江苏高考数学预测卷20
一、填空题。每小题5分，共70分。
1. 已知集合A ={x |0≤log 2x ≤2}，集合B =x |1≤2x ≤3，则A B . 2．已知全集为实数集，M ={x |x 2-2x
{}
2i
(i 为虚数单位) 的实部是1-i
1
，焦距是8，则该椭圆的方程2
4．已知椭圆的中心在原点、焦点在y 轴上，若其离心率是为 ．
5．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120，则数列{a n } 前15项的和为 .
6. 在∆ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C =5∶6∶8，那么此三角形最大 角与最小角之和的余弦值是 ．
7．若命题“∃x ∈R ，使得x 2+(a -1) x +1
(第8题图)
89. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球, 的数字外完全相同. 现从中随机取出两个小球, 和为5或7的概率是 .
10．若方程1n x +2x -10=0的解为x 0，则不小于x 011．如图，函数y =f (x ) 的图象在点P 处的切线是l ，则f (2)(第11题图)
⎧2a n (0≤a n ≤1), 6
12. 若数列{a n }满足a n +1=⎨且a 1=, 则a 2010=7⎩a n -1 (a n >1).
13. 函数f(x)＝2＋2x ＋2x ＋2x ＋1的最小值为__________．
14. 设函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象C 上有两个极值点P 、Q ，其中P 为坐标原点，当点Q 在圆D ：(x－2) 2＋(y－3) 2＝1上时，曲线C 的切线斜率的最大值为__________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
113
已知a ＝⎛，cosx ⎫，b ＝(1，y) ，且a ∥b . 设函数y ＝f(x)．
2⎝22⎭(1) 求函数y ＝f(x)的解析式；
π
A －＝3，边BC 3，求△ABC 周长的最大值． (2) 若在锐角△ABC 中，f ⎛3⎝
16. (本小题满分14分)
如图甲，在直角梯形PBCD 中，PB ∥CD ，CD ⊥BC ，BC ＝PB ＝2CD ，A 是PB 的中点，现沿AD 把平面PAD 折起，使得PA ⊥AB(如图乙) ，E 、F 分别为BC 、AB 边的中点．
(1) 求证：平面PAE ⊥平面PDE ；
(2) 在PA 上找一点G ，设AG ＝λAP，试求当λ为何值时可使FG ∥平面PDE.
17. (本小题满分15分)
某销售商销售某品牌手机，该品牌手机进价为每部1 580元，零售价为每部1 880元．为促进销售，拟采用买一部手机赠送一定数量礼物的方法，且赠送礼物的价值不超过180元．统计表明：在促销期间，礼物价值每增加15元(礼物的价值都是15元的整数倍，如礼物价值为30元，可视为两次增加15元，其余类推) ，销售量都增加11%.
(1) 当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少倍？(精确到0.1)
(2) 试问赠送礼物的价值为多少元时，商家可获得最大利润？
18. (本小题满分15分)
1
已知A (-2,0), B (2,0),点C 、D 依次满足AC =2, AD =(AB +AC ).
2
（1）求过点D 的轨迹；
（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的
4
距离为，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程；
5
（3）经过（2）中椭圆上顶点B 作直线m ，n ，使m ⊥n ，直线m ，n 分别交椭圆于P ，Q ，
连接PQ ，求证PQ 经过定点.
19. (本小题满分16分)
(Ⅰ) 试确定t 的取值范围, 使得函数f (x ) 在[-2, t ]上为单调函数； (Ⅱ) 求证:n >m ；
已知函数f (x ) =(x 2-3x +3) ⋅e x 定义域为[-2, t ](t >-2), 设f (-2) =m , f (t ) =n .
f ' (x 0) 22
=(t -1) (Ⅲ) 求证:对于任意的t >-2, 总存在x 0∈(-2, t ) , 满足, 并确定这x 0
e 3
样的x 0的个数.
