哈尔滨师范大学
学 年 论 文
题 目 矩阵的若尔当标准型及简单应用 学 生 李小琴 指导老师 穆强 年 级 2005级 专 业 数学与应用数学 系 别 数学系
学 院 数学与计算机科学学院
哈尔滨师范大学
07年6月
矩阵的及若尔当标准型及简单应用
李小琴
摘 要：复数域上的每一n 阶矩阵都与若尔当标准形式相似，本文论证了矩阵的若尔当标准型及简单应用.
关键词：若尔当 线性变换 矩阵 标准
⎛λ 1
定义1 设λ是一个复数，矩阵 0
... ⎝0
00
... ... ... ... 0
000... 1
0⎫⎪0⎪
0⎪ （ 1 ） ⎪... ⎪⎪λ⎭
λ1... 0
λ... 0
其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于 λ的一个若尔当（或若尔当块）.
当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵.
定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，λ1, λ2,..., λk 都是σ的一切互不相同的本征值，那么存在V 的一个基，似的σ关于这个基的矩阵有形状 ⎛B 1
0⎝⎛J i 1
这里B i =
0⎝
0⎫⎪⎪
⎪ （ 2 ） ⎪B k ⎪⎭
B 2
J i 2
0⎫
⎪⎪
⎪，而J i 1, J i 2,..., J is i 都是属于λi 的若尔当块，i =1, 2,..., k . ⎪J is i ⎪⎭
r 1rk
证 设σ的最小多项式是P (x ) =(x -λ1) ...(x -λk ) ，而P (x ) 在复数域上是不可约
的因式分解，这里λ1, λ2,..., λk 是互不相同的本征值，r 1, r 2,..., r k 是正整数，又设
V i =ker(σ-λi )
r i
={ξ∈V ｜(σ-λi ) i ξ=0 }，i =1, 2,..., k , 所以空间V 有直和分解
r
V =V 1⊕... ⊕V k .
对于每一i ，令τi 是σ—λi 在V i 上的限制，那么τi 是子空间V i 的一个幂零线性变换，而子空间V i 可以分解为τi 一循环子空间的直和：V i =W i 1⊕... ⊕W is . 在每一循环子空间
i
W ij =(j =1, 2,... s i ) 里，取一个循环基，凑成V i 的一个基，那么τi 关于这个基的矩阵有形状
⎛N i 1 N i =
0⎝
N i 2
0⎫⎪⎪⎪ ⎪N is i ⎪⎭
这里N ij (j -1, 2,..., s i ) 是幂零若尔当块. 令σi =σ|V i ，那么σi =λi +τi ，于是对于V i 加上基来说，σi 的矩阵是 ⎛λi
B i =
0⎝
0⎫⎛N i 1
⎪ ⎪ ⎪+ ⎪
λi ⎪⎭⎝0
i
λi
N i 2
0⎫⎛J i 1
⎪ ⎪ ⎪= ⎪
N is i ⎪⎭⎝0
J i 2
0⎫
⎪⎪⎪ ⎪J is i ⎪⎭
这里J i 1, J i 2,..., J is 都是属于λi 的若尔当块.
对于每一子空间V i ，按以上方式选取一个基，凑起来成为V 的基，那么σ关于这个基的矩阵就是有定理所求的形式（2）.
注意 在矩阵（2）里，主对角上的第i 块B ，是σi =σ|V i 的矩阵. 而子空间V 1,..., V k 显然由σ唯一确定，而出现在每一B i 里的若尔当块J i 1, J i 2,..., J is 里由σi 唯一确定的，因
i
而是由σ唯一确定.
⎛J 1
定义2 形式如
0⎝
0⎫⎪⎪
其中每一J 都是一个若尔当块，叫做⎪的n 阶矩阵，
⎪J m ⎪⎭01000
00100
00010
0⎫⎛2
⎪ 0⎪ 10⎪, 0⎪ 0⎪ 0⎪ 2⎭⎝0
01000
00100
00010
0⎫⎪0⎪0⎪ ⎪0⎪⎪2⎭
J 2
一个若尔当标准形式.
