天线原理与设计习题集
第一章 天线的方向图
ˆ(1-1) 如图1为一元天线，电流矩为Idz，其矢量磁位表示为A=z
μ0Idz-jβr
，e
4πr
试导出元天线的远区辐射电磁场Eθ,Hϕ。(电磁场与电磁波P163)
图1-1 (a) 元天线及坐标系 (b) 元天线及场分量取向
解：利用球坐标中矢量各分量与直角坐标系中矢量各分量的关系矩阵
θcϕos⎡Ar⎤⎡sin
⎢⎥scϕos ⎢Aθ⎥=⎢coθ⎢⎢ϕ⎣-sin⎣Aϕ⎥⎦⎢
因Ax=Ay=0，可得
⎧Ar=Azcosθ⎪
⎨Aθ=-Azsinθ ⎪A=0⎩ϕ
θsinϕsinθ⎤cAxs⎤⎡o
⎥nθcosϕs-inθ⎥⎢Asi y
⎥⎢⎥
cϕos0⎥⎦⎢⎣Az⎥⎦
⎧E=-jωA
⎪
由远场公式 ⎨ 1
ˆ⨯EH=r⎪η0⎩可得 Eθ=jη0
Idz
siθne-jβr (V/m) 2λrIdz
Hϕ=jsinθe-jβr (A/m)
2λr
Er=Eϕ=Hr=Hθ=0
(1-2) 已知球面波函数ψ=e-jβr/r，试证其满足波动方程：∇2ψ+β2ψ=0
1∂2∂ψ1∂β2-jβr-jβr
)=-2[(1+jβr)e]=-e=-β2ψ 证明：∇ψ=2(r
r∂r∂rr∂rr
2
则 ∇2ψ+β2ψ=0
(1-3) 如图2所示为两副长度为2 =λ的对称线天线，其上的电流分别为均匀分布和三角形分布，试采用元天线辐射场的叠加原理，导出两天线的远区辐射场
Eθ,Hϕ，方向图函数f(θ,ϕ)和归一化方向图函数F(θ,ϕ)，并分别画出它们在yoz平面和xoy平面内的方向图的示意图。
解：(1) 天线上电流为均匀分布时
I(z)=0I,-l≤z≤ l
将对称振子分为长度为dz的许多小段，每个小段可看作是一个元天线，如下图所示。
距坐标原点z处的元天线的辐射电场为
I(z)dzIdz
dEθ=jηsinθe-jβR=jη0sinθe-jβR
2λR2λR
作远场近似，对相位 R r-zcosθ，对幅度 1/R 1/r，且 e-jβR=e-jβrejβzcosθ，得
e-jβr
dEθ=jηsinθI0ejβzcosθdz
2λr
则远区总场为这些元天线的辐射场在空间某点的叠加，用积分表示为
le-jβrI0e-jβrejβlcosθ-e-jβlcosθjβzcosθ
Eθ=⎰dEθ=jηsinθ⎰I0edz=jηsinθ
-l-l2λr2λrjβcosθ
l
60I0-jβrsin(βlcosθ)60I0-jβr
esinθ=jef(θ) rcosθr
sin(βlcosθ)sin(πcosθ)
|l=λ/2=sinθ式中方向图函数为： f(θ)=sinθ
cosθcosθ
均匀电流分布的对称振子，其最大辐射方向在侧向。方向图函数的最大值为
=j
fmax=limf(θ)=βl|l=λ=π /2
θ→π/2
则归一化方向图函数为 F(θ)=
f(θ)sin(βlcosθ)sin(πcosθ)
=sinθ|l=λ/2=sinθ
fmaxβlcosθπcosθ
其E面方向图函数由上式表示，方向图为∞字形；H面方向图函数为
FH=F(θ)|θ=π/2=1，方向图为一个圆。
均匀电流分布的对称振子归一化方向图，l=λ/2
(2) 天线上电流为三角形分布时
|z|
I(z)=I0(1-),-l≤z≤l
l
距坐标原点z处的元天线的辐射电场为
I(z)dz
dEθ=jηsinθe-jβR
2λR
同样作远场近似后并带入三角形电流分布得
e-jβre-jβr|z|jβzcosθ
dEθ=jηsinθI(z)edz=jηsinθI0(1-)ejβzcosθdz
2λr2λrl
则远区总场为
le-jβr|z|
Eθ=⎰dEθ=jηsinθI0⎰(1-)ejβzcosθdz
-l-l2λrl
l
I0e-jβr
siθn =jη
2λr
=j
lzjβzcoθs
[+(e)dz+⎰-ll⎰00zβzjθcos
-1e)dz l
]
60I0-jβr
ef(θ) r
式中， f(θ)=sinθ
1-cos(βlcosθ)1-cos(πcosθ)
|=sinθl=λ/222
βlcosθπcosθ
方向图函数的最大值为
fmax=limf(θ)=
θ→π/2
π
2
则归一化方向图函数为 F(θ)=
f(θ)1-coπs(cθos)
=2sθifmaxπ2coθs
其E面方向图函数由上式表示，方向图为∞字形；H面方向图函数为
FH=F(θ)|θ=π/2=1，方向图为一个圆。
(1-4) 有一对称振子长度为2l，其上电流分布为：I(z)=Imsinβ(l-|z|)试导出：
(1) 远区辐射场Eθ,Hϕ; (2) 方向图函数f(θ,ϕ)；
(3) 半波天线(2l=λ/2)的归一化方向图函数F(θ,ϕ)，并分别画出其E面和H面内的方向图。
