归纳二重积分的计算方法
摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.
关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算
前言
二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分, 在几何\物理\力学等方面有着重要的应用. 重积分是由一元函数积分推广而来的, 但与一元函数相比, 计算重积分的难度除了与被积函数有关外, 还与积分区域的特点有关, 计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分. 求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.
1. 预备知识
1.1二重积分的定义[1]
设f (x , y )是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数, 若对任给的正数
ε, 总存在某个正数δ, 使对于D 的任意分割T ,
当它的细度T
都有
∑f (ξ, η)∆σ
i
i
i =1
n
i
-J
则称f (x , y )在D 上可积, 数J 称为函数f (x , y )在D 上的二重积分, 记作
J =⎰⎰f (x , y )d σ,
D
其中f (x , y )称为二重积分的被积函数, x , y 称为积分变量, D 称为积分区域.
1.2二重积分的若干性质
1.21若f (x , y )在区域D 上可积, k 为常数, 则kf (x , y )在D 上也可积, 且 ⎰⎰kf (x , y )d σ=k ⎰⎰f (x , y )d σ.
D
D
1.22 若f (x , y ), g (x , y )在D 上都可积, 则f (x , y )±g (x , y )在D 上也可积, 且
⎰⎰[f (x , y )±g (x , y )]d σ=⎰⎰f (x , y )d σ±⎰⎰g (x , y )d σ.
D
D
D
1.23 若f (x , y )在D 1和D 2上都可积, 且D 1与D 2无公共内点, 则f (x , y )在D 1 D 2上也可积, 且
D 1 D 2
⎰⎰f (x , y )d σ=⎰⎰f (x , y )d σ±⎰⎰f (x , y )d σ
D 1
D 2
1.3在矩形区域上二重积分的计算定理
设f (x , y )在矩形区域D =[a , b ]⨯[c , d ]上可积, 且对每个x ∈[a , b ], 积分⎰f (x , y )dy 存
c d
在, 则累次积分⎰dx ⎰f (x , y )dy 也存在, 且
a
c
b d
⎰⎰
D
f (x , y )d σ=⎰dx ⎰f (x , y )dy .
a
c
b
b d
同理若对每个y ∈[c , d ], 积分⎰f (x , y )dx 存在, 在上述条件上可得
a
⎰⎰
D
f (x , y )d σ=⎰dy ⎰f (x , y )dx
c
a
d b
2. 求的二重积分的几类理论依据
二重积分类似定积分, 可看成一个函数在有界区域内的积分, 它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算, 在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键, 下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧, 另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下, 对一般区域二重积分的计算
X -型区域: D =Y -型区域: D =
{(x , y )y (x )≤y ≤y
11
2
(x ), a ≤x ≤b }
{(x , y )x (y )≤x ≤x (y ), c ≤y ≤d }
2
定理:若f (x , y )在X -区域D 上连续, 其中y 1(x ), y 2(x )在[a , b ]上连续, 则
⎰⎰f (x , y )d σ=⎰dx ⎰()f (x , y )dy
D
a
y 1x
b
y 2(x )
即二重积分可化为先对y , 后对x 的累次积分. 同理在上述条件下, 若区域为Y -型, 有
⎰⎰
D
f (x , y d =⎰d x ⎰)σ
c
d
x 2()y x ()y 1
y f (, x )y d
例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V . 解：设圆柱底面半径为a , 两个圆柱方程为 x 2+y 2=a 2与x 2+z 2=a 2.
只要求出第一卦限部分的体积, 然后再乘以8即得所求的体积.
第一卦限部分的立体式以
z =为曲顶, 以四分之一圆域D
:
⎧⎪0≤y ≤ ⎨
0≤x ≤a , ⎪⎩
为底的曲顶柱体, 所以
a a 12V =σ=⎰dx =⎰(a 2-x 2) dx =a 3
0083D
于是V =
163
a . 3
另外, 一般常见的区域可分解为有限个X -型或Y -型区域, 用上述方法求得各个小区域上的二重积分, 再根据性质1.23求得即可.