⎛2 1
例如： 0
0 ⎝0
02000
00110
00011
0⎫⎛2⎪ 0⎪ 00⎪, 0⎪ 0⎪ 0⎪ 1⎭⎝0
都是若尔当标准形式.
定理2 复数域上每一n 阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的次序外，与A 相似的若尔当标准形式是由A 唯一确定的.
证 在一个对角线分块矩阵里，重新排列各个小块矩阵的次序显然得到矩阵，在由若尔当块唯一性得到证明.
定理3 （1）设V 为K 上的n 维线性空间，线性变换T ：V →V 的特征多项式分解
为K 上的一次式的积. γT (t ) =(t -a 1) n ...(t -a r ) n λ, μT =(t -a 1) υ...(t -a r ) υ
1
1
r
，
~
a 1,..., a r ∈K ，a i ≠a j (i ≠j ), 1≤υi ≤n i . 这里，V 是弱特征空间V (a i ) 的直和
~~
V =V (a 1) ⊕... ⊕V (a r ) ，
~~~~υ
又V (a i ) ={x ∈V |(T -aI v ) I X =O }，dim V (a i ) =n i , T 在V (a i ) 上的限制T |V (a i ) 的特
征多项式和最小多项式为(t -a i ) , (t -a i ) .
（2）设矩阵A ∈（n ，n ，K ）的特征多项式分解为K 上一次式的积
.det
(tE n -A ) =(t -a 1) 1...(t -a r ) r , μA =(t -a ) 1...(t -a r ) r , a 1,..., a r ∈K
n
n
n i υi
υυ
, ，
a i ≠a j (i ≠j ), 1≤υi ≤n i .
这时，存在正则矩阵P ∈(n , n , K )
P
-1
AP =J (a 1) ⊕... ⊕J (a r )
J (a i ) =J (a i , υi ) ⊕... ⊕J (a i , υi ) ⊕J (a i , υi -1) ⊕... ⊕J (a i , υi -1)
至少1个
0个以上
⊕J (a i , 1) ⊕... ⊕J (a i , 1)
0个以上
方阵J (a i ) 的结束等于n i ，构成J (a i ) 的若尔当的个数等于属于a i 的特征空间多项式的维数
(1≤i ≤r ). 若尔当块矩阵P
-1
A P 称为矩阵A 的若尔当.
注意 P 定.
-1
AP =J (a q ) ⊕... ⊕J (a r ) 中的J (a i ) ，其j 阶若尔当块的个数又A 唯一确
例1 证明对A ，B ∈（n ，n ，C ），存在正则矩阵P ，使P -1A P =B ⇔A 和B 具有相等的若尔当标准型.
证 设A 和B 具有相等的若尔当标准型J ，则存在正则矩阵P 1，P 2，使P 1
P 2
-1
-1
A P 1=J ，
B P 2=J ，令P 1P 2A P =B ，设Q
-1
-1
=P ，则P 正则接P -1A P =B . 反之，设已存在正则矩阵P ，使
-1
P
-1
AQ =J 是若尔当标准型，则(PQ ) A (PQ ) =J ，故A 的若尔当标
准型也是J .
⎛4
例2 求矩阵C = -1
-1⎝
Q 使Q
-1
050
1⎫⎛13⎪
1⎪，D = -31
-226⎪⎭⎝
-205136
35⎫
⎪
-84⎪的若尔当标准型，求实矩阵-60⎪⎭
DQ 成为若尔当矩阵.
