阻尼振动周期
由于质点的运动不可能每经过一定时间便完全重复出现，因此阻尼振动不是周期运动。不过 cos(ωt+φ)是周期变化的，他使得质点每连续两次通过平衡位置并沿着相同方向运动所需的时间是一样的，于是把cos(ωt+φ)的周期叫做阻尼振动的周期用 表示。与数学上通常理解的周期不同。
原创）弹簧振子会永远振动吗？（图）
科学的皇后 2008-07-08 23:21:39 阅读161 评论10 字号：大中小 订阅 上次周法哲说到一个弹簧振子，假定滑块是一个质点，质量为m ，质点运动的动能和弹簧的弹性势能不断互相转化，滑块会在初始位置O 点的左右永远振动下去，且振幅保持为A 不变。如下图所示：
描述这个弹簧振子系统的振动方程为
（1）
可以看出它是一个二阶齐次线性常微分方程，其解可为：
（2）
其时域波形如下图，是个正弦波：
但是，实际上由于振子系统不是完全孤立的，除受系统内部弹簧的弹性力外，还受系统外界的干扰作用。比如滑块体积不为0，运动中必然受空气的阻力；平面不光滑，滑块受到摩擦力。这些摩擦力会消耗一部分机械能转化成热量散发到系统以外。这些“反动”作用叫做摩擦阻尼。一般的机械振动中，振动的质点带动邻近的质点振动，振子的部分机械能必然传递给邻近的质点，即振子的能量要辐射出去一部分，振子系统的这种能量耗散叫做辐射阻尼。
无论摩擦阻尼还是辐射阻尼的作用，事实上都会使振子系统的机械能有所耗散。所以实际中的振子系统不可能永远振动下去。这种受外界阻尼作用的振动，物理学上叫做阻尼振动。
阻尼振动系统描述仍然可用微分方程，只不过需要考虑阻尼因素的作用。在振动速率v
（3）
根据牛顿第二定律可得振子系统的振动方程为：
（4）
其中
称为阻尼系数。而
可以看作系统固有的谐振圆频率。
可以看出式（4）是一个二阶齐次线性常微分方程，它所描述的系统会做什么样的运动？关键要看阻尼作用的大小。下面听周法哲为你一一分析： 1、当没有阻尼作用时，即阻尼系数β＝0 时，方程（4）回到简谐振动方程（1），其解可为式（2）所表述的正弦波函数，系统永远作等幅振动。
2、当阻尼作用较小时，即阻尼系数满足条件
时，方程（4）的解可为：
（5）
其中A0和φ 为由初始条件决定的积分常数，振动的“圆频率”为
式（5）表述的振子位移曲线x （t ）如下图：
可以看出其振动“周期”没有变，但振幅却按照指数规律衰减，从初始的最大振幅为A0 逐渐衰减为0，振子最终稳定下来，静止在平衡位置。这就是我们通常所说的阻尼振动或阻尼振荡。
3、当阻尼作用刚好达到某种平衡时，即阻尼系数满足条件
时，方程（4）的解可为：
（6）
其中c1和c2为积分常数。式（6）表述的振子位移曲线x （t ）如下图：
可以看出阻尼作用抵消了振子振动的机械能，恰恰形不成周期振动，质点运动的速率较小，在系统能量消耗完毕时，恰好回到平衡位置，静止下来。这就是我们通常所说的临界阻尼情况。
4、当阻尼作用较大，超过临界值时，即阻尼系数满足条件
时，方程（4）的解可为：
（7）
其中c1和c2为积分常数，并且：
式（7）表述的振子位移曲线 x（t ）如下图：
可以看出阻尼作用大大抵消了振子振动的机械能，根本形不成周期振动，质点运动的速率很小，需要经过相当长的时间过程，才能回到平衡位置静止下来。这就是我们通常所说的“过阻尼振动”情况，实际上毫无“振动”可言。 世界上大部分物体振动，实际上都属于上述各种情况的阻尼振动，宏观上系统振动能量不衰减的等幅振动或等幅振荡，一定是在特殊条件下的理想状态。
实验13 气垫导轨上弹簧振子振动的研究
