一元二次方程的应用
、审题、设未知数，找等量关系，列方程，解方程，检验
一、 数字问题
例1、（2013•吉安模拟）我们知道，32+42=52，这是一个由三个连续正整数组成，且前两个数的平方和等于第三个数的平方的等式，是否还存在另一个“由三个连续正整数组成，且前两个数的平方和等于第三个数的平方”的等式？试说出你的理由．
例2、 有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
例3、 有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数
字之和的 3倍刚好等于这个两位数。求这个两位数。
例4、 有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与
十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。
二、 面积问题
例1、（2013•百色）为响应区“美丽广西 清洁乡村”的号召，某校开展“美丽广西 清洁校园”的活动，该校经过精心设计，计算出需要绿化的面积为498m2，绿化150m2后，为了更快的完成该项绿化工作，将每天的工作量提高为原来的1.2倍．结果一共用20天完成了该项绿化工作．
（1）该项绿化工作原计划每天完成多少m2？，
（2）在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地，矩形的长比宽的2倍少3m，请问这块矩形场地的长和宽各是多少米？
例2、（2012•南漳县模拟）某中学校园内有一长100m，宽80m的长方形空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），其余区域为活动区，并且四周出口等宽．若绿化区的总面积恰好占空地面积30%，则每一块矩形绿化区的周长是多少？
18m）如图
（1）他能围成面积为150m2的养鸡场吗？如果能，请求出养鸡场的长和宽？如果不能，请说明理由．
（2）他能围成一个面积为160m2的养鸡场吗？如果能，请求出养鸡场的长和宽？如果不能，请说明理由．
例4、要在一块长16cm，宽12cm的矩形地上建造一个花园，要求花园占地面积为荒地的面积的一半，图（1）图（2）分别是小明和小红的设计方案．
小明：我设计的方案如图（1），花园四周小路宽度一致．
小红：我设计的方案如图（2），花园每个角上的扇形相同．
你能分别求出小明设计图中的道路宽及小红设计的扇形半径长吗？（π取3，）
三、 增长率（或降低率）问题
例1、（1997•广州）红星机器厂前年生产机器4050台，由于加强了管理，今年的产量达到5000台，求机器产量平均每年的增长百分率（精确到
1%）．
例2、（2012•钦州）近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．
（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该
拥有量已达到144万辆．
（1）求2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到2013年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆，预计2013年报废的汽车数量是2012年底汽车拥有量的10%，求2012年底至2013年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求．
例4、某工程队在季梁公园建设过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，不断增加工人，加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2．如果从第一天之后，每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，请预测一下该工程队第四天可能要拆迁多少平方米？
四、 营销问题
常用关系式：售价—进价=利润
一件商品的利润×销售量=总利润
单价×销售量=销售额
例1、（2012•山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
例2、（2013•绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．
（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
例3、（2013•闸北区二模）为迎接“五一”节的到来，某食品连锁店对某种商品进行了跟踪调与x之间的函数关系是一次函数：
（1）求y与x之间的函数解析式；（不写定义域）
（2）若该种商品成本价是15元/千克，为使“五一”节这天该商品的销售总利润是200元，那么这一天每千克的销售价应定为多少元？
例4、（2013•集美区一模）某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过30%．
（1）根据物价局规定，此商品每件售价最高可定为多少元？
（2）若每件商品售价定为x元，则可卖出（170﹣5x）件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的售价应定为多少元？
五、 行程问题
（2013•思明区一模）小球以v0（m/s）的速度开始向前滚动，滚动路程s（m）与时间t（ s）满足如下关系：．
（1）若v0=10（m/s），当t=2（s）时，求运动路程s；
（2）若v0=8（m/s），小球能否滚动10（m）？请说明理由．
六、 循环问题
例1、．列方程解应用题：十八大会议歇会期间，代表们在某休息室两两互相握手，共握手190次，求此时共有多少名代表在此休息室？
例2一次排球友谊赛，参赛队中每两队都要赛场若此次友谊赛共66场，则本次参赛球队有
例3、在一次同学聚会中，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了90件礼物，共有多少名同学参加了这次聚会？
例4、2012•和平区二模）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，并完成本题解答的全过程，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．
有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人欢乐流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解题方案：
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
（Ⅰ）用含x的解析式表示：
第一轮后共有 1+x 人患了流感；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有 1+x+x（x+1） 人患了流感；
