二 次 函 数
知识要点：
1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质；2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值域、最值 自学评价：
1. 当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；
顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；
b 时，y 随着x 的增大而 2a
b 当x ＞-时，y 随着x 的增大而 2a
b 当x ＝-时，函数取最小值y ＝ ． 2a 当x ＜-
2. 当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；
顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；
b b 时，y 随着x 的增大而 当x ＞-时，y 随着x 的增大而 2a 2a
b 当x ＝-时，函数取最大值y ＝． 2a 当x ＜-
3. 二次函数的三种表示方式：
一般式
顶点式 ___________
（交点式）零点式
问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？
问题2 函数y ＝a (x ＋h ) 2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？
练习：作出以下二次函数的草图：
（1）y =x 2-x -6 (2)y =x 2+2x +1 (3) y =-x 2+1
精选题型：
例1 . 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1）；
（2）已知二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，且顶点到x 轴的距离等于2；
（3）已知二次函数的图象过点(－1，－22) ，(0，－8) ，(2，8) ．
例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值。
例2 . （1）画出二次函数y ＝－3x 2－6x ＋9的图象，指出开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？
（2）若1≤x ≤2，求出函数的值域（即变量y 的范围）？
（3）若-3≤x ≤2呢？
例3、 当-2≤x ≤2时，求函数y =x 2-2ax +1-2a 的最小值；
变题：最大值呢？
变题：最小值是-6时，求a 的值.
例4 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值。
巩固练习：
1．抛物线y =x -(m -4) x +2m -3，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上； 当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．
2．用一长度为4米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．
2（3）若不等式(a -2)x +2(a -2)x -4
3．求下列二次函数的最值：
(1) y =2x -4x +5；
22 (2) y =(1-x )(x +2) ．
（3）y =2x 2-3x +5 （-2≤x ≤2 ） （4）y =2x 2+4x -3 （x ≤0）
4. 若二次函数y =mx 2+x +m (m -2) 的图象经过原点，则m
25. 如果抛物线y=x－6x+c－2的顶点到x 轴的距离是3, 则c=
6. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，
则下列结论中正确的是
A ．a>0 b0 B．a0
C ．a0 c0 c>0
4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值
（2）. x ≤2；（1）. x ≤-2；或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：
（3）. -2≤x ≤1；（4）. 0≤x ≤3。
（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0) 和(2，0) ，则该二次函数的解析式可设为y ＝a (a ≠0) 。
（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为。
（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0) 和(12，0) ，并与y 轴交于(0，－2) 。
2例3、如果函数f (x ) =x +bx +c 对任意实数都有f (2+t ) =f (2-t ) ，那么（ ）
A 、f (2)
C 、f (2)
B 、f (1)
例4、若x ≥0, y ≥0，且x +2y =1，那么z =2x +3y 2的最小值为（ ）
A 、2
22例5、设m ∈R , x 1, x 2是方程x -2mx +1-m =0的两个实数根，则x 1的最小+x 222B 、3 4C 、2 3D 、0
值是 。
例6、y =4x +2x +1(x ≥0) 的最小值是 。
例7、函数y =
例8、已知二次函数f (x ) 满足条件f (0) =1和f (x +1) -f (x ) =2x
（1）求f (x ) （2）f (x ) 在区间[－1，1]上的最大值和最小值。
5、已知函数f (x ) =x 2-6x +8, x ∈[1, a ]，并且函数f(x)的最小值为f(a)，则实数a 的取值范围是 。
6、已知二次函数f(x)满足f (2) =-1, f (-1) =-1，且f (x ) 的最大值是8，则
7、已知关于x 的函数f (x ) =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且ab ≠0），若x +-x 的最大值是 ，最小值是 。 f (x ) 1=f (x 2)(x 1≠x 2) ，则f (x 1+x 2) 的值等于
25. 当t ≤x ≤t +1时，求函数y =x -4x -4的最小值
26. 已知函数y =x -2tx +1，若-1≤x ≤1，求y 的最大、最小值
7设f （x ）=x 2－2ax +2.当x ∈［－1，+∞）时，f （x ）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围.