力学实验最困难的问题就是摩擦力对测量的影响。气垫导轨就是为消除摩擦而设计的力学实验的装置，它使物体在气垫上运动，避免物体与导轨表面的直接接触，从而消除运动物体与导轨表的摩擦，也就是说，物体受到的摩擦阻力几乎可以忽略。利用气垫导轨可以进行许多力学实验，如测速度、加速度，验证牛顿第二定律、动量守恒定律，研究简谐振动、阻尼振动等，本实验采用气垫导轨研究弹簧振子的振动。 一、必做部分：简谐振动 [实验目的]
1．测量弹簧振子的振动周期T 。
2．求弹簧的倔强系数和有效质量 。 [仪器仪器]
气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 [实验原理]
在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图13-1所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。
设质量为m 1的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为x 0，当m 1距平衡点x 时，m 1
只受弹性力与的作用，其中k 1是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 （1）
令
（2）
—初相位。
方程（1）的解为
说明滑块是做简谐振动。式中：A —振幅；
叫做振动系统的固有频率。而
（3）
（4）
式中：m —振动系统的有效质量；m 0—弹簧的有效质量；m 1—滑块和砝码的质量。
由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与
有下列关系：
（5）
在实验中，我们改变m 1，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出和。 [实验内容]
1．按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。
2．测量图13-1所示的弹簧振子的振动周期T ，重复测量6次，与T 相应的振动系统的有效质量是，其中m 1就是滑块本身（未加砝码块）的质量，m 0为弹簧的有效质量。
3．在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤2测量相应的周期T
，这时系统的有效质量
，其中 m 2应是滑块本身质量加上两块砝码的质量和。
4．再用
和
测量相应的周期T 。式中：
“4块
砝码的质量”； “6块砝码的质量”。（注意记录每次所加砝码的号数，以便称出各自的质量。）
5．测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。 6．在天平上称衡两弹簧的实际质量与其有效质量进行比较。
7．求出弹簧的倔强系数和有效质量[数据处理]
1．用逐差法处理数据。 由下列公式：
，以及弹簧的有效质量与实际质量之比。
（6）
故 如果由（7）式得到
（7） （8）
的数值是一样的（即两者之差不超过测量误差的范围），说
明（5）式中T 与m 的关系是成立的。将平均值代入（6）式，得
（i=1, ……，4）
平均值就是弹簧的有效质量。
2．用作图法处理数据
（9） （10）
以为纵坐标，m i 为横坐标，作图，得直线。其斜率为，截距为，由此可求出k 和m 0。
[思考题] 仔细观察，可以发现滑块的振幅是不断减小的，那么为什么还可以认为滑块是做简谐振动？实验中应如何尽量保证滑块做简谐振动？
二、选做部分：阻尼振动 [实验目的]
1．观测弹簧振子在有阻尼情况下的振动，测定表征阻尼振动特性的一些参量，如对数减缩
、驰豫时间、品质因数Q 的方法；
2．利用动态法测定滑块和导轨之间粘性阻尼常量b 。 [实验仪器]
气垫导轨，滑块，弹簧，光电门，数字毫秒计，附加物。 [实验原理]