2.2 二重积分的变量变换公式
定理: 设f (x , y )在有界闭域D 上可积, 变换T : x =x (u , v ), y =y (u , v ) 将平面uv 由按段光
滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy 平面上的闭区域, y =y (u , v ) 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 x =x (, u )v
D , 函数
J (u , v )=
则
∂(x , y )
≠0, (u , v )∈∆,
∂u , v ∆
⎰⎰f (x , y )dxdy =⎰⎰f (x (u , v ), y (u , v ))J (u , v )dudv .
D
用这个定理一般有两个目的, 即被积函数化简单和积分区域简单化. 例1 求
⎰⎰e
D
x -y x +y
dxdy , 其中D 是由x =0, y =0, x +y =1所围区域.
11
(u +v ) , y =(u -v ) , 则 22
解 为了简化被积函数, 令u =x -y , v =x +y . 为此作变换T :x =
12
J (u , v )=
1-2
即
121
=>0. 122
u v
⎰⎰e
D
x -y x +y
u v 11111e -e -1-1v
dxdy ⎰⎰e dudv =⎰dv ⎰e du =⎰v (e -e ) dv =
0-v 02224∆
例2 求抛物线y 2=mx ，y 2=nx 和直线y =βx ，y =αx 所围区域D 的面积μ(D )
(0
解D 的面积μ(D ) =
⎰⎰dxdy ．
D
为了简化积分区域，作变换T ： x =面上的矩形区域∆=[m , n ]⨯[α, β]．由于
u u
y =，．它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平2
v v
1
v 2
J (u , v )=
1v
所以
-
2u
u v 3
=4>0，(u , v )∈∆， u v -2v
n 2-m 2)(β3-α3)βdv n (u
μ(D ) =⎰⎰dxdy =⎰⎰4dudv =⎰4⎰udu = 33αv m v 6αβD ∆
2.3 用极坐标计算二重积分
定理: 设f (x , y )在有界闭域D 上可积, 且在极坐标变换T ：⎨
⎧x =r cos θ
0≤r
y =r sin θ⎩
0≤θ≤2π下，xy 平面上有界闭区域D 与r θ平面上区域∆对应，则成立
⎰⎰f (x , y )dxdy =⎰⎰f (r cos θ, r sin θ)J (r , θ) drd θ．
D
∆
其中J (r , θ) =
cos θsin θ
-r sin θr cos θ
=r ．
22
当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为f x , y 时，采用该极坐标变
()
换．
二重积分在极坐标下化累次积分的计算方法：
（i ）若原点O ∉D ，且xy 平面上射线θ=常数与D 边界至多交与两点，则∆必可表示成
r 1(θ) ≤r ≤r 2(θ) ，α≤θ≤β，
于是有
⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy =⎰d θ⎰
α
β
r 2(θ)
r 1(θ)
f (r cos θ, r sin θ) rdr
类似地，若xy 平面上的圆r =常数与D 的边界多交于两点，则∆必可表示成
θ1(r ) ≤θ≤θ2(r ) ，r 1≤r ≤r 2，
所以
⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy =⎰rdr ⎰
r 1
r 2θ2(r )
θ1(r )
f (r cos θ, r sin θ) d θ.
（ii ）若原点为D 的内点，D 的边界的极坐标方程为r =r (θ) ，则∆可表示成0≤r ≤r (θ) ，
0≤θ≤2π.
所以
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰
D
2π
d θ⎰
r (θ)
f (r cos θ, r sin θ) rdr
.
(iii)若原点O 在D 的边界上, 则∆为0≤r ≤r (θ) , α≤θ≤β, 于是
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰αd θ⎰
D
βr (θ)
f (r cos θ, r sin θ) rdr
例1 计算I =⎰⎰e -(x
D
2
+y 2)
d σ, 其中D 为圆域: x 2+y 2≤R 2.