(4) 若对称振子沿y轴放置，导出其远区场E,H表达式和E面、H面方向图函数。
解：(1) 由 I(z)=Imsin[β(l-|z|),-l≤z≤l
I(z)dz
sinθe-jβR 2λR
作远场近似 对相位 R r-zcosθ
及 dEθ=jη0
对幅度 R r
且 e-jβR=e-jβrejβzcosθ
le-jβr
Eθ=⎰dEθ=jη0sinθ⎰I(z)ejβzcosθdz
-l-l2λr
l
e-jβr=jη0sinθIm
2λr
e-jβr
sinθIm =jη0
2λr
{⎰
-l
sin[β(l+z)]ejβzcosθdz+⎰sin[β(l-z)]ejβzcosθdz
l
}
⎰2
l
siβnl-[z()]βczos(θd c z os)
60Im-jβrcoβsl(θco-s)βlcos(60I)m-jβr
e=jef(θ) rsinθr
cos(βlcosθ)-cos(βl)
(2) 方向图函数：f(θ)=
sinθ
=j
ππcos(cosθ)cos(cosθ)(3) 对半波天线：2l=λ/2，f(θ)= ，fmax=1，F(θ)=
sinθsinθ
E面方向图 H面方向图
沿z轴放置的对称振子天线方向图
(4) 对称振子沿y轴放置，其远区场表达式不变
f(θ,ϕ)=
cos(βlcosθy)-cos(βl)
sinθy
ˆ⋅yˆ=
sinθsinϕ 式中，θy为天线轴与射线r的夹角，且cosθy=r
E面方向图 H面方向图
沿y轴放置的对称振子天线方向图
(1-5) 有一长度为 =λ/2的直导线，其上电流分布为I(z)=I0e-jβz，试求该天线
的方向图函数F(θ,ϕ)，并画出其极坐标图。
图1-12 单行波天线
解：距坐标原点z处的元天线的辐射电场为
I(z)dz
sinθe-jβR 2λR
作远场近似后并带入行波电流分布得
dEθ=jη
e-jβre-jβrjβzcosθ
dEθ=jηsinθI(z)edz=jηsinθI0ejβz(cosθ-1)dz
2λr2λr
远区总场为
le-jβrjβ
Isiθne Eθ=jη0⎰0
2λr
(cθo-sz1)
j(cθ-osl1)
e-jβreβ-1d=zjη I0siθn
2λrjβ(cθos-1)
βl
j(cosθ-1)sin[βl(cosθ-1)/2]e-jβr
=jηI0sinθe2
λrβ(cosθ-1)
取模值 |Eθ|=
η0I0sin[βl(cosθ-1)/2]|sinθ| λβrcosθ-1
=
60I0sin[βl(1-cosθ)/2]60I0
=f(θ) sinθ
rr1-cosθ
sinθθβl
sin[βl(1-cosθ)/2]=tan()sin[(1-cosθ)]
1-cosθ22
得方向图函数为
f(θ)=
其E面方向图函数由上式表示。长度为 =λ/2,λ,2λ时的方向图如下所示。
(1-6) 利用方向性系数的计算公式: D=
计算：(1) 元天线的方向性系数；
(2) 归一化方向图函数为
4π
⎰⎰
2ππ
F(θ,ϕ)sinθdθdϕ
2
⎧cscθ,θ0≤θ≤π/2,0≤ϕ≤ϕ0
的天线方向性系数。 F(θ,ϕ)=⎨
,其它⎩0
⎧cosnθ,0≤θ≤π/2,0≤ϕ≤2π
(3) 归一化方向图函数为：F(θ,ϕ)=⎨
,其它⎩0
n=1和2时的天线方向性系数。
解：
(1) 元天线 F(θ)=sinθ, 则D=1.5， D=10lgD=1.76dB (2)D=
4π
⎰⎰
20
F2(θ,ϕ)sinθdθdϕ
=
4π
⎰⎰θ
ϕ0
π/2
csc2θ⋅sinθdθdϕ
=
4π
sinθ0
φ0ln
1-cosθ0
或 D=
4π4π
， 或 D=
1+coθs1+cosθφ0lnφ0ln
1-cosθ0sinθ0
(3) D=
4π
⎰⎰
2π
20
=
4π
2π⎰
/2
cos2nθ⋅sinθdθdϕ
2
cosθ⋅dcosθ
2n
=
1
[cosθ]2n+102
2n+1
=2(2n+1)
所以，n=1，D=6
n=2，D=10
(1-7) 如图3所示为二元半波振子阵，两单元的馈电电流关系为I1=I2ejπ/2，要求导出二元阵的方向图函数fT(θ,ϕ)，并画出E面(yz平面)和H面(xy平面)方向图。
图3 半波振子二元阵，d=λ/4
解：此时图3所示二元阵的阵因子方向图为心脏形，I2相位滞后于I1，最大值方向为正y轴方向。
二元阵的总场方向图函数为 fT(θ, )ϕ)=f0θ(fa)θϕ(,
cocθos)
式中，单元方向图函数为 f0(θ)= sinθ
βdα
ϕ)=2cθc-o， )二元阵的阵因子为 fa(θ,y
22
π
ˆ⋅yˆ=sinθsinϕ，α=π/2 cosθy=r
