中国升量摩院学报１５（３）：０２４６～０２４９，２００４
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｎａＪｉｌｉａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
【文章编号】１００４—１５４０（２００４）０３—０２４６—０４
伴随矩阵的若干性质
王航平
（中国计量学院理学院，浙江杭州３１００１８）
【摘要】系统讨论了伴随矩阵的秩、自伴随矩阵性质、伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵对原矩阵性质的继
承性．
【关键词】伴随矩阵；自伴随矩阵；秩【中图分类号】０１５１．２１
【文献标识码】Ａ
Ｓｏｍｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｃｅｓ
ＷＡＮＧ
Ｈａｎｇ—ｐｉｎｇ
（ＣｈｉｎａＪｉｌｉａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ３１００１８，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍａｎｙｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｃｅｓ
ａｒｅ
ｄｉｓｃｕｓｓｅｄｉｎｄｅｔａｉｌ：ｔｈｅｒａｎｋｏｆａｄｊｏｉｎｔｍａ—
ｔｒｉｃｅｓ，ｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｓｅｌｆ—ａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｃｅｓ，ｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｏｐｅｒａｔｉｏｎ，ａｎｄｔｈｅｉｎｈｅｒｅｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｃｅｓｆｒｏｍｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｍａｔｒｉｃｅｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｘ；ｓｅｌｆ—ａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｘ；ｒａｎｋ
在矩阵计算及讨论中，常常会遇到伴随矩阵，定理２设Ａ为
＞１
则有
但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很ｍｎ）ｋ喻Ａ
博一
少，文章较系统讨论了伴随矩阵的各种性质．
ｒａｎｋ（ａｄｊ（Ａ））一
＠挖１
ｍｎｋＡ一１文中矩阵除特别说明外均假设阶数为，ｚ（行＞０
ｎｎｋＡ方）一＜
一１
１）的方阵；Ａ。，表示为Ａ中（ｉ，歹）一元素的代数余子特别地，（１）当ｒａｎｋ（Ａ）一规时，有ａｄｊ（Ａ）一
式；Ｅ。表示行阶单位矩阵．
Ａ
ＩＡ～；
伴随矩阵的定义与基本性质
（２）当ｒａｎｋ（Ａ）＜咒一１时，有ａｄｊ（Ａ）＝０．定理３
（１）单位阵的伴随矩阵仍为单位阵，
设Ａ是卵（，ｚ≥２）阶方阵，，２阶方阵ａｄｊ（Ａ）的即口矗ｊ（Ｅ。）＝Ｅ。；
（ｉ，．７）一元素，定义为Ａ＂Ａ。为Ａ中（ｉ，歹）一元素的（２）对角矩阵的伴随矩阵仍为对角矩阵，且
代数余子式，称ａｄｊ（Ａ）为Ａ的伴随矩阵．
ａｄｊ（ｄｉａｇ（ａ１，ａ２，…，口。））一
定理１
Ａａｄｊ（Ａ）＝ａｄｊ（Ａ）Ａ＝ＩＡｆＥ。．
ｎ
＾
＂
Ｈ一１
ｄｉａｇ（Ⅱ％Ⅱ％Ⅱ％…，Ⅱａ。）；ｂ２
【收稿日期１
２００４—０２—１０
８ｉ三２８。三３
８１
【作者筒介】王航平（１９５９一），男，浙江宁海人，副教授．主要研究方向为代数学
万
方数据
第３期王航平：伴随矩阵的若干性质
２４７
（３）对称矩阵的伴随矩阵仍为对称矩阵，即若Ａ丁一Ａ，则（ａｄｊＡ）丁一ａｄｊ（Ａ）；
（４）设Ａ为反对称矩阵，即Ａｒ一一Ａ，
