“截长补短法”在角的平分线问题中的运用
人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.
例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.
求证：∠BAD+∠BCD=180°.
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2 ∵BD平分∠ABC， ∴DE=DF，
在Rt△ADE与Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL), ∴∠DAE=∠DCF.
又∠BAD+∠DAE=180°， ∴∠BAD+∠DCF=180°， 即∠BAD+∠BCD=180°
例2. 如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.
求证：CD=AD+BC.
分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的
.
证明：在CD上截取CF=BC，如图2-2
在△FCE与△BCE中，
∴△FCE≌△BCE（SAS）, ∴∠2=∠1. 又∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°， ∴∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°， ∴∠3=∠4.
在△FDE与△ADE中，
∴△FDE≌△ADE（ASA）， ∴DF=DA， ∵CD=DF+CF， ∴CD=AD+BC.
例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.
求证：∠BAP+∠BCP=180°.
分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.
证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2 ∵∠1=∠2，且PD⊥BC， ∴PE=PD，
在Rt△BPE与Rt△BPD中，
∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL), ∴BE=BD.
∵AB+BC=2BD，
∴AB+BD+DC=BD+BE，
∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE. 在Rt△APE与Rt△CPD中
,
∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS), ∴∠PAE=∠PCD
又∵∠BAP+∠PAE=180°
.
∴∠BAP+∠BCP=180°
例4. 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.
证明：方法一（补短法）
延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2 ∴∠ACB＝2∠E，
∵∠ACB＝2∠B， ∴∠B＝∠E，
在△ABD与△AED中
,
∴△ABD≌△AED（AAS）, ∴AB=AE.
又AE=AC+CE=AC+DC， ∴AB=AC+DC.
方法二（截长法）
在AB上截取AF=AC，如图4-3 在△AFD与△ACD中
,
∴△AFD≌△ACD（SAS）, ∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD. 又∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FDB＝∠B， ∴FD=FB.
∵AB=AF+FB=AC+FD，
∴AB=AC+CD.
由角平分线引出的线段关系
一.过三角形一边的两个顶点分别作两个内角的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边相截，则截线长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的
线段长的和。 已知：如图1，交AC于E，求证：
、
的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于D，
图1
证明：BF平分
，
BE//BC
同理可证
即
二. 过三角形两个外角（或一个内角与一个外角）的平分线的交点作平行截线，三条截线段的关系又怎么样？请看以下例证。 例1. 已知：如图2，D是
的外角
，
的平分线AD、CD的交点，
过D作EF//AC，交BA的延长线于E，交BC的延长线于F。
图2
试指出AE、FC、EF的关系。 分析：AD平分
，
EF//AC
同理可证
。而
例2. 已知，如图3，D是的内角与外角的平分线BD与CD
的交点，过D作DE//BC，交AB于E，交AC于F。试确定EF、EB、FC的关系。
图3
分析：BD平分易证
又
，CD平分
，DE//BC
而
因此，这道习题的命题可推广为：
过三角形一边的两个顶点分别作两个内角或两个外角（一个内角与一个外角）的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边或两边的延长线相截，则截线段的长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和（或差）。
三角形角平分线的应用例析
三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明．
一、“以角平分线为轴翻折”构造全等三角形 此情形可构造两种基本图形如图1、2所示： 如图1，以AD为轴翻折， 使点C落在AB上（即在AB 上截取AE = AC），得△ACD ≌△AED．如图2，以AD为 轴翻折，使点B落在AC的延
长线上（即延长AC到E，使 AE = AB），得△ABD≌△AED．
例 1 如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB + BD = AC，求∠B ∶∠C的值．（河南省中考题）
解法1：在AC上截取AE = AB ，连结AE．
∵∠BAD = ∠DAE，AD = AD， ∴△ABD≌△AED， ∴∠B = ∠AED，BD = DE．
又∵AB + BD = AC， ∴CE = BD = DE， ∴∠C = ∠EDC， ∴∠B = ∠AED = 2∠C， ∴∠B ∶∠C = 2∶1．
解法2：延长AB到E，使AE = AC ，连结DE．请读者一试．二、“角平分线 + 垂线”构造全等三角形或等腰三角形