20. (本小题满分16分) 已知数列{a n }单调递增，且各项非负，对于正整数K ，若对任意i ，j (1≤i ≤j ≤K ) ，a i -a j （Ⅰ）已知数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，且数列{b n -2}是“K项可减数列”，试确定K 的最大值。
（Ⅱ）求证：若数列{a n }是“K项可减数列”，则其前n 项的和S n =仍是{a n } 中的项，则称数列{a n }为“K项可减数列”。
（Ⅲ）已知{a n }是各项非负的递增数列，写出（Ⅱ）的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由。
n
a n (n =1, 2,....., K ) 2
数学加试题部分
21.[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，请把答案写在答题纸的指定区域内。
（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵M=⎢
C. （选修4-4：坐标系与参数方程）
若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos(θ+线段AB 的长。
⎡12⎤
的一个特征值为3，求其另一个特征值。 ⎥⎣2x ⎦
π
3
) ，它们相交于A 、B 两点，求
[必做题]第22、23题，每小题10分，计20分，请把答案写在答题纸的指定区域内. 22（本小题满分10分）
y 2
=1在第一象限的部分为曲线C ，曲线C 在其上 在平面直角坐标系xoy 中，椭圆x +4
2
动点P （x 0，y 0）
处切线l 与x 轴的交点分别为A 、B ，且向量=+ （Ⅰ）求切线l 的方程； （Ⅱ）求动点M 的轨迹方程。
23. （本小题满分10分）
2
已知数列{a n }满足a n +1=-a n +pa n (p ∈R ), 且a 1∈(0, 2) ，试猜想p 的最小值，使得
a n ∈(0, 2) 对n ∈N *恒成立，并给出证明。
江苏高考数学预测卷20
参考答案
y 2x 2
1. {x |1≤x ≤log 23} 2． {x |0
64485. 360 6. -
53 7. (-∞, -1) ∪(3,+∞) 8.1320 9. 10.5
580
39
11. 12.
87
13. 5 解析：用根式的几何意义． 14. 33 解析：f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，
∵ 极值点P 是坐标原点，∴ f′(0)＝0，f(0)＝0 c＝0，d ＝0.
2b ⎫3⎛2b 24b 32b 2⎛∴ f′(x)＝3ax ＋2bx ＝0 xQ ＝－，∴ yQ ＝a －3a ＋b －3a ＝⎝⎭⎝27a 3a b 23y ∵ Q在圆D 上，∴ a
y y 23D 上点Q 与原点连线的斜率，∴ 易求得的最大值为2＋ x Q x Q 3
∴ kmax ＝3＋3.
1⎛1sinx ＋3⎫＝0，(3分) 15. 解：(1) a ∥b y －1×
22⎝2⎭π
x ＋.(6分) ∴ y＝sinx ＋3cosx ＝2sin ⎛⎝3π3
A －＝3知：2sinA ＝3，sinA ＝(2) 由(1)及f ⎛3⎝2π
∵ 0
2∴ A＝60°.(8分)
由余弦定理得3＝b 2＋c 2－2bccos60°，即(b＋c) 2＝3＋bc ，(10分) ∴ (b＋c) 2＝3＋3bc≤3＋⎛
b ＋c 2
⎝2 b＋c≤2，(12分)
∴ △ABC 周长l ＝a ＋b ＋c ＝b ＋c ＋33， 所以，△ABC 周长最大值为23.(14分) 16. (1) 证明：在矩形ABCD 中， ∵ E为BC
中点，BC ＝2CD ，
∴ AB＝BE ＝EC ＝CD ，(2分) ∴ ∠AEB ＝∠CED ＝45°， ∴ DE⊥AE.(3分)
∵ PA⊥AB ，PA ⊥AD ，AB∩AD＝A ， ∴ PA⊥平面ABCD ，∴ PA⊥DE.(5分) 又PA∩AE＝A ， ∴ DE⊥平面PAE.
而DE 平面PDE ，所以，平面PAE ⊥平面PDE(7分)
11
(2) 解：如图，当AG ＝即λFG ∥平面PDE.(8分)
44证明如下：在平面PAD 中作GH ∥PD 交AD 于H ，连结FH ， 在矩形ABCD 中， ∵ F为AB 的中点， ∴ FH∥DE.(10分)
又DE 平面PDE ，FH 平面PDE ， ∴ FH∥平面PDE ，(12分) 同理，GH ∥平面PDE ， 而GH∩FH＝H ，
所以，平面FGH ∥平面PDE ， 所以，FG ∥平面PDE.(14分)
17. 解：设该品牌手机在不赠送礼物的条件下销售量为m 部， (1) 原来利润为(1 880－1 580)m＝300m 元，(2分) 当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润为 (1 880－1 580－30)m(1＋11%)2＝1.232 1×270m ，(4分)
1.232 1×270m
1.108 89，
300m
即当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润变为原来不赠送礼物时的1.1倍．(7分) (2) 当赠送礼物的价值为15x 元时，销售的总利润为f(x)元，则
f(x)＝(1 880－1 580－15x)·m·(1＋11%)x ＝15m(20－x)·1.11x ，(x∈N ，且x≤12)，(9分) f(x＋1) －f(x)＝15m(1.09－0.11x)·1.11x ，
10
令f(x＋1) －f(x)≥0，得x≤9.(12分)
11∵ x∈N ，且x≤12，
∴ 当x≤9时，f(x＋1)>f(x)；当9
18. 解：（1）设C (x 0, y 0), D (x , y ), AC =(x 0+2, y 0), AB =(4,0).