一个自由振动系统由于外界和内部的原因，使其振动的能量逐渐减少，振幅因之逐渐衰减，最后停止振动，这就是阻尼振动。在单摆和天平的实验中我们观察到阻尼振动，实际上不仅在力学实验中，也不限于机械运动，例如，电流指针的运动，LRC 振荡电路中的电流、电压变化等也是阻尼振动。
本实验的阻尼谐振子由气垫导轨上的滑块和一对弹簧组成，如图13-2。此时滑块除受弹簧恢复力作用外，还受到滑块与导轨之间的粘性阻力的作用。在滑块速度较小时，粘性阻力F 阻和滑块的速度成正比，即
（11）
图13-2阻尼振动原理图
式中b 为粘性阻尼常量。气垫导轨上由滑块和一对弹簧组成的振动系统，在弹性力kx 和阻尼力F 阻作用下，滑块的运动方程为
（12）
式中m 为滑块质量。令
，其中常数
称为阻尼因数，
为振动系统的固
有频率，则式（12）可改写为
（13）
当阻力较小时，此方程的解为
（14）
其中
，而阻尼振动周期T 为
由以上可知，阻尼振动的主要特点是：
1．阻尼振动的振幅随时间按指数规律衰减，如图13-3，即
。显然，振幅衰减的快慢和阻尼因数
的大小有关，而
，因而和粘性
阻尼常量b 及振子质量m 有关。
2．阻尼振动周期T 要比无阻尼振动周期略长，阻尼越大，周期越长。 为直观地反映阻尼振动的衰减特性，常用对数减缩、弛豫时间及品质因数Q 来表示。在弱阻尼情况下，它们清楚地反映了振动系统的振幅及能量衰减的快慢，而且提供了粘性阻尼常量b 的动态测量方法。
15） （
（1）对数减缩
是指任一时刻 t 的振幅A （t ）和过一个周期后的振幅A （t+T）之比的对数，即
（16）
将代入上式，得
即测出
，就能求得
或b 。
（17）
（2）弛豫时间
它是振幅A 0衰减至初值 e -1(=0.368) 倍所经历的时间，即 所以
（18）
（3）品质因数Q
一个振动系统的品质因素又称Q 值，是一个应用极为广泛的概念，它在交流电系统及无线电电子学中是一个很常见的术语。品质因数是指振动系统的总能量E 与在一个周期中所损耗的能量∆E 之比的2π 倍，用Q 表示，则
（2-19）
阻尼振动中，能量的损耗是由于克服阻尼力作功而造成的，其作功的功率等于阻尼力的
22
大小bv 乘以运动速率v ，即等于bv 。在振动时，bv 是一个变量，可用一个周期中的平均值作为这一周期中的平均效果。这样，一个周期中的能量损耗∆E 等于一个周期中克服阻尼力作的功，所以
而对于振动系统而言，一个周期中的平均动能等于平均势能，且均等于总能量的一半，即
因而 综合式（20）、（17）、（19），得出
（20）
（21）
从以上的讨论可知，只要测出阻尼振动的对数减缩，就能求出反映阻尼振动特性的其它量，如
[实验内容]
。
1．利用半衰期法求。测定滑块、弹簧组成的阻尼谐振子的对数减缩，弛豫时间及品质因数Q 。
半衰期是指阻尼振动的振幅从初值A 0减到A 0/2时所经历的时间，记为T h ，则
由此可得
参照式（16）可得，
（22）
，
用停表测出阻尼谐振子的振幅从A 0减小到A 0/2的时间T h 及周期T ，计算对数减缩进而求出和Q 值以及阻尼常量b 值。
2．考查振子质量及弹簧的劲度系数k 对阻尼振动各常数的影响。
在滑块上附加质量、改换不同劲度系数的弹簧再测值，从对比中分析其影响。 [思考题]
1．阻尼振动周期比无阻尼（或阻尼很小时）振动周期长，你能否利用此实验装置设法加以证明？
2．讨论在振动系统的m 和k 相同的情况下，阻尼的大小对对数减缩及品质因数Q 的影响。
3．现有直径不同而质量相同的有机玻璃圆板，可安装在滑块上，圆板面和振动方向垂直，滑块在振动时在有机玻璃板的后面将产生空气的旋涡，这时有压差阻力作用在圆板上。研究加上圆板后，振动系统粘性阻尼常量b 将如何变化？b 值和圆板面积大小有何关系？
