光电效应测普朗克常数实验及数据处理方法
（东南大学 仪器科学与工程学院, 南京 210096）
摘 要： 简述了用作图法处理光电效应实验数据的优点和不足，通过实例说明，采用最小二乘拟合算法处理实验数据更具客观合理性。
关键词： 光电效应； 普朗克常数；最小二乘拟合
Photoelectric Effect Experiment and the Data Processing Method of Least Square Fit
(Department of instrument Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 210096)
Abstract:
Describe tersely the advantages and disadvantages of date-processing of Photoelectric effect experiment by
constructing a line. Using examples to explain that it is more objective and rational to do the data-processing by least square fit. key words: Photoelectric effect; plank constant; least square fit
由光电效应实验，可测量普朗克常数。通过实验测量，获取一组入射光频率及其相应的截止电压数据，标记在频率——截止电压坐标系中，此组数据点大体沿一条直线分布。可采用作图法，在坐标纸上画出此直线并求取其斜率，再由光电效应方程进一步计算出普朗克常数。作图法处理实验数据的操作过程简便易行，物理意义明朗。但作图过程易受人为因素影响，由此处理数据和计算的结果，多会因人而异。本文采用最小二乘拟合算法，计算出拟合直线的斜率等相关参数，数据处理和计算的过程更具客观合理性，不受人为因素影响。
1 实验原理
按照爱因斯坦光量子理论，光能集中在被称之为光子的微粒上，但这种微粒仍然保持着频率（或波长）的概念，频率为v 的光子具有能量E =hv ，h 为普朗克常数。当光子照射到金属表面时，一次为金属中的电子全部吸收，而无需积累能量的时间。电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引力，余下的就变为电子离开金属表面后的动能，按照能量守恒原理，爱因斯担提出了著名的光电效应方程：
采用Origin 软件，可以方便快捷地作出基于最小二乘算法的拟合直线，并附带规范、简洁、美观 的图形，还能同时给出拟合直线的斜率、截距、相关系数等拟合参数。
12m υ0+A ( 1 ) 2
12
式中，A m υ0为光电子获得的
2
hv =
初始功能。
由(1) 式可见，入射到金属表面的光频率越高，逸出的电子动能越大，所以即使阳极电位比阴极电位低时也会有电子到达阳极形成光电流，直至阳极电位低于截止电压，光电流才为零，此时有：
eU 0=
12
m υ20 ( 2 ) 阳极电位高于截止电压后，随着阳极电位的升高，阳极对阴极发射的电子的收集作用越强，光电流随之上升；当阳极电压高到一定程度，已把阴极发射的光电子几乎全收集到阳极，光电流出现饱和，饱和光电流的大小与入射光的强度成正比。
光子的能量hv 0
将（2）式代入（1）式可得：
eU 0=hv -A ( 3 ) (3) 式表明截止电压U 0是频率v 的线性函数，直线斜率K =，通过实验测得系列不同频率入射光
对应的截止电压，求出直线斜率，就可算出普朗克常数h 。
2 实验仪器及方法步骤
2.1 实验仪器
ZKY-GD-4智能光电效应实验仪，成都世纪中科仪器有限公司生产。仪器由汞灯及电源，滤光片，光阑，光电管、智能实验仪构成。 2.2 实验方法
零电流法测量截止电压，即直接将各频率光照射下测得的电流为零时对应的电压的绝对值作为截止电压U 0。
条件：光电管的阳极反向电流、暗电流和本底电流都很小。
2.3 实验步骤（截止电压测量步骤）：
（1）撤去光电管入口遮光罩，将4 mm的光阑放入光电管入口处； （2）撤去汞灯灯罩；
（3）将波长为365 nm的滤波片套在光电管入口处，此时仪表所显示的就是对应波长的光电管电压与电流值；
