第十二讲 基本初等函数
一：教学目标
1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质； 2、理解基本初等函数的性质；
3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数
二：教学重难点
教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用； 教学难点：基本初等函数基本性质的应用
三：知识呈现
1. 指数与指数函数
1). 指数运算法则：（1）a a =a
r
s
r +s
；
（2）a r
()
s
=a rs ；
r r
（3）(ab )=a b ；
r
（4
）a =
m n
（5
）a
-
m n
=
（6
⎧a , n 奇 =⎨
⎩|a |,n 偶
2). 指数函数：形如y =a (a >0且a ≠1)
x
2.
1）对数的运算：
1、互化：a =N ⇔b =log a N 2、恒等：a
log a N b
=N
log c a
3、换底： log a b =log c b
推论1 log a b =
1 推论2 log a b ∙log b c =log a c log b a
n n
log b =log a b (m ≠0) m 推论3 a
m
4、log a MN =log a M +log a N
log a
M
=log a M -log a N N
5、log a M n =n ⋅log a M 2）对数函数：
3. 幂函数
一般地，形如 y =x （a ∈R ）的函数叫做幂函数，其中a 是常数 1) 性质：
(1) 所有的幂函数在(0,+∞) 都有定义，并且图象都通过点(1, 1);
a
(2) 如果α＞０，则幂函数图象通过（0，0），并且在区间[0,+∞) 上是增函数；
(3) 如果α＜０，则幂函数在区间(0,+∞) 上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴。
四：典型例题
考点一：指数函数
例1 已知(a 2+2a +5) 3x >(a 2+2a +5) 1-x ，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵a 2+2a +5=(a +1) 2+4≥4>1，
∴函数y =(a 2+2a +5) x 在(-∞，+∞) 上是增函数， ∴3x >1-x ，解得x >
1⎛1⎫
．∴x 的取值范围是 ，+∞⎪． 4⎝4⎭
评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判
断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．
例2 函数y =a 2x +2a x -1(a >0且a ≠1) 在区间[-11]则a 的值是_______． ，上有最大值14， 分析：令t =a x 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围． 解：令t =a x ，则t >0，函数y =a 2x +2a x -1可化为y =(t +1) 2-2，其对称轴为t =-1．
， ∴当a >1时，∵x ∈[-11]， 11
∴≤a x ≤a ，即≤t ≤a ．
a a
∴当t =a 时，y max =(a +1) 2-2=14． 解得a =3或a =-5（舍去）；
， 当0
∴a ≤a x ≤，即a ≤t ≤，
a a 1⎛1⎫
∴ t =时，y max = +1⎪-2=14，
a ⎝a ⎭
111
解得a =或a =-（舍去），∴a 的值是3或．
353
2
评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入
等．
例3
求函数y = 解：由题意可得1-6x -2≥0，即6x -2≤1，
2]． ∴x -2≤0，故x ≤2． ∴函数f (x ) 的定义域是(-∞，
令t =
6x -2，则y =
又∵x ≤2，∴x -2≤0． ∴0
评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 例4 求函数y ＝ ⎪
⎛1⎫⎝3⎭
u
x 2-3x +2
的单调区间.
分析 这是复合函数求单调区间的问题
⎛1⎫⎛1⎫2
可设y ＝ ⎪,u ＝x -3x+2，其中y ＝ ⎪为减函数
⎝3⎭⎝3⎭
∴u ＝x -3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) 2
u ＝x -3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)
2
u
⎛1⎫2
解：设y ＝ ⎪,u ＝x -3x+2,y关于u 递减，
⎝3⎭
u
3
) 时，u 为减函数， 2
3
∴y 关于x 为增函数；当x ∈［，+∞) 时，u 为增函数，y 关于x 为减函数.