(1) E面(yz面，ϕ=π/2)方向图
cocθos)
单元方向图函数为 f0(θ)= sinθ
π
(s-in 1)]阵因子为 fa(θ)=2c[θ4
由方向图相乘原理可绘出其E面方向图如下图所示。
π
d=λ/4,α=π/2时的等幅激励半波振子二元阵E面方向图
(2) H面(xy面，θ=π/2)方向图
单元方向图函数为 f0(ϕ)=1
π
(s-in 1)]阵因子为 fa(ϕ)=2c[ϕ4
由方向图相乘原理可绘出其H面方向图如下图所示。
d=λ/4,α=π/2时的等幅激励半波振子二元阵H面方向图
(1-8) 有三付对称半波振子平行排列在一直线上,相邻振子间距为d，如图4所示。 (1) 若各振子上的电流幅度相等，相位分别为-β,0,β时，求xz面、yz面和H面方向图函数。
(2) 若d=λ/4，各振子电流幅度关系为1:2:1，相位关系为π/2,0,-π/2时，
试画出三元阵的E面和H面方向图。
图4 半波振子三元阵
解：(1). 三个对称半波振子天线电流相等，相位分别为-β,0,β，构成均匀直线阵。此时，I1
=I2e-jβ，I3=I2ejβ
60I-jβrn
ef0(θ)， n=1, 2, 3 rn
π
En=j
cos(cosθ)
f0(θ)=
sinθ
60I2-jβr
ef0(θ,ϕ)[e-jβ(r1-r)e-jβ+1+e-jβ(r3-r)ejβ] 总场为 ET=E1+E2+E3=jr
ˆ ρ1=-dsinθsinϕ 式中波程差为：r-r1=r
ˆ ρ3=dsinθsinϕ r-r3=r
ET=j
60I2-jβref0(θ,ϕ)fa(θ,ϕ) r
fa(θ,ϕ)=e-jβ(dsinθsinϕ+1)+1+ejβ(dsinθsinϕ+1)=1+2cos[β(dsinθsinϕ+1)]
■ xz面内(ϕ=0)的方向图函数为
F(θ)=f0(θ,ϕ)fa(θ,ϕ)|ϕ=0=
■ yz面内(ϕ=π/2)的方向图函数为
cos(πcosθ/2)
[1+2cosβ]
sinθ
F(θ)=f0(θ,ϕ)fa(θ,ϕ)|ϕ=π/2=
cos(πcosθ/2)
{1+2cos[β(dsinθ+1)]}
sinθ
■ H面(xy面，θ=π/2)方向图函数为
FH(ϕ)=f0(θ,ϕ)fa(θ,ϕ)|θ=π/2=1+2cos[β(dsinϕ+1)]
(2) 已知I1=I0ejπ/2，I1=2I0，I3=I0e-jπ/2，d=λ/4。可得总场为 ET=E1+E2+E3=j
60I0-jβr
ef0(θ,ϕ)[e-jβ(r1-r)ejπ/2+2+e-jβ(r3-r)e-jπ/2] r
=j
60I0-jβr
ef0(θ,ϕ)fa(θ,ϕ) r
-j(βdsinθsinϕ-π/2)
式中，fa(θ,ϕ)=e
+2+ej(βdsinθsinϕ-π/2) +e
1
j(βdsinθsinϕ-π/2)
22
=[e
1
-j(βdsinθsinϕ-π/2)2
]
=4cos2[(sinθsinϕ-1)]
4
π
cos(cosθ)π⋅4cos2[(sinθ-1)] ϕ=π/2)方向图函数为 fE(θ)=■E面(yz平面，
sinθ4■H面(xy平面，θ=π/2)方向图函数为 fH(ϕ)=4cos2[(sinϕ-1)]
4
(1-9) 由四个元天线组成的方阵，其排列如图5所示。每个单元到阵中心的距离为3λ/8，各单元的馈电幅度相等，单元1和2同相，单元3和4同相但与1和2反相。试导出该四元阵的方向图函数及阵因子，并草绘该阵列xy平面内的方向图。
π
π
解：已知单元到阵中心的距离为d=3λ/8，I1=I2=-I3=-I4=I0。这个四元阵可看作是x轴上的二元阵和y轴上的二元阵构成。 x轴上的二元阵阵因子为
fx(θ,ϕ)=2coβds(y轴上的二元阵阵因子为 fy(θ,ϕ)=2coβds(
，θxcos cosθx=sinθcosϕ
，θcs cosθy=sinθsinϕ yo
元天线的方向图函数为 f0(θ)=sinθ 则四元阵总场方向图函数为
fT(θ,ϕ)=fθ)fx[θ(ϕ-,)fy0(
,)]θ(ϕ
cθos(ϕ si
n[cβods(θsiϕn-cosβd) =2siθ
在xz平面内(H面，θ=π/2)的方向图函数为
fH(ϕ)=2[cos(βdcosϕ)-cos(βdsinϕ)]
取d=3λ/8,3λ/4绘出的方向图如下图所示。
(1-10) 设地面为无限大理想导电平面。图6所示为由等幅同相馈电的半波振子组成的水平和垂直二元阵，要求
(1) 对图(a)求其xz面和yz面方向图函数，并画出xz面方向图； (2) 对图(b)求其xz面和yz面和xy面方向图函数，并画出这三个平面内的方向图。
解：采用镜像法，则近地水平和垂直二元阵的镜像如下图所示