解 利用极坐标变换, 由公式得
I =⎰
2π
⎰
R
re -r dr =π(1-e -R ) .
22
与极坐标类似，在某些时候我们可以作广义极坐标变换：
T ：⎨
⎧x =ar cos θ
0≤r
⎩y =br sin θ
J (r , θ) =
a cos θb sin θ
-ar sin θbr cos θ
=abr ．
x 2y 2z 2
如求椭球体2+2+2≤1的体积时，就需此种变换．
a b c
2.4利用二重积分的几何意义求其积分
当f (x , y ) ≥0时，二重积分⎰⎰f (x , y ) dxdy 在几何上就表示以z =f (x , y ) 为曲顶，D 为底的曲
D
顶体积．当f (x , y ) =1时，二重积分
⎰⎰f (x , y ) dxdy 的值就等于积分区域的面积．
D
例6
计算：I =D
x 2y 2σ，其中D ：2+2≤1．
a b 解
因为被积函数z =≥0，
所以I 表示D
为底的z =
由平行xoy 面的截面面积为
A (x ) =πab (1-z ) ，(0≤z ≤1) ，
根据平行截面面积为已知的立体体积公式有
11
I =⎰πab (1-z ) dz =πab
03
2.5 积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算 ２. ５１利用变量代换计算
设D 为有界闭域，它的边界曲线，(α≤t ≤β) 且D ={(x , y ) a ≤x ≤b , c ≤y ≤y (x ) }，当x =a
时，t =α；当x =b 时，t =β。设f (x , y ) 在D 上连续，且存在P (x , y ) ，(x , y ) ∈D 使得
∂P
=f (x , y ) ，则 ∂y
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰α{P [Φ(t ), ψ(t )]-P [Φ(t ), c ]}Φ(t ) dt
D
β
'
２. ５２利用格林公式计算
定理 若函数P (x , y ) ，Q (x , y ) 在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有
⎰⎰(
D
∂Q ∂P
-) d σ= ⎰L Pdx +Qdy ∂x ∂y
这里L 为区域D 的边界线，并取正方向． 计算步骤： （１）
构造函数P (x , y ) ，Q (x , y ) 使应具有一阶连续偏导数；
（２）利用格林公式化曲线积分求之．
∂Q ∂P
但P (x , y ) ，Q (x , y ) 在D 上-=f (x , y ) ，
∂x ∂y
例7计算⎰⎰x 3y 4dxdy ，D 是由椭圆x =a cos θ，y =b sin θ所围成．
D
解法一（利用变量代换）设D 1为D 在第一象限，则
425435ππa 3b 5352
x y dxdy =4⎰⎰x y dxdy =⎰x y dx 作变换x =a cos θ, y =b sin θa b ⎰cos θsin θ(-sin θ) d θ=⎰⎰05564D D 1
2
4
2
4
解法二（利用格林公式）令P =-
∂Q 125∂P
=0． x y ，Q =0，则=-x 2y 4，∂x 5∂y
12512ππa 3b 525
x y dxdy = -x y dx =-⎰(a cos θ) (b sin θ) (-a sin θ) d θ=⎰⎰⎰L 50564D
2
4
2.7 积分区域具有对称性的二重积分的简便算法 ２. ７１积分区域关于坐标轴对称
性质１ 若f (x , y ) 在区域D 内可积，且区域D 关于y 轴（或x 轴）对称，则二重积分
满足下列性质：
⎰⎰
D
0, f (x , y ) 为关于（或x y ）的奇函数⎧
⎪
f (x , y ) dxdy =⎨2f (x , y ) dxdy , f (x , y ) 为关于（或x y ）的偶函数
⎪⎰⎰⎩D 1
其中D 1为区域D 被y 轴（或x 轴）所分割的两个对称子域之一． 例 计算