（Ⅱ）根据题意，列出相应方程为 1+x+x（1+x）=121 ；
（Ⅲ）解这个方程，得 x=﹣12或x=10 ；
（Ⅳ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了 10 个人．
位同学共握手多少次？小莉是这样思考的：每一位同学要与其他5位同学握手5次，6位同学握手5×6=30次，但每两位同学握手2次，因此这6位同学共握手
=15次．依此类推，12位同学彼此握手，共握手次．
（2）我们经常会遇到与上面类似的问题，如：2条直线相交，最多只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；…；求20条直线相交，最多有多少个交点？
（3）在上述问题中，分别把人、线看成是研究对象，两人握手、两线相交是研究对象间的一种关系，要求的握手总次数、最多交点数就是求所有对象间的不同关系总数．它们都是满足一种相同的模型．请结合你学过的数学知识和生活经验，编制一个符合上述模型的问题．
（4）请运用解决上述问题的思想方法，探究n边形共有多少条对角线？写出你的探究过程及结果．
例6、．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出多少小分支？
七、 图表问题
12．某人为了了解他所在地区的旅游情况，收集了该地区2009至2012年每年的旅游收入及旅游人数（其中缺少2011年旅游人数）的有关数据，整理并分别绘成图1和图2．
根据上述信息，回答下列问题：
（1）该地区2011至2012年年旅游收入增加了 40 亿元；
（2）该地区2009至2012年四年的年旅游收入的平均数是 45 亿元；
（3）据悉该地区2011年、2012年旅游人数的年增长率相同，求2011年旅游人数；
（4）根据第（3）小题中的信息，把图2补画完整．
八、 探索存在性问题
九、 动态几何问题
例1、如图，在矩形ABCD
中，AB=12cm，BC=6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）．那么当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2？
例2、如图，在三角形ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米，点P
从A沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如P与Q同时出发，且当一点移动到端点并停止时，另一点也同时停下，
（1）问几秒后三角形PBQ的面积为8平方厘米？
（2）经过几秒后三角形PBQ与三角形ABC相似？
BP=x，四边形APCD的面积为
y
（1）写出y与x之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围；
（2）画出该函数图象；并根据图象回答：当x为何值时，四边形APCD的面积为10？
从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．设移动时间为t（s），问
（1）当t为何值时，P、Q两点间的距离是10cm？
（2）当t为何值时，P、Q两点间距离最小？最小距离为多少？
（3）P、Q两点间距离能否是18cm？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
一元二次方程的应用
、审题、设未知数，找等量关系，列方程，解方程，检验
一、 数字问题
例1、（2013•吉安模拟）我们知道，32+42=52，这是一个由三个连续正整数组成，且前两个数的平方和等于第三个数的平方的等式，是否还存在另一个“由三个连续正整数组成，且前两个数的平方和等于第三个数的平方”的等式？试说出你的理由．
例2、 有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
例3、 有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数
字之和的 3倍刚好等于这个两位数。求这个两位数。
例4、 有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与
十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。
二、 面积问题
例1、（2013•百色）为响应区“美丽广西 清洁乡村”的号召，某校开展“美丽广西 清洁校园”的活动，该校经过精心设计，计算出需要绿化的面积为498m2，绿化150m2后，为了更快的完成该项绿化工作，将每天的工作量提高为原来的1.2倍．结果一共用20天完成了该项绿化工作．
（1）该项绿化工作原计划每天完成多少m2？，
（2）在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地，矩形的长比宽的2倍少3m，请问这块矩形场地的长和宽各是多少米？
例2、（2012•南漳县模拟）某中学校园内有一长100m，宽80m的长方形空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），其余区域为活动区，并且四周出口等宽．若绿化区的总面积恰好占空地面积30%，则每一块矩形绿化区的周长是多少？
18m）如图
（1）他能围成面积为150m2的养鸡场吗？如果能，请求出养鸡场的长和宽？如果不能，请说明理由．
（2）他能围成一个面积为160m2的养鸡场吗？如果能，请求出养鸡场的长和宽？如果不能，请说明理由．
例4、要在一块长16cm，宽12cm的矩形地上建造一个花园，要求花园占地面积为荒地的面积的一半，图（1）图（2）分别是小明和小红的设计方案．
小明：我设计的方案如图（1），花园四周小路宽度一致．
小红：我设计的方案如图（2），花园每个角上的扇形相同．
你能分别求出小明设计图中的道路宽及小红设计的扇形半径长吗？（π取3，）
三、 增长率（或降低率）问题
例1、（1997•广州）红星机器厂前年生产机器4050台，由于加强了管理，今年的产量达到5000台，求机器产量平均每年的增长百分率（精确到
1%）．
例2、（2012•钦州）近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．
（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该
拥有量已达到144万辆．
（1）求2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到2013年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆，预计2013年报废的汽车数量是2012年底汽车拥有量的10%，求2012年底至2013年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求．
