲线的两个交点，代入双曲线方程后利用点差法求斜率，从而得到假设不正确．
【解答】解：（1）∵双曲线C ：， ﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±x
，且过点
∴=，
， ， ∴a=1，b=
∴双曲线C 的标准方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）设直线l 的方程为y ﹣2=k（x ﹣1），即y=kx+2﹣k ， 由得（k 2﹣2）x 2﹣2（k 2﹣2k ）x+k2﹣4k+6=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵直线l 与C 有两个公共点， ∴得
解之得：k ＜且
∴k 的取值范围是． ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（3）设以Q （1，1）为中点的弦存在，该直线与双曲线交于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点
，作差得k MN =2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由（2）可知，k=2时，直线l 与C 没有两个公共点，
∴设以Q （1，1）为中点的弦不存在．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合问题，考查了双曲线的方程，考查判别式法判断直线与圆锥曲线的交点个数，训练了利用点差法求中点弦所在直线的斜率，属中档题．
高二（上）12月月考数学试卷（文科）
一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 本大题共12小题，每小题5分，共60分. ）
1．椭圆的焦距为( )
A ．10 B ．5 C ． D ．
2．下列各组直线中，互相垂直的一组是( )
A ．2x ﹣3y ﹣5=0与4x ﹣6y ﹣5=0 B ．2x ﹣3y ﹣5=0与4x+6y+5=0
C ．2x+3y﹣6=0与3x ﹣2y+6=0 D ．2x+3y﹣6=0与2x ﹣3y ﹣6=0
3．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为(
)
A ． B ． C．π D ．
4．已知直线l 、m 、n 与平面α、β，给出下列四个命题：
①若m ∥l ，n ∥l ，则m ∥n
②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β
③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α或m ⊂α
其中正确命题的个数是( )
A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
5．两圆x 2+y2=9和x 2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是( )
A ．外切 B．内切 C．相交 D．外离
6．双曲线A ．e ﹣=1的焦点到它的渐近线的距离为( ) C ．a D ．b B ．c
7．与两点（﹣3，0），（3，0）距离的平方和等于38的点的轨迹方程是( )
A ．x 2﹣y 2=10 B ．x 2+y2=10 C ．x 2+y2=38 D ．x 2﹣y 2=38
8．若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系为( )
A ．相交、平行或异面 B．相交或平行
C ．异面 D．平行或异面
9．圆x 2+y2﹣2x=3与直线y=ax+1的交点的个数是( )
A ．0个 B ．1个
C ．2个 D ．随a 值变化而变化
10．正四棱锥V ﹣ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 是V A 中点，O 是底面中心，则异面直线EO 与BC 所成的角是( )
A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
11．双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为( )
A ．+1 B ．+1 C ． D ．
12．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB 与y 轴平行，AB=OA，则三角形AOB 是(
)
A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
13．椭圆+=1上一点M 到一个焦点的距离是5，则它到另一个焦点的距离是
14．已知A （1，﹣5），B （﹣3，0），则点A 关于点B 对称点的坐标．
15．椭圆+=1的两焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，满足∠F 1PF 2=60°，则三角形F 1PF 2的面积__________．
16．圆x 2+y2﹣10x ﹣10y=0和圆x 2+y2﹣6x+2y﹣40=0的公共弦长是__________．
三．解答题（本大题共6小题，满分70分）
17．已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直线x ﹣y=0截得的弦长为
程．
18．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．
（Ⅰ）求证：EF ∥平面CB 1D 1；
（Ⅱ）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．
，求圆的方
19．椭圆C ：