222
D ，其中是由所围成的闭区域． x +y =R (h -2x -3y ) dxdy ⎰⎰
D
解析 由于积分区域D 关于x 轴＼y 轴均对称性，只需考虑被积函数f (x , y ) =h -2x -3y 关于x 或y 的奇偶性．易见，f (x , y ) 关于x 或y 既非奇函数，也非偶函数．若记f (x ) =-2x ，
f (y ) =-3y ，则f (x , y ) =h +f (x ) +f (y ) 且f (x ) 为x 的奇函数，f (y ) 为y 的奇函数．由此
dxdy =0=LDy =0y =xx =
由性质１，有
D 1
ππ
2
≤x +y =
π
y -y
π
2
≤πcos(x +y ) cos(x +y ) ≤0D 1D 2
=2⎰⎰cos(x +y ) dxdy =2⎰dy ⎰2cos(x +y ) dx =
π
2
，
-1
⎰⎰hdxdy =πhR 0
D
2
故有
⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy =
⎰⎰
D
f (x ) dxdy +
⎰⎰
D
f (y ) dxdy +
2
πhR ==hdxdy hdxdy ⎰⎰⎰⎰
D D
２. ７２积分区域关于某直线L 对称
性质２ 若f (x , y ) 在区域D 内可积，且区域D 关于L 对称，则二重积分满足下列性质：
⎰⎰
D
0, f (x , y ) 为关于直线L 的奇函数⎧
⎪
f (x , y ) dxdy =⎨2f (x , y ) dxdy , f (x , y ) 为关于直线L 的偶函数
⎪⎰⎰⎩D 1
其中D 1为区域D 被L 所分割的两个对称子域之一． 例 求，其中D 由直线y =0，y =x ，x =
π
2
围成．
解析 对任意(x , y ) ∈D ，有0≤x +y ≤π．而当0≤x +y ≤
π
2
时，cos(x +y ) ≥0．当
π
2
≤x +y ≤π时，cos(x +y ) ≤0．故作直线L ：x +y =
π
2
，把D 分成D 1和D 2两部分，而D 1
和D 2关于直线L 对称．又cos(x +y ) 关于直线L 偶对称．故
⎰⎰cos(x +y ) }dxdy =2⎰⎰cos(x +y ) dxdy =2⎰0dy ⎰y 2cos(x +y ) dx =
π
π
-y
π
2
-1
D D 1
2.8 运用导数的定义求极限
例10 计算lim
ln(h +x ) -ln h
(h >0)
x →0x
x →0
思路：对具有lim
f (x 0+h ) -f (x 0) f (x ) -f (x 0)
或lim 形式的极限，可由导数的h →0h x -x 0
定义来进行计算. 解：原式=(lnx )' |x =h =
1
h
2.9运用定积分的定义求极限[3]
1例11
计算lim +
n →0n 11n i
思路：和式极限，利用定积分定义lim ∑f () =⎰f (x ) dx 求得极限.
0n →0n n i =1
解：原式
1n =lim ∑n →0n i =1==
⎰⎰
πx
2
dx =
π
2.10 运用微分中值定理求极限
e x -e sin x 例12：计算lim
x →0x -sin x
思路：对函数f (x ) 在区间[sinx , x ]上运用拉格朗日中值定理，即可求得. 解：原式=lim e α=1 （其中α在[sinx , x ]区间内）
α→0
总上所述，在不同的类型下，所采用的技巧是各不相同的，求极限时，可能有多种求法，有难有易，也可能在求题的过程中，需要结合上述各种方法，才能简单有效的求出，因此学会判断极限的类型，另外对以上的解法能活学活用，是必要的.
参考文献:
[1]华东师范大学数学系. 数学分析（第五版）[M]. 高等教育出版社，2001. [2]钱志良. 谈极限的求法[J]. 常州信息职业技术学院学报，2003. [3] 李占光. 函数极限的计算方法[J]. 长沙民政职业技术学院学报，2004.