阻尼振动周期
由于质点的运动不可能每经过一定时间便完全重复出现，因此阻尼振动不是周期运动。不过 cos(ωt+φ)是周期变化的，他使得质点每连续两次通过平衡位置并沿着相同方向运动所需的时间是一样的，于是把cos(ωt+φ)的周期叫做阻尼振动的周期用 表示。与数学上通常理解的周期不同。
原创）弹簧振子会永远振动吗？（图）
科学的皇后 2008-07-08 23:21:39 阅读161 评论10 字号：大中小 订阅 上次周法哲说到一个弹簧振子，假定滑块是一个质点，质量为m ，质点运动的动能和弹簧的弹性势能不断互相转化，滑块会在初始位置O 点的左右永远振动下去，且振幅保持为A 不变。如下图所示：
描述这个弹簧振子系统的振动方程为
（1）
可以看出它是一个二阶齐次线性常微分方程，其解可为：
（2）
其时域波形如下图，是个正弦波：
但是，实际上由于振子系统不是完全孤立的，除受系统内部弹簧的弹性力外，还受系统外界的干扰作用。比如滑块体积不为0，运动中必然受空气的阻力；平面不光滑，滑块受到摩擦力。这些摩擦力会消耗一部分机械能转化成热量散发到系统以外。这些“反动”作用叫做摩擦阻尼。一般的机械振动中，振动的质点带动邻近的质点振动，振子的部分机械能必然传递给邻近的质点，即振子的能量要辐射出去一部分，振子系统的这种能量耗散叫做辐射阻尼。
无论摩擦阻尼还是辐射阻尼的作用，事实上都会使振子系统的机械能有所耗散。所以实际中的振子系统不可能永远振动下去。这种受外界阻尼作用的振动，物理学上叫做阻尼振动。
阻尼振动系统描述仍然可用微分方程，只不过需要考虑阻尼因素的作用。在振动速率v
（3）
根据牛顿第二定律可得振子系统的振动方程为：
（4）
其中
称为阻尼系数。而
可以看作系统固有的谐振圆频率。
可以看出式（4）是一个二阶齐次线性常微分方程，它所描述的系统会做什么样的运动？关键要看阻尼作用的大小。下面听周法哲为你一一分析： 1、当没有阻尼作用时，即阻尼系数β＝0 时，方程（4）回到简谐振动方程（1），其解可为式（2）所表述的正弦波函数，系统永远作等幅振动。
2、当阻尼作用较小时，即阻尼系数满足条件
时，方程（4）的解可为：
（5）
其中A0和φ 为由初始条件决定的积分常数，振动的“圆频率”为
式（5）表述的振子位移曲线x （t ）如下图：
可以看出其振动“周期”没有变，但振幅却按照指数规律衰减，从初始的最大振幅为A0 逐渐衰减为0，振子最终稳定下来，静止在平衡位置。这就是我们通常所说的阻尼振动或阻尼振荡。
3、当阻尼作用刚好达到某种平衡时，即阻尼系数满足条件
时，方程（4）的解可为：
（6）
其中c1和c2为积分常数。式（6）表述的振子位移曲线x （t ）如下图：
可以看出阻尼作用抵消了振子振动的机械能，恰恰形不成周期振动，质点运动的速率较小，在系统能量消耗完毕时，恰好回到平衡位置，静止下来。这就是我们通常所说的临界阻尼情况。
4、当阻尼作用较大，超过临界值时，即阻尼系数满足条件
时，方程（4）的解可为：
（7）
其中c1和c2为积分常数，并且：
式（7）表述的振子位移曲线 x（t ）如下图：
可以看出阻尼作用大大抵消了振子振动的机械能，根本形不成周期振动，质点运动的速率很小，需要经过相当长的时间过程，才能回到平衡位置静止下来。这就是我们通常所说的“过阻尼振动”情况，实际上毫无“振动”可言。 世界上大部分物体振动，实际上都属于上述各种情况的阻尼振动，宏观上系统振动能量不衰减的等幅振动或等幅振荡，一定是在特殊条件下的理想状态。
实验13 气垫导轨上弹簧振子振动的研究
