小升初数学求阴影部分图形面积新题型(含解答)

求阴影部分图形面积新题型

近年来的中考数学试卷中，围绕图形面积的知识，出现了一批考查应用与创新能力的新题型，归纳起来主要有：一、规律探究型

例1 宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）．

（1）如图1，分别以线段O1O2的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积．

（2）如图2，分别以等边△O1O2O3的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？

（3）如图3，分别以正方形O1O2O3O4的四个顶点为圆心，以其边长为半径作四个相同的圆，则这四个圆的相交部分的面积又是多少呢？（2005年黄冈市中考题）分析（1）利用“S阴=S利用求补法，即“S阴=S

菱形AO1BO2

=4S

弓形

”即可；（2）利用“S阴=S△O1O2O3+3S弓”即可；（3）•直接求解比较困难，可

空白

正方形O1O2O3O4

-S

空白

”，考虑到四个圆半径相同，若延长O2O1交⊙O1•于A，则S=4SO1AB，由（1）根

据对称性可求SO1BO4，再由“SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4”，这样S空白可求．解答（1）设两圆交于A、B两点，连结O1A，O2A，O1B，O2B．

则S阴=S菱形AO1BO2+4S弓．

∵S菱形=2S△AO1O2，△O1O2A为正△，其边长为r．

∴S阴



r+3（

r）=

r2

r．

（3）延长O2O1与⊙O1交于点A，设⊙O1与⊙O4交于点

∴S

△AO1O2

，S

弓

B，由（1）知，SO1BO4=

（

r-23

r）．

60

360



r2r=

∵SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4

r．

90r212 =-（r36023

r）

∴S阴=2

r+4（

2

rr）=rr． 36

（2）图2阴影部分的面积为S阴=S△O1O2O3+3S弓． ∵△O1O2O3为正△，边长为r．

r21 =-r+r．

443

则S阴=S正方形O1O2O3O4-4SO1AB

∴S△O1O2O3

r，S弓

60

r2=

360

r．

r21 =r-4（-r43

r）

=r+

r=（

r． 33

二、方案设计型

例2 在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小明和小颖的设计方案．

小明的设计方案：如图1，其中花园四周小路的宽度相等，经过解方程，•我得到路的宽为2m或12m．小颖的设计方案：如图2，其中花园中每个角上的扇形都相同．（1）你认为小明的结果对吗？请说明理由．（2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0．1m）

（3）你还有其它的设计方案吗？请在右边的矩形中画出你的设计草图，•并加以说明．（2004年新疆建设兵团中考题）

分析（1）由小明的设计知，小路的宽应小于矩形荒地宽的一半，由此判断即可；（2）可由“花园面积为矩形面积一半”列方程求x；（3）可由图形对称性来设计．解（1）小明的结果不对．设小路宽xm，则得方程（16-2x）（12-2x）=

×16×12 2

解得：x1=2，x2=12．而荒地的宽为12m，若小路宽为12m，不符合实际情况，故x2=12m不合题意．

x21

（2）由题意，4×=×16×12



，x≈5.5m．

（3）方案有多种，下面提供5种供参考：

三、网格求值型

例3 图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形．

（1）直接写出单位正三角形的高与面积；（2）图1中的

ABCD含有多少个单位正三角形？ABCD的面积是多少？

（3）求出图1中线段AC的长（可作辅助线）；

（4）求出图2中四边形EFGH的面积．（2005年吉林省中考题）

分析（1）由正三角形边角关系来求；（2）仔细观察图1便可找到答案；（3）考虑到图1中AB=3，BC=4，∠B=60°，可作△ABC的高AK，构造直角三角形，•再利用解直角三角形知识即可求得；（4）可利用网格构造特殊格点图形，再由求补法计算四边形EFGH•面积．