归纳二重积分的计算方法
摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.
关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算
前言
二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分, 在几何\物理\力学等方面有着重要的应用. 重积分是由一元函数积分推广而来的, 但与一元函数相比, 计算重积分的难度除了与被积函数有关外, 还与积分区域的特点有关, 计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分. 求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.
1. 预备知识
1.1二重积分的定义[1]
设f (x , y )是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数, 若对任给的正数
ε, 总存在某个正数δ, 使对于D 的任意分割T ,
当它的细度T
都有
∑f (ξ, η)∆σ
i
i
i =1
n
i
-J
则称f (x , y )在D 上可积, 数J 称为函数f (x , y )在D 上的二重积分, 记作
J =⎰⎰f (x , y )d σ,
D
其中f (x , y )称为二重积分的被积函数, x , y 称为积分变量, D 称为积分区域.
1.2二重积分的若干性质
1.21若f (x , y )在区域D 上可积, k 为常数, 则kf (x , y )在D 上也可积, 且 ⎰⎰kf (x , y )d σ=k ⎰⎰f (x , y )d σ.
D
D
1.22 若f (x , y ), g (x , y )在D 上都可积, 则f (x , y )±g (x , y )在D 上也可积, 且
⎰⎰[f (x , y )±g (x , y )]d σ=⎰⎰f (x , y )d σ±⎰⎰g (x , y )d σ.
D
D
D
1.23 若f (x , y )在D 1和D 2上都可积, 且D 1与D 2无公共内点, 则f (x , y )在D 1 D 2上也可积, 且
D 1 D 2
⎰⎰f (x , y )d σ=⎰⎰f (x , y )d σ±⎰⎰f (x , y )d σ
D 1
D 2
1.3在矩形区域上二重积分的计算定理
设f (x , y )在矩形区域D =[a , b ]⨯[c , d ]上可积, 且对每个x ∈[a , b ], 积分⎰f (x , y )dy 存
c d
在, 则累次积分⎰dx ⎰f (x , y )dy 也存在, 且
a
c
b d
⎰⎰
D
f (x , y )d σ=⎰dx ⎰f (x , y )dy .
a
c
b
b d
同理若对每个y ∈[c , d ], 积分⎰f (x , y )dx 存在, 在上述条件上可得
a
⎰⎰
D
f (x , y )d σ=⎰dy ⎰f (x , y )dx
c
a
d b
2. 求的二重积分的几类理论依据
二重积分类似定积分, 可看成一个函数在有界区域内的积分, 它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算, 在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键, 下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧, 另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下, 对一般区域二重积分的计算
X -型区域: D =Y -型区域: D =
{(x , y )y (x )≤y ≤y
11
2
(x ), a ≤x ≤b }
{(x , y )x (y )≤x ≤x (y ), c ≤y ≤d }
2
定理:若f (x , y )在X -区域D 上连续, 其中y 1(x ), y 2(x )在[a , b ]上连续, 则
⎰⎰f (x , y )d σ=⎰dx ⎰()f (x , y )dy
D
a
y 1x
b
y 2(x )
即二重积分可化为先对y , 后对x 的累次积分. 同理在上述条件下, 若区域为Y -型, 有
⎰⎰
D
f (x , y d =⎰d x ⎰)σ
c
d
x 2()y x ()y 1
y f (, x )y d
例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V . 解：设圆柱底面半径为a , 两个圆柱方程为 x 2+y 2=a 2与x 2+z 2=a 2.
只要求出第一卦限部分的体积, 然后再乘以8即得所求的体积.
第一卦限部分的立体式以
z =为曲顶, 以四分之一圆域D
:
⎧⎪0≤y ≤ ⎨
0≤x ≤a , ⎪⎩
为底的曲顶柱体, 所以
a a 12V =σ=⎰dx =⎰(a 2-x 2) dx =a 3
0083D
于是V =
163
a . 3
另外, 一般常见的区域可分解为有限个X -型或Y -型区域, 用上述方法求得各个小区域上的二重积分, 再根据性质1.23求得即可.