⎛x 0=x -2x 0y 0
AD =(+3, ) =(x +2, y ), 则 .
y =2y 22⎝0
2
代入AC =(x 0+2) 2+y 02=4, 得x 2+y 2=1.
（2）设直线l 的方程为y =k (x +2). ①
x 2y 2
=1(a 2>4); ② 椭圆的方程2+2
a a -4
由l
将①代入②得：
(a k +a -4) x +4a k x +4a k -a +4a =0， 又k = 有x 1, 2
2
1
=1, k 2=.
32
2
2
2
2
4
2
222
1342222
，可得(a -3) x +a x -a +4a =0， 34
a 24-a 2±a (a 2-4) 2
x +x =-=-2⨯，∴，a =8. =1222
5a -32(a -3)
x 2y 2
∴椭圆方程为+=1.
84
（3）点B(0，2) ，直线m ：y =kx +2，代入椭圆方程得：x 2+2(kx +2)2=8，
-8k 2-4k 2, ) ； 解出 P (
1+2k 21+2k 2
8k 2k 2-4
, 2) . 直线n ：y =(-1/k ) x +2，同理得：Q (2
k +2k +22-4k 2k 2-1-8k
=(x -) . 直线PQ 的方程：y -22
3k 1+2k 1+2k
令x =0，y =-19. (Ⅰ)
解:因为f '(x ) =(x -3x +3) ⋅e +(2x -3) ⋅e =x (x -1) ⋅e (2分)
由f '(x ) >0⇒x >1或x
欲f (x ) 在[-2, t ]上为单调函数, -2
2
x
x
x
22
，直线PQ 经过定点(0, -) . 33
(Ⅱ) 证:因为f (x ) 在(-∞,0),(1,+∞) 上递增, 在(0,1)上递减, 所以f (x ) 在x =1处取得极小值e , 又f (-2) =
13
从而当t >-2时, f (-2)
f ' (x 0) 2f ' (x 0) 2222
x -x =(t -1) 2, =(t -1) =x -x (Ⅲ) 证:因为, 所以即为0000x 0x 0
3e 3e
222222
令g (x ) =x -x -(t -1) , 从而问题转化为证明方程g (x ) =x -x -(t -1) =0
33
在(-2, t ) 上有解, 并讨论解的个数………(12分)
因
为
2221
g (-2) =6-(t -1) 2=-(t +2)(t -4) , g (t ) =t (t -1) -(t -1) 2=(t +2)(t -1) ,
3333
所以
①当t >4或-20且g (t ) >0, 但由于g (0)=-所以g (x ) =0在(-2, t ) 上有解, 且有两解 …(14分)
③当t =1时, g (x ) =x 2-x =0⇒x =0或x =1, 所以g (x ) =0在(-2, t ) 上有且只有一解；
当t =4时, g (x ) =x 2-x -6=0⇒x =-2或x =3, 所以g (x ) =0在(-2, 4) 上也有且只有一解…(15分)
2
(t -1) 2
f ' (x 0) 22
=(t -1) 综上所述, 对于任意的t >-2, 总存在x 0∈(-2, t ) , 满足, x 0
e 3
且当t ≥4或-2
意…………(16分)
(说明:第(Ⅱ) 题也可以令ϕ(x ) =x -x , x ∈(-2, t ) , 然后分情况证明域内, 并讨论直线y =数)
20. (Ⅰ) 解:设c n =b n -2=2n -2, 则c 1=0, c 2=2, c 3=6,
易得c 1-c 1=c 1, c 2-c 1=c 2, c 2-c 2=c 1, 即数列{c n }一定是“2项可减数列” …2分 但因为c 3-c 2≠c 1, c 3-c 2≠c 2, c 3-c 2≠c 3, 所以K 的最大值为2……4分
(Ⅱ) 证明:因为数列{a n }是“K 项可减数列”,所以a K -a t (t =1,2, ⋅⋅⋅, K ) 必定是数列{a n }中的项,
而{a n }是递增数列, a K -a K
2
2
(t -1) 2在其值3
2
(t -1) 2与函数ϕ(x ) 的图象的交点个数即可得到相应的x 0的个3
=Ka K -(a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a K ) , 所以S K =Ka K -S K , 即S K =
