不确定度与测量结果不确定的表达

不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达不确定度与测量结果不确定的表达

1.2 不确定度与测量结果不确定的表达

由于误差的存在，使得测量结果具有一定程度的不确定性。为了加强国际间的交流与合作，1996年，中国计量科学研究院在国际权威文件《测量不确定度表达指南》的基础上，制定了我国的《测量不确定度规范》。从此，物理实验的不确定度评定有了国际公认的准则。下面将结合对测量结果的评定对不确定度的概念、分类、合成等问题进行讨论。

1.2.1 不确定度的概念

不确定度是评价测量质量的一个新概念，是表达测量结果具有分散性的一个参数，它是被测量的真值在某个量值范围内的一个评定。不确定度反映了可能存在的误差分布范围，是误差的数字指标。不确定度愈小，测量结果可信赖程度愈高；不确定度愈大，测量结果可信赖程度愈低。在实验和测量工作中，不确定度是作为估计而言的，因为误差是未知的，不可能用指出误差的方法去说明可信赖程度，而只能用误差的某种可能的数值去说明可信赖程度，所以不确定度更能表示测量结果的性质和测量的质量。用不确定度评定实验结果的误差，其中包含了各种来源不同的误差对结果的影响，而它们的计算又反映了这些误差所服从的分布规律，这是更准确地表述了测量结果的可靠程度，因而有必要采用不确定度的概念。

1.2.2 测量结果的表示和合成不确定度

在做物理实验时，要求表示出测量的最终结果。在这个结果中既要包含待测量的近似真实值x，又要包含测量结果的不确定度σ，还要反映出物理量的单位。因此，要写成物理含意深刻的标准表达形式，即

x=x±σ（单位）（1—4）式中x为待测量；x是测量的近似真实值,σ是合成不确定度，一般保留一位有效数字,若首数是1或2时可取2位。这种表达形式反应了三个基本要素：测量值、合成不确定度和单位。

在物理实验中，直接测量时若不需要对被测量进行系统误差的修正，一般就取多次测量的算术平均值x作为近似真实值；若在实验中有时只需测一次或只能测一次，该次测量值就为被测量的近似真实值。如果要求对被测量进行一定系统误差的修正，通常是将一定系统误差（即绝对值和符号都确定的可估计出的误差分量）从算术平均值x或一次测量值中减去，从而求得被修正后的直接测量结果的近似真实值。

在上述的标准式中，近似真实值、合成不确定度、单位三个要素缺一不可，否则就不能全面表达测量结果。同时，近似真实值x的末尾数应该与不确定度的所在位数对齐，近似真实值x与不确定度σ的数量级、单位要相同。在开始实验中，测量结果的正确表示是一个难点，要引起重视，从开始就注意纠正，培养良好的实验习惯，才能逐步克服难点，正确书写测量结果的标准形式。

由于误差的来源很多，测量结果的不确定度一般包含几个分量。在修正了可定系统误差之后，把余下的全部误差归为A、B两类不确定度分量。

① A类分量（A类不确定度）：SA—在同一条件下，多次重复测量时，用统计分析

方法评定的不确定度。

② B类分量（B类不确定度）：σB—用其它方法（非统计分析方法）评定的不确定度。

测量结果的总不确定度由“方和根”方法合成：

σ=SA +σB （1—5）

1.2.3 直接测量结果的不确定度的估算

不确定度的评定方法是一个比较复杂的问题，在多数普通物理实验教学中，为了简便，在进行直接测量的不确定度的合成问题时，对A类不确定度主要讨论在多次等精度测量条件下，读数分散对应的不确定度，并且用“贝塞尔公式”（1—2）式计算A类不确定度，即SA=Sx；对B类不确定度，主要讨论仪器不准确对应的不确定度，即σB=Δ仪，最后将测量（包括后面介绍的间接测量）结果写成标准形式：

X=X±σ （单位）（1—6）为了比较测量结果精确度的高低，常常使用相对不确定度这一概念，其定义为：

Eσ=

σX100%

（1—7）

式中，X为测量值，它可以使单次测量值，也可以是多次测量的算术平均值；σ为绝对不确定度，亦即总不确定度，如果是单次测量，它为仪器误差Δ仪，如果是多次测量，它是合成不确定度。因此，实验结果的获得，应包括待测量近似真实值的确定，A、B两类不确定度以及合成不确定度的计算。

