第一讲 立体图形及展开
同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图
例题选讲
例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F 、点G 分别与哪个点重合?
【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面
分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将l 作为底面，
那么4就是后面，5为右面，6为前面，2则是左面，3
就是上面，(如图2) 。从图中不难看出点F 与点N ，重
合，点G 与点S 重合。还有一种方法就是动手制作一张
展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试
试吧!
例2:一只小虫从图l 所示的长方体上的A 点出发，沿长
方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，
最后到达P 点。请你为它设计一条最短的爬行路线。
【分析与解答】 因为小虫在长方体的表面爬行，所
以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成
平面图形(如图2) 。又因为在平面上“两点之间的线段
长度最短”，所以连接AP ，则线段AP 为小虫爬行的最短路线。
练习与思考
1. 如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果
将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B 、点D 分别与哪个点
重合?
2. 如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A 点沿表面
爬向B 点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问：这样的路线共有几条?
3. 将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l 厘米的正方体。这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米?
4. 一块长方形的铁皮，长28厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是960立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。
5. 如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A 、B 、c 处填的数各是多少?
6. 如图所示的10个展开图中，哪些可以做成完整的正
方体?
7. 图(1)是一个正方体，图(2)是这个正方体的一个平面展开
图，图(3)、图(4)、图(5)也是这个正方体的平面展开图，但
每一个展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。
8. 如图所示的是一个长方体，四边形APQC 、是长方体的一个截面(即过长方体上4点A 、P 、Q 、C 的平面与长方体相交所得到的图形) ，P 、Q 分别为棱A1B1、B1C1，
的中点，请在此长方体的平面展开图上，标出线段AC 、cQ 、QP 、PA 。
第二讲 长方体和正方体的表面积
在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。这些知识不仅有趣而且具有一定的实用性和思考价值。解答长方体和正方体表面积的问题时，需要同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力，另外还要掌握一些解题的思路和技巧。 例题选讲
例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。
【分析与解答】要求长方体的表面积，就要求长方体的长、宽、高。根据题意，前面与上面的面积之和是88平方厘米，也就是长×高+长x 宽=88，即长×(高+宽)=88因为长、宽、高都是质数，我们把88分解质因数得88=1l×2×2×2，依题意，11不能分成两个质数和，经试验，有两种情况符合条件，(1)ll×(3+5)：88 (2)2×(41+3)一88，因此长方体的表面积可以有两种情况。
解：88—11×2X2×2，2×2×2：3+5，11×2×2—41+3。长方体的表面积：(1)(11×3+1l×5+5×3) ×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x4l+41×3) ×2—422(平
方厘米)
例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方
体，求这个长方体的表面积。
【分析与解答】仔细观察图形，不难看出3个正方体块粘成1个长方
体，共有2个粘接处，每一处都有2个面粘在一起，两处共粘去4个面，因此粘成的长方体的表面积等于(6×3—4) 个面的面积，即24÷6×(6 x3—4)=56(平方厘米) 。
例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中
有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少?
【分析与解答】仔细观察图形，虽然这个立体图形是不规则的，但是从前
面看到的面与从后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是
相等的，从上、下看到的面是一致的，所以这个立体图形的表面积等于(前
面十上面+左面) ×2，即(10+9+8)×2=54(平方厘米) 。
练习与思考
1. 有一个长方体，前面和上面两个面面积和为209平方厘米，并且长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。
2. 将两个长都是8厘米，6厘米，高都是5厘米的长方体拼成一个大长方体，那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米?
3. 如图所示的是由17个边长是1厘米的小正方体拼成的立体图形，求它的
表面积。
4. 有一个长方体, 长是8厘米, 宽是4 厘米，高是6厘米，把它截成棱长是2厘米的若干个小正方体，这些小正方体表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米?
5. 如图，正方体木块的表面积是36平方分米，把它沿虚线截成体积相等的8个小正方体木块，这时表面积增加多少平方分米?
6. 如图，有一个边长是5厘米的立方体，如果它的左上方截去一个边
长分别是5厘米，3厘米2厘米的长方体。那么，它的表面积减少多少
平方厘米?
7. 如图，有一个长4厘米：宽和高都是3厘米的长方体，以A 为底打一个
上下直穿的长方体洞，以B 为底打一个前后直穿的长方体洞，以C 为底
打一个左右穿通的长方体洞，所得立体图形的表面积是多少?