(c) 近地水平二元阵及其镜像 (d) 近地垂直二元阵及其镜像
图中，H=λ/2，d=λ。
(a) 近地水平二元阵
采用扩展的方向图相乘原理可得总场方向图函数为
fT(θ,ϕ)=f0(θ,ϕ)f12(θ,ϕ)f(12)(1'2')(θ,ϕ)
式中，半波振子单元方向图函数为
cos(cosθy)
f0(θ,ϕ)= ，cosθy=
sinθsinϕ，sinθy=sinθy由单元1和2(或1′和2′)组成的二元阵的阵因子为
βd
f12(θ,ϕ)=2cos(cosθy)=2cos(πsinθsinϕ)
2
'')为负像时的组间阵因子为 由(1,2)与(1,2
π
f(12)(1'2')(θ,ϕ)=2sin(βHcosθ)=2sin(πcosθ)
■yz平面(ϕ=π/2)内的总场方向图函数为
cos(sinθ)
fyz(θ)=⋅2cos(πsinθ)⋅
2sin(πsinθ) cosθ
π
■xz平面(ϕ=0)内的总场方向图函数为
fxz(θ)=fT(θ,ϕ)|ϕ=0=4sin(πcosθ)
其方向图为
(a) 近地垂直二元阵
总场方向图函数为
fT(θ,ϕ)=f0(θ,ϕ)f12(θ,ϕ)f(12)(1'2')(θ,ϕ)
式中，半波振子单元方向图函数为
cos(cosθ)
f0(θ,ϕ)= sinθ
由单元1和2组成的二元阵的阵因子为
βd
f12(θ,ϕ)=2cos(cosθy)=2cos(πsinθsinϕ)
2
'')为正像时的阵因子为 由(1,2)与(1,2
π
f(12)(1'2')(θ,ϕ)=2cos(βHcosθ)=2cos(πcosθ)
■xz平面(ϕ=0)内的总场方向图函数为
cos(cosθ)
4cos(πcosθ) fxz(θ)=fT(θ,ϕ)|ϕ=0=
sinθ
其方向图为
π
■yz平面(ϕ=π/2)内的总场方向图函数为
cos(sinθ)
fyz(θ)=⋅4cos(πsinθ)cos(πcosθ) cosθ
π
其方向图为
■xy平面(θ=π/2)内的总场方向图函数为
fxy(ϕ)=4cos(πsinϕ)
其方向图为
(1-11) 一半波对称振子水平架设在理想导电平面上，架设高度为H=λ/2。试确定最大指向，并画出H面方向图。 解：采用镜像法分析近地水平对称振子的远区辐射场问题的方法是：考虑镜像之后，去掉地面，问题就化为平行排列的等幅反相二元阵问题。
总场方向图函数为
fT(θ)=f0θ(f))0≤θ≤π aθ( ，
cos(cosθ)
式中，单元方向图函数为f0(θ)= sinθ
二元阵阵因子为 fa(θ,ϕ)=2sβinH(
s (1.134) θxco
π
θx为阵轴与射线间的夹角，cosθx=sinθcosϕ。 H面方向图(θ=π/2)
在H面内，f0(π/2)=1
fa(ϕ)=2sin(βHcosϕ)
因∆=π/2-ϕ，fa(ϕ)=2sin(βHsin∆)
则H面总场方向图函数为：fT(∆)=2sin(βHsin∆) 令：|sin(βHsin∆)|=1，则βHsin∆=±π/2→sin∆=±1/2 得最大指向为：∆=30o,150o
由此可画出不同高度时的近地水平半波振子的H面(xy平面)方向图如下图所示。
(a) 近地水平对称振子 (b) 不同高度的近地水平对称振子H面方向图
近地垂直对称振子及H面方向图
(1-12) 由长为l=λ/4的单极天线组成的八元天线阵如图7所示，各单元垂直于地面，排成2行4列的阵列，列间距为λ/2，行间距为λ/4。每个单元天线为等幅馈电，而相位配置由图中标出。试利用方向图相乘原理，绘出H面方向图。
解：采用镜像法之后，去掉地面，八元阵可看作是由对称振子组成的。其总场方向图函数为
fT(θ,ϕ)=f0(θ)fay1(θ,ϕ)fay2(θ,ϕ)fax(θ,ϕ)
式中，半波振子单元方向图函数为
cos(πcosθ/2)
f0(θ)=
sinθ
间距为d=λ/2的二元阵阵因子为
βdπ
fay1(θ,ϕ)=2cos(cosθy)=2cos(sinθsinϕ)
22
间距为d=λ的二元阵阵因子为
βd
fay2(θ,ϕ)=2cos(cosθy)=2cos(πsinθsinϕ)
2
间距为d=λ/4，相位为α=π/2的二元阵阵因子为
βdαπ
fax(θ,ϕ)=2cos(cosθx-)=2cos[(sinθcosϕ-1)]
224
■在H面(xy平面，θ=π/2)内的方向图函数为
ππ
fH(ϕ)=fT(θ,ϕ)|θ=π/2=2cos(sinϕ)⋅2cos(πsinϕ)⋅2cos[(cosϕ-1)]
24
单元方向图为一个圆，fa1(ϕ)的图形为“8”字形，fa2(ϕ)的图形为两个正交的
“8”字形成的花瓣图形。根据方向图相乘原理可画出总场的H面方向图。