应该是出，单次测量的不确定度估算是一个近似或粗略的估算方法。因为测量的随

机分布特征是客观存在的，不随测量次数的不同而变化。也不能由此得出结论“单次测量的不确定度小于多次测量的不确定度”的结论。

直接测量不确定度的估算举例：

用螺旋测径器测量小钢球的直径，八次的测量值分别为

d（mm）＝2.125, 2.131, 2.121, 2.127, 2.124, 2.126, 2.123, 2.129

螺旋测径器的零点读数d0为0.008、最小分度数值为0.01mm ，试写出测量结果的标准式。

解：（1）求直径 d 的算术平均值

d'=

∑

di=

(2.125+2.131+2.121+2.127+2.124+2.126+2.123+2.129)

=2.126(mm)

（2）修正螺旋测径器的零点误差

d=d'-d0=(2.126-0.008)=2.118(mm) （3）计算B类不确定度

螺旋测径器的仪器误差为∆仪＝0.005（mm） σB=∆仪＝0.005（mm）（4）计算A类不确定度

∑(d

Sd=

-d'

)

n-1

(2.125-2.126)2+(2.131-2.126)2+

8-1

=0.003(mm) （5）合成不确定度

2222

σ=Sd+σB=0.003+0.005=0.006(mm)

（6）测量结果为

d=d±σ=2.118±0.006(mm) （7）相对不确定度 Ed=100%=

σ0.0062.118

⨯100%=0.3%

当有些不确定度分量的数值很小时，相对而言可以略去不计。在计算合成不确定度中求“方和根”时，若某一平方值小于另一平方值的1，则这一项就可以略去不计。这

一结论叫做微小误差准则。在进行数据处理时，利用微小误差准则可减少不必要的计算。不确定度的计算结果，一般应保留一位有效数字，多余的位数按有效数字的修约原则进行取舍。

评价测量结果，除了需要引入相对不确定度Eσ的概念之外，有时候还需要将测量结果的近似真实值x与公认值x公进行比较，得到测量结果的百分偏差B。百分偏差定义为

x-x公x公

100%

百分偏差其结果一般应取2位有效数字。

1.2.4 间接测量结果不确定度的合成（或传递）

若间接测量量N为直接测量量x，y，z的函数： N＝F（x , y , z）（1—8）

间接测量的近似真实值和合成不确定度是由直接测量结果通过函数式计算出来的，既然直接测量有误差，那么间接测量也必有误差，这就是误差的传递（或合成）。由直接测量值及其不确定度来计算间接测量值的不确定度之间的关系式称为误差的传递公式。

设N为间接测量的量，它有3个直接测量互相独立的物理量x , y , z，各直接观测量

的测量结果分别为

x=x±σx，y=y±σ

，z=z±σ

（1）若将各个直接测量量的近似真实值x代入函数表达式中，即可得到间接测量的近似真实值。

N=F(x,y,z)

（2）求间接测量的合成不确定度。由于不确定度均为微小量，相似于高等数学中的微小增量，对函数式N＝F（x , y , z ）求全微分，即得

dN=

∂F∂xdx+

∂F∂ydy+

∂F∂zdz

式中dN , dx , dy , dz 均为微小量，代表各变量的微小变化，dN 的变化由各自变量的变化决定,

∂F∂F∂F

,,∂x∂y∂z

为函数对自变量的偏导数。将上面全微分式中的微分符号d改写为不

确定度符号σ，并将微分式中的各项求“方和根”，即为间接测量的合成不确定度

σN=

(∂F∂x

σx)+(

∂F∂y

y)+(

∂F∂z

σz)

（1—9）

当间接测量的函数表达式为积和商（或含和差的积商形式）的形式时，为了使运算简便起见，可以先将函数式两边同时取自然对数，然后再求全微分，即

dNN

=∂lnF∂x

dx+

∂lnF∂y

dy+

∂lnF∂z

（1—10）

同样改写微分符号为不确定度符号，再求其“方和根”，即为间接测量的相对不确定度EN，即

EN=σN=(∂lnFσx)2+(∂lnFσy)2+(∂lnFσz)2

∂x

∂y

∂z

已知EN、N，由（1—10）式可以求出合成不确定度

σN=N⋅EN （1—11）这样计算间接测量的统计不确定度时，特别对函数表达式很复杂的情况，尤其显示出它的优越性。今后在计算间接测量的不确定度时，对函数表达式仅为“和差”形式，可以直接利用（1—9）式，求出间接测量的合成不确定度σN；若函数表达式为积和商（或积商和差混合）等较为复杂的形式，可直接采用（1—10）式，先求出相对不确定度，再求出合成不确定度σN。