贝ｌＪ（ａｄ㈣丁一一籍’：舅罢萋
即偶数阶反对称矩阵的伴随矩阵仍为反对称矩阵，奇数阶的反对称矩阵的伴随矩阵为对称矩阵．
（５）初等矩阵的伴随矩阵分别为：ａｄｊ（Ｐ（ｉ，歹））一一Ｐ（ｉ，歹）ｉ≠Ｊ
ａｄｊ（Ｐ（ｉ（ｃ）））＝ｃＰ（！（１／ｃ））
（ｆ≠０）
ａｄｊＰ（ｉ，歹（是））＝Ｐ（ｉ，Ｊ（一愚））；
（６）正交矩阵的伴随矩阵：
若Ｑ是第一类正交矩阵，即ｌＱＩ＝１，则
ａｄｊ（Ｑ）一Ｑ丁；
若Ｑ是第二类正交矩阵，即ＩＱｌ＝一１，则
ａｄｊ（Ｑ）＝一Ｑｒ．
证明：定理中的各结论均可直接由定义或基本性质证明，这里仅证明（５）
ａｄｊ（Ｐ（ｉ，歹））＝ｌＰ（ｉ，＿『）ＩＰ－１（ｉ，歹）
一一Ｐ（ｉ，Ｊ）ｉ≠歹；
ａｄｊ（Ｐ（ｉ（ｆ）））＝ＩＰ（ｉ（ｃ））ＩＰ叫（ｉ（ｃ））
＝ｃＰ（ｉ（１／ｃ））；
ａｄｊＰ（ｉ，Ｊ（忌））＝ｌＰ（ｉ，歹（是））ｌＰ一１（ｉ，＿ｆ（忌））
一Ｐ（ｉ，Ｊ（一是））．
证毕２
伴随矩阵的运算性质
求方阵”（规＞１）阶方阵Ａ的伴随矩阵可以视
为方阵的一元运算．作为运算，其具有如下的一些性质：
定理４
设Ａ为挖（规＞１）阶方阵，记
ａｄｓ‘１（Ａ）为ａｄｊ（ａｄｊ（…ａｄｊ（Ａ）…）），则有
—————了Ｋ了————一
（１）ａｄｊ（ｋＡ）＝ｋ．－１ａｄｊ（Ａ）；（２）ａｄｊＥ‘３（Ａ）＝
ｆ
。０
１
ｆＡ
ｆ尘型粤口ｄｊ（Ａ）
竺艇：二麓：
ｌ
ｌＡｌ毕Ａ
ｒａｎｋ（Ａ）一咒，志为奇数ｒａｎｋ（Ａ）＝，２，ｋ为偶数
对Ｖｋ∈Ｎ．
特别，有ａｄｊ（ａｄｊ（Ａ））一ＩＡＩ”一２Ａ．
证明：（１）可直接由定义计算出，这里只证明
万
方数据当愚一１时，结论成立，当ｋ＝２时：ｒａｎｋ（Ａ）＝７＂１，由定理２有ａｄｊ（Ａ）一ＩＡＩＡ～，
所以ａｄｊ‘２］（Ａ）
一
ａｄｊ（ａｄｊ（Ａ））
＝
Ｉａｄｊ（Ａ）Ｉａｄｊ－１（Ａ）＝ＩＩＡＩＡ＿１ｌ（１Ａ
ｌＡ叫１）－１
一ＩＡＩ一２Ａ
ｋ＝２时，结论成立，
假设ｋ一１结论成立，则对于ｋｋ为奇数时：
口勿嘲（Ａ）＝ａｄｊ（ａｄｊＥ。一１３（Ａ））
一口彩（ＩＡ一川虹掣以ｄｊ（Ａ），
Ｉ虹学生Ａ）
ｋ为偶数时：
口旬嘲（Ａ）一ａｄｊ（ａｄｊＥ‘一１３（Ａ））
一日出（１Ａｌ虹止≥幽ａ旬（Ａ））
一ＪＡＩ虹屿尘芷口力（口旬（Ａ））
一ＩＡＩ盟＿￡｝笠型ＩＡＩ一一ｚＡ—ｌＡＩ虹监尘寻盥也型Ａ
：ＩＡ
Ｉ毕Ａ
所以对ｋ时，结论成立．
由数学归纳原理，对Ｖｋ∈Ｎ，命题成立．证些
定理５ａｄｊ（ＡＢ）一日ｄ歹（Ｂ）口ｄ歹（Ａ）
证明
分如下六步证明
第一步：ｒａｎｋ（Ａ）＝ｒａｎｋ（Ｂ）＝以时
由Ａ，Ｂ满秩，有ａｄｊ（Ａ）＝ＩＡＩＡ～，ａｄｊ（Ｂ）＝ＩＢｌＢ～，且有ｒａｎｋ（ＡＢ）＝以，所以ａｄｊ（ＡＢ）一
ＪＡＢＩ（ＡＢ）－１＝ＩＡＩＩＢｌＢ＿１Ａ－１
一ＢｌＢ．１ｌＡＡ＿１＝ａｄｊ（Ｂ）ａｄｊ（Ａ），此时结论成立．
第二步：ｒａｉｎ｛ｒａｎｋ（Ａ），ｒａｎｋ（Ｂ））＜起一１时由ｒａｎｋ（ＡＢ）≤ｍｉｎ（ｒａｎｋ（Ａ），ｒａｎｋ（Ｂ）｝＜挖一１，所以此时结论成立．
第三步：对初等矩阵Ｐ，Ｑ有ａｄｊ（ＰＡ）一
ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（Ｐ），ａｄｊ（ＡＱ）
＝
ａｄｊ（Ｑ）ａｄｊ（Ａ），
ａｄｊ（ＰＡＱ）一ａｄｊ（Ｑ）ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（Ｐ）：
当Ｐ＝Ｐ（ｉ，歹）时：
ａｄｊ（Ｐ（ｉ，歹）Ａ）＝口ｄｊ
ｉ行歹行
；；；％
２４８
中国计量学院学报第１５卷
＝＝
一Ａ１１…一ＡＪｌ…一Ａ１…一Ａ。１一Ａ１２
…
一ＡＪｚ
…
一Ａ２
…
一Ａ。２
●●●
●●●
●●●
●●●
●●●
●●●
●●●
一Ａ１。
…
一Ａ＂
…
一Ａ抽
…
一Ａ。。
ｚ
Ｊ
＝一ａｄｊ（Ａ）Ｐ（ｉ，Ｊ）＝ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（Ｐ（ｉ，歹）），其中ｏｔｉ为Ａ的第ｉ个行向量，Ａ。，是Ａ中元素ａｉ，所对应的代数余子式；
当Ｐ—Ｐ（ｉ（ｆ））时（ｆ≠ｏ）；