1、根据角平分线的性质作垂线：自角的平分线上任一点向两边作垂线，得两个全等的直角三角形；
2、根据等腰三角形的“三线合一”性质作垂线：自角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截的一个等腰三角形．
例 2 如图4，在四边形ABCD中， BC > BA，AD = DC，BD平分∠ABC． 求证：∠A + ∠C = 180°．
证明：过点D作DE⊥AB，交BA延 长线于点E，作DF⊥BC，交BC于点F ． ∵BD平分∠ABC，
∴DE = DF ．又∵AD = DC， ∴Rt△EAD≌Rt△FCD， ∴∠C = ∠EAD．
∵∠EAD + ∠BAD = 180°， ∴∠C + ∠BAD = 180°．
例 3 如图5，已知等腰Rt△ABC中，∠A = 90°，∠B的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E．求证：BD = 2CE . 证明：延长CE交BA的延长线于点F ． ∵BE是∠B的平分线，BE⊥CF，
∴∠BCF = ∠F， ∴△FBC是等腰三角形．
∴CE = FE． ∴CF = 2CE．
∵AB = AC，∠ABD = ∠ACF，∠BAD = ∠CAF = 90°， ∴Rt△BAD≌Rt△CAF． BD = CF = 2CE．
三、“角平分线 + 平行线”构造等腰三角形
1、自角的平分线上任一点作角的一边的平行线交另一边，得等腰三角形；
2、自角的一边上任一点作角平分线的平 行线交另一边的反向延长线，得等腰三角形． 例 4 如图6，在△ABC中，∠B和 ∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC， 交AB于D，交AC于E．若BD + EC =9， 则线段DE的长为（ ）
A.9；B.8；C.7；D.6. （河北省中考题） 解：∵DE∥BC， ∴∠DFB = ∠FBC ． ∵ ∠FBC = FBD， ∴∠DFB = FBD，
∴DF = BD．同理可证，FE = EC ． ∵DF + FE = DE，
∴BD + EC = DE，即DE = 9. 故应选
A.
例 5 如图7，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是
BC中点，EF∥AD，交AB于M，交CA的延长线于F，求证：BM = CF． 证明：作CN∥EF交BA的延长线于N．
∵E是BC中点， ∴BM = MN．
∵∠BAD =∠CAD，EF∥AD， ∴∠F = ∠FMA， ∴AM = AF．又∵CN∥EF， ∴∠N = ∠ACN， ∴AN = AC．
∴AC + AF = AN + AM = BM， ∴BM = CF．
总之，三角形的角平分线问题的辅助线的添加，一般不外乎以上三种情形，只要根据题目所给的条件，灵活选用上述三种构图方法，问题可获得解答．
“截长补短法”在角的平分线问题中的运用
人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.
例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.
求证：∠BAD+∠BCD=180°.
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2 ∵BD平分∠ABC， ∴DE=DF，
在Rt△ADE与Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL), ∴∠DAE=∠DCF.
又∠BAD+∠DAE=180°， ∴∠BAD+∠DCF=180°， 即∠BAD+∠BCD=180°
例2. 如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.
求证：CD=AD+BC.
分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的
.
证明：在CD上截取CF=BC，如图2-2
在△FCE与△BCE中，
∴△FCE≌△BCE（SAS）, ∴∠2=∠1. 又∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°， ∴∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°， ∴∠3=∠4.
在△FDE与△ADE中，
∴△FDE≌△ADE（ASA）， ∴DF=DA， ∵CD=DF+CF， ∴CD=AD+BC.
例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.
求证：∠BAP+∠BCP=180°.
分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.
证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2 ∵∠1=∠2，且PD⊥BC， ∴PE=PD，
在Rt△BPE与Rt△BPD中，
∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL), ∴BE=BD.
∵AB+BC=2BD，
∴AB+BD+DC=BD+BE，
∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE. 在Rt△APE与Rt△CPD中
,
∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS), ∴∠PAE=∠PCD
又∵∠BAP+∠PAE=180°
.
∴∠BAP+∠BCP=180°
例4. 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.
证明：方法一（补短法）
延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2 ∴∠ACB＝2∠E，
∵∠ACB＝2∠B， ∴∠B＝∠E，
在△ABD与△AED中
,
∴△ABD≌△AED（AAS）, ∴AB=AE.
又AE=AC+CE=AC+DC， ∴AB=AC+DC.
方法二（截长法）
在AB上截取AF=AC，如图4-3 在△AFD与△ACD中
,
∴△AFD≌△ACD（SAS）, ∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD. 又∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FDB＝∠B， ∴FD=FB.
∵AB=AF+FB=AC+FD，
∴AB=AC+CD.