2
当x ∈(-∞，
考点二：对数函数
例5 求下列函数的定义域 （1）y=log2（x 2-4x-5）; （2）y=logx+1（16-4x ）
（3）
y= ．
解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为 ｛x ｜x ＜-1，或x ＞5｝．
（2）令
得
故所求定义域为｛x ｜-1＜x ＜0，或0＜x ＜2｝．
（3）令
故所求定义域为 ｛x ｜x ＜
-1-
，或
-1-
，得
＜x ＜-3, 或x≥2｝．
说明 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零．
例6 比较大小：
（1）log 0．71．3和log 0．71．8． （2）（lg n ）1．7和（lgn ）2（n ＞1）． （3）log 23和log 53． （4）log 35和log 64．
解：（1）对数函数y=log0．7x 在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以 log 0．71．3＞log 0．71．8．
（2）把lgn 看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn 讨论．
若1＞lgn ＞0，即1＜n ＜10时，y=（lgn ） x 在R 上是减函数，所以（lgn ）12＞（lgn ）2；
．
若lgn ＞1，即n ＞10时，y=（lgn ）2在R 上是增函数，所以（lgn ）17＞（lgn ）2．
．
（3）函数y=log2x 和y=log5x 当x ＞1时，y=log2x 的图像在y=log5x 图像上方．这里x=3，所以log 23＞log 53．
（4）log 35和log 64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解．
因为log 35＞log 33=1=log66＞log 64，所以log 35＞log 64．
评析 要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论．
例7 已知f （x ）=2+log3x ，x ∈［1，9］，求y=［f （x ）］2+f（x 2）的最大值，及y 取最大值时，x 的值．
分析 要求函数y=［f （x ）］2+f（x 2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域，然后求值域．
解：∵f （x ）=2+log3x ，
∴y=［f （x ）］2+f（x 2）=（2+log3x ）2+2+log3x 2
=（2+log3x ）2+2+2log3x =log23x+6log3x+6 =（log 3x+3）2-3．
∵函数f （x ）的定义域为［1，9］，
⎧1≤x 2≤9
∴要使函数y=［f （x ）］+f（x ）有定义，就须⎨ ，
⎩1≤x ≤9
2
2
∴1≤x≤3． ∴0≤log3x≤1 ∴6≤y=（log 3x+3）2-3≤13
∴当x=3时，函数y=［f （x ）］2+f（x 2）取最大值13．
说明 本例正确求解的关键是：函数y=［f （x ）］2+f（x 2）定义域的正确确定．如果我们误认为［1，9］是它的定义域．则将求得错误的最大值22．
其实我们还能求出函数y=［f （x ）］2+f（x 2）的值域为［6，13］． 例8 求函数y=log0．5（-x 2+2x+8）的单调区间．
分析 由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x2+2x+8（-2＜x ＜4）的单调性相反．
解．∵-x 2+2x+8＞0， ∴ -2＜x ＜4，
∴ 原函数的定义域为（-2，4）．
又∵ 函数u=-x2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2，1］上为增函数，在［1，4）上为减函数， ∴函数y=log0．5（-x 2+2x+8）在（-2，1］上为减函数，在［1，4）上为增函数． 评析 判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．
考点三：幂函数 例9．比较大小：
（1）1.5,1.7 （2）(-1.2) ,(-1.25) （3）5.25,5.26,5.26（4）0.5,3,log 30.5 解：（1）∵y =x 在[0,+∞) 上是增函数，1.5
（2）∵y =x 在R 上是增函数，-1.2>-1.25，∴(-1.2) >(-1.25) （3）∵y =x 在(0,+∞) 上是减函数，5.25-2，∴5.26
x
-13
3
3
1
212
33-1-1-230.5
121212
-1
>5.26-1；
-1
>5.26-2；
综上，5.25
-1
>5.26-1>5.26-2
3
0.5
（4）∵0
3
0.5
>1，log 30.5
m 2-2m -3
例10．已知幂函数y =x （m ∈Z ）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，
求m 的值． 解：∵幂函数y =x
m 2-2m -3
（m ∈Z ）的图象与x 轴、y 轴都无交点，
∴m 2
-2m -3≤0，∴-1≤m ≤3；
∵m ∈Z ，∴(m 2
-2m -3) ∈Z ，又函数图象关于原点对称， ∴m 2
-2m -3是奇数，∴m =0或m =2．
21例11、求函数y ＝x 5＋2x 5
＋4（x ≥－32）值域．
1 解析：设t ＝x 5
，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．
2
1 ∴函数y ＝x 5
＋2x 5
＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．
五：课后练习
1、若a ＞1在同一坐标系中，函数y=a
-x
和y=log
x a
的图像可能是（ A B C D 2．求值. 0625+6
14
-（π）0
-3383. 下列函数在(-∞,0)上为减函数的是（ ）
1
Ａ．y =x 3
Ｂ．y =x 2
Ｃ．y =x 3
Ｄ．y =x -2
答案：Ｂ
）
4. 已知x=
12
x +y x -y 11
,y=, 求-的值 23x -y x +y
－1
2
5．若a ＜a ，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ≥1 B ．a ＞0 C ．1＞a ＞0 D ．1≥a ≥0 解析：运用指数函数的性质，选C ． 答案：C
6. 下列式子中正确的是（ ）
A log (x -y )
a
=logx
a
-log y
a
x C log x a log y
=loga y
a
x B
log a x y
log y
=loga -log a
a
x D log x
a
-log y
a
= loga y
第十二讲 基本初等函数
一：教学目标
1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质； 2、理解基本初等函数的性质；
3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数
二：教学重难点
教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用； 教学难点：基本初等函数基本性质的应用
三：知识呈现
1. 指数与指数函数
1). 指数运算法则：（1）a a =a
r
s
r +s
；
（2）a r
()
s
=a rs ；
r r
（3）(ab )=a b ；
r
（4
）a =
m n
（5
）a
-
m n
=
（6
⎧a , n 奇 =⎨
⎩|a |,n 偶
2). 指数函数：形如y =a (a >0且a ≠1)
x
2.