+=10）F 20）（a ＞b ＞0）的焦点分别为F 1（﹣1，，（1，，且经过定点 （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线
y=（x+1）交椭圆C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．
20．已知圆C ：x 2+y2﹣4x ﹣14y+45=0，及点Q （﹣2，3）．
（1）P （a ，a+1）在圆上，求直线PQ 的斜率；
（2）若M 为圆C 上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
（3）求
的最大值和最小值．
21．PA ⊥AC ，PC ⊥BC ，M 为PB 的中点，D 为AB 的中点，如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，且△AMB 为正三角形．
（1）求证：BC ⊥平面PAC ；
（2）若BC=4，PB=10，求点B 到平面DCM 的距离．
22．已知双曲线C ：﹣=1b ＞0）（a ＞0，的渐近线方程为y=±x ，且过点 ．（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）斜率为k 且过点P （1，2）的直线l 与双曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，试判断以Q （1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，说明理由．
高二（上）12月月考数学试卷（文科）
一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 本大题共12小题，每小题5分，共60分. ）
1．椭圆
A ．10 B ．5 的焦距为( ) C ． D ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据椭圆标准方程得a 2=16，b 2=9．再根据椭圆基本量的关系得c=即可得到该椭圆的焦距．
【解答】解：∵椭圆方程为
∴a 2=16，b 2=9，得c= =，由此=
由此，可得椭圆的焦距等于2c=2
故选：D
【点评】本题给出椭圆的方程，求椭圆的焦距，着重考查了椭圆的标准方程和椭圆基本量的关系等知识，属于基础题．
2．下列各组直线中，互相垂直的一组是( )
A ．2x ﹣3y ﹣5=0与4x ﹣6y ﹣5=0 B ．2x ﹣3y ﹣5=0与4x+6y+5=0
C ．2x+3y﹣6=0与3x ﹣2y+6=0 D ．2x+3y﹣6=0与2x ﹣3y ﹣6=0
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【专题】直线与圆．
【分析】直线l 1，l 2的斜率存在分别k 1，k 2，由l 1⊥l 2⇔k 1•k 2=﹣1即可判断出．
【解答】解：A ．k 1k 2=
B ．k 1k 2
=
C ．k 1k 2=
﹣
D ．k 1k 2=
﹣=≠﹣1，因此l 1与l 2不垂直； =﹣≠﹣1，因此l 1与l 2不垂直； =﹣1，因此l 1⊥l 2； =﹣≠=﹣1，因此l 1与l 2不垂直．
故选：C ．
【点评】本题考查了两条直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为(
)
A ． B ． C．π D ．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由已知中的三视力可得该几何体是一个圆柱，求出底面半径，和母线长，代入圆柱侧面积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个圆柱，
∵几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，
∴圆柱的底面直径和母线长均为1，
故圆柱的底面周长为：π，
故圆柱的侧面面积为：π×1=π，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
4．已知直线l 、m 、n 与平面α、β，给出下列四个命题：
①若m ∥l ，n ∥l ，则m ∥n
②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β
③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α或m ⊂α
其中正确命题的个数是( )
A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】常规题型；综合题．
【分析】要判断线线、线面、面面的位置关系，要根据线面平行（垂直）、面面平行（垂直）的判定和性质，八个定理来判断．
【解答】解：①若m ∥l ，n ∥l ，则m ∥n ，根据公理4：平行于同一直线的两只线平行，所以①正确．
m ∥β，②若m ⊥α，则α⊥β，因为m ∥β根据线面平行的性质在β内至少存在一条直线与m 平行，
根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面．
③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ，平行于同一平面的两直线可能平行、相交、异面．所以③不正确．
④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α 或m ⊂α，因为α⊥β，根据面面垂直的性质在α内垂直于α、β交线的直线与β垂直，又因为m ⊥β，所以此直线与m 平行或重合，所以m ∥α 或m ⊂α． 故选B ．
【点评】此题考查学生对空间中点、线、面的位置关系的理解与掌握．重点考查学生的空间想象能力．