8. 如图，有一个棱长是1米的正方体木块。沿水平方向锯2次，竖直锯3次，再横着锯4次，共得到大大小小的长方体小木块60块，求这60块长方体表面积的和。
9. 用10个长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木块拼成一个大长方体，拼成的大长方体表面积最小是多少?
第三讲 长方体和正方体的体积
前一讲，我们研究了长方体和正方体表面积的计算，其实在数学竞赛中，有关长方体和正方体体积的知识也很重要。学习这一讲的知识更需要我们具备较强的观察能力和空间想像能力。
例题选讲
例1:如图，一个长方体木块，从上部和卞靠分别截去高2厘米和3厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了100平方厘米，原来长方体的体积是多少立方
厘米?
【分析与解答】仔细观察右图，截去上下两个长方体后减少的表面积就是两个长方体的侧面积，也就相当于减少的是高为(2+3)厘米的长方体的侧面积，因此高为5厘米的长方体每个侧面积是100÷4—25(平方厘米) ，那么长方体底面正方形的边长就是25÷5=5(厘米) ，所以原长方体的体积是：5×5×(2+5+3)=250(立方厘米) 。
例2:将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体棱长总和是96厘米，每块正方体木块的体积是多少立方厘米?
【分析与解答】根据题意，两个正方体棱长共有12×2=24(条) 。当它们拼在一起成为一个长方体时，由于两个面重合，也就减少了4×2=8(条) 棱长，实际上就是拼成的长方体棱长总和相当于24—8=16(条) 正方体棱长总和，因此每条正方体棱长为96÷16=6(厘米) ，则每块正方体木块的体积是：6×6×6=216(立方厘米) 。
例3:如图，正方体的棱长为4厘米，分别在前后、左右、上下各面中心
凿开一个边长1厘米的正方形小孔直至对面，求它的体积。
【分析与解答】仔细观察图形，每个凿去的小长方体体积均为：1×1×4=4(立方厘
米) ，共凿小长方体3个，即4×3=12(立方厘米) ，而实际上由于正中间相交，重复
凿去了2个1立方厘米的正方体小块，因此，这个物体的体积是4×4×4—12+1×
2=54(立方厘米) 。
练习与思考
1．把一个长方体的长平均分成4段，每段长6厘米，表面积增加24平方厘米，
求原长方体的体积。
2．用大小相等的两个正方体积木拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是
80厘米，每个正方体的体积是多少立方厘米?
3．如图，在一个棱长为20厘米的正方体木块的前面、上面、右面中心
位置，分别凿一个边长为4厘米的正方形小孔直至对面，做成玩具，求
这个玩具的
4． 一个长方体，它的前面和上面的面积之和是156平方厘米，并且长、宽、
高都是质数，这个长方体的体积是多少?
5．一个表面积是36。平方厘米的长方体，它恰好可以切成两个相同的正方体，每 个小正方体的体积是多少立方厘米
?
6．一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如
果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体的表面积之和是240平方厘米，求原来长方体的体积。
7．一个长方体的前面、上面、右面的面积分别为40、60、24平方厘米，求这个长方体的体
积。
8．现有一张长4厘米、宽2。厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的
长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度忽略不计，容积越大越好) 。请问：你做的铁皮盒的容积是多少立方厘米?
9．一个长、宽、高分别是2l 厘米、15厘米、12厘米的长方体，现从它上面尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余部分尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，这时剩下的体积是多少立方厘米?
第四讲 水面高度变化和等积变换
水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。
例题选讲
例1:在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米? 、
【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。
解：50厘米一5分米
5÷(25X20)+15
=O．25+15
=15．25(分米)
答：容器中水深15．25分米。
例2:一个长方体水箱，底面是一个边长为50厘米的正方形。水箱里直立着一个高10分米，底面边长是25厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深6分米。现在把铁块轻轻地向上提起20厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长
多少厘米?
【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的20厘米和铁块提起后水面下降的高度两部分。而下降部分水的体积就等于提起的20厘米的铁块的体积，因此水面下降的高度就可以用高20厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。
解：25×25×20÷(50×50)+20
=5+20
=25(厘米)
答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25厘米。
例3:把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体，求这个长方体的高。
【分析与解答】 将一个小长方体铁块和一个小正方体铁块熔铸成一个大长方体，形状虽然变了，但体积和没有发生变化，因此大长方体铁块的体积就等于小长方体铁块与小正方体铁块的体积和。然后根据体积除以底面积求出高。
解：(9×7×3+5。) ÷20
=314÷20
=15．7(厘米)
答：这个长方体的高是15．7厘米。
练习与思考
1．在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。现在在水中沉入一个棱长15分米的正方体铁块，这时容器中的水深多少分米?