1）对数的运算：
1、互化：a =N ⇔b =log a N 2、恒等：a
log a N b
=N
log c a
3、换底： log a b =log c b
推论1 log a b =
1 推论2 log a b ∙log b c =log a c log b a
n n
log b =log a b (m ≠0) m 推论3 a
m
4、log a MN =log a M +log a N
log a
M
=log a M -log a N N
5、log a M n =n ⋅log a M 2）对数函数：
3. 幂函数
一般地，形如 y =x （a ∈R ）的函数叫做幂函数，其中a 是常数 1) 性质：
(1) 所有的幂函数在(0,+∞) 都有定义，并且图象都通过点(1, 1);
a
(2) 如果α＞０，则幂函数图象通过（0，0），并且在区间[0,+∞) 上是增函数；
(3) 如果α＜０，则幂函数在区间(0,+∞) 上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴。
四：典型例题
考点一：指数函数
例1 已知(a 2+2a +5) 3x >(a 2+2a +5) 1-x ，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵a 2+2a +5=(a +1) 2+4≥4>1，
∴函数y =(a 2+2a +5) x 在(-∞，+∞) 上是增函数， ∴3x >1-x ，解得x >
1⎛1⎫
．∴x 的取值范围是 ，+∞⎪． 4⎝4⎭
评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判
断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．
例2 函数y =a 2x +2a x -1(a >0且a ≠1) 在区间[-11]则a 的值是_______． ，上有最大值14， 分析：令t =a x 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围． 解：令t =a x ，则t >0，函数y =a 2x +2a x -1可化为y =(t +1) 2-2，其对称轴为t =-1．
， ∴当a >1时，∵x ∈[-11]， 11
∴≤a x ≤a ，即≤t ≤a ．
a a
∴当t =a 时，y max =(a +1) 2-2=14． 解得a =3或a =-5（舍去）；
， 当0
∴a ≤a x ≤，即a ≤t ≤，
a a 1⎛1⎫
∴ t =时，y max = +1⎪-2=14，
a ⎝a ⎭
111
解得a =或a =-（舍去），∴a 的值是3或．
353
2
评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入
等．
例3
求函数y = 解：由题意可得1-6x -2≥0，即6x -2≤1，
2]． ∴x -2≤0，故x ≤2． ∴函数f (x ) 的定义域是(-∞，
令t =
6x -2，则y =
又∵x ≤2，∴x -2≤0． ∴0
评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 例4 求函数y ＝ ⎪
⎛1⎫⎝3⎭
u
x 2-3x +2
的单调区间.
分析 这是复合函数求单调区间的问题
⎛1⎫⎛1⎫2
可设y ＝ ⎪,u ＝x -3x+2，其中y ＝ ⎪为减函数
⎝3⎭⎝3⎭
∴u ＝x -3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) 2
u ＝x -3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)
2
u
⎛1⎫2
解：设y ＝ ⎪,u ＝x -3x+2,y关于u 递减，
⎝3⎭
u
3
) 时，u 为减函数， 2
3
∴y 关于x 为增函数；当x ∈［，+∞) 时，u 为增函数，y 关于x 为减函数.