解 （1）|tE 3-C |=t 3-15t 2+75t -125=(t -5) 3，rank (C -5E 3) =1, 故特征空间
V （5）的维数是3 – rank (C -5E 3)=2，于是机若尔当块的个数为2，C 的若尔当标准型为
⎛5 ⎝
15
⎫⎪⎪. 5⎪⎭
(2)|tE 3-D |=t 3-4t 2-3t +18=(t -3) 2(t +2). 方程（D +2E 3）x =0的通解为
⎛-u ⎫⎛-1⎫
⎪ ⎪p 1= u ⎪=u 1⎪.
u ⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭
⎛-1⎫
⎪
例如，令u =1，得p 1= 1⎪，dim=V （-2）=1，（D -3E 3）x =0，的通解是
1⎪⎝⎭⎛0⎫⎛0⎫
⎪ ⎪
q 1= 7v ⎪=v 7⎪，所以属于特征值3的特征空间V （3）的维数是1. 故属于特征值3的若
v ⎪ 4⎪⎝⎭⎝⎭
尔当块是1个.
⎛⎫
⎛0⎫ -1⎪ ⎪⎪ 例如，令v =1，得q 1= 7⎪，方程（D -3E 3）x =q 1的通解是 ω
24⎪
1⎪ +ω⎪⎝⎭
⎝77⎭
⎛-1⎫ ⎪
例如，令ω=10，得q 2= 10⎪，D p 1= - 2p 1，D q 2= 3q 1，D q 2=q 1+3q 2. 故若令Q =
6⎪⎝⎭
（p 1 q 1 q 2），则D Q =（D p 1 D q 1 D q 2）=（-2p 1 3q 1 q 1+3q 2）⎛-2
=Q
⎝
⎫⎪1⎪， 3⎪⎭074
1⎫⎛-2
⎪ -1
10⎪，Q AQ =
6⎪⎭⎝
⎫
⎪1⎪. 0⎪⎭
3
⎛-1
所以Q = 0
1⎝
2
参考文献：
[ 1 ] 张禾瑞 、郝炳新：高等代数，高等教育出版社，1999年第四版. [ 2 ] 有马哲 、浅枝阳：线性代数讲解，四川人民出版社，1987年版.
Matrix And Jordan
Summary : Each rank matrixes of plural area with if the Jordan be a standard form likeness,this text argument matrixes of if Jordan be standard type and in brief applied.
Keyword : The Jordan the line transformation matrix standard
学年论文（设计）成绩表
哈尔滨师范大学
学 年 论 文
题 目 矩阵的若尔当标准型及简单应用 学 生 李小琴 指导老师 穆强 年 级 2005级 专 业 数学与应用数学 系 别 数学系
学 院 数学与计算机科学学院
哈尔滨师范大学
07年6月
矩阵的及若尔当标准型及简单应用
李小琴
摘 要：复数域上的每一n 阶矩阵都与若尔当标准形式相似，本文论证了矩阵的若尔当标准型及简单应用.
关键词：若尔当 线性变换 矩阵 标准
⎛λ 1
定义1 设λ是一个复数，矩阵 0
... ⎝0
00
... ... ... ... 0
000... 1
0⎫⎪0⎪
0⎪ （ 1 ） ⎪... ⎪⎪λ⎭
λ1... 0
λ... 0
其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于 λ的一个若尔当（或若尔当块）.
当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵.
定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，λ1, λ2,..., λk 都是σ的一切互不相同的本征值，那么存在V 的一个基，似的σ关于这个基的矩阵有形状 ⎛B 1
0⎝⎛J i 1
这里B i =
0⎝
0⎫⎪⎪
⎪ （ 2 ） ⎪B k ⎪⎭
B 2
J i 2
0⎫
⎪⎪
⎪，而J i 1, J i 2,..., J is i 都是属于λi 的若尔当块，i =1, 2,..., k . ⎪J is i ⎪⎭
r 1rk
证 设σ的最小多项式是P (x ) =(x -λ1) ...(x -λk ) ，而P (x ) 在复数域上是不可约
的因式分解，这里λ1, λ2,..., λk 是互不相同的本征值，r 1, r 2,..., r k 是正整数，又设
V i =ker(σ-λi )
r i
={ξ∈V ｜(σ-λi ) i ξ=0 }，i =1, 2,..., k , 所以空间V 有直和分解
r
V =V 1⊕... ⊕V k .