（4）轻点“电压调整”的“”以及“∧ ”和“∨ ”按钮来改变电压，观察电流的变化，当电流指示约为“000.0”，此时的电压表指示
就是该波长光所对应的截止电压。
（5）将365 nm滤光片依次换成405 nm、436 nm、546 nm、577 nm的滤光片，重复3~4步骤。分别记录各自的截止电压。
3 数据记录与处理
3.1 实验数据记录表格
3.2 实验数据处理（计算普朗克常数）
以频率为横轴，截止电压为纵轴建立坐标系，
在此坐标系中可以标出由表1算出的5个数据点，如图1中A 所示，其中每一个数据点对应于一个入射光频率及其相应的截止电压平均值。图1 A显示的5个数据点近似于沿一条直线分布，可由作图法在频率～截止电压坐标系中画出此直线，并求得其斜率，再由（3）式计算出普朗克常数h 。然而作图法不可避免会受到操作者的主观因素、作图精度和视觉因素的影响，其结果会因人而异。
本文采用最小二乘拟合法作上述5个数据点的拟合直线，如图1中B 所示，此法有固定的操作程序，计算结果唯一，并且其精度有客观的估算指标。其拟合算法为：设（x i , yi ）为实测的数据点，线性回归方程为Y = A + B· X ，则由最小二乘拟合法所得拟合的直线斜率为
B =
⋅-
2-2
,
其中， =1n n ∑x 1n
i =1i , =n ∑y i =1
i , xy =1n 2
n ∑x y 2
1n i =1i i , x =n ∑(x i =1
i )
图1 截止电压与入射光频率的关系
采用Origin 软件可以方便快捷地作出基于最小二乘算法的拟合直线，且能同时给出拟合直线的斜率、截距、相关系数等拟合参数。对本实验测量所得的5个数据点（每一个数据点对应于一个入射光频率及其相应的截止电压平均值）用使Origin 软件作最小二乘法直线拟合的计算结果如表2所示。
表2 拟合直线的相关参数
Linear Regression for Data1_B:
Y = A + B· X Parameter Value Error ------------------------------------------------ A 1.62406 0.08234 B -0.40737 0.01227
------------------------------------------------ R SD N P
------------------------------------------------ 0.99864 0.03067 5
其中，A 为拟合直线的截距以及截距的标准差；B 为拟合直线的斜率以及斜率的标准差；R 为相关系数；P 为 R = 0 的置信概率；N 为数据点个数；SD 为拟合变量Y 的标准差。 表2反映出，本次实验数据的相关系数R = 0.99864，接近于1。
由Y = A + B · X ，
可得 U 0 = -0.40737 X + 1.62406
依据( 3 ) 式，计算可得普朗克常数的实验值
h -14实验=0. 40737⨯10⨯1. 60⨯10-19 =6. 51792⨯10-34
(J ⋅s )
参照普朗克常数的公认值
h 公认=6. 626⨯10-34
(J ⋅s )
计算可得本实验的相对误差为 E r
=h 公认-h 实验h ≈4. 2% 公认
4 结论和讨论
由本次实验测量数据处理和计算所得普朗克常数较之公认值的相对误差小于5%，反映所用实验装置的光电管基本满足其阳极反向电流、暗电流和本底电流都很小的条件；采用最小二乘拟合法处理实验数据，具有客观性和稳定性的优点。相比于人工作图法而言，最小二乘拟合法不受人为因素的影响，数据处理的结果不会因人而异；用Origin 软件处理此类实验数据问题，方便、快捷。可由数据绘制多种曲线、图表，也可以进行多种类型的分析、计算。
参考文献：
[1] 吴丽君，李倩. 光电效应测普朗克常数的三种方法[J]. 大学物理实验,2007,20(4):49-52.
[2] 武颖丽，李平舟. 趋近平均法测量普朗克常量[J].物理实验,2007,27(4):42-47.
[3] 许弟春. 关于最小二乘法的参数估计问题探讨[J]. 长春师范学院学报(自然科学版) ，2009,28(2):21－23. [4] 周剑平. Origin 实用教程（7.5 版） [M]. 西安：西安交通大学出版社，2007.