又由定义知, 数列{a n }也是“t项可减数列”的(t =1,2, ⋅⋅⋅, K -1), 所以S n =
K
a K ……8分 2
n
a n (n =1, 2, ⋅⋅⋅, K ) … 9分 2
n
a n (n =1, 2, ⋅⋅⋅, K ) 是“K 项2
(Ⅲ) 解:(Ⅱ) 的逆命题为:若数列{a n }满足前n 项的和S n =可减数列”,
则该数列一定是“K 项可减数列” ……10分 该逆命题为真命题11分
n n -1a n (1≤n ≤K ) , 所以当n ≥2时, S n -1=a n -1, 两式相减, 22n n -1
a n -1, 即(n -2) a n =(n -1) a n -1(n ≥2) (*) …12分 得a n =S n -S n -1=a n -
22
则当n ≥3时, 有(n -3) a n -1=(n -2) a n -2 (**),由(**)－(*),得
理由如下:因为S n =
a n +a n -2=2a n -1(n ≥3) ……13分
1
又a 1=a 1, 所以a 1=0, 故数列a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a K 是首项为0的递增等差数列… 14分
2
设公差为d (d >0) , 则a n =(n -1) d ,(n =1,2, ⋅⋅⋅, K )
对于任意的i , j (1≤i ≤j ≤K ) , a j -a i =(j -i ) d =a j -i +1……15分
因为1≤j -i +1≤K , 所以a j -a i 仍是a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a K 中的项, 故数列{a n }是“K 项可减数列”……16分
数学附加题部分
21．
-2
因为λ1=3方程f (λ) =0的一根，所以x =1…6分 由(λ-1)(λ-1) -4=0得λ2=-1……10分
22
C. 解：（Ⅰ）由ρ=1得x +y =1，
π2
又
ρ=2cos(θ+) =cos θθ, ∴ρ=ρcos θ-sin θ……5分
3
22⎧x +y =11⎪22
,
得A (1,0),B (-, ,
∴x +y -x =
0，由⎨2
2
2⎪⎩x +y -x =0
∴AB 分 B. 解：矩阵M 的特征多项式为f (λ) =
λ-1
-2
=(λ-1)(λ-x ) -4……3分 λ-x
22. 解：（Ⅰ
）因为y =
所以y '=
2(-2x ) =3分
2
故切线l
的方程为y -=分
x -x 0) ,
即y =x 5
(Ⅱ) 设A (x 1,0), B (0,y 2) , M (x , y ) 是轨迹上任一点,
在y =x +
中令
y =0,
1⎧
x =
x 0 ⎪1⎪
得x 1=; 令x =0,
得y 2=, 则由OM =OA +OB ,
得⎨……8分
x 0⎪y =
⎪⎩
14
消去x 0, 得动点M 的轨迹C 2方程为2+2=1(x >1) ……10分
x y
23. 解：当n=1时, 欲a 2=-a 12+pa 1=a 1(-a 1+p ) >0恒成立, 而a 1∈(0,2), 则p >a 1, 所以
p ≥2
由此猜想p 的最小值为2…4分
因为p ≥2, 所以要证该猜想成立, 只要证:当p =2时, a n ∈(0,2)对n ∈N 恒成立…5分 现用数学归纳法证明之:①当n =1时结论显然成立.…6分
②假设当n =k 时结论成立，即a k ∈(0, 2), 则当n =k +1时，a k+1=－a k 2+2a k = a k (2－a k ) 一方面, a k+1=a k (2－a k )>0成立… 8分
另一方面, a k+1=a k (2－a k )=－(a k －1) 2+1≤1
由①、②可知, 猜想成立, 即p 的最小值为2……10分
*
江苏高考数学预测卷20
一、填空题。每小题5分，共70分。
1. 已知集合A ={x |0≤log 2x ≤2}，集合B =x |1≤2x ≤3，则A B . 2．已知全集为实数集，M ={x |x 2-2x
{}
2i
(i 为虚数单位) 的实部是1-i
1
，焦距是8，则该椭圆的方程2
4．已知椭圆的中心在原点、焦点在y 轴上，若其离心率是为 ．
5．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120，则数列{a n } 前15项的和为 .
