向量基础知识梳理
考试要求
1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2. 掌握向量的加法与减法。
3. 掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。
4. 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的
坐标运算。
5. 掌握平面向量的数量积及其几何意义，用平面向量的数量积可以处理有关
长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6. 掌握平面两点间的距离公式，中点公式
知识点归纳：
1. 向量的概念：
（1）定义：既有大小又有方向的量叫向量, 有二个要素：大小、方向.
（2）向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示；③平
面向量的坐标表示：
（3）零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为
1个单位长度的向量，叫单位向量.
（4）相等向量、相反向量：①长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②
长度相等且方向相反的向量叫相反向量
2．向量的线性运算：
（1）向量的加法、减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平
行四边形法则。
②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。即：a -b = a + (-b ) ；
③向量加法的交换律：向量加法的结合律：(+) +=+ +=+；(+)
（2）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa ①|λa |=|λ||a |； ②λ>0时λa 与a 方向相同；λ
相反；λ=0时λa =； ③运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λ
a +μa ，λ(a +b )=λa +λb
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3. 两个重要定理： （1）向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线（也是平行）的充要条件是： 有且只有一个非零实数λ，使b =λa 。
（2）平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那
么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ
λ2e 2。
注：（1）不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
4. 向量和的数量积：
（1）定义： 两个非零向量a , b ，它们的夹角为θ
⋅cos θ叫做称的数量
积（或内积），记作⋅，即⋅
⋅cos θ 规定0⋅a =0 非零向量a 与b 当且仅当a ⊥b 时，θ=90，这时a ⋅b =0 0 2使a =λ1e +1
（2）性质： 设a , b 是两个非零向量，e 是单位向量，于是有：
①⋅=⋅=θ ②a ⊥b ⇔a ⋅b =0 ③当与
同向时，⋅=；当与
反向时，⋅=，特别
地，⋅=a =。
④cos θ=2
≤
（3）平面向量数量积的运算律 ①交换律成立：⋅=⋅ ②对实数的结合律成立：
2 λ)⋅=λ⋅)=⋅λ)(λ∈R ) ③分配律成立：±)⋅=⋅±⋅=⋅±)
5. 向量的坐标及其运算：
（1）向量的坐标： ①在直角坐标系中，，j 分别为x , y 轴正方向上的单位向量，则，j
称为基底，平面内任一向量a 都可以表示为a =x i +y j ，把(x , y ) 叫做a 的坐标，记作=(x , y )
②在坐标平面内，把任一向量的始点移到坐标原点后，向量的终点坐标即为该向量的坐标。若=，且A (x , y ) ，则有=(x , y )
③已知A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则有=(x 2-x 1, y 2-y 1)
（2）向量的坐标运算：
若a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) ，则 a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2)
。 a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2) ， λa =(λx , λy )
a ∙b =x 1x 2+y 1y 2
（3）平面内两点间的距离公式 ①设a =
(x , y ) ，则|a |==x 2+y 2
(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2 ②设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则=
6. 两向量平行、垂直的充要条件 设 =（x 1，y 1）, =（x 2，y 2）
①a ⊥b ⇔a ·b =0 ，⊥⇔a ∙b =x 1x 2+y 1y 2=0； ②a //b （a ≠0）充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa 。
a //b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0
7. 有关结论：
①平面内有任意三个点O ，A ，B ，若M 是线段AB 的中点，则
OM =1(OA +OB ); 2
②三点共线定理：平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是：存在实数α、β, 使=α+β，其中α+β=1，O 为平面内的任一点。
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向量基础知识梳理
考试要求
1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2. 掌握向量的加法与减法。
3. 掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。
4. 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的
坐标运算。
5. 掌握平面向量的数量积及其几何意义，用平面向量的数量积可以处理有关
长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6. 掌握平面两点间的距离公式，中点公式
知识点归纳：
1. 向量的概念：
（1）定义：既有大小又有方向的量叫向量, 有二个要素：大小、方向.
（2）向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示；③平
面向量的坐标表示：
（3）零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为
1个单位长度的向量，叫单位向量.
（4）相等向量、相反向量：①长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②
长度相等且方向相反的向量叫相反向量
2．向量的线性运算：
（1）向量的加法、减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平
行四边形法则。
②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。即：a -b = a + (-b ) ；
③向量加法的交换律：向量加法的结合律：(+) +=+ +=+；(+)
（2）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa ①|λa |=|λ||a |； ②λ>0时λa 与a 方向相同；λ
相反；λ=0时λa =； ③运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λ
a +μa ，λ(a +b )=λa +λb
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3. 两个重要定理： （1）向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线（也是平行）的充要条件是： 有且只有一个非零实数λ，使b =λa 。
（2）平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那
么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ
λ2e 2。
注：（1）不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
4. 向量和的数量积：
（1）定义： 两个非零向量a , b ，它们的夹角为θ
⋅cos θ叫做称的数量
积（或内积），记作⋅，即⋅
⋅cos θ 规定0⋅a =0 非零向量a 与b 当且仅当a ⊥b 时，θ=90，这时a ⋅b =0 0 2使a =λ1e +1
（2）性质： 设a , b 是两个非零向量，e 是单位向量，于是有：
①⋅=⋅=θ ②a ⊥b ⇔a ⋅b =0 ③当与
同向时，⋅=；当与
反向时，⋅=，特别
地，⋅=a =。
④cos θ=2
≤
（3）平面向量数量积的运算律 ①交换律成立：⋅=⋅ ②对实数的结合律成立：
2 λ)⋅=λ⋅)=⋅λ)(λ∈R ) ③分配律成立：±)⋅=⋅±⋅=⋅±)
5. 向量的坐标及其运算：
（1）向量的坐标： ①在直角坐标系中，，j 分别为x , y 轴正方向上的单位向量，则，j
称为基底，平面内任一向量a 都可以表示为a =x i +y j ，把(x , y ) 叫做a 的坐标，记作=(x , y )
②在坐标平面内，把任一向量的始点移到坐标原点后，向量的终点坐标即为该向量的坐标。若=，且A (x , y ) ，则有=(x , y )
③已知A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则有=(x 2-x 1, y 2-y 1)
（2）向量的坐标运算：
若a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) ，则 a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2)
。 a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2) ， λa =(λx , λy )
a ∙b =x 1x 2+y 1y 2
（3）平面内两点间的距离公式 ①设a =
(x , y ) ，则|a |==x 2+y 2
(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2 ②设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则=
6. 两向量平行、垂直的充要条件 设 =（x 1，y 1）, =（x 2，y 2）
①a ⊥b ⇔a ·b =0 ，⊥⇔a ∙b =x 1x 2+y 1y 2=0； ②a //b （a ≠0）充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa 。
a //b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0
7. 有关结论：
①平面内有任意三个点O ，A ，B ，若M 是线段AB 的中点，则
OM =1(OA +OB ); 2
②三点共线定理：平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是：存在实数α、β, 使=α+β，其中α+β=1，O 为平面内的任一点。
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