平行线分线段成比例定理(学生)

例01．已知：如图，l1//l2//l3，AB3，BC5，DF12，求DE和EF的长

典型例题二

例02．如图，已知：DE//BC，DF//AC，AD3cm，BD6cm，DE4cm 求：线段BF的长

例03．如图，已知，在MAP中，点N在PM上，B、C在AP上，且AM//BN，MB//

NC

典型例题四

例04．如图，已知：DE//BC，ADAFAB 求证：EF//

DC

2

例05．已知：如图，AD是ABC的内角平分线 求证：

ABBD



ACCD

典型例题六

MD，例06．如图，梯形ABCD中，AB//CD，M为AB的中点，分别连结AC，BD，

MC，且AC与MD交于E，DB与MC交于F，

求证：EF//

CD

例07．如图，AD//EF//BC，AD12cm，BC18cm，AE:EB2:3，则EF=_________

典型例题八

例08．如图，ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE于P. 若AD2DE，

求证：AP

3AB

典型例题九

例09．AD是ABC的高，E是BC的中点，EFBC交AC于F，若BD15，DC27，AC45，求AF

OE交BC于F，例10．如图，ABCD的对角线交于O点，E是AB延长线上一点，

若ABa，BCb，BEc，求BF的长

典型例题十一

例11．如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，ABDC3，P是BC上一点，PE//AB交AC于E，PF//CD交BD于F. 设PE，PF的长分别为m，n，xmn，那么当P点在BC上移动时，x值是否变化？若变化，求出x值的取值范围；若不变，求出x值，并说明理由

例12．已知，如左图，ABBD，CDBD，垂足分别为B，D，AD和BD相交于点E，EFBD，垂足为F，我们可以证明

111成立（不要求证明）

ABCDEF

若将图左中的垂直改为斜交，如右图，AB//CD，AD、BC相交于点E，过E作EF//AB，交BD于点F，则：

（1）

111还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 ABCDEF

（2）请找出SABD，SBED和SBDC间的关系式，并给出证明

选择题

1．如图，已知AD//BE//CF，下列比例式成立的是（）

ABADABDEACDFBCEF

 B． C． D． DEBEEFBCEFBCACDF

1

2．如图，H为ABCD中AD边上一点，且AHDH，AC和BH交于点K，则

2

AK:KC（ ）

A．

A．1:2 B．1:1 C．1:3 D．2:3 3．（曲靖市，2001）已知：如图，在ABC中，AEEDDC，FE//MD//BC，FD的延长线交BC的延长线于N，则

EF

的值是（ ）

BN

1111 B． C． D． 2345

BC中，DE//BC，DE交AB于D，交AC于E. 如果AE3，4．（宁夏，2002）在A

EC6，DE4，那么BC等于（ ）

A．

A．6 B．8 C．10 D．12 5．（上海市，2002）如图，AB//CD，AD与BC相交于O，那么在下列比例式中，正确的是（ ）

ABOAOAOB

 B． CDADODBCABOBBCOB

C． D． CDOCADOD

A．

6．（邵阳市，2002）下列命题错误的是（ ）

A．矩形是平行四边形 B．相似三角形一定是全等三角形 C．等腰梯形的对角线相等 D．两直线平行，同位角相等 7．（北京市西城区，2002）如图，ABC中，DE//BC，如果AD1，DB2，那么

DE

的值为（ ）

BC

A．

2111 B． C． D． 3432

填空题

1．（天津市，2001）如图，DE//BC，且DBAE，若AB5,AC10，则AE的长为_______.

2．如图，梯形ABCD，AD//BC，延长两腰交于点E，若AD2,BC6,AB4，则

DEED

_________.

_______，DCEC

3．如图，梯形ABCD中，DE//AB,DC2,AB3.5，且MN//PQ//AB，

DMMPPA，则MN_______，PQ________.

4．（重庆市，2002）雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远一块小积水处，

他看到了旗杆顶端的倒影. 如果旗杆底端到积水处的距离为40m，该生的眼部高度是1.5m，那么旗杆的高度是_______m.