6. 在∆ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C =5∶6∶8，那么此三角形最大 角与最小角之和的余弦值是 ．
7．若命题“∃x ∈R ，使得x 2+(a -1) x +1
(第8题图)
89. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球, 的数字外完全相同. 现从中随机取出两个小球, 和为5或7的概率是 .
10．若方程1n x +2x -10=0的解为x 0，则不小于x 011．如图，函数y =f (x ) 的图象在点P 处的切线是l ，则f (2)(第11题图)
⎧2a n (0≤a n ≤1), 6
12. 若数列{a n }满足a n +1=⎨且a 1=, 则a 2010=7⎩a n -1 (a n >1).
13. 函数f(x)＝2＋2x ＋2x ＋2x ＋1的最小值为__________．
14. 设函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象C 上有两个极值点P 、Q ，其中P 为坐标原点，当点Q 在圆D ：(x－2) 2＋(y－3) 2＝1上时，曲线C 的切线斜率的最大值为__________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
113
已知a ＝⎛，cosx ⎫，b ＝(1，y) ，且a ∥b . 设函数y ＝f(x)．
2⎝22⎭(1) 求函数y ＝f(x)的解析式；
π
A －＝3，边BC 3，求△ABC 周长的最大值． (2) 若在锐角△ABC 中，f ⎛3⎝
16. (本小题满分14分)
如图甲，在直角梯形PBCD 中，PB ∥CD ，CD ⊥BC ，BC ＝PB ＝2CD ，A 是PB 的中点，现沿AD 把平面PAD 折起，使得PA ⊥AB(如图乙) ，E 、F 分别为BC 、AB 边的中点．
(1) 求证：平面PAE ⊥平面PDE ；
(2) 在PA 上找一点G ，设AG ＝λAP，试求当λ为何值时可使FG ∥平面PDE.
17. (本小题满分15分)
某销售商销售某品牌手机，该品牌手机进价为每部1 580元，零售价为每部1 880元．为促进销售，拟采用买一部手机赠送一定数量礼物的方法，且赠送礼物的价值不超过180元．统计表明：在促销期间，礼物价值每增加15元(礼物的价值都是15元的整数倍，如礼物价值为30元，可视为两次增加15元，其余类推) ，销售量都增加11%.
(1) 当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少倍？(精确到0.1)
(2) 试问赠送礼物的价值为多少元时，商家可获得最大利润？
18. (本小题满分15分)
1
已知A (-2,0), B (2,0),点C 、D 依次满足AC =2, AD =(AB +AC ).
2
（1）求过点D 的轨迹；
（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的
4
距离为，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程；
5
（3）经过（2）中椭圆上顶点B 作直线m ，n ，使m ⊥n ，直线m ，n 分别交椭圆于P ，Q ，
连接PQ ，求证PQ 经过定点.
19. (本小题满分16分)
(Ⅰ) 试确定t 的取值范围, 使得函数f (x ) 在[-2, t ]上为单调函数； (Ⅱ) 求证:n >m ；
已知函数f (x ) =(x 2-3x +3) ⋅e x 定义域为[-2, t ](t >-2), 设f (-2) =m , f (t ) =n .
f ' (x 0) 22
=(t -1) (Ⅲ) 求证:对于任意的t >-2, 总存在x 0∈(-2, t ) , 满足, 并确定这x 0
e 3
样的x 0的个数.