5．两圆x 2+y2=9和x 2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是( )
A ．外切 B．内切 C．相交 D．外离
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】直线与圆．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求得圆心和半径，再根据两圆的圆心距d=5，大于半径之差而小于半径之和，故它们相交．
【解答】解：圆x 2+y2=9的圆心为O （0，0）、半径等于3；圆x 2+y2﹣8x+6y+9=0，即（x ﹣4）2+（y+3）2 =16，表示以C （4，﹣3）为圆心、半径等于4的圆，
两圆的圆心距d=|CO|=5，大于半径之差而小于半径之和，故它们相交，
故选：C ．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于基础题．
6．双曲线A ．e ﹣=1的焦点到它的渐近线的距离为( ) C ．a D ．b
【考点】双曲线的简单性质． B ．c
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．
【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣c ，0），（c ，0）．渐近线方程为y=±x ，即±bx ﹣ay=0， 所以焦点到其渐近线的距离d==b．
故选：D ．
【点评】本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．
7．与两点（﹣3，0），（3，0）距离的平方和等于38的点的轨迹方程是( )
A ．x 2﹣y 2=10 B ．x 2+y2=10 C ．x 2+y2=38 D ．x 2﹣y 2=38
【考点】轨迹方程．
【专题】计算题．
【分析】设动点M （x ，y ），直接利用题中的条件得 （x+3）2+y2+（x ﹣3）2+y2=38，化简可可得点的轨迹方程．
【解答】解：设动点M （x ，y ），由题意得（x+3）2+y2+（x ﹣3）2+y2=38，化简可得 x 2+y2=10，故点的轨迹方程是 x 2+y2=10，
故选B ．
【点评】本题考查直接利用题中条件求点的轨迹方程的方法，属于容易题．
8．若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系为( )
A ．相交、平行或异面 B．相交或平行
C ．异面 D．平行或异面
【考点】异面直线的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据异面直线的定义可得直线a ，c 的位置关系可能平行，可能是异面直线．
【解答】解：因为a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系可能平行，可能是异面直线，也可能是相交直线．
故选A ．
【点评】本题主要考查空间异面直线的位置关系的判断，比较基础．
9．圆x 2+y2﹣2x=3与直线y=ax+1的交点的个数是( )
A ．0个 B ．1个
C ．2个 D ．随a 值变化而变化
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；转化思想．
【分析】把圆的方程整理成标准方程，求得圆心和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离的表达式，利用不等式的性质可比较出＜2，进而推断出直线与圆相交，故可知交点为2个．
【解答】解：整理圆的方程为（x ﹣1）2+y2=4，圆心为（1，0），半径为2， 圆心到直线的距离为 （）2﹣4=，
对于y=3a2﹣2a+3，△=4﹣36＜0
∴3a 2﹣2a+3＞0， ∴（）2﹣4＜0 ∴（）2＜4 即＜2
∴直线与圆相交，即交点有2个．
故选C
【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质．判断直线与圆的位置关系时，一般是看圆心到直线的距离与半径的大小的比较．
10．正四棱锥V ﹣ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 是V A 中点，O 是底面中心，则异面直线EO 与BC 所成的角是( )
A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】空间角．
【分析】以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OV 为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线EO 与BC 所成的角的大小．
【解答】解：以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OV 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正四棱锥V ﹣ABCD 的侧棱长与底面边长都为2，
则O （0，0，0），A （
B （0，
∴=（，0），C （﹣，0，0），V （0，0，，0，0）， =（﹣，﹣），E （，0，）， ），，0），
设异面直线EO 与BC 所成的角为θ，
则cos θ=|cos＜＞|=||=|
|=，
∴θ=60°，
∴异面直线EO 与BC 所成的角是60°．
故选：C ．
【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
11．双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为( )