例1．已知电阻R1＝50.2±0.5（Ω）, 的和合成不确定度σR。

解：串联电阻的阻值为

R2＝149.8±0.5（Ω）,

求它们串联的电阻R

R＝R1＋R2＝50.2＋149.8＝200.0（Ω）

合成不确定度

σR=(

∂R∂R1

1)+(

∂R∂R2

222

=σ12+σ2=0.5+0.5=0.7（Ω）

相对不确定度

ER=

0.7200.0

100%=0.35%

测量结果为

R＝200.0±0.7（Ω）

间接测量的不确定度计算结果一般应保留一位有效数字，相对不确定度一般应保留2 位有效数字。

例2．测量金属环的内径D1＝2.880±0.004（cm），外径D2＝3.600±0.004（cm）, 厚度 h＝2.575±0.004（cm）。试求环的体积V和测量结果。解：环体积公式为

h(D2-D1)

（1）环体积的近似真实值为

h(D2-D1)

3.14164

2.575⨯(3.600-2.880

)=9.436(cm)

（2）首先将环体积公式两边同时取自然对数后，再求全微分 lnV=ln(

dVV

)+lnh+ln(D2-D1)

=0+

dhh

2D2dD2-2D1dD1

D2-D1

则相对不确定度为

EV=

σVV

)+(

2D2σD

2-D1

)+(

-2D1σ

2D2

2-D1

)

222

=⎢()+()+()⎥ 2222

3.600-2.8803.600-2.880⎣2.575⎦

⎡0.0042⨯3.600⨯0.004-2⨯2.880⨯0.004⎤2

=0.0081=0.81%

（3）总合成不确定度为

σV=V⋅EV=9.436⨯0.0081=0.08(cm)

（4）环体积的测量结果为 V＝9.44±0.08(cm3)

V的标准式中，因此将小数点后的第三位数6，V=9.436(cm)应与不确定度的位数取齐，

按照数字修约原则进到百分位，故为9.44。

间接测量结果的误差，常用两种方法来估计：算术合成（最大误差法）和几何合成（标准误差）。误差的算术合成将各误差取绝对值相加，是从最不利的情况考虑，误差合成的结果是间接测量的最大误差，因此是比较粗略的，但计算较为简单，它常用于误差分析、实验设计或粗略的误差计算中；上面例子采用的是几何合成的方法，计算较麻烦，但误差的几何合成较为合理。

不确定度与测量结果不确定的表达

1.2 不确定度与测量结果不确定的表达

1.2.1 不确定度的概念

1.2.2 测量结果的表示和合成不确定度

由于误差的来源很多，测量结果的不确定度一般包含几个分量。在修正了可定系统误差之后，把余下的全部误差归为A、B两类不确定度分量。

① A类分量（A类不确定度）：SA—在同一条件下，多次重复测量时，用统计分析

方法评定的不确定度。

② B类分量（B类不确定度）：σB—用其它方法（非统计分析方法）评定的不确定度。

测量结果的总不确定度由“方和根”方法合成：

σ=SA +σB （1—5）

1.2.3 直接测量结果的不确定度的估算

X=X±σ （单位）（1—6）为了比较测量结果精确度的高低，常常使用相对不确定度这一概念，其定义为：

Eσ=

σX100%

（1—7）

应该是出，单次测量的不确定度估算是一个近似或粗略的估算方法。因为测量的随

机分布特征是客观存在的，不随测量次数的不同而变化。也不能由此得出结论“单次测量的不确定度小于多次测量的不确定度”的结论。

直接测量不确定度的估算举例：

用螺旋测径器测量小钢球的直径，八次的测量值分别为

d（mm）＝2.125, 2.131, 2.121, 2.127, 2.124, 2.126, 2.123, 2.129

螺旋测径器的零点读数d0为0.008、最小分度数值为0.01mm ，试写出测量结果的标准式。

解：（1）求直径 d 的算术平均值

d'=

∑

di=

(2.125+2.131+2.121+2.127+2.124+2.126+2.123+2.129)

=2.126(mm)