力学实验最困难的问题就是摩擦力对测量的影响。气垫导轨就是为消除摩擦而设计的力学实验的装置，它使物体在气垫上运动，避免物体与导轨表面的直接接触，从而消除运动物体与导轨表的摩擦，也就是说，物体受到的摩擦阻力几乎可以忽略。利用气垫导轨可以进行许多力学实验，如测速度、加速度，验证牛顿第二定律、动量守恒定律，研究简谐振动、阻尼振动等，本实验采用气垫导轨研究弹簧振子的振动。 一、必做部分：简谐振动 [实验目的]
1．测量弹簧振子的振动周期T 。
2．求弹簧的倔强系数和有效质量 。 [仪器仪器]
气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 [实验原理]
在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图13-1所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。
设质量为m 1的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为x 0，当m 1距平衡点x 时，m 1
只受弹性力与的作用，其中k 1是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 （1）
令
（2）
—初相位。
方程（1）的解为
说明滑块是做简谐振动。式中：A —振幅；
叫做振动系统的固有频率。而
（3）
（4）
式中：m —振动系统的有效质量；m 0—弹簧的有效质量；m 1—滑块和砝码的质量。
由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与
有下列关系：
（5）
在实验中，我们改变m 1，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出和。 [实验内容]
1．按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。
2．测量图13-1所示的弹簧振子的振动周期T ，重复测量6次，与T 相应的振动系统的有效质量是，其中m 1就是滑块本身（未加砝码块）的质量，m 0为弹簧的有效质量。
3．在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤2测量相应的周期T
，这时系统的有效质量
，其中 m 2应是滑块本身质量加上两块砝码的质量和。
4．再用
和
测量相应的周期T 。式中：
“4块
砝码的质量”； “6块砝码的质量”。（注意记录每次所加砝码的号数，以便称出各自的质量。）
5．测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。 6．在天平上称衡两弹簧的实际质量与其有效质量进行比较。
7．求出弹簧的倔强系数和有效质量[数据处理]
1．用逐差法处理数据。 由下列公式：
，以及弹簧的有效质量与实际质量之比。
（6）
故 如果由（7）式得到
（7） （8）
的数值是一样的（即两者之差不超过测量误差的范围），说
明（5）式中T 与m 的关系是成立的。将平均值代入（6）式，得
（i=1, ……，4）
平均值就是弹簧的有效质量。
2．用作图法处理数据
（9） （10）
以为纵坐标，m i 为横坐标，作图，得直线。其斜率为，截距为，由此可求出k 和m 0。
[思考题] 仔细观察，可以发现滑块的振幅是不断减小的，那么为什么还可以认为滑块是做简谐振动？实验中应如何尽量保证滑块做简谐振动？
二、选做部分：阻尼振动 [实验目的]
1．观测弹簧振子在有阻尼情况下的振动，测定表征阻尼振动特性的一些参量，如对数减缩
、驰豫时间、品质因数Q 的方法；
2．利用动态法测定滑块和导轨之间粘性阻尼常量b 。 [实验仪器]
气垫导轨，滑块，弹簧，光电门，数字毫秒计，附加物。 [实验原理]