天线原理与设计习题集
第一章 天线的方向图
ˆ(1-1) 如图1为一元天线，电流矩为Idz，其矢量磁位表示为A=z
μ0Idz-jβr
，e
4πr
试导出元天线的远区辐射电磁场Eθ,Hϕ。(电磁场与电磁波P163)
图1-1 (a) 元天线及坐标系 (b) 元天线及场分量取向
解：利用球坐标中矢量各分量与直角坐标系中矢量各分量的关系矩阵
θcϕos⎡Ar⎤⎡sin
⎢⎥scϕos ⎢Aθ⎥=⎢coθ⎢⎢ϕ⎣-sin⎣Aϕ⎥⎦⎢
因Ax=Ay=0，可得
⎧Ar=Azcosθ⎪
⎨Aθ=-Azsinθ ⎪A=0⎩ϕ
θsinϕsinθ⎤cAxs⎤⎡o
⎥nθcosϕs-inθ⎥⎢Asi y
⎥⎢⎥
cϕos0⎥⎦⎢⎣Az⎥⎦
⎧E=-jωA
⎪
由远场公式 ⎨ 1
ˆ⨯EH=r⎪η0⎩可得 Eθ=jη0
Idz
siθne-jβr (V/m) 2λrIdz
Hϕ=jsinθe-jβr (A/m)
2λr
Er=Eϕ=Hr=Hθ=0
(1-2) 已知球面波函数ψ=e-jβr/r，试证其满足波动方程：∇2ψ+β2ψ=0
1∂2∂ψ1∂β2-jβr-jβr
)=-2[(1+jβr)e]=-e=-β2ψ 证明：∇ψ=2(r
r∂r∂rr∂rr
2
则 ∇2ψ+β2ψ=0
(1-3) 如图2所示为两副长度为2 =λ的对称线天线，其上的电流分别为均匀分布和三角形分布，试采用元天线辐射场的叠加原理，导出两天线的远区辐射场
Eθ,Hϕ，方向图函数f(θ,ϕ)和归一化方向图函数F(θ,ϕ)，并分别画出它们在yoz平面和xoy平面内的方向图的示意图。
解：(1) 天线上电流为均匀分布时
I(z)=0I,-l≤z≤ l
将对称振子分为长度为dz的许多小段，每个小段可看作是一个元天线，如下图所示。
距坐标原点z处的元天线的辐射电场为
I(z)dzIdz
dEθ=jηsinθe-jβR=jη0sinθe-jβR
2λR2λR
作远场近似，对相位 R r-zcosθ，对幅度 1/R 1/r，且 e-jβR=e-jβrejβzcosθ，得
e-jβr
dEθ=jηsinθI0ejβzcosθdz
2λr
则远区总场为这些元天线的辐射场在空间某点的叠加，用积分表示为
le-jβrI0e-jβrejβlcosθ-e-jβlcosθjβzcosθ
Eθ=⎰dEθ=jηsinθ⎰I0edz=jηsinθ
-l-l2λr2λrjβcosθ
l
60I0-jβrsin(βlcosθ)60I0-jβr
esinθ=jef(θ) rcosθr
sin(βlcosθ)sin(πcosθ)
|l=λ/2=sinθ式中方向图函数为： f(θ)=sinθ
cosθcosθ
均匀电流分布的对称振子，其最大辐射方向在侧向。方向图函数的最大值为
=j
fmax=limf(θ)=βl|l=λ=π /2
θ→π/2
则归一化方向图函数为 F(θ)=
f(θ)sin(βlcosθ)sin(πcosθ)
=sinθ|l=λ/2=sinθ
fmaxβlcosθπcosθ
其E面方向图函数由上式表示，方向图为∞字形；H面方向图函数为
FH=F(θ)|θ=π/2=1，方向图为一个圆。
均匀电流分布的对称振子归一化方向图，l=λ/2
(2) 天线上电流为三角形分布时
|z|
I(z)=I0(1-),-l≤z≤l
l
距坐标原点z处的元天线的辐射电场为
I(z)dz
dEθ=jηsinθe-jβR
2λR
同样作远场近似后并带入三角形电流分布得
e-jβre-jβr|z|jβzcosθ
dEθ=jηsinθI(z)edz=jηsinθI0(1-)ejβzcosθdz
2λr2λrl
则远区总场为
le-jβr|z|
Eθ=⎰dEθ=jηsinθI0⎰(1-)ejβzcosθdz
-l-l2λrl
l
I0e-jβr
siθn =jη
2λr
=j
lzjβzcoθs
[+(e)dz+⎰-ll⎰00zβzjθcos
-1e)dz l
]
60I0-jβr
ef(θ) r
式中， f(θ)=sinθ
1-cos(βlcosθ)1-cos(πcosθ)
|=sinθl=λ/222
βlcosθπcosθ
方向图函数的最大值为
fmax=limf(θ)=
θ→π/2
π
2
则归一化方向图函数为 F(θ)=
f(θ)1-coπs(cθos)
=2sθifmaxπ2coθs
其E面方向图函数由上式表示，方向图为∞字形；H面方向图函数为
FH=F(θ)|θ=π/2=1，方向图为一个圆。
(1-4) 有一对称振子长度为2l，其上电流分布为：I(z)=Imsinβ(l-|z|)试导出：
(1) 远区辐射场Eθ,Hϕ; (2) 方向图函数f(θ,ϕ)；
(3) 半波天线(2l=λ/2)的归一化方向图函数F(θ,ϕ)，并分别画出其E面和H面内的方向图。