由角平分线引出的线段关系
一.过三角形一边的两个顶点分别作两个内角的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边相截，则截线长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的
线段长的和。 已知：如图1，交AC于E，求证：
、
的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于D，
图1
证明：BF平分
，
BE//BC
同理可证
即
二. 过三角形两个外角（或一个内角与一个外角）的平分线的交点作平行截线，三条截线段的关系又怎么样？请看以下例证。 例1. 已知：如图2，D是
的外角
，
的平分线AD、CD的交点，
过D作EF//AC，交BA的延长线于E，交BC的延长线于F。
图2
试指出AE、FC、EF的关系。 分析：AD平分
，
EF//AC
同理可证
。而
例2. 已知，如图3，D是的内角与外角的平分线BD与CD
的交点，过D作DE//BC，交AB于E，交AC于F。试确定EF、EB、FC的关系。
图3
分析：BD平分易证
又
，CD平分
，DE//BC
而
因此，这道习题的命题可推广为：
过三角形一边的两个顶点分别作两个内角或两个外角（一个内角与一个外角）的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边或两边的延长线相截，则截线段的长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和（或差）。
三角形角平分线的应用例析
三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明．
一、“以角平分线为轴翻折”构造全等三角形 此情形可构造两种基本图形如图1、2所示： 如图1，以AD为轴翻折， 使点C落在AB上（即在AB 上截取AE = AC），得△ACD ≌△AED．如图2，以AD为 轴翻折，使点B落在AC的延
长线上（即延长AC到E，使 AE = AB），得△ABD≌△AED．
例 1 如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB + BD = AC，求∠B ∶∠C的值．（河南省中考题）
解法1：在AC上截取AE = AB ，连结AE．
∵∠BAD = ∠DAE，AD = AD， ∴△ABD≌△AED， ∴∠B = ∠AED，BD = DE．
又∵AB + BD = AC， ∴CE = BD = DE， ∴∠C = ∠EDC， ∴∠B = ∠AED = 2∠C， ∴∠B ∶∠C = 2∶1．
解法2：延长AB到E，使AE = AC ，连结DE．请读者一试．二、“角平分线 + 垂线”构造全等三角形或等腰三角形
1、根据角平分线的性质作垂线：自角的平分线上任一点向两边作垂线，得两个全等的直角三角形；
2、根据等腰三角形的“三线合一”性质作垂线：自角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截的一个等腰三角形．
例 2 如图4，在四边形ABCD中， BC > BA，AD = DC，BD平分∠ABC． 求证：∠A + ∠C = 180°．
证明：过点D作DE⊥AB，交BA延 长线于点E，作DF⊥BC，交BC于点F ． ∵BD平分∠ABC，
∴DE = DF ．又∵AD = DC， ∴Rt△EAD≌Rt△FCD， ∴∠C = ∠EAD．
∵∠EAD + ∠BAD = 180°， ∴∠C + ∠BAD = 180°．
例 3 如图5，已知等腰Rt△ABC中，∠A = 90°，∠B的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E．求证：BD = 2CE . 证明：延长CE交BA的延长线于点F ． ∵BE是∠B的平分线，BE⊥CF，
∴∠BCF = ∠F， ∴△FBC是等腰三角形．
∴CE = FE． ∴CF = 2CE．
∵AB = AC，∠ABD = ∠ACF，∠BAD = ∠CAF = 90°， ∴Rt△BAD≌Rt△CAF． BD = CF = 2CE．
三、“角平分线 + 平行线”构造等腰三角形
1、自角的平分线上任一点作角的一边的平行线交另一边，得等腰三角形；
2、自角的一边上任一点作角平分线的平 行线交另一边的反向延长线，得等腰三角形． 例 4 如图6，在△ABC中，∠B和 ∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC， 交AB于D，交AC于E．若BD + EC =9， 则线段DE的长为（ ）
A.9；B.8；C.7；D.6. （河北省中考题） 解：∵DE∥BC， ∴∠DFB = ∠FBC ． ∵ ∠FBC = FBD， ∴∠DFB = FBD，
∴DF = BD．同理可证，FE = EC ． ∵DF + FE = DE，
∴BD + EC = DE，即DE = 9. 故应选
A.
例 5 如图7，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是
BC中点，EF∥AD，交AB于M，交CA的延长线于F，求证：BM = CF． 证明：作CN∥EF交BA的延长线于N．
∵E是BC中点， ∴BM = MN．
∵∠BAD =∠CAD，EF∥AD， ∴∠F = ∠FMA， ∴AM = AF．又∵CN∥EF， ∴∠N = ∠ACN， ∴AN = AC．
∴AC + AF = AN + AM = BM， ∴BM = CF．
总之，三角形的角平分线问题的辅助线的添加，一般不外乎以上三种情形，只要根据题目所给的条件，灵活选用上述三种构图方法，问题可获得解答．