极限题
1
1、求lim (cosx ) x .
x →0
x 2
2、求极限 lim
x →0
t (e ⎰-1) dt 0
2
sin x
6
。
3、、lim
x -arctan x
x →0sin x 2(arctanx )
1
⎛sin x ⎫x ⎪4、lim x →0
⎝x ⎭
x
2
5、x →+∞
lim
(⎰e t dt ) 2
⎰
0x
e dt
1
2t 2
6、
x →0
lim x +
ln(e x -1)
1
x 1-cos x
7、lim (1+x e )
x →0
2
=__________
x -x x
8、计算 lim
x →11-x +ln x
9、lim
x →0
(tg x )(e x -1) (sin2x ) ln(1+x )
3
2
2
a x +b x +c x 1
) x ， (a , b , c >0, ≠1) 10、lim(
x →03
11、
x →+∞
lim (2x -1)(e -1) =
1
x
12
lim (-ctg x ) 12、求极限x →02
x
e x -1-1
13、lim = x →1sin 3(1-x ) Sinx x 14、求极限lim ()
x →0x
3⎧⎪x
15、f (x ) =⎨(1+2x ⎪⎩A
1
x ≠0 在x =0点连续，则A =___________
x =0
导数题
1、设y =x 2sin x ，求y ''.
2、已知方程xy -e x +e y =0确定了隐函数y =y (x ), 求y '. 3、求函数f (x ) =x 3(x -5) 2的单调区间与极值.
4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？ 5、
f (x ) =(x -1)(x -2) (x -n ) . 求f (n ) (x )
x
6、x
=y y 求dy
7、F (x )
=⎰
1x 1sin x
sin t 2dt 求F '(x )
8、设
⎧e x +1x >0f (x ) =⎨ 求a , b 使f (x ) 在x =0点可导.
⎩4ax +b x ≤0
9、设
f (x ) 可导且f (0) =f (1) =1 . 若y =f (2sin 2x ) 2f (sin2x ) 求dy x =0
x
e 2x
10、设y =arctan e -ln , 求y '. 2x
1+e
11、设x =y , 求dy .
y
x 2x n -x
+ +) e ，n 为正整数，求f (x ) 的极值. 12、设f (x ) =(1+x +2! n !
22
13、设f (x ) 在x =0点连续，f (0) ≠0，又f (x ) 在x =0点可导且[f (x ) ]'|x =0=f (0) ，
求f '(0) .
14、设f (x ) 在[0, 1]上连续，(0, 1) 内可导，f (0) =f (1) =0，f () =1. 证明：∃ξ∈(0, 1) 使f '(ξ) =1
15、设函数f (x ) >0且二阶可导，y =ln f (x ) ，则y ''=__________ 16、y sin x -cos(x -y ) =0，则dy =__________ 17、y =x sin x ，求y ' 18、求函数y =
12
x
的极值
1+x 2
d 2y
19、y =sin (x +y )，求2
dx
dy dx
x +9
21、求过原点且与曲线y =相切的切线方程。
x +5
20、y =(sin x )
cos x
，求
22、
y =(lnx ) ln x ，求y '
⎧ax +b , x >1f (x ) =⎨2
试求a , b 使f (x ) 在x =1点连续、可导.
x , x ≤1⎩
dx
23、设
f (sinx ) sin x y =e f (e ) ，求dy 24、设f 可导，
25、设xy +e =cos(x +y ) ， 求dy 26、设
2y 2
y =-x 2
，则y '=27、设f (x ) =x (x -1)(x -2) …(x -100) ，则f '(0) = 28、设f (x ) 二阶可导，f ''(x ) >0, f (0) =0. 证明：
f (x )
在(-∞, 0)和(0, +∞)上都单增. x
⎧a ⎪
29、设f (x ) =⎨1+x
⎪⎩2x +b
x ≥0x
在x =0点可导， 求a , b .
30、设
y =x +a +a
a x x a a x
， 求 y ' .