(4) 若对称振子沿y轴放置，导出其远区场E,H表达式和E面、H面方向图函数。
解：(1) 由 I(z)=Imsin[β(l-|z|),-l≤z≤l
I(z)dz
sinθe-jβR 2λR
作远场近似 对相位 R r-zcosθ
及 dEθ=jη0
对幅度 R r
且 e-jβR=e-jβrejβzcosθ
le-jβr
Eθ=⎰dEθ=jη0sinθ⎰I(z)ejβzcosθdz
-l-l2λr
l
e-jβr=jη0sinθIm
2λr
e-jβr
sinθIm =jη0
2λr
{⎰
-l
sin[β(l+z)]ejβzcosθdz+⎰sin[β(l-z)]ejβzcosθdz
l
}
⎰2
l
siβnl-[z()]βczos(θd c z os)
60Im-jβrcoβsl(θco-s)βlcos(60I)m-jβr
e=jef(θ) rsinθr
cos(βlcosθ)-cos(βl)
(2) 方向图函数：f(θ)=
sinθ
=j
ππcos(cosθ)cos(cosθ)(3) 对半波天线：2l=λ/2，f(θ)= ，fmax=1，F(θ)=
sinθsinθ
E面方向图 H面方向图
沿z轴放置的对称振子天线方向图
(4) 对称振子沿y轴放置，其远区场表达式不变
f(θ,ϕ)=
cos(βlcosθy)-cos(βl)
sinθy
ˆ⋅yˆ=
sinθsinϕ 式中，θy为天线轴与射线r的夹角，且cosθy=r
E面方向图 H面方向图
沿y轴放置的对称振子天线方向图
(1-5) 有一长度为 =λ/2的直导线，其上电流分布为I(z)=I0e-jβz，试求该天线
的方向图函数F(θ,ϕ)，并画出其极坐标图。
图1-12 单行波天线
解：距坐标原点z处的元天线的辐射电场为
I(z)dz
sinθe-jβR 2λR
作远场近似后并带入行波电流分布得
dEθ=jη
e-jβre-jβrjβzcosθ
dEθ=jηsinθI(z)edz=jηsinθI0ejβz(cosθ-1)dz
2λr2λr
远区总场为
le-jβrjβ
Isiθne Eθ=jη0⎰0
2λr
(cθo-sz1)
j(cθ-osl1)
e-jβreβ-1d=zjη I0siθn
2λrjβ(cθos-1)
βl
j(cosθ-1)sin[βl(cosθ-1)/2]e-jβr
=jηI0sinθe2
λrβ(cosθ-1)
取模值 |Eθ|=
η0I0sin[βl(cosθ-1)/2]|sinθ| λβrcosθ-1
=
60I0sin[βl(1-cosθ)/2]60I0
=f(θ) sinθ
rr1-cosθ
sinθθβl
sin[βl(1-cosθ)/2]=tan()sin[(1-cosθ)]
1-cosθ22
得方向图函数为
f(θ)=
其E面方向图函数由上式表示。长度为 =λ/2,λ,2λ时的方向图如下所示。
(1-6) 利用方向性系数的计算公式: D=
计算：(1) 元天线的方向性系数；
(2) 归一化方向图函数为
4π
⎰⎰
2ππ
F(θ,ϕ)sinθdθdϕ
2
⎧cscθ,θ0≤θ≤π/2,0≤ϕ≤ϕ0
的天线方向性系数。 F(θ,ϕ)=⎨
,其它⎩0
⎧cosnθ,0≤θ≤π/2,0≤ϕ≤2π
(3) 归一化方向图函数为：F(θ,ϕ)=⎨
,其它⎩0
n=1和2时的天线方向性系数。
解：
(1) 元天线 F(θ)=sinθ, 则D=1.5， D=10lgD=1.76dB (2)D=
4π
⎰⎰
20
F2(θ,ϕ)sinθdθdϕ
=
4π
⎰⎰θ
ϕ0
π/2
csc2θ⋅sinθdθdϕ
=
4π
sinθ0
φ0ln
1-cosθ0
或 D=
4π4π
， 或 D=
1+coθs1+cosθφ0lnφ0ln
1-cosθ0sinθ0
(3) D=
4π
⎰⎰
2π
20
=
4π
2π⎰
/2
cos2nθ⋅sinθdθdϕ
2
cosθ⋅dcosθ
2n
=
1
[cosθ]2n+102
2n+1
=2(2n+1)
所以，n=1，D=6
n=2，D=10
(1-7) 如图3所示为二元半波振子阵，两单元的馈电电流关系为I1=I2ejπ/2，要求导出二元阵的方向图函数fT(θ,ϕ)，并画出E面(yz平面)和H面(xy平面)方向图。
图3 半波振子二元阵，d=λ/4
解：此时图3所示二元阵的阵因子方向图为心脏形，I2相位滞后于I1，最大值方向为正y轴方向。
二元阵的总场方向图函数为 fT(θ, )ϕ)=f0θ(fa)θϕ(,
cocθos)
式中，单元方向图函数为 f0(θ)= sinθ
βdα
ϕ)=2cθc-o， )二元阵的阵因子为 fa(θ,y
22
π
ˆ⋅yˆ=sinθsinϕ，α=π/2 cosθy=r