20. (本小题满分16分) 已知数列{a n }单调递增，且各项非负，对于正整数K ，若对任意i ，j (1≤i ≤j ≤K ) ，a i -a j （Ⅰ）已知数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，且数列{b n -2}是“K项可减数列”，试确定K 的最大值。
（Ⅱ）求证：若数列{a n }是“K项可减数列”，则其前n 项的和S n =仍是{a n } 中的项，则称数列{a n }为“K项可减数列”。
（Ⅲ）已知{a n }是各项非负的递增数列，写出（Ⅱ）的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由。
n
a n (n =1, 2,....., K ) 2
数学加试题部分
21.[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，请把答案写在答题纸的指定区域内。
（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵M=⎢
C. （选修4-4：坐标系与参数方程）
若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos(θ+线段AB 的长。
⎡12⎤
的一个特征值为3，求其另一个特征值。 ⎥⎣2x ⎦
π
3
) ，它们相交于A 、B 两点，求
[必做题]第22、23题，每小题10分，计20分，请把答案写在答题纸的指定区域内. 22（本小题满分10分）
y 2
=1在第一象限的部分为曲线C ，曲线C 在其上 在平面直角坐标系xoy 中，椭圆x +4
2
动点P （x 0，y 0）
处切线l 与x 轴的交点分别为A 、B ，且向量=+ （Ⅰ）求切线l 的方程； （Ⅱ）求动点M 的轨迹方程。
23. （本小题满分10分）
2
已知数列{a n }满足a n +1=-a n +pa n (p ∈R ), 且a 1∈(0, 2) ，试猜想p 的最小值，使得
a n ∈(0, 2) 对n ∈N *恒成立，并给出证明。
江苏高考数学预测卷20
参考答案
y 2x 2
1. {x |1≤x ≤log 23} 2． {x |0
64485. 360 6. -
53 7. (-∞, -1) ∪(3,+∞) 8.1320 9. 10.5
580
39
11. 12.
87
13. 5 解析：用根式的几何意义． 14. 33 解析：f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，
∵ 极值点P 是坐标原点，∴ f′(0)＝0，f(0)＝0 c＝0，d ＝0.
2b ⎫3⎛2b 24b 32b 2⎛∴ f′(x)＝3ax ＋2bx ＝0 xQ ＝－，∴ yQ ＝a －3a ＋b －3a ＝⎝⎭⎝27a 3a b 23y ∵ Q在圆D 上，∴ a
y y 23D 上点Q 与原点连线的斜率，∴ 易求得的最大值为2＋ x Q x Q 3
∴ kmax ＝3＋3.
1⎛1sinx ＋3⎫＝0，(3分) 15. 解：(1) a ∥b y －1×
22⎝2⎭π
x ＋.(6分) ∴ y＝sinx ＋3cosx ＝2sin ⎛⎝3π3
A －＝3知：2sinA ＝3，sinA ＝(2) 由(1)及f ⎛3⎝2π
∵ 0
2∴ A＝60°.(8分)
由余弦定理得3＝b 2＋c 2－2bccos60°，即(b＋c) 2＝3＋bc ，(10分) ∴ (b＋c) 2＝3＋3bc≤3＋⎛
b ＋c 2
⎝2 b＋c≤2，(12分)
∴ △ABC 周长l ＝a ＋b ＋c ＝b ＋c ＋33， 所以，△ABC 周长最大值为23.(14分) 16. (1) 证明：在矩形ABCD 中， ∵ E为BC
中点，BC ＝2CD ，
∴ AB＝BE ＝EC ＝CD ，(2分) ∴ ∠AEB ＝∠CED ＝45°， ∴ DE⊥AE.(3分)
∵ PA⊥AB ，PA ⊥AD ，AB∩AD＝A ， ∴ PA⊥平面ABCD ，∴ PA⊥DE.(5分) 又PA∩AE＝A ， ∴ DE⊥平面PAE.
而DE 平面PDE ，所以，平面PAE ⊥平面PDE(7分)
11
(2) 解：如图，当AG ＝即λFG ∥平面PDE.(8分)
44证明如下：在平面PAD 中作GH ∥PD 交AD 于H ，连结FH ， 在矩形ABCD 中， ∵ F为AB 的中点， ∴ FH∥DE.(10分)
又DE 平面PDE ，FH 平面PDE ， ∴ FH∥平面PDE ，(12分) 同理，GH ∥平面PDE ， 而GH∩FH＝H ，
所以，平面FGH ∥平面PDE ， 所以，FG ∥平面PDE.(14分)
17. 解：设该品牌手机在不赠送礼物的条件下销售量为m 部， (1) 原来利润为(1 880－1 580)m＝300m 元，(2分) 当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润为 (1 880－1 580－30)m(1＋11%)2＝1.232 1×270m ，(4分)
1.232 1×270m
1.108 89，
300m
即当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润变为原来不赠送礼物时的1.1倍．(7分) (2) 当赠送礼物的价值为15x 元时，销售的总利润为f(x)元，则
f(x)＝(1 880－1 580－15x)·m·(1＋11%)x ＝15m(20－x)·1.11x ，(x∈N ，且x≤12)，(9分) f(x＋1) －f(x)＝15m(1.09－0.11x)·1.11x ，
10
令f(x＋1) －f(x)≥0，得x≤9.(12分)
11∵ x∈N ，且x≤12，
∴ 当x≤9时，f(x＋1)>f(x)；当9
18. 解：（1）设C (x 0, y 0), D (x , y ), AC =(x 0+2, y 0), AB =(4,0).