2．一个长方体容器．，长90厘米，宽40厘米。容器里直立着一个高1米，底面边长是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0．5米。
3．一个棱长6分米的正方体容器，装满了水。现将正方体容器里的水倒人一个长12分米，宽6分米，高5分米的长方体水槽中，求现在长方体水槽中水面到水槽口的距离。
4．现在把铁块轻轻向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米?
5．一个长方体水箱，从里面量长8分米，宽6分米。先倒入165升水，再浸入一块棱长3分米的正方体铁块，这时水面离水箱口1分米。问：这个水箱的容积是多少?
6．在一个长15分米，宽12分米的长方体容器中，水深10分米。如果在水中浸入一个棱长是30厘米的正方体铁块，那么，容器中水深多少分米?
7．有大、中、小三个底面是正方形的水池，它们底面的边长分别是5米、3米、2米，把两堆碎石分别沉人中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉人大水池的水里，大水池的水面升高多少厘米？
8．一个长方体容器里面装有水，一块棱长24厘米的正方体铁块浸没在水中。现将铁块取出，水面下降18厘米；如果将一个长18厘米，宽16厘米，高12厘米的长方体铁块浸入水中：水面将上升多少厘米?
9．现在有大、中、小三个铁球，一个装满水的长方体容器。第一次把小球浸入水中；第二次把小球取出，把中球浸入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起浸入水中。已知每次从容器中溢出水量的情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2．5倍。问：大球体积是小球的多少倍?
10．现有空的长方体容器A 和水深24厘米的长方体容器B(如
图) ，要将容器B 的水倒一部分给A ，使两容器水的高度相同，
那么这时的水深是几厘米?
11．棱长为1米的2100个正方体围成一个实心的长方体，它的高为10米，长和宽都大于高。问：它的长和宽各为多少米?
12．在一个长方体蓄水池里放进一块长和宽都是5厘米的长方体铁块，如果把它全部放入水里，池里水面就上升9厘米，如果把水中的铁块露出8厘米，这时池里的水面就下降4厘米。问：这个铁块的体积是多少立方厘米?
第五讲 列方程解题
有数量关系比较复杂的应用题，特别是需要逆向思维的应用题，运用算术方法解答比较困难，如果列
方程解答，通过设未知数，把未知数当作已知数来考虑数量关系，抓住数量之间的相等关系，列出方程式解答就比较容易了。
例题选讲
例1：御苑小学五(3)班的同学合买一件生日礼物送给班主任。如果每人出8元，就多84元，如果每人出6元，那么就少12元，御苑小学五(3)班有多少名学生?
【分析与解答】从给出的条件分析，用算术方法解答问题有些困难，似乎数量关系不明显，但深入分析可以看出同学们买的是同一件生日礼物，因比价格是一定的，即每人出8元表示的总价与每人出6元表示的总价相等，可以列出以下方程式解答。
解：设御苑小学五(3)班有x 名学生。
8x-84=6x+12
8x一6x=12+84
2x=96
x=48
答：御苑小学五(3)班有48名学生。
例2：胜利大队粮库里的大米是面粉的2倍，现在用卡车运走，每辆卡车装4吨大米和3吨面粉，当面粉运完时，还剩2 0吨大米，粮库里原来有大米和面粉共多少吨?
【分析与解答】这道题的未知数量比较多：有大米、面粉的重量和卡车的数量，那么设哪个未知数为x 比较合适呢? 我们仔细分析一下等量关系，容易看出运大米的卡车数量与运面粉的卡车数量相等，如果设面粉有x 吨，则大米有2x 吨，根据卡车数量相等可以列出方程(2x一
20) ÷4=x÷3再进一步分析已知条件，可以看出另一个等量关系，即大米的重量等于面粉重量的2倍。我们设有x 辆卡车，根据等量关系可列出方程：4x+20=3x×2比较两种方法，发现后一种方法列出的方程式比较容易解答。
解：设有x 辆卡车。
4x+20—3z ×2
4x+20=6x
x=10
(4+3)×10+20=90(吨)
答：粮库里原来有大米和面粉共90吨。
练习与思考
1．爸爸带一些钱去买酸奶，如果买1 O 瓶就剩下4元，如果买12瓶同样的酸奶则差5.2元。问：每瓶酸奶多少元? 爸爸带了多少钱？
2. 滨江小学体育室里的篮球是足球的3倍。体育课上，每班借8只篮球、5只足球，足球借完时还有84只篮球。问：体育室原来有篮球和足球共多少只? 。
3. 某校五、六年级的学生乘公交车去秋游。如果每车坐60人，则有20人没有座位；如果每车多坐5人，则有一辆车空出45个座位。请问：一共有多少辆公交车? 五、六年级去秋游的学生一共有多少人?