对于每一i ，令τi 是σ—λi 在V i 上的限制，那么τi 是子空间V i 的一个幂零线性变换，而子空间V i 可以分解为τi 一循环子空间的直和：V i =W i 1⊕... ⊕W is . 在每一循环子空间
i
W ij =(j =1, 2,... s i ) 里，取一个循环基，凑成V i 的一个基，那么τi 关于这个基的矩阵有形状
⎛N i 1 N i =
0⎝
N i 2
0⎫⎪⎪⎪ ⎪N is i ⎪⎭
这里N ij (j -1, 2,..., s i ) 是幂零若尔当块. 令σi =σ|V i ，那么σi =λi +τi ，于是对于V i 加上基来说，σi 的矩阵是 ⎛λi
B i =
0⎝
0⎫⎛N i 1
⎪ ⎪ ⎪+ ⎪
λi ⎪⎭⎝0
i
λi
N i 2
0⎫⎛J i 1
⎪ ⎪ ⎪= ⎪
N is i ⎪⎭⎝0
J i 2
0⎫
⎪⎪⎪ ⎪J is i ⎪⎭
这里J i 1, J i 2,..., J is 都是属于λi 的若尔当块.
对于每一子空间V i ，按以上方式选取一个基，凑起来成为V 的基，那么σ关于这个基的矩阵就是有定理所求的形式（2）.
注意 在矩阵（2）里，主对角上的第i 块B ，是σi =σ|V i 的矩阵. 而子空间V 1,..., V k 显然由σ唯一确定，而出现在每一B i 里的若尔当块J i 1, J i 2,..., J is 里由σi 唯一确定的，因
i
而是由σ唯一确定.
⎛J 1
定义2 形式如
0⎝
0⎫⎪⎪
其中每一J 都是一个若尔当块，叫做⎪的n 阶矩阵，
⎪J m ⎪⎭01000
00100
00010
0⎫⎛2
⎪ 0⎪ 10⎪, 0⎪ 0⎪ 0⎪ 2⎭⎝0
01000
00100
00010
0⎫⎪0⎪0⎪ ⎪0⎪⎪2⎭
J 2
一个若尔当标准形式.
⎛2 1
例如： 0
0 ⎝0
02000
00110
00011
0⎫⎛2⎪ 0⎪ 00⎪, 0⎪ 0⎪ 0⎪ 1⎭⎝0
都是若尔当标准形式.
定理2 复数域上每一n 阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的次序外，与A 相似的若尔当标准形式是由A 唯一确定的.
证 在一个对角线分块矩阵里，重新排列各个小块矩阵的次序显然得到矩阵，在由若尔当块唯一性得到证明.
定理3 （1）设V 为K 上的n 维线性空间，线性变换T ：V →V 的特征多项式分解
为K 上的一次式的积. γT (t ) =(t -a 1) n ...(t -a r ) n λ, μT =(t -a 1) υ...(t -a r ) υ
1
1
r
，
~
a 1,..., a r ∈K ，a i ≠a j (i ≠j ), 1≤υi ≤n i . 这里，V 是弱特征空间V (a i ) 的直和
~~
V =V (a 1) ⊕... ⊕V (a r ) ，
~~~~υ
又V (a i ) ={x ∈V |(T -aI v ) I X =O }，dim V (a i ) =n i , T 在V (a i ) 上的限制T |V (a i ) 的特
征多项式和最小多项式为(t -a i ) , (t -a i ) .
（2）设矩阵A ∈（n ，n ，K ）的特征多项式分解为K 上一次式的积
.det
(tE n -A ) =(t -a 1) 1...(t -a r ) r , μA =(t -a ) 1...(t -a r ) r , a 1,..., a r ∈K
n
n
n i υi
υυ
, ，
a i ≠a j (i ≠j ), 1≤υi ≤n i .