例4、某工程队在季梁公园建设过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，不断增加工人，加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2．如果从第一天之后，每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，请预测一下该工程队第四天可能要拆迁多少平方米？
四、 营销问题
常用关系式：售价—进价=利润
一件商品的利润×销售量=总利润
单价×销售量=销售额
例1、（2012•山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
例2、（2013•绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．
（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
例3、（2013•闸北区二模）为迎接“五一”节的到来，某食品连锁店对某种商品进行了跟踪调与x之间的函数关系是一次函数：
（1）求y与x之间的函数解析式；（不写定义域）
（2）若该种商品成本价是15元/千克，为使“五一”节这天该商品的销售总利润是200元，那么这一天每千克的销售价应定为多少元？
例4、（2013•集美区一模）某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过30%．
（1）根据物价局规定，此商品每件售价最高可定为多少元？
（2）若每件商品售价定为x元，则可卖出（170﹣5x）件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的售价应定为多少元？
五、 行程问题
（2013•思明区一模）小球以v0（m/s）的速度开始向前滚动，滚动路程s（m）与时间t（ s）满足如下关系：．
（1）若v0=10（m/s），当t=2（s）时，求运动路程s；
（2）若v0=8（m/s），小球能否滚动10（m）？请说明理由．
六、 循环问题
例1、．列方程解应用题：十八大会议歇会期间，代表们在某休息室两两互相握手，共握手190次，求此时共有多少名代表在此休息室？
例2一次排球友谊赛，参赛队中每两队都要赛场若此次友谊赛共66场，则本次参赛球队有
例3、在一次同学聚会中，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了90件礼物，共有多少名同学参加了这次聚会？
例4、2012•和平区二模）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，并完成本题解答的全过程，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．
有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人欢乐流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解题方案：
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
（Ⅰ）用含x的解析式表示：
第一轮后共有 1+x 人患了流感；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有 1+x+x（x+1） 人患了流感；
（Ⅱ）根据题意，列出相应方程为 1+x+x（1+x）=121 ；
（Ⅲ）解这个方程，得 x=﹣12或x=10 ；
（Ⅳ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了 10 个人．
位同学共握手多少次？小莉是这样思考的：每一位同学要与其他5位同学握手5次，6位同学握手5×6=30次，但每两位同学握手2次，因此这6位同学共握手
=15次．依此类推，12位同学彼此握手，共握手次．
（2）我们经常会遇到与上面类似的问题，如：2条直线相交，最多只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；…；求20条直线相交，最多有多少个交点？
（3）在上述问题中，分别把人、线看成是研究对象，两人握手、两线相交是研究对象间的一种关系，要求的握手总次数、最多交点数就是求所有对象间的不同关系总数．它们都是满足一种相同的模型．请结合你学过的数学知识和生活经验，编制一个符合上述模型的问题．
（4）请运用解决上述问题的思想方法，探究n边形共有多少条对角线？写出你的探究过程及结果．
例6、．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出多少小分支？
七、 图表问题
12．某人为了了解他所在地区的旅游情况，收集了该地区2009至2012年每年的旅游收入及旅游人数（其中缺少2011年旅游人数）的有关数据，整理并分别绘成图1和图2．
根据上述信息，回答下列问题：
（1）该地区2011至2012年年旅游收入增加了 40 亿元；
（2）该地区2009至2012年四年的年旅游收入的平均数是 45 亿元；
（3）据悉该地区2011年、2012年旅游人数的年增长率相同，求2011年旅游人数；
（4）根据第（3）小题中的信息，把图2补画完整．
八、 探索存在性问题
九、 动态几何问题
例1、如图，在矩形ABCD
中，AB=12cm，BC=6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）．那么当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2？
例2、如图，在三角形ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米，点P
从A沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如P与Q同时出发，且当一点移动到端点并停止时，另一点也同时停下，
（1）问几秒后三角形PBQ的面积为8平方厘米？
（2）经过几秒后三角形PBQ与三角形ABC相似？
BP=x，四边形APCD的面积为
y
（1）写出y与x之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围；
（2）画出该函数图象；并根据图象回答：当x为何值时，四边形APCD的面积为10？
从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．设移动时间为t（s），问
（1）当t为何值时，P、Q两点间的距离是10cm？
（2）当t为何值时，P、Q两点间距离最小？最小距离为多少？
（3）P、Q两点间距离能否是18cm？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．