2.2 二重积分的变量变换公式
定理: 设f (x , y )在有界闭域D 上可积, 变换T : x =x (u , v ), y =y (u , v ) 将平面uv 由按段光
滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy 平面上的闭区域, y =y (u , v ) 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 x =x (, u )v
D , 函数
J (u , v )=
则
∂(x , y )
≠0, (u , v )∈∆,
∂u , v ∆
⎰⎰f (x , y )dxdy =⎰⎰f (x (u , v ), y (u , v ))J (u , v )dudv .
D
用这个定理一般有两个目的, 即被积函数化简单和积分区域简单化. 例1 求
⎰⎰e
D
x -y x +y
dxdy , 其中D 是由x =0, y =0, x +y =1所围区域.
11
(u +v ) , y =(u -v ) , 则 22
解 为了简化被积函数, 令u =x -y , v =x +y . 为此作变换T :x =
12
J (u , v )=
1-2
即
121
=>0. 122
u v
⎰⎰e
D
x -y x +y
u v 11111e -e -1-1v
dxdy ⎰⎰e dudv =⎰dv ⎰e du =⎰v (e -e ) dv =
0-v 02224∆
例2 求抛物线y 2=mx ，y 2=nx 和直线y =βx ，y =αx 所围区域D 的面积μ(D )
(0
解D 的面积μ(D ) =
⎰⎰dxdy ．
D
为了简化积分区域，作变换T ： x =面上的矩形区域∆=[m , n ]⨯[α, β]．由于
u u
y =，．它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平2
v v
1
v 2
J (u , v )=
1v
所以
-
2u
u v 3
=4>0，(u , v )∈∆， u v -2v
n 2-m 2)(β3-α3)βdv n (u
μ(D ) =⎰⎰dxdy =⎰⎰4dudv =⎰4⎰udu = 33αv m v 6αβD ∆
2.3 用极坐标计算二重积分
定理: 设f (x , y )在有界闭域D 上可积, 且在极坐标变换T ：⎨
⎧x =r cos θ
0≤r
y =r sin θ⎩
0≤θ≤2π下，xy 平面上有界闭区域D 与r θ平面上区域∆对应，则成立
⎰⎰f (x , y )dxdy =⎰⎰f (r cos θ, r sin θ)J (r , θ) drd θ．
D
∆
其中J (r , θ) =
cos θsin θ
-r sin θr cos θ
=r ．
22
当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为f x , y 时，采用该极坐标变
()
换．
二重积分在极坐标下化累次积分的计算方法：
（i ）若原点O ∉D ，且xy 平面上射线θ=常数与D 边界至多交与两点，则∆必可表示成
r 1(θ) ≤r ≤r 2(θ) ，α≤θ≤β，
于是有
⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy =⎰d θ⎰
α
β
r 2(θ)
r 1(θ)
f (r cos θ, r sin θ) rdr
类似地，若xy 平面上的圆r =常数与D 的边界多交于两点，则∆必可表示成
θ1(r ) ≤θ≤θ2(r ) ，r 1≤r ≤r 2，
所以
⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy =⎰rdr ⎰
r 1
r 2θ2(r )
θ1(r )
f (r cos θ, r sin θ) d θ.
（ii ）若原点为D 的内点，D 的边界的极坐标方程为r =r (θ) ，则∆可表示成0≤r ≤r (θ) ，
0≤θ≤2π.
所以
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰
D
2π
d θ⎰
r (θ)
f (r cos θ, r sin θ) rdr
.
(iii)若原点O 在D 的边界上, 则∆为0≤r ≤r (θ) , α≤θ≤β, 于是
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰αd θ⎰
D
βr (θ)
f (r cos θ, r sin θ) rdr
例1 计算I =⎰⎰e -(x
D
2
+y 2)
d σ, 其中D 为圆域: x 2+y 2≤R 2.