(1) E面(yz面，ϕ=π/2)方向图
cocθos)
单元方向图函数为 f0(θ)= sinθ
π
(s-in 1)]阵因子为 fa(θ)=2c[θ4
由方向图相乘原理可绘出其E面方向图如下图所示。
π
d=λ/4,α=π/2时的等幅激励半波振子二元阵E面方向图
(2) H面(xy面，θ=π/2)方向图
单元方向图函数为 f0(ϕ)=1
π
(s-in 1)]阵因子为 fa(ϕ)=2c[ϕ4
由方向图相乘原理可绘出其H面方向图如下图所示。
d=λ/4,α=π/2时的等幅激励半波振子二元阵H面方向图
(1-8) 有三付对称半波振子平行排列在一直线上,相邻振子间距为d，如图4所示。 (1) 若各振子上的电流幅度相等，相位分别为-β,0,β时，求xz面、yz面和H面方向图函数。
(2) 若d=λ/4，各振子电流幅度关系为1:2:1，相位关系为π/2,0,-π/2时，
试画出三元阵的E面和H面方向图。
图4 半波振子三元阵
解：(1). 三个对称半波振子天线电流相等，相位分别为-β,0,β，构成均匀直线阵。此时，I1
=I2e-jβ，I3=I2ejβ
60I-jβrn
ef0(θ)， n=1, 2, 3 rn
π
En=j
cos(cosθ)
f0(θ)=
sinθ
60I2-jβr
ef0(θ,ϕ)[e-jβ(r1-r)e-jβ+1+e-jβ(r3-r)ejβ] 总场为 ET=E1+E2+E3=jr
ˆ ρ1=-dsinθsinϕ 式中波程差为：r-r1=r
ˆ ρ3=dsinθsinϕ r-r3=r
ET=j
60I2-jβref0(θ,ϕ)fa(θ,ϕ) r
fa(θ,ϕ)=e-jβ(dsinθsinϕ+1)+1+ejβ(dsinθsinϕ+1)=1+2cos[β(dsinθsinϕ+1)]
■ xz面内(ϕ=0)的方向图函数为
F(θ)=f0(θ,ϕ)fa(θ,ϕ)|ϕ=0=
■ yz面内(ϕ=π/2)的方向图函数为
cos(πcosθ/2)
[1+2cosβ]
sinθ
F(θ)=f0(θ,ϕ)fa(θ,ϕ)|ϕ=π/2=
cos(πcosθ/2)
{1+2cos[β(dsinθ+1)]}
sinθ
■ H面(xy面，θ=π/2)方向图函数为
FH(ϕ)=f0(θ,ϕ)fa(θ,ϕ)|θ=π/2=1+2cos[β(dsinϕ+1)]
(2) 已知I1=I0ejπ/2，I1=2I0，I3=I0e-jπ/2，d=λ/4。可得总场为 ET=E1+E2+E3=j
60I0-jβr
ef0(θ,ϕ)[e-jβ(r1-r)ejπ/2+2+e-jβ(r3-r)e-jπ/2] r
=j
60I0-jβr
ef0(θ,ϕ)fa(θ,ϕ) r
-j(βdsinθsinϕ-π/2)
式中，fa(θ,ϕ)=e
+2+ej(βdsinθsinϕ-π/2) +e
1
j(βdsinθsinϕ-π/2)
22
=[e
1
-j(βdsinθsinϕ-π/2)2
]
=4cos2[(sinθsinϕ-1)]
4
π
cos(cosθ)π⋅4cos2[(sinθ-1)] ϕ=π/2)方向图函数为 fE(θ)=■E面(yz平面，
sinθ4■H面(xy平面，θ=π/2)方向图函数为 fH(ϕ)=4cos2[(sinϕ-1)]
4
(1-9) 由四个元天线组成的方阵，其排列如图5所示。每个单元到阵中心的距离为3λ/8，各单元的馈电幅度相等，单元1和2同相，单元3和4同相但与1和2反相。试导出该四元阵的方向图函数及阵因子，并草绘该阵列xy平面内的方向图。
π
π
解：已知单元到阵中心的距离为d=3λ/8，I1=I2=-I3=-I4=I0。这个四元阵可看作是x轴上的二元阵和y轴上的二元阵构成。 x轴上的二元阵阵因子为
fx(θ,ϕ)=2coβds(y轴上的二元阵阵因子为 fy(θ,ϕ)=2coβds(
，θxcos cosθx=sinθcosϕ
，θcs cosθy=sinθsinϕ yo
元天线的方向图函数为 f0(θ)=sinθ 则四元阵总场方向图函数为
fT(θ,ϕ)=fθ)fx[θ(ϕ-,)fy0(
,)]θ(ϕ
cθos(ϕ si
n[cβods(θsiϕn-cosβd) =2siθ
在xz平面内(H面，θ=π/2)的方向图函数为
fH(ϕ)=2[cos(βdcosϕ)-cos(βdsinϕ)]
取d=3λ/8,3λ/4绘出的方向图如下图所示。
(1-10) 设地面为无限大理想导电平面。图6所示为由等幅同相馈电的半波振子组成的水平和垂直二元阵，要求
(1) 对图(a)求其xz面和yz面方向图函数，并画出xz面方向图； (2) 对图(b)求其xz面和yz面和xy面方向图函数，并画出这三个平面内的方向图。
解：采用镜像法，则近地水平和垂直二元阵的镜像如下图所示