解：（1

，

（2）

ABCD含有24个单位正三角形，故其面积为24

（3）如图1，过A作AK⊥BC于K，在Rt△ACK中，AK=

KC=

5． 2

∴

（4）如图3，构造同理可求 S△GSH

EQSR，过F作FT⊥QG于T，则S

S

EQSR

△FQG

FT·QG=

1××

．

△EHR

．

∴S四边形EFGH= S

EQSR

-S△FQG-S△GSH-S△EHR

四、图形对称型

例4 如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过C、E和D•、•F，•则图中阴影部分的面积是_________．•（2005年河南省中考题）

分析由题意知，图中两半圆和两抛物线组成的图形关于y轴对称，故y轴左侧阴影部分面积等于半圆B中的空白面积，所以所求阴影部分面积为半圆B的面积，即S阴= 解答：

·1=． 22



． 2

五、图形变换型

例5 如图，矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm，AB在直线L上，依次为B、C′、•D″，依次为B、C′、D″为中心将矩形ABCD按顺时针方向旋转90°．这样点A•走过的曲线依次为点P．

（1）求矩形A′BC′D′的对角线A′C′的长；（2）求AA的长；（3）求图中部分的面积S；

（4）求图中部分的面积T．（2005年吉林省中考题）

AA'

、

A'A''、A''A'''，其中AA'

交CD于



分析（1）要求A′C′，因长宽分别为2和1，利用勾股定理即可；（2）要求AA，因AA所对圆心角为∠ABA′=90°，半径AB=2，利用弧长公式即可；（3）因△A′C′D•′≌△A″C′D″，故S=S扇形A`C``A``；（4）连PB，则PB=AB=2，又BC=1，故∠PBC=60°，∠ABP=30°，•欲求T，由“T=S扇形ABP+S△BCP”即可．解答（1）A′C′

（4）连结BP，在Rt△BCP中，BC=1，BP=2， ∴∠BPC=30°，

×2=（cm）．



cm）．

'90 （2）AA=

180

（3）S=S扇形A`CA``

ABP=30°，

54

∴T=S扇形ABP+S△PBC=

（cm）

30×2+

2360

=（



+32

）cm．

六、实际应用型

例6 在栽植农作物时，一个很重要的问题是“合理密植”．如图是栽植一种蔬菜时的两种方法，A、B、C、D四珠顺次连结成为一个菱形，且AB=BD；A′、B′、•C′、D′四株连结成一个正方形，这两种图形的面积为四株作物所占的面积，•两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积．在株距都为a，其他客观因素也相同的条件下，•请从栽植的行距，蔬菜所占的面积，充分生长后空隙地面积三个方面比较两种栽植方法．哪种方法能更充分地利用土地．

分析：本题立意很新，要合理密植，充分利用土地，只需分别计算并比较两种方案的行距、阴影面积以及S和S．对应值小的即为合理密植．

解连结AC交BD于点O．在菱形ABCD中，有AB=AD，AC⊥BD，BO=

∴栽植方法（1）比栽植方法（2）能更充分地利用土地．

BD． 2

1a． 2

∵AB=BD=a，∴BO=OD=

在Rt△AOD中，

a．

∴S菱形ABCD=2×

BD·

a，

S正方形A`B`C`D`=a．

设方法（1）中空隙地面积为S1，方法（2）中空隙地面积为S2．

则S1=S菱形ABCD-S☉A

a， 4

S2=S正方形A`B`C`D`-S☉A`=a-

a． 4

∴AO

S菱形ABCD

求阴影部分图形面积新题型

近年来的中考数学试卷中，围绕图形面积的知识，出现了一批考查应用与创新能力的新题型，归纳起来主要有：一、规律探究型

例1 宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）．

（1）如图1，分别以线段O1O2的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积．

（2）如图2，分别以等边△O1O2O3的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？

菱形AO1BO2

=4S

弓形

”即可；（2）利用“S阴=S△O1O2O3+3S弓”即可；（3）•直接求解比较困难，可

空白

正方形O1O2O3O4

-S

空白

”，考虑到四个圆半径相同，若延长O2O1交⊙O1•于A，则S=4SO1AB，由（1）根

据对称性可求SO1BO4，再由“SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4”，这样S空白可求．解答（1）设两圆交于A、B两点，连结O1A，O2A，O1B，O2B．