31、设函数y =y (x ) 由方程e x +y -cos(xy ) =0确定，则 dy x =0= 32、设f (x ) =ln(1+x ) ，则 f
(10)
(0) =
33、设f (u ) 是u 的已知可导函数，求函数y =f (a x ) b f (x ) 的导数，其中a 与b 均为不等于1的正数。 34、求满足关系式
⎰
x 0
f (x ) dt =x +⎰tf (x -t ) dt 的可微函数f (x )
x
35、设
f (x +hx ) ) =e x ，求f (x ) . f (x ) >0在(0, ∞) 内可导且lim f (x ) =1. 若lim (h →0x →+∞f (x )
1
36、设
y =arcsin(a sin x ) ，求y '及y ''
37、设F (x ) =
10x
1
x
f (t ) dt , 其中f (t ) 连续，求F '(x )
38、y =sin
x
，则 y ’ =___________ 2
x
39、设
⎰
f (t -x ) dx =sin(3x 2-2x )
，其中f 连续，求f (x )
⎧1π⎪Sin 2x , x ≠0
40、设f (x ) =⎨x 求f '() ， f '(0)
2⎪, x =0⎩0
d x 4dt
41、计算
dx ⎰x 2+t 4
积分题
1、求
⎰arccos xdx .
x +1⎰x 2+4dx .
2、求
3、求
⎰
e x dx 4、⎰x
e +e -x
5、
⎰
10
dx x +-x
2
6、求心形线r =a (1+cos θ) 在第二象限所围成的面积.
7、
⎰
dx
x (1+x )
8、
⎰ln(1+
23
x ) dx
23
23
9、证明曲线x +y =a 10、求
(a >0) 上任一点的切线介于两坐标轴间的一段长度为常数。
y =x 3-3x +3 的极值，并求出该曲线介于极值点间的曲边梯形面积。
π
2
I =⎰π
-
11、计算
2
e x c o 2s x
dx x
1+e
12、
⎰
e x e
2x
-1
=__________
13、计算
⎰
ln(1+x )
x
14、已知f (0) =1，f (2) =3，f '(2) =5，计算I =15、计算
⎰
1
x f ''(2x ) dx
⎰
dx x
2
x -9
2
16、求y =sin x (0≤x ≤π) 与x 轴所围图形绕y =1的旋转体积。 17、xarctgxdx =___________
⎰
18、
⎰
⎰
π
x 2-9
2
x
dx
x (1+x )
2
19、
20、
⎰π
-
cos x -cos 3x dx
2
21、
ln x
⎰(1-x ) 2dx
22、
⎰(x
π
xdx
2
+1) -x
2
23、
⎰
20
-sin x dx 2
24、求圆 x 2+(y -5) 2=16 绕x 轴旋转所成环体的体积V 25、
⎰
arctg x x (1+x )
dx =26、求
ln sin x
⎰sin 2x dx
27、求y =sin x 与y =sin 2x 在[0, π]上所围图形的面积
2
28、若Sec x 是f (x ) 的一个原函数，则x f (x ) dx = ⎰
2
29、
-2
8-2x 2dx
1
) dx ln x
-x
30、(lnln x +
⎰
31、在曲线y =e (x ≥0) 上找一点，使过该点的切线与两坐标轴所夹平面图形的面积最
大，并求出该面积值。
证明题
1、证明不等式：当x >1时，e >e ⋅x .
x
2、证明
f (x ) =(1+
1x
) 在(0, +∞) 内严格单增 x
n -1
] ，n
设函数f (x ) 在[0, 1]上连续，且f (0) =f (1), 试证，对于n =2, 3,..., 存在 ξn ∈[0,
3、
1
使得 f(ξn +) =f(ξn ) .
n
y ⋅∆x
+α, 2
4、 1+x 其中当∆x →0时， α是∆x 的高阶无穷小量， y(0)=π. 试求y (1) 的值。 设函数y =y (x ) 在任一点x 处的增量为∆y =
5、设f (x ) 于[0, +∞)连续，于(0, +∞)二阶可导，且f (0) =0, f ''(x ) >0.
证明 ϕ(x ) =
f (x )
于(0, +∞)严格单增. x
6、设f (0) =0，f ''(x ) 0，都有f (x 1+x 2)
x
f (t ) 为连续的奇函数，试问g (x ) =⎰f (t ) dt 的奇偶性如何，并证明你的结论.