4. 一条船从甲港到乙港顺流丽下，再从乙港返回共用了8小时，已知这船在静水中的速度是每小时，20千米，水流速度是每小时5千米。请问：甲、乙两港之间的距离是多少千米?
5.4个人的年龄之和是77岁，最小的是10岁，他与年龄最大的人的年龄之和比其他两人的年龄之和大7。问：年龄最大的人是多少岁?
6. 一个两位数，十位数上的数字是个位上数字的1．5倍，如果调换十位与个位上的数字，则新数比原数小18，求原来的数。
7. 甲每分钟走‘50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙从A 地出发，丙从B 地出发，丙遇到乙以后2分钟又遇到甲，求A 、B 两地的距离。
8. 甲、乙两个书店存书册数相等，甲书店售出2000册，乙书店购入1000册，这时乙书店的册数是甲书店的2倍。问：甲、乙两书店原来共存书多少册?
9. 在一次数学竞赛中，甲队的平均分为75分，乙队的平均分为73分，两队全体同学的平均分为73．5分，并且乙队比甲队多6人，那么乙队有多少人?
10. 如图所示的是由九个正三角形拼成的六边形，其中最小的正三角形(图中有阴 影的小三角形) 的边长为1，求此六边形的周长。
第六讲 假设法解题
“假设法”是解决问题常用的一种思维方法，是指在解决问题的过程中，根据题目的条件或结论作出某种假设，然后根据假设进行推算，当出现矛盾时，则分析矛盾产生的原因，并对照已知条件进行适当调整，最后找到解决问题的方法。
第一讲 立体图形及展开
同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图
例题选讲
例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F 、点G 分别与哪个点重合?
【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面
分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将l 作为底面，
那么4就是后面，5为右面，6为前面，2则是左面，3
就是上面，(如图2) 。从图中不难看出点F 与点N ，重
合，点G 与点S 重合。还有一种方法就是动手制作一张
展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试
试吧!
例2:一只小虫从图l 所示的长方体上的A 点出发，沿长
方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，
最后到达P 点。请你为它设计一条最短的爬行路线。
【分析与解答】 因为小虫在长方体的表面爬行，所
以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成
平面图形(如图2) 。又因为在平面上“两点之间的线段
长度最短”，所以连接AP ，则线段AP 为小虫爬行的最短路线。
练习与思考
1. 如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果
将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B 、点D 分别与哪个点
重合?
2. 如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A 点沿表面
爬向B 点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问：这样的路线共有几条?
3. 将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l 厘米的正方体。这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米?
4. 一块长方形的铁皮，长28厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是960立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。
5. 如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A 、B 、c 处填的数各是多少?
6. 如图所示的10个展开图中，哪些可以做成完整的正
方体?
7. 图(1)是一个正方体，图(2)是这个正方体的一个平面展开
图，图(3)、图(4)、图(5)也是这个正方体的平面展开图，但
每一个展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。
8. 如图所示的是一个长方体，四边形APQC 、是长方体的一个截面(即过长方体上4点A 、P 、Q 、C 的平面与长方体相交所得到的图形) ，P 、Q 分别为棱A1B1、B1C1，
的中点，请在此长方体的平面展开图上，标出线段AC 、cQ 、QP 、PA 。
第二讲 长方体和正方体的表面积
在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。这些知识不仅有趣而且具有一定的实用性和思考价值。解答长方体和正方体表面积的问题时，需要同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力，另外还要掌握一些解题的思路和技巧。 例题选讲
例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。
【分析与解答】要求长方体的表面积，就要求长方体的长、宽、高。根据题意，前面与上面的面积之和是88平方厘米，也就是长×高+长x 宽=88，即长×(高+宽)=88因为长、宽、高都是质数，我们把88分解质因数得88=1l×2×2×2，依题意，11不能分成两个质数和，经试验，有两种情况符合条件，(1)ll×(3+5)：88 (2)2×(41+3)一88，因此长方体的表面积可以有两种情况。
解：88—11×2X2×2，2×2×2：3+5，11×2×2—41+3。长方体的表面积：(1)(11×3+1l×5+5×3) ×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x4l+41×3) ×2—422(平
方厘米)
例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方
体，求这个长方体的表面积。
【分析与解答】仔细观察图形，不难看出3个正方体块粘成1个长方
体，共有2个粘接处，每一处都有2个面粘在一起，两处共粘去4个面，因此粘成的长方体的表面积等于(6×3—4) 个面的面积，即24÷6×(6 x3—4)=56(平方厘米) 。
例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中
有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少?