ａ１
：
●
ａｄｊ（Ｐ（ｉ（ｃ）Ａ）一口ｄｊ；
ＣＯｔ
：
●
％
Ｃ
Ａｎ
Ｃ
—
．
ｆ
Ａ“
ｆ
¨
．
ｆ
Ａ～Ａ—Ａ
４
堋
ｆ
Ａ～Ａ—Ａ
＝ｃａｄｊ（Ａ）Ｐ（ｉ（１／ｃ））＝ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（Ｐ（ｉ（ｃ））
当Ｐ—Ｐ（ｉ，歹（愚））时：
口，
ｑ＋ｋａ，
ａｄｊ（Ｐ（ｉ，ｊ（ｋ））Ａ）＝ａｄｊ
口．
口Ｈ
Ａ１１
…
Ａ。ｌ
…
ＡＪｌ＋（一１）一１ｋＡ。１
…
Ａ。ｌ
Ａ１２…Ａｉ２…Ａ，２＋（一１）一ｈＡ。２…Ａ。２…………………Ａ１。…Ａ。。…Ａ，。＋（一１）－１ｋＡ。。…以。。
３
ａｄｊ（Ａ）Ｐ（ｉ，Ｊ（一ｋ））＝ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（尸（ｉ，Ｊ（是）））；
所以对于初等矩阵Ｐ、Ｑ，有ａｄｊ（ＰＡ）一ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（Ｐ）．对于ａｄｊ（ＡＱ）＝ａｄｊ（Ｑ）ａｄｊ（Ａ）和ａｄｊ（ＰＡＱ）一ａｄｊ（Ｑ）ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（Ｐ），可同样证明．
第四步：对于，ｚ阶可逆矩阵Ｐ、Ｑ与以阶矩阵Ａ，有ａｄｊ（ＰＡＱ）一ａｄｊ（Ｑ）ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（Ｐ）
仅需利用任意可逆矩阵可分解成有限个初等矩阵之积，再用数学归纳法证明即可．
万
方数据第五步：ｍｉｎ｛ｒａｎｋ（Ａ），ｒａｎｋ（Ｂ）｝一，ｚ一１且
ｍａｘ｛ｒａｎｋ（Ａ）｝，ｒａｎｋ（Ｂ）｝一咒，不妨设ｒａｎｋ（Ａ）＝咒，ｒａｎｋ（Ｂ）＝咒一１仅需利用第四步的结论即可．
第六步：ｒａｎｋ（Ａ）一以一１，ｒａｎｋ（Ｂ）一九一１，设
Ａ—ＰｆＥ一一，
Ｑ．
＼００１０／
一ＸＩ…
Ｔ．
＼０
０／
Ｑｘ
２匮Ｂ２
ｆＢｌＩＢ１２］
Ｂ“２２
Ｊ
则
ＡＢ—Ｐ（Ｅ一０＼
１。０）［？Ｂ：：。０］丁，
／Ｉ
２】
Ｊ
其中Ｐ，丁为可逆矩阵．
口ｄ？（ＡＢ）
嘶ｃＴⅢ歹惮凇：ＯＯ口
觚
（尸而ｎ勿㈣：憾㈡
｜｜
Ｃ
ｄ，
，川“、臃ｏ
９（引
／０
０
＼
一ｌ
０
ＩＢ，，Ｉ』
嘶憾Ｂｌｌ：ｌｌａｄＪ（（Ｅ了１
一（：剖（㈡一（：训
同帚ｌｊ』ｄｄｉｆＡＢ、
刊ｊ（Ｔ）ａｄｊ陋１雌川嘶ｃＰ，
＝ａｄｊ（Ｔ）ａ力憾扣一：怕ｃＰ，
＝ｎｄｊ（Ｔ）ａｄｊ（Ｑｘ（Ｅ了１：））ｎ矗ｊ（Ｅ了１：）ｎｄｊｃＰ，
刊ｊ（Ｔ）ａｄｊ（Ｑｘ一０））
以ｊ（Ｘ）ａｄ胭）ｎ咖㈢０。。０）嘶（蹦由第５步）
＼
／
＝ａｄｊ（Ｂ）ａｄｊ（Ａ）
所以ａｄｊ（ＡＢ）一ａｄｊ（Ｂ）ａｄｊ（Ａ）证毕
推论：设Ａ，。Ａ∥．．．Ａ。为仟意咒阶锚阵
第３期
王航平：伴随矩阵的若干性质
２４９
（１）ａｄｊ（Ａ１Ａ２…Ａ，）
＝ａｄｊ（Ａ，）ａｄｊ（Ａ，．１）…ａｄｊ（Ａ１）；
（２）ａｄｊ（Ａ＋）＝（ａｄｊ（Ａ））‘．
定理６：
（１）ａｄｊ（Ａ叫）＝（ａｄｊ（Ａ））一１；
（２）『ａｄｊ（Ａ）Ｉ＝』ＡＩ一１；（咒≥２）（３）Ｉ（ａｄｊｃ’３（Ａ））ｌ＝ＩＡＪ“一１ｒ；
（４）ｌａｄｊ（Ａ，Ａ２＂＂Ａ；）Ｉ—ＩＩ［ａｄｊ（Ａｉ）Ｉ
￡＝１
（Ⅱ㈨Ｉ）州；
ｉ＝１
（５）Ｉａｄｊ（Ａ。）ｌ—Ｉ（ａｄｊ（Ａ））Ｉ‘一ＩＡＩＨ“
（６）ａｄｊ（Ａ丁）＝（ａｄｊ（Ａ））丁；（７）ａｄｊ（Ａ）＝ａｄｊ（Ａ）．
３
自伴随矩阵
定义：若ａｄｊ（Ａ）一Ａ，则称Ａ为自伴随矩阵．定理７：
（１）零矩阵、单位矩阵均为自伴随矩阵；（２）两自自伴随矩阵之积为自伴随矩阵的充
要条件为两矩阵可换；
（３）若Ａ为自伴随矩阵，则ＩＡＩ一１＝ＩＡＩ（咒≥２）；
（４）若Ａ为自伴随矩阵，则Ａ‘（志一１，２，…）也为自伴随矩阵；
（５）若Ａ为非奇异自伴随矩阵，则Ａ叫也为自伴随矩阵；
（６）若Ａ为自伴随矩阵，则Ａ丁也为自伴随矩阵．定理８：
（１）Ａ为自伴随矩阵，若Ａ不是可逆的，则Ａ
一０：
（２）行列式值为１的方阵Ａ为自伴随矩阵的充要条件是Ａ为自逆矩阵，即Ａ＝Ａ～．