2
当x ∈(-∞，
考点二：对数函数
例5 求下列函数的定义域 （1）y=log2（x 2-4x-5）; （2）y=logx+1（16-4x ）
（3）
y= ．
解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为 ｛x ｜x ＜-1，或x ＞5｝．
（2）令
得
故所求定义域为｛x ｜-1＜x ＜0，或0＜x ＜2｝．
（3）令
故所求定义域为 ｛x ｜x ＜
-1-
，或
-1-
，得
＜x ＜-3, 或x≥2｝．
说明 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零．
例6 比较大小：
（1）log 0．71．3和log 0．71．8． （2）（lg n ）1．7和（lgn ）2（n ＞1）． （3）log 23和log 53． （4）log 35和log 64．
解：（1）对数函数y=log0．7x 在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以 log 0．71．3＞log 0．71．8．
（2）把lgn 看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn 讨论．
若1＞lgn ＞0，即1＜n ＜10时，y=（lgn ） x 在R 上是减函数，所以（lgn ）12＞（lgn ）2；
．
若lgn ＞1，即n ＞10时，y=（lgn ）2在R 上是增函数，所以（lgn ）17＞（lgn ）2．
．
（3）函数y=log2x 和y=log5x 当x ＞1时，y=log2x 的图像在y=log5x 图像上方．这里x=3，所以log 23＞log 53．
（4）log 35和log 64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解．
因为log 35＞log 33=1=log66＞log 64，所以log 35＞log 64．
评析 要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论．
例7 已知f （x ）=2+log3x ，x ∈［1，9］，求y=［f （x ）］2+f（x 2）的最大值，及y 取最大值时，x 的值．
分析 要求函数y=［f （x ）］2+f（x 2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域，然后求值域．
解：∵f （x ）=2+log3x ，
∴y=［f （x ）］2+f（x 2）=（2+log3x ）2+2+log3x 2
=（2+log3x ）2+2+2log3x =log23x+6log3x+6 =（log 3x+3）2-3．
∵函数f （x ）的定义域为［1，9］，
⎧1≤x 2≤9
∴要使函数y=［f （x ）］+f（x ）有定义，就须⎨ ，
⎩1≤x ≤9
2
2
∴1≤x≤3． ∴0≤log3x≤1 ∴6≤y=（log 3x+3）2-3≤13
∴当x=3时，函数y=［f （x ）］2+f（x 2）取最大值13．
说明 本例正确求解的关键是：函数y=［f （x ）］2+f（x 2）定义域的正确确定．如果我们误认为［1，9］是它的定义域．则将求得错误的最大值22．
其实我们还能求出函数y=［f （x ）］2+f（x 2）的值域为［6，13］． 例8 求函数y=log0．5（-x 2+2x+8）的单调区间．
分析 由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x2+2x+8（-2＜x ＜4）的单调性相反．
解．∵-x 2+2x+8＞0， ∴ -2＜x ＜4，
∴ 原函数的定义域为（-2，4）．
又∵ 函数u=-x2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2，1］上为增函数，在［1，4）上为减函数， ∴函数y=log0．5（-x 2+2x+8）在（-2，1］上为减函数，在［1，4）上为增函数． 评析 判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．
考点三：幂函数 例9．比较大小：
（1）1.5,1.7 （2）(-1.2) ,(-1.25) （3）5.25,5.26,5.26（4）0.5,3,log 30.5 解：（1）∵y =x 在[0,+∞) 上是增函数，1.5
（2）∵y =x 在R 上是增函数，-1.2>-1.25，∴(-1.2) >(-1.25) （3）∵y =x 在(0,+∞) 上是减函数，5.25-2，∴5.26
x
-13
3
3
1
212
33-1-1-230.5
121212
-1
>5.26-1；
-1
>5.26-2；
综上，5.25
-1
>5.26-1>5.26-2
3
0.5
（4）∵0
3
0.5
>1，log 30.5
m 2-2m -3
例10．已知幂函数y =x （m ∈Z ）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，
求m 的值． 解：∵幂函数y =x
m 2-2m -3
（m ∈Z ）的图象与x 轴、y 轴都无交点，
∴m 2
-2m -3≤0，∴-1≤m ≤3；
∵m ∈Z ，∴(m 2
-2m -3) ∈Z ，又函数图象关于原点对称， ∴m 2
-2m -3是奇数，∴m =0或m =2．
21例11、求函数y ＝x 5＋2x 5
＋4（x ≥－32）值域．
1 解析：设t ＝x 5
，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．
2
1 ∴函数y ＝x 5
＋2x 5
＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．
五：课后练习
1、若a ＞1在同一坐标系中，函数y=a
-x
和y=log
x a
的图像可能是（ A B C D 2．求值. 0625+6
14
-（π）0
-3383. 下列函数在(-∞,0)上为减函数的是（ ）
1
Ａ．y =x 3
Ｂ．y =x 2
Ｃ．y =x 3
Ｄ．y =x -2
答案：Ｂ
）
4. 已知x=
12
x +y x -y 11
,y=, 求-的值 23x -y x +y
－1
2
5．若a ＜a ，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ≥1 B ．a ＞0 C ．1＞a ＞0 D ．1≥a ≥0 解析：运用指数函数的性质，选C ． 答案：C
6. 下列式子中正确的是（ ）
A log (x -y )
a
=logx
a
-log y
a
x C log x a log y
=loga y
a
x B
log a x y
log y
=loga -log a
a
x D log x
a
-log y
a
= loga y