【分析与解答】仔细观察图形，虽然这个立体图形是不规则的，但是从前
面看到的面与从后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是
相等的，从上、下看到的面是一致的，所以这个立体图形的表面积等于(前
面十上面+左面) ×2，即(10+9+8)×2=54(平方厘米) 。
练习与思考
1. 有一个长方体，前面和上面两个面面积和为209平方厘米，并且长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。
2. 将两个长都是8厘米，6厘米，高都是5厘米的长方体拼成一个大长方体，那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米?
3. 如图所示的是由17个边长是1厘米的小正方体拼成的立体图形，求它的
表面积。
4. 有一个长方体, 长是8厘米, 宽是4 厘米，高是6厘米，把它截成棱长是2厘米的若干个小正方体，这些小正方体表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米?
5. 如图，正方体木块的表面积是36平方分米，把它沿虚线截成体积相等的8个小正方体木块，这时表面积增加多少平方分米?
6. 如图，有一个边长是5厘米的立方体，如果它的左上方截去一个边
长分别是5厘米，3厘米2厘米的长方体。那么，它的表面积减少多少
平方厘米?
7. 如图，有一个长4厘米：宽和高都是3厘米的长方体，以A 为底打一个
上下直穿的长方体洞，以B 为底打一个前后直穿的长方体洞，以C 为底
打一个左右穿通的长方体洞，所得立体图形的表面积是多少?
8. 如图，有一个棱长是1米的正方体木块。沿水平方向锯2次，竖直锯3次，再横着锯4次，共得到大大小小的长方体小木块60块，求这60块长方体表面积的和。
9. 用10个长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木块拼成一个大长方体，拼成的大长方体表面积最小是多少?
第三讲 长方体和正方体的体积
前一讲，我们研究了长方体和正方体表面积的计算，其实在数学竞赛中，有关长方体和正方体体积的知识也很重要。学习这一讲的知识更需要我们具备较强的观察能力和空间想像能力。
例题选讲
例1:如图，一个长方体木块，从上部和卞靠分别截去高2厘米和3厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了100平方厘米，原来长方体的体积是多少立方
厘米?
【分析与解答】仔细观察右图，截去上下两个长方体后减少的表面积就是两个长方体的侧面积，也就相当于减少的是高为(2+3)厘米的长方体的侧面积，因此高为5厘米的长方体每个侧面积是100÷4—25(平方厘米) ，那么长方体底面正方形的边长就是25÷5=5(厘米) ，所以原长方体的体积是：5×5×(2+5+3)=250(立方厘米) 。
例2:将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体棱长总和是96厘米，每块正方体木块的体积是多少立方厘米?
【分析与解答】根据题意，两个正方体棱长共有12×2=24(条) 。当它们拼在一起成为一个长方体时，由于两个面重合，也就减少了4×2=8(条) 棱长，实际上就是拼成的长方体棱长总和相当于24—8=16(条) 正方体棱长总和，因此每条正方体棱长为96÷16=6(厘米) ，则每块正方体木块的体积是：6×6×6=216(立方厘米) 。
例3:如图，正方体的棱长为4厘米，分别在前后、左右、上下各面中心
凿开一个边长1厘米的正方形小孔直至对面，求它的体积。
【分析与解答】仔细观察图形，每个凿去的小长方体体积均为：1×1×4=4(立方厘
米) ，共凿小长方体3个，即4×3=12(立方厘米) ，而实际上由于正中间相交，重复
凿去了2个1立方厘米的正方体小块，因此，这个物体的体积是4×4×4—12+1×
2=54(立方厘米) 。
练习与思考
1．把一个长方体的长平均分成4段，每段长6厘米，表面积增加24平方厘米，
求原长方体的体积。
2．用大小相等的两个正方体积木拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是
80厘米，每个正方体的体积是多少立方厘米?