证明：这里仅证明（１）：Ａ为规阶（咒≥２）自伴随矩阵，则ａｄｊ（Ａ）一Ａ，．．．ｒａｎｋ（ａｄｊ（Ａ））一ｒａｎｋ（Ａ），若ｒａｎｋ（Ａ）＜以一１则ａｄｊ（Ａ）＝０．所以Ａ一０．若ｒａｎｋ（Ａ）一粗一１，则ｒａｎｋ（ａｄｊ（Ａ））一１．由ａｄｊ（Ａ）＝Ａ．可得１＝ｎ一１，所以咒＝２．下证这种情况不可能出现．。．＋ｒａｎｋ（Ａ）一１，可设
／忌口
ｋｂ＼
Ａ—Ｉ肠ｌｂｊ，其中（口，６）≠ｏ，（足，２）≠ｏ，由Ａ为
自伴随矩阵，所以ａｄｊ（Ａ）一Ａ，而
万
方数据以ｊ（Ａ）一积Ｊｌ
，、
，ｆ
ｋａｋｂ＼
ｆ
ｌｂ
２
ｌａ
ｌｂ
Ｊ
２
ｌ～肠妃Ｊ
—ｋｂ＼
／忌口
五６＼
Ｉ肠
舾』
ｊ＝Ａ得．｛ｌａ一０，但口、ｂ不同时为零，愚、ｚ不同时为零，
ｆｋｂ＝０
ｌ忌口：ｌｂ
此方程无解，所以这种情况不可能出现．因此结论成立４
伴随矩阵的继承性
定理９：设Ａ，Ｂ为ｎ阶矩阵
（１）若Ａ与Ｂ等价，则ａｄｊ（Ａ）与ａｄｊ（Ｂ）也
等价；
（２）若Ａ与Ｂ合同，则ａｄｊ（Ａ）与ａｄｊ（Ｂ）也合同；
（３）若Ａ与Ｂ相似，则ａｄｊ（Ａ）与ａｄｊ（Ｂ）也相似；
（４）若Ａ能相似对角化，则ａｄｊ（Ａ）也能相似对角化；
（５）Ａ可逆阵ｅｅｍｄｊ（Ａ）为可逆阵；
（６）Ａ对称铮口旬（Ａ）对称；
（７）Ａ正交铮ａｄｊ（Ａ）正交；
（８）设Ａ为可逆阵，则Ａ反对称甘ａｄｊ（Ａ）为反对称；
（９）Ａ＝Ｂ净ａｄｊ（Ａ）＝ａｄｊ（Ｂ）：
（１０）Ａ正定净口勿（Ａ）正定．
５
结论
通过讨论伴随矩阵的各种性质，提出了一般意义下伴随矩阵之积的公式：ａｄｊ（ＡＢ）一
口旬（Ｂ）盘幻（Ａ）；并对伴随矩阵的继承性展开了讨论，得到了矩阵经伴随后，具有相当强的性质继承陛．
【参
考文献】
［１］
顾沛，丁龙云．关于伪欧氏环上的矩阵［Ｊ］．南开大学学报，２００２，３５（３）Ｉ３４—３７．
［２］黄敬频．伴随矩阵与两种广义逆矩阵的若干性质［Ｊ］．广西民族学院学报，２００２，１５（２）：６—８．
［３］
陈景良，陈向晖．特殊矩阵［Ｍ］．北京：清华大学出版社．２００１
—０１．
［４］
北大数学系代数与几何教研室前代数小组编．高等代数（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育社，２００３．
伴随矩阵的若干性质
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：
王航平
中国计量学院,理学院,浙江,杭州,310018中国计量学院学报
JOURNAL OF CHINA JILIANG UNIVERSITY2004，15(3)0次
参考文献(4条)
1. 顾沛. 丁龙云 关于伪欧氏环上的矩阵[期刊论文]-南开大学学报(自然科学版) 2002(3)
2. 黄敬频 伴随阵与两种广义逆阵的若干性质[期刊论文]-广西民族学院学报(自然科学版) 2002(4)3. 陈景良. 陈向晖 特殊矩阵 2001
4. 北大数学系几何与代数教研室代数小组 高等代数 2003
相似文献(1条)
1.期刊论文 陈炎. 曹树良. 梁开洪. 祝宝山. Chen Yan. Cao Shuliang. Liang Kaihong. Zhu Baoshan 基于特征线方程N-S方程非增量型分离算法 -排灌机械2009,27(5)
为克服传统有限元方法求解流场时由于对流项占优而引起的求解振荡和基函数选择困难的问题,推导了基于特征线方程的粘性不可压N-S方程的增量型和非增量型分离算法的公式及求解步骤,并讨论了两者的Babuska-Brezzi条件.沿着特征线方向,N-S方程的对流项消失,方程矩阵是自伴随矩阵,可以自动满足有限单元法中能量泛函最小的要求,并可以给出合理的粘性耗散项.动量方程的求解采用非增量型分离算法,压力和速度可以采用任意阶次的插值函数,离散后的方程自动满足Babuska-Brezzi条件.为验证算法的可靠性,采用T3P3空间等阶次U-p单元计算了方柱绕流.结果表明:基于特征线方程的非增量型分离算法可以很好地应用于粘性不可压流场的计算,与目前流行的其它方法相比,该算法有明显的优势.