光电效应测普朗克常数实验及数据处理方法
（东南大学 仪器科学与工程学院, 南京 210096）
摘 要： 简述了用作图法处理光电效应实验数据的优点和不足，通过实例说明，采用最小二乘拟合算法处理实验数据更具客观合理性。
关键词： 光电效应； 普朗克常数；最小二乘拟合
Photoelectric Effect Experiment and the Data Processing Method of Least Square Fit
(Department of instrument Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 210096)
Abstract:
Describe tersely the advantages and disadvantages of date-processing of Photoelectric effect experiment by
constructing a line. Using examples to explain that it is more objective and rational to do the data-processing by least square fit. key words: Photoelectric effect; plank constant; least square fit
由光电效应实验，可测量普朗克常数。通过实验测量，获取一组入射光频率及其相应的截止电压数据，标记在频率——截止电压坐标系中，此组数据点大体沿一条直线分布。可采用作图法，在坐标纸上画出此直线并求取其斜率，再由光电效应方程进一步计算出普朗克常数。作图法处理实验数据的操作过程简便易行，物理意义明朗。但作图过程易受人为因素影响，由此处理数据和计算的结果，多会因人而异。本文采用最小二乘拟合算法，计算出拟合直线的斜率等相关参数，数据处理和计算的过程更具客观合理性，不受人为因素影响。
1 实验原理
按照爱因斯坦光量子理论，光能集中在被称之为光子的微粒上，但这种微粒仍然保持着频率（或波长）的概念，频率为v 的光子具有能量E =hv ，h 为普朗克常数。当光子照射到金属表面时，一次为金属中的电子全部吸收，而无需积累能量的时间。电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引力，余下的就变为电子离开金属表面后的动能，按照能量守恒原理，爱因斯担提出了著名的光电效应方程：
采用Origin 软件，可以方便快捷地作出基于最小二乘算法的拟合直线，并附带规范、简洁、美观 的图形，还能同时给出拟合直线的斜率、截距、相关系数等拟合参数。
12m υ0+A ( 1 ) 2
12
式中，A m υ0为光电子获得的
2
hv =
初始功能。
由(1) 式可见，入射到金属表面的光频率越高，逸出的电子动能越大，所以即使阳极电位比阴极电位低时也会有电子到达阳极形成光电流，直至阳极电位低于截止电压，光电流才为零，此时有：
eU 0=
12
m υ20 ( 2 ) 阳极电位高于截止电压后，随着阳极电位的升高，阳极对阴极发射的电子的收集作用越强，光电流随之上升；当阳极电压高到一定程度，已把阴极发射的光电子几乎全收集到阳极，光电流出现饱和，饱和光电流的大小与入射光的强度成正比。
光子的能量hv 0
将（2）式代入（1）式可得：
eU 0=hv -A ( 3 ) (3) 式表明截止电压U 0是频率v 的线性函数，直线斜率K =，通过实验测得系列不同频率入射光
对应的截止电压，求出直线斜率，就可算出普朗克常数h 。
2 实验仪器及方法步骤
2.1 实验仪器
ZKY-GD-4智能光电效应实验仪，成都世纪中科仪器有限公司生产。仪器由汞灯及电源，滤光片，光阑，光电管、智能实验仪构成。 2.2 实验方法
零电流法测量截止电压，即直接将各频率光照射下测得的电流为零时对应的电压的绝对值作为截止电压U 0。
条件：光电管的阳极反向电流、暗电流和本底电流都很小。
2.3 实验步骤（截止电压测量步骤）：
（1）撤去光电管入口遮光罩，将4 mm的光阑放入光电管入口处； （2）撤去汞灯灯罩；
（3）将波长为365 nm的滤波片套在光电管入口处，此时仪表所显示的就是对应波长的光电管电压与电流值；