1π
>arctgx - （9分） 9、试证：当x >0时，x 2
10、设f (x ) 二阶可导，f ''(x ) >0, f (0) =0. 证明：11、证明不等式
f (x )
在(-∞, 0)和(0, +∞)上都单增. x
x
0 （本题10分） 1+x
1
12、设函数f (x ) 在[0, 1]连续，在(0, 1) 可导，且满足5f (x ) dx =f ()
⎰
45
12
求证：存在ξ∈⎢, 1⎥使f '(ξ)=0 。
2
⎡1⎤⎣⎦
极限题
1
1、求lim (cosx ) x .
x →0
x 2
2、求极限 lim
x →0
t (e ⎰-1) dt 0
2
sin x
6
。
3、、lim
x -arctan x
x →0sin x 2(arctanx )
1
⎛sin x ⎫x ⎪4、lim x →0
⎝x ⎭
x
2
5、x →+∞
lim
(⎰e t dt ) 2
⎰
0x
e dt
1
2t 2
6、
x →0
lim x +
ln(e x -1)
1
x 1-cos x
7、lim (1+x e )
x →0
2
=__________
x -x x
8、计算 lim
x →11-x +ln x
9、lim
x →0
(tg x )(e x -1) (sin2x ) ln(1+x )
3
2
2
a x +b x +c x 1
) x ， (a , b , c >0, ≠1) 10、lim(
x →03
11、
x →+∞
lim (2x -1)(e -1) =
1
x
12
lim (-ctg x ) 12、求极限x →02
x
e x -1-1
13、lim = x →1sin 3(1-x ) Sinx x 14、求极限lim ()
x →0x
3⎧⎪x
15、f (x ) =⎨(1+2x ⎪⎩A
1
x ≠0 在x =0点连续，则A =___________
x =0
导数题
1、设y =x 2sin x ，求y ''.
2、已知方程xy -e x +e y =0确定了隐函数y =y (x ), 求y '. 3、求函数f (x ) =x 3(x -5) 2的单调区间与极值.
4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？ 5、
f (x ) =(x -1)(x -2) (x -n ) . 求f (n ) (x )
x
6、x
=y y 求dy
7、F (x )
=⎰
1x 1sin x
sin t 2dt 求F '(x )
8、设
⎧e x +1x >0f (x ) =⎨ 求a , b 使f (x ) 在x =0点可导.
⎩4ax +b x ≤0
9、设
f (x ) 可导且f (0) =f (1) =1 . 若y =f (2sin 2x ) 2f (sin2x ) 求dy x =0
x
e 2x
10、设y =arctan e -ln , 求y '. 2x
1+e
11、设x =y , 求dy .
y
x 2x n -x
+ +) e ，n 为正整数，求f (x ) 的极值. 12、设f (x ) =(1+x +2! n !
22
13、设f (x ) 在x =0点连续，f (0) ≠0，又f (x ) 在x =0点可导且[f (x ) ]'|x =0=f (0) ，
求f '(0) .
14、设f (x ) 在[0, 1]上连续，(0, 1) 内可导，f (0) =f (1) =0，f () =1. 证明：∃ξ∈(0, 1) 使f '(ξ) =1
15、设函数f (x ) >0且二阶可导，y =ln f (x ) ，则y ''=__________ 16、y sin x -cos(x -y ) =0，则dy =__________ 17、y =x sin x ，求y ' 18、求函数y =
12
x
的极值
1+x 2
d 2y
19、y =sin (x +y )，求2
dx
dy dx
x +9
21、求过原点且与曲线y =相切的切线方程。
x +5
20、y =(sin x )
cos x
，求
22、
y =(lnx ) ln x ，求y '
⎧ax +b , x >1f (x ) =⎨2
试求a , b 使f (x ) 在x =1点连续、可导.
x , x ≤1⎩
dx
23、设
f (sinx ) sin x y =e f (e ) ，求dy 24、设f 可导，
25、设xy +e =cos(x +y ) ， 求dy 26、设
2y 2
y =-x 2
，则y '=27、设f (x ) =x (x -1)(x -2) …(x -100) ，则f '(0) = 28、设f (x ) 二阶可导，f ''(x ) >0, f (0) =0. 证明：
f (x )
在(-∞, 0)和(0, +∞)上都单增. x
⎧a ⎪
29、设f (x ) =⎨1+x
⎪⎩2x +b
x ≥0x
在x =0点可导， 求a , b .
30、设
y =x +a +a
a x x a a x
， 求 y ' .