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgjlxyxb200403019.aspx
下载时间：2010年4月2日
中国升量摩院学报１５（３）：０２４６～０２４９，２００４
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｎａＪｉｌｉａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
【文章编号】１００４—１５４０（２００４）０３—０２４６—０４
伴随矩阵的若干性质
王航平
（中国计量学院理学院，浙江杭州３１００１８）
【摘要】系统讨论了伴随矩阵的秩、自伴随矩阵性质、伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵对原矩阵性质的继
承性．
【关键词】伴随矩阵；自伴随矩阵；秩【中图分类号】０１５１．２１
【文献标识码】Ａ
Ｓｏｍｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｃｅｓ
ＷＡＮＧ
Ｈａｎｇ—ｐｉｎｇ
（ＣｈｉｎａＪｉｌｉａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ３１００１８，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍａｎｙｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｃｅｓ
ａｒｅ
ｄｉｓｃｕｓｓｅｄｉｎｄｅｔａｉｌ：ｔｈｅｒａｎｋｏｆａｄｊｏｉｎｔｍａ—
ｔｒｉｃｅｓ，ｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｓｅｌｆ—ａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｃｅｓ，ｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｏｐｅｒａｔｉｏｎ，ａｎｄｔｈｅｉｎｈｅｒｅｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｃｅｓｆｒｏｍｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｍａｔｒｉｃｅｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｘ；ｓｅｌｆ—ａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｘ；ｒａｎｋ
在矩阵计算及讨论中，常常会遇到伴随矩阵，定理２设Ａ为
＞１
则有
但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很ｍｎ）ｋ喻Ａ
博一
少，文章较系统讨论了伴随矩阵的各种性质．
ｒａｎｋ（ａｄｊ（Ａ））一
＠挖１
ｍｎｋＡ一１文中矩阵除特别说明外均假设阶数为，ｚ（行＞０
ｎｎｋＡ方）一＜
一１
１）的方阵；Ａ。，表示为Ａ中（ｉ，歹）一元素的代数余子特别地，（１）当ｒａｎｋ（Ａ）一规时，有ａｄｊ（Ａ）一
式；Ｅ。表示行阶单位矩阵．
Ａ
ＩＡ～；
伴随矩阵的定义与基本性质
（２）当ｒａｎｋ（Ａ）＜咒一１时，有ａｄｊ（Ａ）＝０．定理３
（１）单位阵的伴随矩阵仍为单位阵，
设Ａ是卵（，ｚ≥２）阶方阵，，２阶方阵ａｄｊ（Ａ）的即口矗ｊ（Ｅ。）＝Ｅ。；
（ｉ，．７）一元素，定义为Ａ＂Ａ。为Ａ中（ｉ，歹）一元素的（２）对角矩阵的伴随矩阵仍为对角矩阵，且
代数余子式，称ａｄｊ（Ａ）为Ａ的伴随矩阵．
ａｄｊ（ｄｉａｇ（ａ１，ａ２，…，口。））一
定理１
Ａａｄｊ（Ａ）＝ａｄｊ（Ａ）Ａ＝ＩＡｆＥ。．
ｎ
＾
＂
Ｈ一１
ｄｉａｇ（Ⅱ％Ⅱ％Ⅱ％…，Ⅱａ。）；ｂ２
【收稿日期１
２００４—０２—１０
８ｉ三２８。三３
８１
【作者筒介】王航平（１９５９一），男，浙江宁海人，副教授．主要研究方向为代数学
万
方数据
第３期王航平：伴随矩阵的若干性质
２４７