（选）7. 二次函数y =125x -x +6的图象与x 轴从左到右两个交点依次为A 、B ，与y 42
轴交于点C ，
（1）求A 、B 、C 三点的坐标；
（2）如果P(x，y) 是抛物线上AC 之间的动点，O 为坐标原点，试求△POA 的面积S 与x 之
间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）是否存在这样的点P ，使得PO=PA，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
二 次 函 数
知识要点：
1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质；2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值域、最值 自学评价：
1. 当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；
顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；
b 时，y 随着x 的增大而 2a
b 当x ＞-时，y 随着x 的增大而 2a
b 当x ＝-时，函数取最小值y ＝ ． 2a 当x ＜-
2. 当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；
顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；
b b 时，y 随着x 的增大而 当x ＞-时，y 随着x 的增大而 2a 2a
b 当x ＝-时，函数取最大值y ＝． 2a 当x ＜-
3. 二次函数的三种表示方式：
一般式
顶点式 ___________
（交点式）零点式
问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？
问题2 函数y ＝a (x ＋h ) 2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？
练习：作出以下二次函数的草图：
（1）y =x 2-x -6 (2)y =x 2+2x +1 (3) y =-x 2+1
精选题型：
例1 . 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1）；
（2）已知二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，且顶点到x 轴的距离等于2；
（3）已知二次函数的图象过点(－1，－22) ，(0，－8) ，(2，8) ．
例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值。
例2 . （1）画出二次函数y ＝－3x 2－6x ＋9的图象，指出开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？
（2）若1≤x ≤2，求出函数的值域（即变量y 的范围）？
（3）若-3≤x ≤2呢？
例3、 当-2≤x ≤2时，求函数y =x 2-2ax +1-2a 的最小值；
变题：最大值呢？
变题：最小值是-6时，求a 的值.
例4 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值。
巩固练习：
1．抛物线y =x -(m -4) x +2m -3，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上； 当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．
2．用一长度为4米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．
2（3）若不等式(a -2)x +2(a -2)x -4
3．求下列二次函数的最值：
(1) y =2x -4x +5；
22 (2) y =(1-x )(x +2) ．
（3）y =2x 2-3x +5 （-2≤x ≤2 ） （4）y =2x 2+4x -3 （x ≤0）
4. 若二次函数y =mx 2+x +m (m -2) 的图象经过原点，则m
25. 如果抛物线y=x－6x+c－2的顶点到x 轴的距离是3, 则c=
6. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，
则下列结论中正确的是
A ．a>0 b0 B．a0
C ．a0 c0 c>0
4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值
（2）. x ≤2；（1）. x ≤-2；或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：
（3）. -2≤x ≤1；（4）. 0≤x ≤3。
（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0) 和(2，0) ，则该二次函数的解析式可设为y ＝a (a ≠0) 。
（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为。
（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0) 和(12，0) ，并与y 轴交于(0，－2) 。
2例3、如果函数f (x ) =x +bx +c 对任意实数都有f (2+t ) =f (2-t ) ，那么（ ）
A 、f (2)
C 、f (2)
B 、f (1)
例4、若x ≥0, y ≥0，且x +2y =1，那么z =2x +3y 2的最小值为（ ）
A 、2
22例5、设m ∈R , x 1, x 2是方程x -2mx +1-m =0的两个实数根，则x 1的最小+x 222B 、3 4C 、2 3D 、0
值是 。
例6、y =4x +2x +1(x ≥0) 的最小值是 。
例7、函数y =
例8、已知二次函数f (x ) 满足条件f (0) =1和f (x +1) -f (x ) =2x
（1）求f (x ) （2）f (x ) 在区间[－1，1]上的最大值和最小值。
5、已知函数f (x ) =x 2-6x +8, x ∈[1, a ]，并且函数f(x)的最小值为f(a)，则实数a 的取值范围是 。
6、已知二次函数f(x)满足f (2) =-1, f (-1) =-1，且f (x ) 的最大值是8，则
7、已知关于x 的函数f (x ) =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且ab ≠0），若x +-x 的最大值是 ，最小值是 。 f (x ) 1=f (x 2)(x 1≠x 2) ，则f (x 1+x 2) 的值等于
25. 当t ≤x ≤t +1时，求函数y =x -4x -4的最小值
26. 已知函数y =x -2tx +1，若-1≤x ≤1，求y 的最大、最小值
7设f （x ）=x 2－2ax +2.当x ∈［－1，+∞）时，f （x ）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围.
（选）7. 二次函数y =125x -x +6的图象与x 轴从左到右两个交点依次为A 、B ，与y 42
轴交于点C ，
（1）求A 、B 、C 三点的坐标；
（2）如果P(x，y) 是抛物线上AC 之间的动点，O 为坐标原点，试求△POA 的面积S 与x 之
间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）是否存在这样的点P ，使得PO=PA，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.