A ．+1 B ．+1 C ． D ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线的对称性可推断出三角形的顶点在y 轴，根据正三角形的性质求得顶点的坐标，进而求得正三角形的边与双曲线的交点，代入双曲线方程与b 2=c2﹣a 2联立整理求得e ．
【解答】解：双曲线恰好平分正三角形的另两边，
顶点就在Y 轴上坐标是（0，c ）或（0，﹣c ） 那么正三角形的边与双曲线的交点就是边的中点（，c ） 在双曲线上代入方程
联立b 2=c2﹣a 2求得e 4﹣8e 2+4=0
求得e=+1
故选：B ． =1
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的综合把握．
12．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB 与y 轴平行，AB=OA，则三角形AOB 是(
)
A ．等边三角形
C ．直角三角形 B ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形
【考点】平面图形的直观图．
【专题】作图题；空间位置关系与距离．
【分析】直接利用水平放置的三角形的直观图的画法，判断原图中△A ′B ′O ′的形状即可．
【解答】解：因为水平放置的三角形的直观图，AB ∥y 轴，AB=OA，所以原图中∠B ′A ′C ′=90°，A ′B ′=2O′A ′，则原图中△A ′B ′O ′是直角三角形．
故选：C ．
【点评】本题考查三角形形状的判断，平面图形直观图的画法，基本知识的考查．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
13．椭圆+=1上一点M 到一个焦点的距离是5，则它到另一个焦点的距离是
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得椭圆的a=6，设椭圆的两个焦点为F ，F' ，由椭圆的定义可得|PF|+|PF'|=2a=12，计算即可得到所求距离．
【解答】解：椭圆+=1的a=6，
设椭圆的两个焦点为F ，F' ，
由椭圆的定义可得|PF|+|PF'|=2a=12，
可令|PF|=5，
即有|PF'|=12﹣|PF|=12﹣5=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查椭圆的定义和方程，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．
14．已知A （1，﹣5），B （﹣3，0），则点A 关于点B ．
【考点】直线的斜率．
【专题】直线与圆．
【分析】设点A 关于点B 对称点的坐标为（x ，y ），利用中点坐标公式可得，解得即可．
【解答】解：设点A 关于点B 对称点的坐标为（x ，y ），则，解得x=﹣7，y=5． 故答案为：（﹣7，5）．
【点评】本题考查了中点坐标公式、对称问题，考查了计算能力，属于基础题．
15．椭圆+=1的两焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，满足∠F 1PF 2=60°，则三角形F 1PF 2的面积．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】依题意，在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2=60°，|F1P|+|PF2|=2a=20，|F1F 2|=12，利用余弦定理可求得|F1P|•|PF2|的值，从而可求得△PF 1F 2的面积．
【解答】解：∵椭圆的方程为∴a=10，b=8，c=6． +=1，
又∵P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2=60°，F 1、F 2为左、右焦点，
∴|F1P|+|PF2|=2a=20，|F1F 2|=12，
∴|F1F 2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P|•|PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°
=400﹣3|F1P|•|PF2|=144，
∴|F1P|•|PF2
|=，
∴S △PF 1F 2
=|F1P|•|PF2|sin60° =××=． ． 故答案为：
【点评】本题考查椭圆的定义和方程、简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．
16．圆x 2+y2﹣10x ﹣10y=0和圆x 2+y2﹣6x+2y﹣40=0的公共弦长是．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】先把2个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长．
【解答】解：∵两圆为x 2+y2﹣10x ﹣10y=0①，x 2+y2﹣6x+2y﹣40=0，②
②﹣①可得：4x+12y﹣40=0，
即x+3y﹣10=0．
∴两圆的公共弦所在直线的方程是x+3y﹣10=0，
∵x 2+y2﹣10x ﹣10y=0的圆心坐标为（5，5），半径为5
∴圆心到公共弦的距离为d=∴AB=2
=． =， ，
故答案为：．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
三．解答题（本大题共6小题，满分70分）
17．已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直线x ﹣y=0截得的弦长为，求圆的方程．