5．（盐城市，2002）如图，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选择M点作为观测点，从M点测得山顶P的仰角为30. 在比例尺为1:50000的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为3cm，则山顶P的海拔高度为_____cm. （取1.732）

6．（黑龙江省，2002）在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50米，同时高为1.5米的测竿的影长为2.5米，那么古塔的高为_____米.

7．（南京市，2002）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份. 如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE//AB），那么小管口径DE的长是_____毫米.

8．（北京市东城区，2002）在坡度为1:2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是______米.

BC中，9．（上海市，2002）在A点D，E分别在AB，AC上，DE//BC. 如果AD8，

DB6，EC0，那么AE_______.

解答题

1．如图，已知菱形BEDF内接于ABC，点E，D，F分别在AB，AC和BC上，若AB15，BC12，

求菱形边长.

2．如图，已知ABC中，DE//BC,AD8,AC6,BDAE，求BD的长.

3．如图，ABC中，AD是角平分线，DE//AC交AB于E，已知AB12，AC8， 求DE.

4．如图，D，E分别是ABC两边AB，AC上的点，哪些线段成比例推出DE//BC.

5．如图，G是四边形ABCD的对角线BD上任一点，EG//AD，FG//DC. 求证：EF//AC.

6．如图，EF//FC,EB//FD. 求证：AB//

CD

7．如图，ABC中，DE//BC，AD是AF，AB的比例中项， 求证：FE//DC.

8．如图，P是ABCD的对角线AC上的任一点，EF，MN是过点P的两直线与的边分别交于E，F，M，N.

求证：ME//FN.

ABCD

9．如图，直线FD和ABC的边BC交于D，交AC于E，与BA的延长线交于F，且BDDC，

求证：AEFBECFA.

10．如图，D在BC上，且BD:DC2:1，E是AD的中点，BE的延长线交AC于F， 求BF:EF.

解答题

1．（广西，2001）如图，AE//BF//CG//DH，AB

1

BCCD，AE12，2

DH16，AH交BF于M.

求BM与CG.

2．如图，M是ABC中BC边的中点，P是BC边上任一点，过P作PR//AM交BA的延长线于Q，交CA于R.

求证：

PQPRBC

. AMAMBM

3．如图，AD是ABC中BC边上中线，从C引射线交AD于E，AB于F. 求证：AEFB2AFDE.

4．过

ABCD的顶点A作任一直线与BD，BC及DC延长线于E，F，G，

2

求证：AEEFEG.

5．如图，梯形ABCD中，AD//BC，E，F分别是AD，BC的中点，ADa，BCb（ba） ，

求GH的值.

6．如图，MBBCCD，MEEFFG. 求

DN

的值.

NF

7．如图，在ABCD中，AB5cm，AE3cm，AD8cm，F为AB中点，EF交AC于G. 交CB的延长线于K.

求EG:GF:FK的值.

8．（盐城市，2001）如图，已知：ED//BC，AB//DF.

（1）求证：OBOEOF；

（2）连结OD，若OBCODC，求证：四边形ABCD为菱形. 9．（南京市，2001）以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PFPD. 以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上. 如图所示.

2

（1）求AM、DM的长. （2）求证：AMADDM

2

解答题

1．如图，ABC中，AF平分BAC，CEAF于E，BDAF交其延长线于D，BE的延长线交DC的延长线于G.

求证：EC//AG.

2．（温州市，2001）如图，在正方形ABCD中，AD8，点E是边CD上（不包括端点）的动点，AE的中垂线FG分别交AD、AE、BC于点F、H、K，交AB的延长线于点G.

（1）设DEm，DEm，用含m的代数式表示t； （2）当t

1

时，求BG的长. 3

3．（山西省，2001）（1）阅读下列材料，补全证明过程：

已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OEBC于E，连结DE交OC于点F，作FGBC于G.

求证：点G是线段BC的一个三等分点. 证明：在矩形ABCD中，

OEBC,DCBC，∴OE//DC OE1EFOE1

， ∴ DC2EDDC2EF1

. ∴

ED3

∵

（2）请你仿照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点. （要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）.