则S阴=S菱形AO1BO2+4S弓．

∵S菱形=2S△AO1O2，△O1O2A为正△，其边长为r．

∴S阴



r+3（

r）=

r2

r．

（3）延长O2O1与⊙O1交于点A，设⊙O1与⊙O4交于点

∴S

△AO1O2

，S

弓

B，由（1）知，SO1BO4=

（

r-23

r）．

60

360



r2r=

∵SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4

r．

90r212 =-（r36023

r）

∴S阴=2

r+4（

2

rr）=rr． 36

（2）图2阴影部分的面积为S阴=S△O1O2O3+3S弓． ∵△O1O2O3为正△，边长为r．

r21 =-r+r．

443

则S阴=S正方形O1O2O3O4-4SO1AB

∴S△O1O2O3

r，S弓

60

r2=

360

r．

r21 =r-4（-r43

r）

=r+

r=（

r． 33

二、方案设计型

例2 在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小明和小颖的设计方案．

（3）你还有其它的设计方案吗？请在右边的矩形中画出你的设计草图，•并加以说明．（2004年新疆建设兵团中考题）

×16×12 2

解得：x1=2，x2=12．而荒地的宽为12m，若小路宽为12m，不符合实际情况，故x2=12m不合题意．

x21

（2）由题意，4×=×16×12



，x≈5.5m．

（3）方案有多种，下面提供5种供参考：

三、网格求值型

例3 图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形．

（1）直接写出单位正三角形的高与面积；（2）图1中的

ABCD含有多少个单位正三角形？ABCD的面积是多少？

（3）求出图1中线段AC的长（可作辅助线）；

（4）求出图2中四边形EFGH的面积．（2005年吉林省中考题）

解：（1

，

（2）

ABCD含有24个单位正三角形，故其面积为24

（3）如图1，过A作AK⊥BC于K，在Rt△ACK中，AK=

KC=

5． 2

∴

（4）如图3，构造同理可求 S△GSH

EQSR，过F作FT⊥QG于T，则S

S

EQSR

△FQG

FT·QG=

1××

．

△EHR

．

∴S四边形EFGH= S

EQSR

-S△FQG-S△GSH-S△EHR

四、图形对称型

·1=． 22



． 2

五、图形变换型

（1）求矩形A′BC′D′的对角线A′C′的长；（2）求AA的长；（3）求图中部分的面积S；

（4）求图中部分的面积T．（2005年吉林省中考题）

AA'

、

A'A''、A''A'''，其中AA'

交CD于



（4）连结BP，在Rt△BCP中，BC=1，BP=2， ∴∠BPC=30°，

×2=（cm）．



cm）．

'90 （2）AA=

180

（3）S=S扇形A`CA``

ABP=30°，

54

∴T=S扇形ABP+S△PBC=

（cm）

30×2+

2360

=（



+32

）cm．

六、实际应用型

分析：本题立意很新，要合理密植，充分利用土地，只需分别计算并比较两种方案的行距、阴影面积以及S和S．对应值小的即为合理密植．

解连结AC交BD于点O．在菱形ABCD中，有AB=AD，AC⊥BD，BO=

∴栽植方法（1）比栽植方法（2）能更充分地利用土地．

BD． 2

1a． 2

∵AB=BD=a，∴BO=OD=

在Rt△AOD中，

a．

∴S菱形ABCD=2×

BD·

a，

S正方形A`B`C`D`=a．

设方法（1）中空隙地面积为S1，方法（2）中空隙地面积为S2．

则S1=S菱形ABCD-S☉A

a， 4

S2=S正方形A`B`C`D`-S☉A`=a-

a． 4

∴AO

S菱形ABCD

小升初数学求阴影部分图形面积新题型(含解答)

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