正弦定理和余弦定理及其应用

第6节课时训练【选题明细表】

正弦定理和余弦定理及其应用练题感提知能

知识点、方法用正、余弦定理解三角形与三角形面积有关的问题判断三角形的形状实际应用问题综合应用

题号 1、3、9、11、14 2、5 4、13 8、15 6、7、10、12、16

一、选择题 1.(2013 广东湛江十校联考)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,已知 b=2,B=30°,C=15°,则 a 等于( (A)2 (B)2 (C) (D)4 A )

解析:A=180°-30°-15°=135°, 由正弦定理 = ,得 = ,

即 a=2 .故选 A. 2.(2014 四川攀枝花模拟)已知△ABC 的一个内角是 120°,三边长构成公差为 4 的等差数列,则三角形的面积是( (A)10 (B)30 (C)20 (D)15 D )

解析:设 A、B、C 所对边长分别为 b-4,b,b+4,

则 cos 120°= ∴b2-10b=0, ∴b=10 或 b=0(舍去), ∴b=10,b-4=6,

∴三角形的面积 S= ×10×6× =15 .故选 D. 3.已知△ABC,sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶ ,则此三角形的最大内角的度数是( B )

(A)60° (B)90° (C)120° (D)135° 解析:依题意和正弦定理知,a∶b∶c=1∶1∶ ,且 c 最大. 设 a=k,b=k,c= k(k>0), 由余弦定理得,cos C= =0,

又 0°

(A)直角三角形 (B)等腰直角三角形 (C)等边三角形 (D)等腰三角形解析:由条件得 =2,

即 2cos Bsin C=sin A. 由正、余弦定理得,2· ·c=a,

整理得 c=b,故△ABC 为等腰三角形.

故选 D. 5.在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若角 A、B、C 依次成等差数列,且 a=1,b= ,则 S△ABC 等于( (A) (B) (C) (D)2 C )

解析:∵A、B、C 成等差数列, ∴A+C=2B,∴B=60°. 又 a=1,b= , ∴ = , = × =,

∴sin A=

∴A=30°,∴C=90°. ∴S△ABC= ×1× = .故选 C. 6.(2011 年高考四川卷)在△ABC 中, sin2 A≤sin2 B+sin2 C-sin Bsin C,则 A 的取值范围是( (A) (C) (B) (D) C )

解析:在△ABC 中, 由正弦定理及 sin2 A≤sin2 B+sin2 C-sin Bsin C 可得,a2≤b2+c2-bc,即 b2+c2-a2≥bc. ∴cos A= ≥,

∵0

(D)200 米

解析:如图所示,AB 为山高,

CD 为塔高, 则由题意知,在 Rt△ABC 中, ∠BAC=30°,AB=200 米. 则 AC= = (米).

在△ACD 中,∠CAD=60°-30°=30°,∠ACD=30°, ∴∠ADC=120°. 由正弦定理得 ∴CD= 故选 A. 二、填空题 9.(2012 年高考北京卷)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b= . = ,

= (米).

解析:由已知根据余弦定

理 b2=a2+c2-2accos B 得 b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×(- ), 即:15b-60=0,得 b=4. 答案:4

10.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边长,已知 a,b,c 成等比数列,且 a2-c2=ac-bc,则 A= 解析:由题意知 b2=ac, ∵a2-c2=ac-bc, ∴a2-c2=b2-bc, 即 b2+c2-a2=bc, ∴cos A= ∴A= . 答案: 11.(2013 四川外国语学校月考)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、 C 的对边,B= ,且 sin A∶sin C=3∶1,则的值为解析:sin A∶sin C=a∶c=3∶1, ∴a=3c. 由余弦定理 cos = ∴ =, =, . =, .

7c2=b2, ∴ =7,

∴= . 答案: 12.在△ABC 中,设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 若 a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B),且 a⊥b,则 B= 解析:由 a⊥b,得 a·b=bcos C-(2a-c)cos B=0, 利用正弦定理,可得 sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B= sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0, 即 sin(B+C)=sin A=2sin Acos B, 因为 sin A≠0,故 cos B= ,因此 B= . 答案: 13.在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c 若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,则△ABC 的形状为解析:由 sin C+sin (B-A)=sin 2A 得 sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A, 2sinBcos A=2sin Acos A. ∴cos A=0 或 sin A=sin B. ∵0

三、解答题 14.(2013 年高考北京卷)在△ABC 中,a=3,b=2 ,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值. (2)求 c 的值. 解:(1)因为 a=3,b=2 ,∠B=2∠A, 所以在△ABC 中,由正弦定理得所以 = , = .

故 cos A= .

(2)由(1)知 cos A= ,所以 sin A= 又因为∠B=2∠A, 所以 cos B=2cos 2A-1= .

= .

所以 sin B= 在△ABC 中,

= .

sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= . 所以 c= =5.

15.如图所示,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰

角分别为 75°,30°,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°,AC=0.1 km.

(1)试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离会相等? (2)求 B、D 的距离. 解:(1)如图所示,在△ADC 中,

∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30°, ∴CD=AC=0.1 km, 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, ∴∠CED=90°, ∴CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线, ∴BD=BA. (2)在△ABC 中,∠ABC=75°-60°=15°, 由正弦定理得 ∴AB= = = (km), ,

∴BD=

(km). km.

故 B、D 间的距离是

16.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C. (1)求证:a,b,c 成等比数列; (2)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S. (1)证明:∵在△ABC 中, sin B(tan A+tan C)=tan Atan C, ∴sin B = · ,

∴sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C, ∴sin Bsin(A+C)=sin Asin C, ∵A+C=π -B, ∴sin(A+C)=sin B, ∴sin2 B=sin Asin C, 由正弦定理得,b2=ac, ∴a,b,c 成等比数列. (2)解:∵a=1,c=2, ∴b2=ac=2, ∴b= , ∴cos B= = =,

∵0

∴△ABC 的面积 S= acsin B= ×1×2× = .