2014年培优二(抛物线的焦点和准线问题)

2015届中考数学专题复习一抛物线的“焦点、准线”问题

【知识要点】一、抛物线yax2，M（

11，0），直线l：y交y轴于点N，P为抛物线上任意一点. 4a4a

（1）如图1，过点P作PA⊥l于点A，求证：PM=PA；

（2）如图2，以P为圆心，PM为半径作⊙P，判断直线l与⊙P的位置关系，写出你的结论并证明；

二、抛物线yax2，直线l：y

三、抛物线yax2，M（

解析式；

四、抛物线yax2，M（

交y轴于点N，P为抛物线上任意一点，PA⊥l，PM=PA，求M点的坐标； 4a

，0），直线l交y轴于点N，P为抛物线上任意一点，PA⊥l，PM=PA，求直线l的4a

11，0），直线l：y交y轴于点N，过点M任作直线交抛物线于P、Q两点，4a4a

PA⊥l于点A，PB⊥l于点B.

（1）求证：PM=PA，QM=QB；

（2）如图，连接AM、BM，求证：∠AMB=90°；

（3）如图，连接PN、QN，求证：∠PNM=∠QNM；

（4）求

（5）如图，以PA为直径作⊙C，判断直线l与⊙C论并证明；

（6）如图，以AB为直径作⊙D，判断直线PQ与⊙D的位置关系，写出你的结论并证明；

【新知讲授】

例一、（2014年广西贺州市）抛物线y

的值； APBQ

x的顶点在原点O，点F（0，1）4

在y轴上，直线y1与y轴交于点H，点P为抛物线上一点．（1）过点P作x轴的垂线与直线y1交于点M，求证：FM平分∠OFP；（2）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．

1上任意的一点，直线l是过点（0，﹣2）且例二、(2014年湖北咸宁)如图1，P（m，n）是抛物线y4

与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．【探究】

（1）填空：当m=0时，OP= ，PH= ；当m=4时，OP= ，PH= ；【证明】

（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想；【应用】

1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y4

的最小值；

（4）如图3，已知M（1，2），试探究在该抛物线上是否存在点N，使得MN+NO取得最小值？若存在，求

出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

例三、如图，抛物线y

x的顶点在原点O，点M（0，1）在y轴上，P为x轴4

上的一个动点，过点P作MP的垂线交y轴于点A.

（1）若P点的坐标为（2，0），求A点的坐标并求直线AP的解析式；（2）当P点在x轴上运动时，判断直线AP与抛物线交点的个数，写出你

的结论并证明.

例四、如图，抛物线yax2c经过C（2，0），D（0，-1）两点，并与直线ykx交于A、B两点，直线l过

点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．

（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；

（3）探究：①当k=0时，直线ykx与x轴重合，求出此时的值； AMBN11

②试说明无论k取何值，③连接OM、OM，求证：OM⊥ON.

AMBN的值都等于同一个常数；



例五、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是2，

O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的

正半轴上．一条抛物线经过A点，顶点D是OC的中点．（1）求抛物线的表达式；

（2）正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点，线

段FG过点E与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于F，G点，试比较线段OE与EG的长度；

（3）点H是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段

IJ过点H与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于I、J点，点K在y轴的正半轴上，OK=OH，求证：

△OHI≌△JKC．

例六、在直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），点P（m，n）是抛物线y

x1上的一个动点． 4

（1）如图1，过动点P作PB⊥x轴，垂足为B，连接PA，请通过测量或计算，比较PA与PB的大小关

系：PA PB（直接填写“＞”“＜”或“=”，不需解题过程）；（2）请利用（1）的结论解决下列问题：

①如图2，设C的坐标为（2，5），连接PC， AP+PC是否存在最小值？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，简单说明理由；

②如图3，过动点P和原点O作直线交抛物线于另一点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式.