【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
【专题】计算题．
【分析】设圆心（a ，2a ），由弦长求出a 的值，得到圆心的坐标，又已知半径，故可写出圆的标准方程．
【解答】解：设圆心（a ，2a ），由弦长公式求得弦心距d==，
再由点到直线的距离公式得 d==|a|，
∴a=±2，∴圆心坐标为（2，4），或（﹣2，﹣4），又半径为，
∴所求的圆的方程为：（x ﹣2）2+（y ﹣4）2=10或（x+2）2+（y+4）2=10．
【点评】本题考查圆的标准方程的求法，利用弦长公式和点到直线的距离公式，关键是求出圆心的坐标．
18．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．
（Ⅰ）求证：EF ∥平面CB 1D 1；
（Ⅱ）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．
【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
【专题】证明题．
【分析】（Ⅰ）欲证EF ∥平面CB 1D 1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF 与平面CB 1D 1内一直线平行，连接BD ，根据中位线可知EF ∥BD ，则EF ∥B 1D 1，又B 1D 1⊂平面CB 1D 1，EF ⊄平面CB 1D 1，满足定理所需条件；
（Ⅱ）欲证平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1，根据面面垂直的判定定理可知在平面CB 1D 1内一直线与
B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊥B 1D 1，平面CAA 1C 1垂直，而AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，则AA 1⊥B 1D 1，
满足线面垂直的判定定理则B 1D 1⊥平面CAA 1C 1，而B 1D 1⊂平面CB 1D 1，满足定理所需条件．
【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BD ．
在正方体AC 1中，对角线BD ∥B 1D 1．
又因为E 、F 为棱AD 、AB 的中点，
所以EF ∥BD ．
所以EF ∥B 1D 1．
又B 1D 1⊂平面CB 1D 1，EF ⊄平面CB 1D 1，
所以EF ∥平面CB 1D 1．
（Ⅱ）因为在正方体AC 1中，
AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，
所以AA 1⊥B 1D 1．
又因为在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，
所以B 1D 1⊥平面CAA 1C 1．
又因为B 1D 1⊂平面CB 1D 1，
所以平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．（14分）
【点评】本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．
19．椭圆C ：
+=10）F 20）（a ＞b ＞0）的焦点分别为F 1（﹣1，，（1，，且经过定点 （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线
y=（x+1）交椭圆C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由椭圆的定义，求出a ，结合c=1，求出b ，即可由此能求出椭圆方程．
（2）联立方程组，消去y 得，2x 2+2x﹣1=0，由此利用弦长公式能够求出张段AB 的长．
【解答】解：（1）由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a， 即
，
又c=1，∴b 2=a2﹣c 2=1．… ∴
故椭圆C 的方程为．… ， （2）联立方程组，
消去y 得，2x 2+2x﹣1=0且△=22﹣4×2×（﹣1）＞0，…8 分
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由韦达定理可知x 1+x2=﹣1，
由弦长公式可得，…10 分 ．…12 分
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．已知圆C ：x 2+y2﹣4x ﹣14y+45=0，及点Q （﹣2，3）．
（1）P （a ，a+1）在圆上，求直线PQ 的斜率；
（2）若M 为圆C 上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）把点代入，即可求出a 的值，再根据斜率公式计算即可；
（2）求出圆心坐标和半径，结合图形即可求出最值；
（3）y ）3）的几何意义是圆上一点M （x ，与A （﹣2，连线的斜率，则当直线kx ﹣y ﹣2k+3=0与圆C 相切时有最值．
【解答】解：（1）∵点P （a ，a+1）在圆上，
∴a 2+（a+1）2﹣4a ﹣14（a+1）+45=0，
∴a=4，P （4，5），
∴K PQ
=，
， ，
（2）∵圆心坐标C 为（2，7），∴∴
．
（3）设点（﹣2，3）的直线l 的方程为：y ﹣3=k（x+2），即kx ﹣y ﹣2k+3=0，
易知直线l 与圆方程相切时，k 有最值， ∴
∴
∴ 的最大值为，最小值为． ， 【点评】本题考查了直线与圆，点与圆的位置关系，点在圆外时d ﹣r ≤|MQ|≤d+r，从而求最值，直线与圆相切时有最值，属于中档题．