4．在ABC中，D为BC上的一点，E为AD上的一点，BE的延长线交AC于F.

（1）如BD:BC1:2,AE:AD1:4，求AF:AC的值；

（2）如BD:BC1:m,AE:AD1:n（m,n为不小于2的自然数）. 求AF:AC的值；

（3）对于满足mn1且均大于2的自然数m,n，是否总存在自然数p,q（其中

pm，qn）使当BD:BC1:p，AE:AD1:q时，AF:AC的值与当

BD:BC1:m，AE:AD1:n时，AF:AC的值相同？如果存在，写出这时p,q与m,n

之间应满足的关系.

5．如图一个矩形ABCD（ABBC）中，

AB51

0.618，那么这个矩形称为BC2

黄金矩形，黄金矩形给人以美感，备受人们欢迎，在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得

到一个小矩形ABFE（如图）. 请问矩形ABFE是否是黄金矩形？证明你的结论.

6．（河北省，2001）在ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：

（1）当

AE11AO22

时，有（如图）

AC211AD321

（2）当

AE11AO22

时，有（如图）

AC312AD422

（3）当

AE11AO22

时，有（如图） AC413AD523

AOAE1

时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，

ADAC1n

并给出证明（其中n是正整数）.

在下图中，当

7．（黄冈市，1999）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的一点，且题.

AEBFDGAH

k（k0）. 阅读下段材料，然后回答后面问EBFCGCHD

如图，连接BD.

AEAH

， ∴EH//BD EBHDBFDG

∵，∴FG//BD， FCGC∴FG//EH.

∵

（1）连结AC，则EF与GH是否一定平行，答：_______. （2）当k值为______时，四边形EFGH为平行四边形.

（3）在（2）的情形下，对角线AC与BD只须满足_______条件时，EFGH为矩形. （4）在（2）的情形下，对角线AC与BD只须满足_______条件时，EFGH为菱形. 8．如图，在四边形ABCD中，ABDC，E、F各为BC、AD的中点，延长BA、EF、CD相交成、，求证：.

例01．已知：如图，l1//l2//l3，AB3，BC5，DF12，求DE和EF的长

典型例题二

例02．如图，已知：DE//BC，DF//AC，AD3cm，BD6cm，DE4cm 求：线段BF的长

例03．如图，已知，在MAP中，点N在PM上，B、C在AP上，且AM//BN，MB//

NC

典型例题四

例04．如图，已知：DE//BC，ADAFAB 求证：EF//

DC

2

例05．已知：如图，AD是ABC的内角平分线 求证：

ABBD



ACCD

典型例题六

MD，例06．如图，梯形ABCD中，AB//CD，M为AB的中点，分别连结AC，BD，

MC，且AC与MD交于E，DB与MC交于F，

求证：EF//

CD

例07．如图，AD//EF//BC，AD12cm，BC18cm，AE:EB2:3，则EF=_________

典型例题八

例08．如图，ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE于P. 若AD2DE，

求证：AP

3AB

典型例题九

例09．AD是ABC的高，E是BC的中点，EFBC交AC于F，若BD15，DC27，AC45，求AF

OE交BC于F，例10．如图，ABCD的对角线交于O点，E是AB延长线上一点，

若ABa，BCb，BEc，求BF的长

典型例题十一

例11．如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，ABDC3，P是BC上一点，PE//AB交AC于E，PF//CD交BD于F. 设PE，PF的长分别为m，n，xmn，那么当P点在BC上移动时，x值是否变化？若变化，求出x值的取值范围；若不变，求出x值，并说明理由

例12．已知，如左图，ABBD，CDBD，垂足分别为B，D，AD和BD相交于点E，EFBD，垂足为F，我们可以证明

111成立（不要求证明）

ABCDEF

若将图左中的垂直改为斜交，如右图，AB//CD，AD、BC相交于点E，过E作EF//AB，交BD于点F，则：

（1）

111还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 ABCDEF

（2）请找出SABD，SBED和SBDC间的关系式，并给出证明

选择题

1．如图，已知AD//BE//CF，下列比例式成立的是（）

ABADABDEACDFBCEF

 B． C． D． DEBEEFBCEFBCACDF

1

2．如图，H为ABCD中AD边上一点，且AHDH，AC和BH交于点K，则

2

AK:KC（ ）

A．

A．1:2 B．1:1 C．1:3 D．2:3 3．（曲靖市，2001）已知：如图，在ABC中，AEEDDC，FE//MD//BC，FD的延长线交BC的延长线于N，则