解 利用极坐标变换, 由公式得
I =⎰
2π
⎰
R
re -r dr =π(1-e -R ) .
22
与极坐标类似，在某些时候我们可以作广义极坐标变换：
T ：⎨
⎧x =ar cos θ
0≤r
⎩y =br sin θ
J (r , θ) =
a cos θb sin θ
-ar sin θbr cos θ
=abr ．
x 2y 2z 2
如求椭球体2+2+2≤1的体积时，就需此种变换．
a b c
2.4利用二重积分的几何意义求其积分
当f (x , y ) ≥0时，二重积分⎰⎰f (x , y ) dxdy 在几何上就表示以z =f (x , y ) 为曲顶，D 为底的曲
D
顶体积．当f (x , y ) =1时，二重积分
⎰⎰f (x , y ) dxdy 的值就等于积分区域的面积．
D
例6
计算：I =D
x 2y 2σ，其中D ：2+2≤1．
a b 解
因为被积函数z =≥0，
所以I 表示D
为底的z =
由平行xoy 面的截面面积为
A (x ) =πab (1-z ) ，(0≤z ≤1) ，
根据平行截面面积为已知的立体体积公式有
11
I =⎰πab (1-z ) dz =πab
03
2.5 积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算 ２. ５１利用变量代换计算
设D 为有界闭域，它的边界曲线，(α≤t ≤β) 且D ={(x , y ) a ≤x ≤b , c ≤y ≤y (x ) }，当x =a
时，t =α；当x =b 时，t =β。设f (x , y ) 在D 上连续，且存在P (x , y ) ，(x , y ) ∈D 使得
∂P
=f (x , y ) ，则 ∂y
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰α{P [Φ(t ), ψ(t )]-P [Φ(t ), c ]}Φ(t ) dt
D
β
'
２. ５２利用格林公式计算
定理 若函数P (x , y ) ，Q (x , y ) 在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有
⎰⎰(
D
∂Q ∂P
-) d σ= ⎰L Pdx +Qdy ∂x ∂y
这里L 为区域D 的边界线，并取正方向． 计算步骤： （１）
构造函数P (x , y ) ，Q (x , y ) 使应具有一阶连续偏导数；
（２）利用格林公式化曲线积分求之．
∂Q ∂P
但P (x , y ) ，Q (x , y ) 在D 上-=f (x , y ) ，
∂x ∂y
例7计算⎰⎰x 3y 4dxdy ，D 是由椭圆x =a cos θ，y =b sin θ所围成．
D
解法一（利用变量代换）设D 1为D 在第一象限，则
425435ππa 3b 5352
x y dxdy =4⎰⎰x y dxdy =⎰x y dx 作变换x =a cos θ, y =b sin θa b ⎰cos θsin θ(-sin θ) d θ=⎰⎰05564D D 1
2
4
2
4
解法二（利用格林公式）令P =-
∂Q 125∂P
=0． x y ，Q =0，则=-x 2y 4，∂x 5∂y
12512ππa 3b 525
x y dxdy = -x y dx =-⎰(a cos θ) (b sin θ) (-a sin θ) d θ=⎰⎰⎰L 50564D
2
4
2.7 积分区域具有对称性的二重积分的简便算法 ２. ７１积分区域关于坐标轴对称
性质１ 若f (x , y ) 在区域D 内可积，且区域D 关于y 轴（或x 轴）对称，则二重积分
满足下列性质：
⎰⎰
D
0, f (x , y ) 为关于（或x y ）的奇函数⎧
⎪
f (x , y ) dxdy =⎨2f (x , y ) dxdy , f (x , y ) 为关于（或x y ）的偶函数
⎪⎰⎰⎩D 1
其中D 1为区域D 被y 轴（或x 轴）所分割的两个对称子域之一． 例 计算