（３）对称矩阵的伴随矩阵仍为对称矩阵，即若Ａ丁一Ａ，则（ａｄｊＡ）丁一ａｄｊ（Ａ）；
（４）设Ａ为反对称矩阵，即Ａｒ一一Ａ，
贝ｌＪ（ａｄ㈣丁一一籍’：舅罢萋
即偶数阶反对称矩阵的伴随矩阵仍为反对称矩阵，奇数阶的反对称矩阵的伴随矩阵为对称矩阵．
（５）初等矩阵的伴随矩阵分别为：ａｄｊ（Ｐ（ｉ，歹））一一Ｐ（ｉ，歹）ｉ≠Ｊ
ａｄｊ（Ｐ（ｉ（ｃ）））＝ｃＰ（！（１／ｃ））
（ｆ≠０）
ａｄｊＰ（ｉ，歹（是））＝Ｐ（ｉ，Ｊ（一愚））；
（６）正交矩阵的伴随矩阵：
若Ｑ是第一类正交矩阵，即ｌＱＩ＝１，则
ａｄｊ（Ｑ）一Ｑ丁；
若Ｑ是第二类正交矩阵，即ＩＱｌ＝一１，则
ａｄｊ（Ｑ）＝一Ｑｒ．
证明：定理中的各结论均可直接由定义或基本性质证明，这里仅证明（５）
ａｄｊ（Ｐ（ｉ，歹））＝ｌＰ（ｉ，＿『）ＩＰ－１（ｉ，歹）
一一Ｐ（ｉ，Ｊ）ｉ≠歹；
ａｄｊ（Ｐ（ｉ（ｆ）））＝ＩＰ（ｉ（ｃ））ＩＰ叫（ｉ（ｃ））
＝ｃＰ（ｉ（１／ｃ））；
ａｄｊＰ（ｉ，Ｊ（忌））＝ｌＰ（ｉ，歹（是））ｌＰ一１（ｉ，＿ｆ（忌））
一Ｐ（ｉ，Ｊ（一是））．
证毕２
伴随矩阵的运算性质
求方阵”（规＞１）阶方阵Ａ的伴随矩阵可以视
为方阵的一元运算．作为运算，其具有如下的一些性质：
定理４
设Ａ为挖（规＞１）阶方阵，记
ａｄｓ‘１（Ａ）为ａｄｊ（ａｄｊ（…ａｄｊ（Ａ）…）），则有
—————了Ｋ了————一
（１）ａｄｊ（ｋＡ）＝ｋ．－１ａｄｊ（Ａ）；（２）ａｄｊＥ‘３（Ａ）＝
ｆ
。０
１
ｆＡ
ｆ尘型粤口ｄｊ（Ａ）
竺艇：二麓：
ｌ
ｌＡｌ毕Ａ
ｒａｎｋ（Ａ）一咒，志为奇数ｒａｎｋ（Ａ）＝，２，ｋ为偶数
对Ｖｋ∈Ｎ．
特别，有ａｄｊ（ａｄｊ（Ａ））一ＩＡＩ”一２Ａ．
证明：（１）可直接由定义计算出，这里只证明
万
方数据当愚一１时，结论成立，当ｋ＝２时：ｒａｎｋ（Ａ）＝７＂１，由定理２有ａｄｊ（Ａ）一ＩＡＩＡ～，
所以ａｄｊ‘２］（Ａ）
一
ａｄｊ（ａｄｊ（Ａ））
＝
Ｉａｄｊ（Ａ）Ｉａｄｊ－１（Ａ）＝ＩＩＡＩＡ＿１ｌ（１Ａ
ｌＡ叫１）－１
一ＩＡＩ一２Ａ
ｋ＝２时，结论成立，
假设ｋ一１结论成立，则对于ｋｋ为奇数时：
口勿嘲（Ａ）＝ａｄｊ（ａｄｊＥ。一１３（Ａ））
一口彩（ＩＡ一川虹掣以ｄｊ（Ａ），
Ｉ虹学生Ａ）
ｋ为偶数时：
口旬嘲（Ａ）一ａｄｊ（ａｄｊＥ‘一１３（Ａ））
一日出（１Ａｌ虹止≥幽ａ旬（Ａ））
一ＪＡＩ虹屿尘芷口力（口旬（Ａ））
一ＩＡＩ盟＿￡｝笠型ＩＡＩ一一ｚＡ—ｌＡＩ虹监尘寻盥也型Ａ
：ＩＡ
Ｉ毕Ａ
所以对ｋ时，结论成立．
由数学归纳原理，对Ｖｋ∈Ｎ，命题成立．证些
定理５ａｄｊ（ＡＢ）一日ｄ歹（Ｂ）口ｄ歹（Ａ）
证明
分如下六步证明
第一步：ｒａｎｋ（Ａ）＝ｒａｎｋ（Ｂ）＝以时
由Ａ，Ｂ满秩，有ａｄｊ（Ａ）＝ＩＡＩＡ～，ａｄｊ（Ｂ）＝ＩＢｌＢ～，且有ｒａｎｋ（ＡＢ）＝以，所以ａｄｊ（ＡＢ）一
ＪＡＢＩ（ＡＢ）－１＝ＩＡＩＩＢｌＢ＿１Ａ－１
一ＢｌＢ．１ｌＡＡ＿１＝ａｄｊ（Ｂ）ａｄｊ（Ａ），此时结论成立．
第二步：ｒａｉｎ｛ｒａｎｋ（Ａ），ｒａｎｋ（Ｂ））＜起一１时由ｒａｎｋ（ＡＢ）≤ｍｉｎ（ｒａｎｋ（Ａ），ｒａｎｋ（Ｂ）｝＜挖一１，所以此时结论成立．
第三步：对初等矩阵Ｐ，Ｑ有ａｄｊ（ＰＡ）一
ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（Ｐ），ａｄｊ（ＡＱ）
＝
ａｄｊ（Ｑ）ａｄｊ（Ａ），
ａｄｊ（ＰＡＱ）一ａｄｊ（Ｑ）ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（Ｐ）：
当Ｐ＝Ｐ（ｉ，歹）时：
ａｄｊ（Ｐ（ｉ，歹）Ａ）＝口ｄｊ
ｉ行歹行
；；；％
２４８
中国计量学院学报第１５卷
＝＝
一Ａ１１…一ＡＪｌ…一Ａ１…一Ａ。１一Ａ１２
…
一ＡＪｚ
…
一Ａ２
…
一Ａ。２
●●●
●●●
●●●
●●●
●●●
●●●
●●●
一Ａ１。
…
一Ａ＂
…
一Ａ抽
…
一Ａ。。
ｚ
Ｊ
＝一ａｄｊ（Ａ）Ｐ（ｉ，Ｊ）＝ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（Ｐ（ｉ，歹）），其中ｏｔｉ为Ａ的第ｉ个行向量，Ａ。，是Ａ中元素ａｉ，所对应的代数余子式；
当Ｐ—Ｐ（ｉ（ｆ））时（ｆ≠ｏ）；
ａ１
：
●
ａｄｊ（Ｐ（ｉ（ｃ）Ａ）一口ｄｊ；