⎛x 0=x -2x 0y 0
AD =(+3, ) =(x +2, y ), 则 .
y =2y 22⎝0
2
代入AC =(x 0+2) 2+y 02=4, 得x 2+y 2=1.
（2）设直线l 的方程为y =k (x +2). ①
x 2y 2
=1(a 2>4); ② 椭圆的方程2+2
a a -4
由l
将①代入②得：
(a k +a -4) x +4a k x +4a k -a +4a =0， 又k = 有x 1, 2
2
1
=1, k 2=.
32
2
2
2
2
4
2
222
1342222
，可得(a -3) x +a x -a +4a =0， 34
a 24-a 2±a (a 2-4) 2
x +x =-=-2⨯，∴，a =8. =1222
5a -32(a -3)
x 2y 2
∴椭圆方程为+=1.
84
（3）点B(0，2) ，直线m ：y =kx +2，代入椭圆方程得：x 2+2(kx +2)2=8，
-8k 2-4k 2, ) ； 解出 P (
1+2k 21+2k 2
8k 2k 2-4
, 2) . 直线n ：y =(-1/k ) x +2，同理得：Q (2
k +2k +22-4k 2k 2-1-8k
=(x -) . 直线PQ 的方程：y -22
3k 1+2k 1+2k
令x =0，y =-19. (Ⅰ)
解:因为f '(x ) =(x -3x +3) ⋅e +(2x -3) ⋅e =x (x -1) ⋅e (2分)
由f '(x ) >0⇒x >1或x
欲f (x ) 在[-2, t ]上为单调函数, -2
2
x
x
x
22
，直线PQ 经过定点(0, -) . 33
(Ⅱ) 证:因为f (x ) 在(-∞,0),(1,+∞) 上递增, 在(0,1)上递减, 所以f (x ) 在x =1处取得极小值e , 又f (-2) =
13
从而当t >-2时, f (-2)
f ' (x 0) 2f ' (x 0) 2222
x -x =(t -1) 2, =(t -1) =x -x (Ⅲ) 证:因为, 所以即为0000x 0x 0
3e 3e
222222
令g (x ) =x -x -(t -1) , 从而问题转化为证明方程g (x ) =x -x -(t -1) =0
33
在(-2, t ) 上有解, 并讨论解的个数………(12分)
因
为
2221
g (-2) =6-(t -1) 2=-(t +2)(t -4) , g (t ) =t (t -1) -(t -1) 2=(t +2)(t -1) ,
3333
所以
①当t >4或-20且g (t ) >0, 但由于g (0)=-所以g (x ) =0在(-2, t ) 上有解, 且有两解 …(14分)
③当t =1时, g (x ) =x 2-x =0⇒x =0或x =1, 所以g (x ) =0在(-2, t ) 上有且只有一解；
当t =4时, g (x ) =x 2-x -6=0⇒x =-2或x =3, 所以g (x ) =0在(-2, 4) 上也有且只有一解…(15分)
2
(t -1) 2
f ' (x 0) 22
=(t -1) 综上所述, 对于任意的t >-2, 总存在x 0∈(-2, t ) , 满足, x 0
e 3
且当t ≥4或-2
意…………(16分)
(说明:第(Ⅱ) 题也可以令ϕ(x ) =x -x , x ∈(-2, t ) , 然后分情况证明域内, 并讨论直线y =数)
20. (Ⅰ) 解:设c n =b n -2=2n -2, 则c 1=0, c 2=2, c 3=6,
易得c 1-c 1=c 1, c 2-c 1=c 2, c 2-c 2=c 1, 即数列{c n }一定是“2项可减数列” …2分 但因为c 3-c 2≠c 1, c 3-c 2≠c 2, c 3-c 2≠c 3, 所以K 的最大值为2……4分
(Ⅱ) 证明:因为数列{a n }是“K 项可减数列”,所以a K -a t (t =1,2, ⋅⋅⋅, K ) 必定是数列{a n }中的项,
而{a n }是递增数列, a K -a K
2
2
(t -1) 2在其值3
2