222
D ，其中是由所围成的闭区域． x +y =R (h -2x -3y ) dxdy ⎰⎰
D
解析 由于积分区域D 关于x 轴＼y 轴均对称性，只需考虑被积函数f (x , y ) =h -2x -3y 关于x 或y 的奇偶性．易见，f (x , y ) 关于x 或y 既非奇函数，也非偶函数．若记f (x ) =-2x ，
f (y ) =-3y ，则f (x , y ) =h +f (x ) +f (y ) 且f (x ) 为x 的奇函数，f (y ) 为y 的奇函数．由此
dxdy =0=LDy =0y =xx =
由性质１，有
D 1
ππ
2
≤x +y =
π
y -y
π
2
≤πcos(x +y ) cos(x +y ) ≤0D 1D 2
=2⎰⎰cos(x +y ) dxdy =2⎰dy ⎰2cos(x +y ) dx =
π
2
，
-1
⎰⎰hdxdy =πhR 0
D
2
故有
⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy =
⎰⎰
D
f (x ) dxdy +
⎰⎰
D
f (y ) dxdy +
2
πhR ==hdxdy hdxdy ⎰⎰⎰⎰
D D
２. ７２积分区域关于某直线L 对称
性质２ 若f (x , y ) 在区域D 内可积，且区域D 关于L 对称，则二重积分满足下列性质：
⎰⎰
D
0, f (x , y ) 为关于直线L 的奇函数⎧
⎪
f (x , y ) dxdy =⎨2f (x , y ) dxdy , f (x , y ) 为关于直线L 的偶函数
⎪⎰⎰⎩D 1
其中D 1为区域D 被L 所分割的两个对称子域之一． 例 求，其中D 由直线y =0，y =x ，x =
π
2
围成．
解析 对任意(x , y ) ∈D ，有0≤x +y ≤π．而当0≤x +y ≤
π
2
时，cos(x +y ) ≥0．当
π
2
≤x +y ≤π时，cos(x +y ) ≤0．故作直线L ：x +y =
π
2
，把D 分成D 1和D 2两部分，而D 1
和D 2关于直线L 对称．又cos(x +y ) 关于直线L 偶对称．故
⎰⎰cos(x +y ) }dxdy =2⎰⎰cos(x +y ) dxdy =2⎰0dy ⎰y 2cos(x +y ) dx =
π
π
-y
π
2
-1
D D 1
2.8 运用导数的定义求极限
例10 计算lim
ln(h +x ) -ln h
(h >0)
x →0x
x →0
思路：对具有lim
f (x 0+h ) -f (x 0) f (x ) -f (x 0)
或lim 形式的极限，可由导数的h →0h x -x 0
定义来进行计算. 解：原式=(lnx )' |x =h =
1
h
2.9运用定积分的定义求极限[3]
1例11
计算lim +
n →0n 11n i
思路：和式极限，利用定积分定义lim ∑f () =⎰f (x ) dx 求得极限.
0n →0n n i =1
解：原式
1n =lim ∑n →0n i =1==
⎰⎰
πx
2
dx =
π
2.10 运用微分中值定理求极限
e x -e sin x 例12：计算lim
x →0x -sin x
思路：对函数f (x ) 在区间[sinx , x ]上运用拉格朗日中值定理，即可求得. 解：原式=lim e α=1 （其中α在[sinx , x ]区间内）
α→0
总上所述，在不同的类型下，所采用的技巧是各不相同的，求极限时，可能有多种求法，有难有易，也可能在求题的过程中，需要结合上述各种方法，才能简单有效的求出，因此学会判断极限的类型，另外对以上的解法能活学活用，是必要的.
参考文献:
[1]华东师范大学数学系. 数学分析（第五版）[M]. 高等教育出版社，2001. [2]钱志良. 谈极限的求法[J]. 常州信息职业技术学院学报，2003. [3] 李占光. 函数极限的计算方法[J]. 长沙民政职业技术学院学报，2004.