（2）修正螺旋测径器的零点误差

d=d'-d0=(2.126-0.008)=2.118(mm) （3）计算B类不确定度

螺旋测径器的仪器误差为∆仪＝0.005（mm） σB=∆仪＝0.005（mm）（4）计算A类不确定度

∑(d

Sd=

-d'

)

n-1

(2.125-2.126)2+(2.131-2.126)2+

8-1

=0.003(mm) （5）合成不确定度

2222

σ=Sd+σB=0.003+0.005=0.006(mm)

（6）测量结果为

d=d±σ=2.118±0.006(mm) （7）相对不确定度 Ed=100%=

σ0.0062.118

⨯100%=0.3%

x-x公x公

100%

百分偏差其结果一般应取2位有效数字。

1.2.4 间接测量结果不确定度的合成（或传递）

若间接测量量N为直接测量量x，y，z的函数： N＝F（x , y , z）（1—8）

设N为间接测量的量，它有3个直接测量互相独立的物理量x , y , z，各直接观测量

的测量结果分别为

x=x±σx，y=y±σ

，z=z±σ

（1）若将各个直接测量量的近似真实值x代入函数表达式中，即可得到间接测量的近似真实值。

N=F(x,y,z)

（2）求间接测量的合成不确定度。由于不确定度均为微小量，相似于高等数学中的微小增量，对函数式N＝F（x , y , z ）求全微分，即得

dN=

∂F∂xdx+

∂F∂ydy+

∂F∂zdz

式中dN , dx , dy , dz 均为微小量，代表各变量的微小变化，dN 的变化由各自变量的变化决定,

∂F∂F∂F

,,∂x∂y∂z

为函数对自变量的偏导数。将上面全微分式中的微分符号d改写为不

确定度符号σ，并将微分式中的各项求“方和根”，即为间接测量的合成不确定度

σN=

(∂F∂x

σx)+(

∂F∂y

y)+(

∂F∂z

σz)

（1—9）

dNN

=∂lnF∂x

dx+

∂lnF∂y

dy+

∂lnF∂z

（1—10）

同样改写微分符号为不确定度符号，再求其“方和根”，即为间接测量的相对不确定度EN，即

EN=σN=(∂lnFσx)2+(∂lnFσy)2+(∂lnFσz)2

∂x

∂y

∂z

已知EN、N，由（1—10）式可以求出合成不确定度

例1．已知电阻R1＝50.2±0.5（Ω）, 的和合成不确定度σR。

解：串联电阻的阻值为

R2＝149.8±0.5（Ω）,

求它们串联的电阻R

R＝R1＋R2＝50.2＋149.8＝200.0（Ω）

合成不确定度

σR=(

∂R∂R1

1)+(

∂R∂R2

222

=σ12+σ2=0.5+0.5=0.7（Ω）

相对不确定度

ER=

0.7200.0

100%=0.35%

测量结果为

R＝200.0±0.7（Ω）

间接测量的不确定度计算结果一般应保留一位有效数字，相对不确定度一般应保留2 位有效数字。

例2．测量金属环的内径D1＝2.880±0.004（cm），外径D2＝3.600±0.004（cm）, 厚度 h＝2.575±0.004（cm）。试求环的体积V和测量结果。解：环体积公式为

h(D2-D1)

（1）环体积的近似真实值为

h(D2-D1)

3.14164

2.575⨯(3.600-2.880

)=9.436(cm)

（2）首先将环体积公式两边同时取自然对数后，再求全微分 lnV=ln(

dVV

)+lnh+ln(D2-D1)

=0+

dhh

2D2dD2-2D1dD1

D2-D1

则相对不确定度为

EV=

σVV

)+(

2D2σD

2-D1

)+(

-2D1σ

2D2

2-D1

)

222

=⎢()+()+()⎥ 2222

3.600-2.8803.600-2.880⎣2.575⎦

⎡0.0042⨯3.600⨯0.004-2⨯2.880⨯0.004⎤2

=0.0081=0.81%

（3）总合成不确定度为

σV=V⋅EV=9.436⨯0.0081=0.08(cm)

（4）环体积的测量结果为 V＝9.44±0.08(cm3)

V的标准式中，因此将小数点后的第三位数6，V=9.436(cm)应与不确定度的位数取齐，

按照数字修约原则进到百分位，故为9.44。

不确定度与测量结果不确定的表达

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