31、设函数y =y (x ) 由方程e x +y -cos(xy ) =0确定，则 dy x =0= 32、设f (x ) =ln(1+x ) ，则 f
(10)
(0) =
33、设f (u ) 是u 的已知可导函数，求函数y =f (a x ) b f (x ) 的导数，其中a 与b 均为不等于1的正数。 34、求满足关系式
⎰
x 0
f (x ) dt =x +⎰tf (x -t ) dt 的可微函数f (x )
x
35、设
f (x +hx ) ) =e x ，求f (x ) . f (x ) >0在(0, ∞) 内可导且lim f (x ) =1. 若lim (h →0x →+∞f (x )
1
36、设
y =arcsin(a sin x ) ，求y '及y ''
37、设F (x ) =
10x
1
x
f (t ) dt , 其中f (t ) 连续，求F '(x )
38、y =sin
x
，则 y ’ =___________ 2
x
39、设
⎰
f (t -x ) dx =sin(3x 2-2x )
，其中f 连续，求f (x )
⎧1π⎪Sin 2x , x ≠0
40、设f (x ) =⎨x 求f '() ， f '(0)
2⎪, x =0⎩0
d x 4dt
41、计算
dx ⎰x 2+t 4
积分题
1、求
⎰arccos xdx .
x +1⎰x 2+4dx .
2、求
3、求
⎰
e x dx 4、⎰x
e +e -x
5、
⎰
10
dx x +-x
2
6、求心形线r =a (1+cos θ) 在第二象限所围成的面积.
7、
⎰
dx
x (1+x )
8、
⎰ln(1+
23
x ) dx
23
23
9、证明曲线x +y =a 10、求
(a >0) 上任一点的切线介于两坐标轴间的一段长度为常数。
y =x 3-3x +3 的极值，并求出该曲线介于极值点间的曲边梯形面积。
π
2
I =⎰π
-
11、计算
2
e x c o 2s x
dx x
1+e
12、
⎰
e x e
2x
-1
=__________
13、计算
⎰
ln(1+x )
x
14、已知f (0) =1，f (2) =3，f '(2) =5，计算I =15、计算
⎰
1
x f ''(2x ) dx
⎰
dx x
2
x -9
2
16、求y =sin x (0≤x ≤π) 与x 轴所围图形绕y =1的旋转体积。 17、xarctgxdx =___________
⎰
18、
⎰
⎰
π
x 2-9
2
x
dx
x (1+x )
2
19、
20、
⎰π
-
cos x -cos 3x dx
2
21、
ln x
⎰(1-x ) 2dx
22、
⎰(x
π
xdx
2
+1) -x
2
23、
⎰
20
-sin x dx 2
24、求圆 x 2+(y -5) 2=16 绕x 轴旋转所成环体的体积V 25、
⎰
arctg x x (1+x )
dx =26、求
ln sin x
⎰sin 2x dx
27、求y =sin x 与y =sin 2x 在[0, π]上所围图形的面积
2
28、若Sec x 是f (x ) 的一个原函数，则x f (x ) dx = ⎰
2
29、
-2
8-2x 2dx
1
) dx ln x
-x
30、(lnln x +
⎰
31、在曲线y =e (x ≥0) 上找一点，使过该点的切线与两坐标轴所夹平面图形的面积最
大，并求出该面积值。
证明题
1、证明不等式：当x >1时，e >e ⋅x .
x
2、证明
f (x ) =(1+
1x
) 在(0, +∞) 内严格单增 x
n -1
] ，n
设函数f (x ) 在[0, 1]上连续，且f (0) =f (1), 试证，对于n =2, 3,..., 存在 ξn ∈[0,
3、
1
使得 f(ξn +) =f(ξn ) .
n
y ⋅∆x
+α, 2
4、 1+x 其中当∆x →0时， α是∆x 的高阶无穷小量， y(0)=π. 试求y (1) 的值。 设函数y =y (x ) 在任一点x 处的增量为∆y =
5、设f (x ) 于[0, +∞)连续，于(0, +∞)二阶可导，且f (0) =0, f ''(x ) >0.
证明 ϕ(x ) =
f (x )
于(0, +∞)严格单增. x
6、设f (0) =0，f ''(x ) 0，都有f (x 1+x 2)
x
f (t ) 为连续的奇函数，试问g (x ) =⎰f (t ) dt 的奇偶性如何，并证明你的结论.
1π
>arctgx - （9分） 9、试证：当x >0时，x 2
10、设f (x ) 二阶可导，f ''(x ) >0, f (0) =0. 证明：11、证明不等式
f (x )
在(-∞, 0)和(0, +∞)上都单增. x
x
0 （本题10分） 1+x
1
12、设函数f (x ) 在[0, 1]连续，在(0, 1) 可导，且满足5f (x ) dx =f ()
⎰
45
12
求证：存在ξ∈⎢, 1⎥使f '(ξ)=0 。
2
⎡1⎤⎣⎦