（4）轻点“电压调整”的“”以及“∧ ”和“∨ ”按钮来改变电压，观察电流的变化，当电流指示约为“000.0”，此时的电压表指示
就是该波长光所对应的截止电压。
（5）将365 nm滤光片依次换成405 nm、436 nm、546 nm、577 nm的滤光片，重复3~4步骤。分别记录各自的截止电压。
3 数据记录与处理
3.1 实验数据记录表格
3.2 实验数据处理（计算普朗克常数）
以频率为横轴，截止电压为纵轴建立坐标系，
在此坐标系中可以标出由表1算出的5个数据点，如图1中A 所示，其中每一个数据点对应于一个入射光频率及其相应的截止电压平均值。图1 A显示的5个数据点近似于沿一条直线分布，可由作图法在频率～截止电压坐标系中画出此直线，并求得其斜率，再由（3）式计算出普朗克常数h 。然而作图法不可避免会受到操作者的主观因素、作图精度和视觉因素的影响，其结果会因人而异。
本文采用最小二乘拟合法作上述5个数据点的拟合直线，如图1中B 所示，此法有固定的操作程序，计算结果唯一，并且其精度有客观的估算指标。其拟合算法为：设（x i , yi ）为实测的数据点，线性回归方程为Y = A + B· X ，则由最小二乘拟合法所得拟合的直线斜率为
B =
⋅-
2-2
,
其中， =1n n ∑x 1n
i =1i , =n ∑y i =1
i , xy =1n 2
n ∑x y 2
1n i =1i i , x =n ∑(x i =1
i )
图1 截止电压与入射光频率的关系
采用Origin 软件可以方便快捷地作出基于最小二乘算法的拟合直线，且能同时给出拟合直线的斜率、截距、相关系数等拟合参数。对本实验测量所得的5个数据点（每一个数据点对应于一个入射光频率及其相应的截止电压平均值）用使Origin 软件作最小二乘法直线拟合的计算结果如表2所示。
表2 拟合直线的相关参数
Linear Regression for Data1_B:
Y = A + B· X Parameter Value Error ------------------------------------------------ A 1.62406 0.08234 B -0.40737 0.01227
------------------------------------------------ R SD N P
------------------------------------------------ 0.99864 0.03067 5
其中，A 为拟合直线的截距以及截距的标准差；B 为拟合直线的斜率以及斜率的标准差；R 为相关系数；P 为 R = 0 的置信概率；N 为数据点个数；SD 为拟合变量Y 的标准差。 表2反映出，本次实验数据的相关系数R = 0.99864，接近于1。
由Y = A + B · X ，
可得 U 0 = -0.40737 X + 1.62406
依据( 3 ) 式，计算可得普朗克常数的实验值
h -14实验=0. 40737⨯10⨯1. 60⨯10-19 =6. 51792⨯10-34
(J ⋅s )
参照普朗克常数的公认值
h 公认=6. 626⨯10-34
(J ⋅s )
计算可得本实验的相对误差为 E r
=h 公认-h 实验h ≈4. 2% 公认
4 结论和讨论
由本次实验测量数据处理和计算所得普朗克常数较之公认值的相对误差小于5%，反映所用实验装置的光电管基本满足其阳极反向电流、暗电流和本底电流都很小的条件；采用最小二乘拟合法处理实验数据，具有客观性和稳定性的优点。相比于人工作图法而言，最小二乘拟合法不受人为因素的影响，数据处理的结果不会因人而异；用Origin 软件处理此类实验数据问题，方便、快捷。可由数据绘制多种曲线、图表，也可以进行多种类型的分析、计算。
参考文献：
[1] 吴丽君，李倩. 光电效应测普朗克常数的三种方法[J]. 大学物理实验,2007,20(4):49-52.
[2] 武颖丽，李平舟. 趋近平均法测量普朗克常量[J].物理实验,2007,27(4):42-47.
[3] 许弟春. 关于最小二乘法的参数估计问题探讨[J]. 长春师范学院学报(自然科学版) ，2009,28(2):21－23. [4] 周剑平. Origin 实用教程（7.5 版） [M]. 西安：西安交通大学出版社，2007.