这时，存在正则矩阵P ∈(n , n , K )
P
-1
AP =J (a 1) ⊕... ⊕J (a r )
J (a i ) =J (a i , υi ) ⊕... ⊕J (a i , υi ) ⊕J (a i , υi -1) ⊕... ⊕J (a i , υi -1)
至少1个
0个以上
⊕J (a i , 1) ⊕... ⊕J (a i , 1)
0个以上
方阵J (a i ) 的结束等于n i ，构成J (a i ) 的若尔当的个数等于属于a i 的特征空间多项式的维数
(1≤i ≤r ). 若尔当块矩阵P
-1
A P 称为矩阵A 的若尔当.
注意 P 定.
-1
AP =J (a q ) ⊕... ⊕J (a r ) 中的J (a i ) ，其j 阶若尔当块的个数又A 唯一确
例1 证明对A ，B ∈（n ，n ，C ），存在正则矩阵P ，使P -1A P =B ⇔A 和B 具有相等的若尔当标准型.
证 设A 和B 具有相等的若尔当标准型J ，则存在正则矩阵P 1，P 2，使P 1
P 2
-1
-1
A P 1=J ，
B P 2=J ，令P 1P 2A P =B ，设Q
-1
-1
=P ，则P 正则接P -1A P =B . 反之，设已存在正则矩阵P ，使
-1
P
-1
AQ =J 是若尔当标准型，则(PQ ) A (PQ ) =J ，故A 的若尔当标
准型也是J .
⎛4
例2 求矩阵C = -1
-1⎝
Q 使Q
-1
050
1⎫⎛13⎪
1⎪，D = -31
-226⎪⎭⎝
-205136
35⎫
⎪
-84⎪的若尔当标准型，求实矩阵-60⎪⎭
DQ 成为若尔当矩阵.
解 （1）|tE 3-C |=t 3-15t 2+75t -125=(t -5) 3，rank (C -5E 3) =1, 故特征空间
V （5）的维数是3 – rank (C -5E 3)=2，于是机若尔当块的个数为2，C 的若尔当标准型为
⎛5 ⎝
15
⎫⎪⎪. 5⎪⎭
(2)|tE 3-D |=t 3-4t 2-3t +18=(t -3) 2(t +2). 方程（D +2E 3）x =0的通解为
⎛-u ⎫⎛-1⎫
⎪ ⎪p 1= u ⎪=u 1⎪.
u ⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭
⎛-1⎫
⎪
例如，令u =1，得p 1= 1⎪，dim=V （-2）=1，（D -3E 3）x =0，的通解是
1⎪⎝⎭⎛0⎫⎛0⎫
⎪ ⎪
q 1= 7v ⎪=v 7⎪，所以属于特征值3的特征空间V （3）的维数是1. 故属于特征值3的若
v ⎪ 4⎪⎝⎭⎝⎭
尔当块是1个.
⎛⎫
⎛0⎫ -1⎪ ⎪⎪ 例如，令v =1，得q 1= 7⎪，方程（D -3E 3）x =q 1的通解是 ω
24⎪
1⎪ +ω⎪⎝⎭
⎝77⎭
⎛-1⎫ ⎪
例如，令ω=10，得q 2= 10⎪，D p 1= - 2p 1，D q 2= 3q 1，D q 2=q 1+3q 2. 故若令Q =
6⎪⎝⎭
（p 1 q 1 q 2），则D Q =（D p 1 D q 1 D q 2）=（-2p 1 3q 1 q 1+3q 2）⎛-2
=Q
⎝
⎫⎪1⎪， 3⎪⎭074
1⎫⎛-2
⎪ -1
10⎪，Q AQ =
6⎪⎭⎝
⎫
⎪1⎪. 0⎪⎭
3
⎛-1
所以Q = 0
1⎝
2
参考文献：
[ 1 ] 张禾瑞 、郝炳新：高等代数，高等教育出版社，1999年第四版. [ 2 ] 有马哲 、浅枝阳：线性代数讲解，四川人民出版社，1987年版.
Matrix And Jordan
Summary : Each rank matrixes of plural area with if the Jordan be a standard form likeness,this text argument matrixes of if Jordan be standard type and in brief applied.
Keyword : The Jordan the line transformation matrix standard
学年论文（设计）成绩表