ＣＯｔ
：
●
％
Ｃ
Ａｎ
Ｃ
—
．
ｆ
Ａ“
ｆ
¨
．
ｆ
Ａ～Ａ—Ａ
４
堋
ｆ
Ａ～Ａ—Ａ
＝ｃａｄｊ（Ａ）Ｐ（ｉ（１／ｃ））＝ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（Ｐ（ｉ（ｃ））
当Ｐ—Ｐ（ｉ，歹（愚））时：
口，
ｑ＋ｋａ，
ａｄｊ（Ｐ（ｉ，ｊ（ｋ））Ａ）＝ａｄｊ
口．
口Ｈ
Ａ１１
…
Ａ。ｌ
…
ＡＪｌ＋（一１）一１ｋＡ。１
…
Ａ。ｌ
Ａ１２…Ａｉ２…Ａ，２＋（一１）一ｈＡ。２…Ａ。２…………………Ａ１。…Ａ。。…Ａ，。＋（一１）－１ｋＡ。。…以。。
３
ａｄｊ（Ａ）Ｐ（ｉ，Ｊ（一ｋ））＝ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（尸（ｉ，Ｊ（是）））；
所以对于初等矩阵Ｐ、Ｑ，有ａｄｊ（ＰＡ）一ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（Ｐ）．对于ａｄｊ（ＡＱ）＝ａｄｊ（Ｑ）ａｄｊ（Ａ）和ａｄｊ（ＰＡＱ）一ａｄｊ（Ｑ）ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（Ｐ），可同样证明．
第四步：对于，ｚ阶可逆矩阵Ｐ、Ｑ与以阶矩阵Ａ，有ａｄｊ（ＰＡＱ）一ａｄｊ（Ｑ）ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（Ｐ）
仅需利用任意可逆矩阵可分解成有限个初等矩阵之积，再用数学归纳法证明即可．
万
方数据第五步：ｍｉｎ｛ｒａｎｋ（Ａ），ｒａｎｋ（Ｂ）｝一，ｚ一１且
ｍａｘ｛ｒａｎｋ（Ａ）｝，ｒａｎｋ（Ｂ）｝一咒，不妨设ｒａｎｋ（Ａ）＝咒，ｒａｎｋ（Ｂ）＝咒一１仅需利用第四步的结论即可．
第六步：ｒａｎｋ（Ａ）一以一１，ｒａｎｋ（Ｂ）一九一１，设
Ａ—ＰｆＥ一一，
Ｑ．
＼００１０／
一ＸＩ…
Ｔ．
＼０
０／
Ｑｘ
２匮Ｂ２
ｆＢｌＩＢ１２］
Ｂ“２２
Ｊ
则
ＡＢ—Ｐ（Ｅ一０＼
１。０）［？Ｂ：：。０］丁，
／Ｉ
２】
Ｊ
其中Ｐ，丁为可逆矩阵．
口ｄ？（ＡＢ）
嘶ｃＴⅢ歹惮凇：ＯＯ口
觚
（尸而ｎ勿㈣：憾㈡
｜｜
Ｃ
ｄ，
，川“、臃ｏ
９（引
／０
０
＼
一ｌ
０
ＩＢ，，Ｉ』
嘶憾Ｂｌｌ：ｌｌａｄＪ（（Ｅ了１
一（：剖（㈡一（：训
同帚ｌｊ』ｄｄｉｆＡＢ、
刊ｊ（Ｔ）ａｄｊ陋１雌川嘶ｃＰ，
＝ａｄｊ（Ｔ）ａ力憾扣一：怕ｃＰ，
＝ｎｄｊ（Ｔ）ａｄｊ（Ｑｘ（Ｅ了１：））ｎ矗ｊ（Ｅ了１：）ｎｄｊｃＰ，
刊ｊ（Ｔ）ａｄｊ（Ｑｘ一０））
以ｊ（Ｘ）ａｄ胭）ｎ咖㈢０。。０）嘶（蹦由第５步）
＼
／
＝ａｄｊ（Ｂ）ａｄｊ（Ａ）
所以ａｄｊ（ＡＢ）一ａｄｊ（Ｂ）ａｄｊ（Ａ）证毕
推论：设Ａ，。Ａ∥．．．Ａ。为仟意咒阶锚阵
第３期
王航平：伴随矩阵的若干性质
２４９
（１）ａｄｊ（Ａ１Ａ２…Ａ，）
＝ａｄｊ（Ａ，）ａｄｊ（Ａ，．１）…ａｄｊ（Ａ１）；
（２）ａｄｊ（Ａ＋）＝（ａｄｊ（Ａ））‘．
定理６：
（１）ａｄｊ（Ａ叫）＝（ａｄｊ（Ａ））一１；
（２）『ａｄｊ（Ａ）Ｉ＝』ＡＩ一１；（咒≥２）（３）Ｉ（ａｄｊｃ’３（Ａ））ｌ＝ＩＡＪ“一１ｒ；
（４）ｌａｄｊ（Ａ，Ａ２＂＂Ａ；）Ｉ—ＩＩ［ａｄｊ（Ａｉ）Ｉ
￡＝１
（Ⅱ㈨Ｉ）州；
ｉ＝１
（５）Ｉａｄｊ（Ａ。）ｌ—Ｉ（ａｄｊ（Ａ））Ｉ‘一ＩＡＩＨ“
（６）ａｄｊ（Ａ丁）＝（ａｄｊ（Ａ））丁；（７）ａｄｊ（Ａ）＝ａｄｊ（Ａ）．
３
自伴随矩阵
定义：若ａｄｊ（Ａ）一Ａ，则称Ａ为自伴随矩阵．定理７：
（１）零矩阵、单位矩阵均为自伴随矩阵；（２）两自自伴随矩阵之积为自伴随矩阵的充
要条件为两矩阵可换；
（３）若Ａ为自伴随矩阵，则ＩＡＩ一１＝ＩＡＩ（咒≥２）；
（４）若Ａ为自伴随矩阵，则Ａ‘（志一１，２，…）也为自伴随矩阵；
（５）若Ａ为非奇异自伴随矩阵，则Ａ叫也为自伴随矩阵；
（６）若Ａ为自伴随矩阵，则Ａ丁也为自伴随矩阵．定理８：
（１）Ａ为自伴随矩阵，若Ａ不是可逆的，则Ａ
一０：
（２）行列式值为１的方阵Ａ为自伴随矩阵的充要条件是Ａ为自逆矩阵，即Ａ＝Ａ～．