(t -1) 2与函数ϕ(x ) 的图象的交点个数即可得到相应的x 0的个3
=Ka K -(a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a K ) , 所以S K =Ka K -S K , 即S K =
又由定义知, 数列{a n }也是“t项可减数列”的(t =1,2, ⋅⋅⋅, K -1), 所以S n =
K
a K ……8分 2
n
a n (n =1, 2, ⋅⋅⋅, K ) … 9分 2
n
a n (n =1, 2, ⋅⋅⋅, K ) 是“K 项2
(Ⅲ) 解:(Ⅱ) 的逆命题为:若数列{a n }满足前n 项的和S n =可减数列”,
则该数列一定是“K 项可减数列” ……10分 该逆命题为真命题11分
n n -1a n (1≤n ≤K ) , 所以当n ≥2时, S n -1=a n -1, 两式相减, 22n n -1
a n -1, 即(n -2) a n =(n -1) a n -1(n ≥2) (*) …12分 得a n =S n -S n -1=a n -
22
则当n ≥3时, 有(n -3) a n -1=(n -2) a n -2 (**),由(**)－(*),得
理由如下:因为S n =
a n +a n -2=2a n -1(n ≥3) ……13分
1
又a 1=a 1, 所以a 1=0, 故数列a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a K 是首项为0的递增等差数列… 14分
2
设公差为d (d >0) , 则a n =(n -1) d ,(n =1,2, ⋅⋅⋅, K )
对于任意的i , j (1≤i ≤j ≤K ) , a j -a i =(j -i ) d =a j -i +1……15分
因为1≤j -i +1≤K , 所以a j -a i 仍是a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a K 中的项, 故数列{a n }是“K 项可减数列”……16分
数学附加题部分
21．
-2
因为λ1=3方程f (λ) =0的一根，所以x =1…6分 由(λ-1)(λ-1) -4=0得λ2=-1……10分
22
C. 解：（Ⅰ）由ρ=1得x +y =1，
π2
又
ρ=2cos(θ+) =cos θθ, ∴ρ=ρcos θ-sin θ……5分
3
22⎧x +y =11⎪22
,
得A (1,0),B (-, ,
∴x +y -x =
0，由⎨2
2
2⎪⎩x +y -x =0
∴AB 分 B. 解：矩阵M 的特征多项式为f (λ) =
λ-1
-2
=(λ-1)(λ-x ) -4……3分 λ-x
22. 解：（Ⅰ
）因为y =
所以y '=
2(-2x ) =3分
2
故切线l
的方程为y -=分
x -x 0) ,
即y =x 5
(Ⅱ) 设A (x 1,0), B (0,y 2) , M (x , y ) 是轨迹上任一点,
在y =x +
中令
y =0,
1⎧
x =
x 0 ⎪1⎪
得x 1=; 令x =0,
得y 2=, 则由OM =OA +OB ,
得⎨……8分
x 0⎪y =
⎪⎩
14
消去x 0, 得动点M 的轨迹C 2方程为2+2=1(x >1) ……10分
x y
23. 解：当n=1时, 欲a 2=-a 12+pa 1=a 1(-a 1+p ) >0恒成立, 而a 1∈(0,2), 则p >a 1, 所以
p ≥2
由此猜想p 的最小值为2…4分
因为p ≥2, 所以要证该猜想成立, 只要证:当p =2时, a n ∈(0,2)对n ∈N 恒成立…5分 现用数学归纳法证明之:①当n =1时结论显然成立.…6分
②假设当n =k 时结论成立，即a k ∈(0, 2), 则当n =k +1时，a k+1=－a k 2+2a k = a k (2－a k ) 一方面, a k+1=a k (2－a k )>0成立… 8分
另一方面, a k+1=a k (2－a k )=－(a k －1) 2+1≤1
由①、②可知, 猜想成立, 即p 的最小值为2……10分
*