一个自由振动系统由于外界和内部的原因，使其振动的能量逐渐减少，振幅因之逐渐衰减，最后停止振动，这就是阻尼振动。在单摆和天平的实验中我们观察到阻尼振动，实际上不仅在力学实验中，也不限于机械运动，例如，电流指针的运动，LRC 振荡电路中的电流、电压变化等也是阻尼振动。
本实验的阻尼谐振子由气垫导轨上的滑块和一对弹簧组成，如图13-2。此时滑块除受弹簧恢复力作用外，还受到滑块与导轨之间的粘性阻力的作用。在滑块速度较小时，粘性阻力F 阻和滑块的速度成正比，即
（11）
图13-2阻尼振动原理图
式中b 为粘性阻尼常量。气垫导轨上由滑块和一对弹簧组成的振动系统，在弹性力kx 和阻尼力F 阻作用下，滑块的运动方程为
（12）
式中m 为滑块质量。令
，其中常数
称为阻尼因数，
为振动系统的固
有频率，则式（12）可改写为
（13）
当阻力较小时，此方程的解为
（14）
其中
，而阻尼振动周期T 为
由以上可知，阻尼振动的主要特点是：
1．阻尼振动的振幅随时间按指数规律衰减，如图13-3，即
。显然，振幅衰减的快慢和阻尼因数
的大小有关，而
，因而和粘性
阻尼常量b 及振子质量m 有关。
2．阻尼振动周期T 要比无阻尼振动周期略长，阻尼越大，周期越长。 为直观地反映阻尼振动的衰减特性，常用对数减缩、弛豫时间及品质因数Q 来表示。在弱阻尼情况下，它们清楚地反映了振动系统的振幅及能量衰减的快慢，而且提供了粘性阻尼常量b 的动态测量方法。
15） （
（1）对数减缩
是指任一时刻 t 的振幅A （t ）和过一个周期后的振幅A （t+T）之比的对数，即
（16）
将代入上式，得
即测出
，就能求得
或b 。
（17）
（2）弛豫时间
它是振幅A 0衰减至初值 e -1(=0.368) 倍所经历的时间，即 所以
（18）
（3）品质因数Q
一个振动系统的品质因素又称Q 值，是一个应用极为广泛的概念，它在交流电系统及无线电电子学中是一个很常见的术语。品质因数是指振动系统的总能量E 与在一个周期中所损耗的能量∆E 之比的2π 倍，用Q 表示，则
（2-19）
阻尼振动中，能量的损耗是由于克服阻尼力作功而造成的，其作功的功率等于阻尼力的
22
大小bv 乘以运动速率v ，即等于bv 。在振动时，bv 是一个变量，可用一个周期中的平均值作为这一周期中的平均效果。这样，一个周期中的能量损耗∆E 等于一个周期中克服阻尼力作的功，所以
而对于振动系统而言，一个周期中的平均动能等于平均势能，且均等于总能量的一半，即
因而 综合式（20）、（17）、（19），得出
（20）
（21）
从以上的讨论可知，只要测出阻尼振动的对数减缩，就能求出反映阻尼振动特性的其它量，如
[实验内容]
。
1．利用半衰期法求。测定滑块、弹簧组成的阻尼谐振子的对数减缩，弛豫时间及品质因数Q 。
半衰期是指阻尼振动的振幅从初值A 0减到A 0/2时所经历的时间，记为T h ，则
由此可得
参照式（16）可得，
（22）
，
用停表测出阻尼谐振子的振幅从A 0减小到A 0/2的时间T h 及周期T ，计算对数减缩进而求出和Q 值以及阻尼常量b 值。
2．考查振子质量及弹簧的劲度系数k 对阻尼振动各常数的影响。
在滑块上附加质量、改换不同劲度系数的弹簧再测值，从对比中分析其影响。 [思考题]
1．阻尼振动周期比无阻尼（或阻尼很小时）振动周期长，你能否利用此实验装置设法加以证明？
2．讨论在振动系统的m 和k 相同的情况下，阻尼的大小对对数减缩及品质因数Q 的影响。
3．现有直径不同而质量相同的有机玻璃圆板，可安装在滑块上，圆板面和振动方向垂直，滑块在振动时在有机玻璃板的后面将产生空气的旋涡，这时有压差阻力作用在圆板上。研究加上圆板后，振动系统粘性阻尼常量b 将如何变化？b 值和圆板面积大小有何关系？