3．如图，在一个棱长为20厘米的正方体木块的前面、上面、右面中心
位置，分别凿一个边长为4厘米的正方形小孔直至对面，做成玩具，求
这个玩具的
4． 一个长方体，它的前面和上面的面积之和是156平方厘米，并且长、宽、
高都是质数，这个长方体的体积是多少?
5．一个表面积是36。平方厘米的长方体，它恰好可以切成两个相同的正方体，每 个小正方体的体积是多少立方厘米
?
6．一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如
果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体的表面积之和是240平方厘米，求原来长方体的体积。
7．一个长方体的前面、上面、右面的面积分别为40、60、24平方厘米，求这个长方体的体
积。
8．现有一张长4厘米、宽2。厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的
长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度忽略不计，容积越大越好) 。请问：你做的铁皮盒的容积是多少立方厘米?
9．一个长、宽、高分别是2l 厘米、15厘米、12厘米的长方体，现从它上面尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余部分尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，这时剩下的体积是多少立方厘米?
第四讲 水面高度变化和等积变换
水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。
例题选讲
例1:在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米? 、
【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。
解：50厘米一5分米
5÷(25X20)+15
=O．25+15
=15．25(分米)
答：容器中水深15．25分米。
例2:一个长方体水箱，底面是一个边长为50厘米的正方形。水箱里直立着一个高10分米，底面边长是25厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深6分米。现在把铁块轻轻地向上提起20厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长
多少厘米?
【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的20厘米和铁块提起后水面下降的高度两部分。而下降部分水的体积就等于提起的20厘米的铁块的体积，因此水面下降的高度就可以用高20厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。
解：25×25×20÷(50×50)+20
=5+20
=25(厘米)
答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25厘米。
例3:把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体，求这个长方体的高。
【分析与解答】 将一个小长方体铁块和一个小正方体铁块熔铸成一个大长方体，形状虽然变了，但体积和没有发生变化，因此大长方体铁块的体积就等于小长方体铁块与小正方体铁块的体积和。然后根据体积除以底面积求出高。
解：(9×7×3+5。) ÷20
=314÷20
=15．7(厘米)
答：这个长方体的高是15．7厘米。
练习与思考
1．在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。现在在水中沉入一个棱长15分米的正方体铁块，这时容器中的水深多少分米?
2．一个长方体容器．，长90厘米，宽40厘米。容器里直立着一个高1米，底面边长是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0．5米。
3．一个棱长6分米的正方体容器，装满了水。现将正方体容器里的水倒人一个长12分米，宽6分米，高5分米的长方体水槽中，求现在长方体水槽中水面到水槽口的距离。
4．现在把铁块轻轻向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米?
5．一个长方体水箱，从里面量长8分米，宽6分米。先倒入165升水，再浸入一块棱长3分米的正方体铁块，这时水面离水箱口1分米。问：这个水箱的容积是多少?
6．在一个长15分米，宽12分米的长方体容器中，水深10分米。如果在水中浸入一个棱长是30厘米的正方体铁块，那么，容器中水深多少分米?
7．有大、中、小三个底面是正方形的水池，它们底面的边长分别是5米、3米、2米，把两堆碎石分别沉人中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉人大水池的水里，大水池的水面升高多少厘米？
8．一个长方体容器里面装有水，一块棱长24厘米的正方体铁块浸没在水中。现将铁块取出，水面下降18厘米；如果将一个长18厘米，宽16厘米，高12厘米的长方体铁块浸入水中：水面将上升多少厘米?
9．现在有大、中、小三个铁球，一个装满水的长方体容器。第一次把小球浸入水中；第二次把小球取出，把中球浸入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起浸入水中。已知每次从容器中溢出水量的情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2．5倍。问：大球体积是小球的多少倍?
10．现有空的长方体容器A 和水深24厘米的长方体容器B(如
图) ，要将容器B 的水倒一部分给A ，使两容器水的高度相同，
那么这时的水深是几厘米?
11．棱长为1米的2100个正方体围成一个实心的长方体，它的高为10米，长和宽都大于高。问：它的长和宽各为多少米?