证明：这里仅证明（１）：Ａ为规阶（咒≥２）自伴随矩阵，则ａｄｊ（Ａ）一Ａ，．．．ｒａｎｋ（ａｄｊ（Ａ））一ｒａｎｋ（Ａ），若ｒａｎｋ（Ａ）＜以一１则ａｄｊ（Ａ）＝０．所以Ａ一０．若ｒａｎｋ（Ａ）一粗一１，则ｒａｎｋ（ａｄｊ（Ａ））一１．由ａｄｊ（Ａ）＝Ａ．可得１＝ｎ一１，所以咒＝２．下证这种情况不可能出现．。．＋ｒａｎｋ（Ａ）一１，可设
／忌口
ｋｂ＼
Ａ—Ｉ肠ｌｂｊ，其中（口，６）≠ｏ，（足，２）≠ｏ，由Ａ为
自伴随矩阵，所以ａｄｊ（Ａ）一Ａ，而
万
方数据以ｊ（Ａ）一积Ｊｌ
，、
，ｆ
ｋａｋｂ＼
ｆ
ｌｂ
２
ｌａ
ｌｂ
Ｊ
２
ｌ～肠妃Ｊ
—ｋｂ＼
／忌口
五６＼
Ｉ肠
舾』
ｊ＝Ａ得．｛ｌａ一０，但口、ｂ不同时为零，愚、ｚ不同时为零，
ｆｋｂ＝０
ｌ忌口：ｌｂ
此方程无解，所以这种情况不可能出现．因此结论成立４
伴随矩阵的继承性
定理９：设Ａ，Ｂ为ｎ阶矩阵
（１）若Ａ与Ｂ等价，则ａｄｊ（Ａ）与ａｄｊ（Ｂ）也
等价；
（２）若Ａ与Ｂ合同，则ａｄｊ（Ａ）与ａｄｊ（Ｂ）也合同；
（３）若Ａ与Ｂ相似，则ａｄｊ（Ａ）与ａｄｊ（Ｂ）也相似；
（４）若Ａ能相似对角化，则ａｄｊ（Ａ）也能相似对角化；
（５）Ａ可逆阵ｅｅｍｄｊ（Ａ）为可逆阵；
（６）Ａ对称铮口旬（Ａ）对称；
（７）Ａ正交铮ａｄｊ（Ａ）正交；
（８）设Ａ为可逆阵，则Ａ反对称甘ａｄｊ（Ａ）为反对称；
（９）Ａ＝Ｂ净ａｄｊ（Ａ）＝ａｄｊ（Ｂ）：
（１０）Ａ正定净口勿（Ａ）正定．
５
结论
通过讨论伴随矩阵的各种性质，提出了一般意义下伴随矩阵之积的公式：ａｄｊ（ＡＢ）一
口旬（Ｂ）盘幻（Ａ）；并对伴随矩阵的继承性展开了讨论，得到了矩阵经伴随后，具有相当强的性质继承陛．
【参
考文献】
［１］
顾沛，丁龙云．关于伪欧氏环上的矩阵［Ｊ］．南开大学学报，２００２，３５（３）Ｉ３４—３７．
［２］黄敬频．伴随矩阵与两种广义逆矩阵的若干性质［Ｊ］．广西民族学院学报，２００２，１５（２）：６—８．
［３］
陈景良，陈向晖．特殊矩阵［Ｍ］．北京：清华大学出版社．２００１
—０１．
［４］
北大数学系代数与几何教研室前代数小组编．高等代数（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育社，２００３．
伴随矩阵的若干性质
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：
王航平
中国计量学院,理学院,浙江,杭州,310018中国计量学院学报
JOURNAL OF CHINA JILIANG UNIVERSITY2004，15(3)0次
参考文献(4条)
1. 顾沛. 丁龙云 关于伪欧氏环上的矩阵[期刊论文]-南开大学学报(自然科学版) 2002(3)
2. 黄敬频 伴随阵与两种广义逆阵的若干性质[期刊论文]-广西民族学院学报(自然科学版) 2002(4)3. 陈景良. 陈向晖 特殊矩阵 2001
4. 北大数学系几何与代数教研室代数小组 高等代数 2003
相似文献(1条)
1.期刊论文 陈炎. 曹树良. 梁开洪. 祝宝山. Chen Yan. Cao Shuliang. Liang Kaihong. Zhu Baoshan 基于特征线方程N-S方程非增量型分离算法 -排灌机械2009,27(5)
为克服传统有限元方法求解流场时由于对流项占优而引起的求解振荡和基函数选择困难的问题,推导了基于特征线方程的粘性不可压N-S方程的增量型和非增量型分离算法的公式及求解步骤,并讨论了两者的Babuska-Brezzi条件.沿着特征线方向,N-S方程的对流项消失,方程矩阵是自伴随矩阵,可以自动满足有限单元法中能量泛函最小的要求,并可以给出合理的粘性耗散项.动量方程的求解采用非增量型分离算法,压力和速度可以采用任意阶次的插值函数,离散后的方程自动满足Babuska-Brezzi条件.为验证算法的可靠性,采用T3P3空间等阶次U-p单元计算了方柱绕流.结果表明:基于特征线方程的非增量型分离算法可以很好地应用于粘性不可压流场的计算,与目前流行的其它方法相比,该算法有明显的优势.
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgjlxyxb200403019.aspx
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