21．PA ⊥AC ，PC ⊥BC ，M 为PB 的中点，D 为AB 的中点，如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，且△AMB 为正三角形．
（1）求证：BC ⊥平面PAC ；
（2）若BC=4，PB=10，求点B 到平面DCM 的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】（1）要证BC ⊥平面PAC ，只需证明BC 与平面PAC 内的两条相交直线PA 、PC 垂直，利用直线与平面垂直的判定定理证明即可；
（2）解法一：通过BC=4，PB=10，利用等体积法V M ﹣BCD =VB ﹣MCD ，即可求解点B 到平面DCM 的距离．
解法二：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，证明BH ⊥平面DCM ．说明BH 为点B 到平面DCM 的距离，一是利用等面积法求解，二是利用解直角三角形求解．
【解答】（本小题满分14分）
（1）证明：在正△AMB 中，D 是AB 的中点，∴MD ⊥AB ．…
∵M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，∴MD ∥PA ，故PA ⊥AB ．…
又PA ⊥AC ，AB ∩AC=A，AB ，AC ⊂平面ABC ，
∴PA ⊥平面ABC ．…
∵BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC ．…
又PC ⊥BC ，PA ∩PC=P，PA ，PC ⊂平面PAC ，
∴BC ⊥平面PAC ．…
（2）解法1：设点B 到平面DCM 的距离为h ，…
∵PB=10，M 是PB 的中点，∴MB=5．
∵△AMB 为正三角形，∴AB=MB=5．…
∵BC=4，BC ⊥AC ，∴AC=3． ∴．… ∵，
由（1）知MD ∥PA ，∴MD ⊥DC ．
在△ABC 中，
∴
∵V M ﹣BCD =VB ﹣MCD ，… ， ．…
∴
即
∴． ， ．…（13分） 故点B 到平面DCM 的距离为．…（14分）
解法2：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，…
由（1）知，PA ⊥平面ABC ，MD ∥PA ，
∴MD ⊥平面ABC ．
∵BH ⊂平面ABC ，∴MD ⊥BH ．
∵CD ∩MD=D，∴BH ⊥平面DCM ．
∴BH 为点B 到平面DCM 的距离．…
∵PB=10，M 是PB 的中点，∴MB=5．
∵△AMB 为正三角形，∴AB=MB=5．…
∵D 为AB 的中点，∴．
以下给出两种求BH 的方法：
方法1：在△BCD 中，过点D 作BC 的垂线，垂足为点E ， 则
∵．… ，… ∴．
方法2：在Rt △BHD 中，
在Rt △BHC 中，∵BC=4，
∴BH 2+CH2=BC2， 即
由①，②解得．
．…（14分） ． ①… ． ②… 故点B 到平面DCM 的距离为
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断与证明，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
22．已知双曲线C ：﹣=1b ＞0）（a ＞0，的渐近线方程为y=±x ，且过点 ．（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）斜率为k 且过点P （1，2）的直线l 与双曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，试判断以Q （1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，说明理由．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±x
，且过点
，建立方程，求出a ，b ，即可求双曲线C 的标准方程；
（2）设直线l 的方程为y ﹣2=k（x ﹣1），即y=kx+2﹣k ，与双曲线方程联立，利用直线l 与双曲线C 有两个公共点，建立不等式，即可求k 的取值范围；
（3）假设存在，设出直线与双曲线的两个交点，代入双曲线方程后利用点差法求斜率，从而得到假设不正确．
【解答】解：（1）∵双曲线C ：， ﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±x
，且过点
∴=，
， ， ∴a=1，b=
∴双曲线C 的标准方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）设直线l 的方程为y ﹣2=k（x ﹣1），即y=kx+2﹣k ， 由得（k 2﹣2）x 2﹣2（k 2﹣2k ）x+k2﹣4k+6=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵直线l 与C 有两个公共点， ∴得
解之得：k ＜且
∴k 的取值范围是． ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（3）设以Q （1，1）为中点的弦存在，该直线与双曲线交于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点
，作差得k MN =2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由（2）可知，k=2时，直线l 与C 没有两个公共点，
∴设以Q （1，1）为中点的弦不存在．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合问题，考查了双曲线的方程，考查判别式法判断直线与圆锥曲线的交点个数，训练了利用点差法求中点弦所在直线的斜率，属中档题．