12．在一个长方体蓄水池里放进一块长和宽都是5厘米的长方体铁块，如果把它全部放入水里，池里水面就上升9厘米，如果把水中的铁块露出8厘米，这时池里的水面就下降4厘米。问：这个铁块的体积是多少立方厘米?
第五讲 列方程解题
有数量关系比较复杂的应用题，特别是需要逆向思维的应用题，运用算术方法解答比较困难，如果列
方程解答，通过设未知数，把未知数当作已知数来考虑数量关系，抓住数量之间的相等关系，列出方程式解答就比较容易了。
例题选讲
例1：御苑小学五(3)班的同学合买一件生日礼物送给班主任。如果每人出8元，就多84元，如果每人出6元，那么就少12元，御苑小学五(3)班有多少名学生?
【分析与解答】从给出的条件分析，用算术方法解答问题有些困难，似乎数量关系不明显，但深入分析可以看出同学们买的是同一件生日礼物，因比价格是一定的，即每人出8元表示的总价与每人出6元表示的总价相等，可以列出以下方程式解答。
解：设御苑小学五(3)班有x 名学生。
8x-84=6x+12
8x一6x=12+84
2x=96
x=48
答：御苑小学五(3)班有48名学生。
例2：胜利大队粮库里的大米是面粉的2倍，现在用卡车运走，每辆卡车装4吨大米和3吨面粉，当面粉运完时，还剩2 0吨大米，粮库里原来有大米和面粉共多少吨?
【分析与解答】这道题的未知数量比较多：有大米、面粉的重量和卡车的数量，那么设哪个未知数为x 比较合适呢? 我们仔细分析一下等量关系，容易看出运大米的卡车数量与运面粉的卡车数量相等，如果设面粉有x 吨，则大米有2x 吨，根据卡车数量相等可以列出方程(2x一
20) ÷4=x÷3再进一步分析已知条件，可以看出另一个等量关系，即大米的重量等于面粉重量的2倍。我们设有x 辆卡车，根据等量关系可列出方程：4x+20=3x×2比较两种方法，发现后一种方法列出的方程式比较容易解答。
解：设有x 辆卡车。
4x+20—3z ×2
4x+20=6x
x=10
(4+3)×10+20=90(吨)
答：粮库里原来有大米和面粉共90吨。
练习与思考
1．爸爸带一些钱去买酸奶，如果买1 O 瓶就剩下4元，如果买12瓶同样的酸奶则差5.2元。问：每瓶酸奶多少元? 爸爸带了多少钱？
2. 滨江小学体育室里的篮球是足球的3倍。体育课上，每班借8只篮球、5只足球，足球借完时还有84只篮球。问：体育室原来有篮球和足球共多少只? 。
3. 某校五、六年级的学生乘公交车去秋游。如果每车坐60人，则有20人没有座位；如果每车多坐5人，则有一辆车空出45个座位。请问：一共有多少辆公交车? 五、六年级去秋游的学生一共有多少人?
4. 一条船从甲港到乙港顺流丽下，再从乙港返回共用了8小时，已知这船在静水中的速度是每小时，20千米，水流速度是每小时5千米。请问：甲、乙两港之间的距离是多少千米?
5.4个人的年龄之和是77岁，最小的是10岁，他与年龄最大的人的年龄之和比其他两人的年龄之和大7。问：年龄最大的人是多少岁?
6. 一个两位数，十位数上的数字是个位上数字的1．5倍，如果调换十位与个位上的数字，则新数比原数小18，求原来的数。
7. 甲每分钟走‘50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙从A 地出发，丙从B 地出发，丙遇到乙以后2分钟又遇到甲，求A 、B 两地的距离。
8. 甲、乙两个书店存书册数相等，甲书店售出2000册，乙书店购入1000册，这时乙书店的册数是甲书店的2倍。问：甲、乙两书店原来共存书多少册?
9. 在一次数学竞赛中，甲队的平均分为75分，乙队的平均分为73分，两队全体同学的平均分为73．5分，并且乙队比甲队多6人，那么乙队有多少人?
10. 如图所示的是由九个正三角形拼成的六边形，其中最小的正三角形(图中有阴 影的小三角形) 的边长为1，求此六边形的周长。
第六讲 假设法解题
“假设法”是解决问题常用的一种思维方法，是指在解决问题的过程中，根据题目的条件或结论作出某种假设，然后根据假设进行推算，当出现矛盾时，则分析矛盾产生的原因，并对照已知条件进行适当调整，最后找到解决问题的方法。