EF

的值是（ ）

BN

1111 B． C． D． 2345

BC中，DE//BC，DE交AB于D，交AC于E. 如果AE3，4．（宁夏，2002）在A

EC6，DE4，那么BC等于（ ）

A．

A．6 B．8 C．10 D．12 5．（上海市，2002）如图，AB//CD，AD与BC相交于O，那么在下列比例式中，正确的是（ ）

ABOAOAOB

 B． CDADODBCABOBBCOB

C． D． CDOCADOD

A．

6．（邵阳市，2002）下列命题错误的是（ ）

A．矩形是平行四边形 B．相似三角形一定是全等三角形 C．等腰梯形的对角线相等 D．两直线平行，同位角相等 7．（北京市西城区，2002）如图，ABC中，DE//BC，如果AD1，DB2，那么

DE

的值为（ ）

BC

A．

2111 B． C． D． 3432

填空题

1．（天津市，2001）如图，DE//BC，且DBAE，若AB5,AC10，则AE的长为_______.

2．如图，梯形ABCD，AD//BC，延长两腰交于点E，若AD2,BC6,AB4，则

DEED

_________.

_______，DCEC

3．如图，梯形ABCD中，DE//AB,DC2,AB3.5，且MN//PQ//AB，

DMMPPA，则MN_______，PQ________.

4．（重庆市，2002）雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远一块小积水处，

他看到了旗杆顶端的倒影. 如果旗杆底端到积水处的距离为40m，该生的眼部高度是1.5m，那么旗杆的高度是_______m.

5．（盐城市，2002）如图，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选择M点作为观测点，从M点测得山顶P的仰角为30. 在比例尺为1:50000的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为3cm，则山顶P的海拔高度为_____cm. （取1.732）

6．（黑龙江省，2002）在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50米，同时高为1.5米的测竿的影长为2.5米，那么古塔的高为_____米.

7．（南京市，2002）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份. 如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE//AB），那么小管口径DE的长是_____毫米.

8．（北京市东城区，2002）在坡度为1:2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是______米.

BC中，9．（上海市，2002）在A点D，E分别在AB，AC上，DE//BC. 如果AD8，

DB6，EC0，那么AE_______.

解答题

1．如图，已知菱形BEDF内接于ABC，点E，D，F分别在AB，AC和BC上，若AB15，BC12，

求菱形边长.

2．如图，已知ABC中，DE//BC,AD8,AC6,BDAE，求BD的长.

3．如图，ABC中，AD是角平分线，DE//AC交AB于E，已知AB12，AC8， 求DE.

4．如图，D，E分别是ABC两边AB，AC上的点，哪些线段成比例推出DE//BC.

5．如图，G是四边形ABCD的对角线BD上任一点，EG//AD，FG//DC. 求证：EF//AC.

6．如图，EF//FC,EB//FD. 求证：AB//

CD

7．如图，ABC中，DE//BC，AD是AF，AB的比例中项， 求证：FE//DC.

8．如图，P是ABCD的对角线AC上的任一点，EF，MN是过点P的两直线与的边分别交于E，F，M，N.

求证：ME//FN.

ABCD

9．如图，直线FD和ABC的边BC交于D，交AC于E，与BA的延长线交于F，且BDDC，

求证：AEFBECFA.

10．如图，D在BC上，且BD:DC2:1，E是AD的中点，BE的延长线交AC于F， 求BF:EF.

解答题

1．（广西，2001）如图，AE//BF//CG//DH，AB

1

BCCD，AE12，2

DH16，AH交BF于M.

求BM与CG.