(c) 近地水平二元阵及其镜像 (d) 近地垂直二元阵及其镜像
图中，H=λ/2，d=λ。
(a) 近地水平二元阵
采用扩展的方向图相乘原理可得总场方向图函数为
fT(θ,ϕ)=f0(θ,ϕ)f12(θ,ϕ)f(12)(1'2')(θ,ϕ)
式中，半波振子单元方向图函数为
cos(cosθy)
f0(θ,ϕ)= ，cosθy=
sinθsinϕ，sinθy=sinθy由单元1和2(或1′和2′)组成的二元阵的阵因子为
βd
f12(θ,ϕ)=2cos(cosθy)=2cos(πsinθsinϕ)
2
'')为负像时的组间阵因子为 由(1,2)与(1,2
π
f(12)(1'2')(θ,ϕ)=2sin(βHcosθ)=2sin(πcosθ)
■yz平面(ϕ=π/2)内的总场方向图函数为
cos(sinθ)
fyz(θ)=⋅2cos(πsinθ)⋅
2sin(πsinθ) cosθ
π
■xz平面(ϕ=0)内的总场方向图函数为
fxz(θ)=fT(θ,ϕ)|ϕ=0=4sin(πcosθ)
其方向图为
(a) 近地垂直二元阵
总场方向图函数为
fT(θ,ϕ)=f0(θ,ϕ)f12(θ,ϕ)f(12)(1'2')(θ,ϕ)
式中，半波振子单元方向图函数为
cos(cosθ)
f0(θ,ϕ)= sinθ
由单元1和2组成的二元阵的阵因子为
βd
f12(θ,ϕ)=2cos(cosθy)=2cos(πsinθsinϕ)
2
'')为正像时的阵因子为 由(1,2)与(1,2
π
f(12)(1'2')(θ,ϕ)=2cos(βHcosθ)=2cos(πcosθ)
■xz平面(ϕ=0)内的总场方向图函数为
cos(cosθ)
4cos(πcosθ) fxz(θ)=fT(θ,ϕ)|ϕ=0=
sinθ
其方向图为
π
■yz平面(ϕ=π/2)内的总场方向图函数为
cos(sinθ)
fyz(θ)=⋅4cos(πsinθ)cos(πcosθ) cosθ
π
其方向图为
■xy平面(θ=π/2)内的总场方向图函数为
fxy(ϕ)=4cos(πsinϕ)
其方向图为
(1-11) 一半波对称振子水平架设在理想导电平面上，架设高度为H=λ/2。试确定最大指向，并画出H面方向图。 解：采用镜像法分析近地水平对称振子的远区辐射场问题的方法是：考虑镜像之后，去掉地面，问题就化为平行排列的等幅反相二元阵问题。
总场方向图函数为
fT(θ)=f0θ(f))0≤θ≤π aθ( ，
cos(cosθ)
式中，单元方向图函数为f0(θ)= sinθ
二元阵阵因子为 fa(θ,ϕ)=2sβinH(
s (1.134) θxco
π
θx为阵轴与射线间的夹角，cosθx=sinθcosϕ。 H面方向图(θ=π/2)
在H面内，f0(π/2)=1
fa(ϕ)=2sin(βHcosϕ)
因∆=π/2-ϕ，fa(ϕ)=2sin(βHsin∆)
则H面总场方向图函数为：fT(∆)=2sin(βHsin∆) 令：|sin(βHsin∆)|=1，则βHsin∆=±π/2→sin∆=±1/2 得最大指向为：∆=30o,150o
由此可画出不同高度时的近地水平半波振子的H面(xy平面)方向图如下图所示。
(a) 近地水平对称振子 (b) 不同高度的近地水平对称振子H面方向图
近地垂直对称振子及H面方向图
(1-12) 由长为l=λ/4的单极天线组成的八元天线阵如图7所示，各单元垂直于地面，排成2行4列的阵列，列间距为λ/2，行间距为λ/4。每个单元天线为等幅馈电，而相位配置由图中标出。试利用方向图相乘原理，绘出H面方向图。
解：采用镜像法之后，去掉地面，八元阵可看作是由对称振子组成的。其总场方向图函数为
fT(θ,ϕ)=f0(θ)fay1(θ,ϕ)fay2(θ,ϕ)fax(θ,ϕ)
式中，半波振子单元方向图函数为
cos(πcosθ/2)
f0(θ)=
sinθ
间距为d=λ/2的二元阵阵因子为
βdπ
fay1(θ,ϕ)=2cos(cosθy)=2cos(sinθsinϕ)
22
间距为d=λ的二元阵阵因子为
βd
fay2(θ,ϕ)=2cos(cosθy)=2cos(πsinθsinϕ)
2
间距为d=λ/4，相位为α=π/2的二元阵阵因子为
βdαπ
fax(θ,ϕ)=2cos(cosθx-)=2cos[(sinθcosϕ-1)]
224
■在H面(xy平面，θ=π/2)内的方向图函数为
ππ
fH(ϕ)=fT(θ,ϕ)|θ=π/2=2cos(sinϕ)⋅2cos(πsinϕ)⋅2cos[(cosϕ-1)]
24
单元方向图为一个圆，fa1(ϕ)的图形为“8”字形，fa2(ϕ)的图形为两个正交的
“8”字形成的花瓣图形。根据方向图相乘原理可画出总场的H面方向图。