2．如图，M是ABC中BC边的中点，P是BC边上任一点，过P作PR//AM交BA的延长线于Q，交CA于R.

求证：

PQPRBC

. AMAMBM

3．如图，AD是ABC中BC边上中线，从C引射线交AD于E，AB于F. 求证：AEFB2AFDE.

4．过

ABCD的顶点A作任一直线与BD，BC及DC延长线于E，F，G，

2

求证：AEEFEG.

5．如图，梯形ABCD中，AD//BC，E，F分别是AD，BC的中点，ADa，BCb（ba） ，

求GH的值.

6．如图，MBBCCD，MEEFFG. 求

DN

的值.

NF

7．如图，在ABCD中，AB5cm，AE3cm，AD8cm，F为AB中点，EF交AC于G. 交CB的延长线于K.

求EG:GF:FK的值.

8．（盐城市，2001）如图，已知：ED//BC，AB//DF.

（1）求证：OBOEOF；

（2）连结OD，若OBCODC，求证：四边形ABCD为菱形. 9．（南京市，2001）以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PFPD. 以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上. 如图所示.

2

（1）求AM、DM的长. （2）求证：AMADDM

2

解答题

1．如图，ABC中，AF平分BAC，CEAF于E，BDAF交其延长线于D，BE的延长线交DC的延长线于G.

求证：EC//AG.

2．（温州市，2001）如图，在正方形ABCD中，AD8，点E是边CD上（不包括端点）的动点，AE的中垂线FG分别交AD、AE、BC于点F、H、K，交AB的延长线于点G.

（1）设DEm，DEm，用含m的代数式表示t； （2）当t

1

时，求BG的长. 3

3．（山西省，2001）（1）阅读下列材料，补全证明过程：

已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OEBC于E，连结DE交OC于点F，作FGBC于G.

求证：点G是线段BC的一个三等分点. 证明：在矩形ABCD中，

OEBC,DCBC，∴OE//DC OE1EFOE1

， ∴ DC2EDDC2EF1

. ∴

ED3

∵

（2）请你仿照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点. （要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）.

4．在ABC中，D为BC上的一点，E为AD上的一点，BE的延长线交AC于F.

（1）如BD:BC1:2,AE:AD1:4，求AF:AC的值；

（2）如BD:BC1:m,AE:AD1:n（m,n为不小于2的自然数）. 求AF:AC的值；

（3）对于满足mn1且均大于2的自然数m,n，是否总存在自然数p,q（其中

pm，qn）使当BD:BC1:p，AE:AD1:q时，AF:AC的值与当

BD:BC1:m，AE:AD1:n时，AF:AC的值相同？如果存在，写出这时p,q与m,n

之间应满足的关系.

5．如图一个矩形ABCD（ABBC）中，

AB51

0.618，那么这个矩形称为BC2

黄金矩形，黄金矩形给人以美感，备受人们欢迎，在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得

到一个小矩形ABFE（如图）. 请问矩形ABFE是否是黄金矩形？证明你的结论.

6．（河北省，2001）在ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：

（1）当

AE11AO22

时，有（如图）

AC211AD321

（2）当

AE11AO22

时，有（如图）

AC312AD422

（3）当

AE11AO22

时，有（如图） AC413AD523

AOAE1

时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，

ADAC1n

并给出证明（其中n是正整数）.

在下图中，当

7．（黄冈市，1999）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的一点，且题.

AEBFDGAH

k（k0）. 阅读下段材料，然后回答后面问EBFCGCHD

如图，连接BD.

AEAH

， ∴EH//BD EBHDBFDG

∵，∴FG//BD， FCGC∴FG//EH.

∵

（1）连结AC，则EF与GH是否一定平行，答：_______. （2）当k值为______时，四边形EFGH为平行四边形.

（3）在（2）的情形下，对角线AC与BD只须满足_______条件时，EFGH为矩形. （4）在（2）的情形下，对角线AC与BD只须满足_______条件时，EFGH为菱形. 8．如图，在四边形ABCD中，ABDC，E、F各为BC、AD的中点，延长BA、EF、CD相交成、，求证：.