二圆锥曲线的参数方程
1．椭圆的参数方程
2
⎧⎪x ＝2pt
(1)抛物线y ＝2px 的参数方程是⎨(t ∈R ，t 为参数) ．
⎪y ＝2pt ⎩
2
(2)参数t
1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？
⎧⎪x ＝a cos φ
【提示】 椭圆的参数方程⎨(φ为参数) 中的参数φ不是动点M (x ，y ) 的旋转
⎪y ＝b sin φ⎩
角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB ) 的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．
2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？
1π3
【提示】 sec φ＝，其中φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠π.
cos φ22
22
3．类比y ＝2px (p >0)，你能得到x ＝2py (p >0)的参数方程吗？
【R
)
提示】
⎧⎪x ＝2pt ，⎨2⎪y ＝2pt . ⎩
(p >0，t 为参数，t ∈
⎧⎪x ＝5cos θ
将参数方程⎨(θ为参数) 化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点
⎪y ＝3sin θ⎩
坐标．
【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．
x
cos θ＝，⎧5⎪x ＝5cos θ
【自主解答】 由⎨得
y ⎪y ＝3sin θ⎩
sin θ3
x 2y 2
两式平方相加，得1.
53
∴a ＝5，b ＝3
，c ＝4.
因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0) ．
⎧x ＝a cos θ，⎪
椭圆的参数方程⎨(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a 、b 分
⎪y ＝b sin θ
，⎩
别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．
⎧⎪x ＝3cos θ
若本例的参数方程为⎨，(θ为参数) ，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？
⎪y ＝5sin θ⎩
⎧
⎨⎩
⎧⎪x ＝3cos θ
【解】 将⎨，化为
y ⎪y ＝5sin θ⎩
⎧⎨
⎩5＝sin θ，
x
＝cos θ，3
x 2y 2
两式平方相加，得1.
35
其中a ＝5，b ＝
3，c ＝4.
所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4) 与F 2(0,4)．
⎧⎪x ＝－4＋cos t x 2y 2
已知曲线C 1：⎨，(t 为参数) ，曲线C 2：1.
649⎪y ＝3＋sin t ⎩
(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？
π
(2)若C 1上的点P 对应的参数为t Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x
2
－2y －7＝0距离的最小值．
【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M 的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．
⎧⎪x ＝－4＋cos t ，
【自主解答】 (1)由⎨
⎪y ＝3＋sin t ，⎩⎧⎪cos t ＝x ＋4，
得⎨ ⎪⎩sin t ＝y －3.
∴曲线C 1：(x ＋4) 2＋(y －3) 2＝1，
C 1表示圆心是(－4,3) ，半径是1的圆．
x 2y 2
曲线C 2：1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是
649
3的椭圆．
⎧⎪x ＝8cos θ，
其参数方程为⎨(θ为参数)
⎪y ＝3sin θ，⎩
π
(2)依题设，当t ＝P (－4,4) ；
2
且Q (8cos θ，3sin θ) ，
3
故M (－2＋4cos θ，2θ) ．
2
又C 3为直线x －2y －7＝0，
5
M 到C 3的距离d ＝θ－3sin θ－13|
5
5
＝θ＋φ) －13|， 5
4334
从而当cos θsin θ＝－时，(其中φ由sin φ＝，cos φ＝确定)cos(
θ＋φ) ＝1，d 取
5555
85
.
5
1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．
2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M 的轨迹上的点到直线C 3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．
x 22
(2013·开封质检) 已知点P 是椭圆＋y ＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0
4
的距离的最大值．
x 22
【解】 因为P 为椭圆＋y ＝1上任意一点，
4
故可设P (2cos θ，sin θ) ，其中θ∈[0,2π)． 又直线l ：x ＋2y ＝0.
因此点P 到直线l 的距离
π
22|sin(θ＋|
4|2cos θ＋2sin θ|
d ＝.
51＋2
π
π210
所以，当sin(θ＋＝1，即θ＝时，d 取得最大值.
求证：双曲线1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个
a b
定值．
【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．
x 2y 2
【自主解答】 由双曲线－＝1，得
a b
两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ) ， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，
|ab sec φ＋ab tan φ|
则d 1·d 2＝
b ＋a |ab sec φ－ab tan φ|
b ＋(－a )|a b 2(sec 2 φ－tan 2 φ)|a 2b 2＝定值) ．
a ＋b
a ＋b
在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中
22
点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec φ－tan φ＝1的应用．
22
如图2－2－1，设P 为等轴双曲线x －y ＝1上的一点，F
1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.
图2－2－1
【证明】 设P (sec φ，tan φ) ，
∵F 1(，0) ，F 2，0) ， ∴|PF 1|＝(sec φ＋2)2＋tan 2φ ＝2sec 2φ＋2φ＋1， |PF 2|＝(sec φ2)2＋tan 2φ ＝2sec 2φ－22sec φ＋
1
， |PF 1|·|PF 2|＝
(2sec φ＋1)－8sec φ＝2sec 2φ－1. ∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 22
PQ
⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．
【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2, 2pt )(t 为参数) ，
1
当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝x ，
t
p
QF 的方程为y ＝－2t (x －) ，
2
它们的交点M (x ，y ) 由方程组
1y ＝x
t
确定， p
y ＝－2t (x －)
2
⎧⎨⎩
p
两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x (x －) ，
2
22
∴点M 的轨迹方程为2x －px ＋y ＝0(x ≠0) ．
当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.
2
⎧x ＝2pt ，⎪
1．抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎨(t 为参数) ，参数t 为任意实数，它表
⎪y ＝2pt ⎩
示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．
2
⎧⎪x ＝2pt ，
(2012·天津高考) 已知抛物线的参数方程为⎨(t 为参数) ，其中p >0，焦点为F ，
⎪y ＝2pt ⎩
准线为l . 过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.
【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所p p p
以E (－，6p ) ，F (0) ，所以3p ＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍
222
去) ．
【答案】
2
(教材第34页习题2.2，第5题) x 2y 2
已知椭圆1上任意一点M (除短轴端点外) 与短轴两端点B 1，B 2的连线分别与x
a b
轴交于P 、Q 两点，O 为椭圆的中心．求证：|OP |·|OQ |为定值．
x 22
(2012·徐州模拟) 如图2－2－2，已知椭圆y ＝1上任一点M (除短轴端点外)
4
与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点．
图2－2－2
求证：|OP |·|OQ |为定值． 【命题意图】 本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力．
【证明】 设M (2cos φ，sin φ)(φ为参数) ， B 1(0，－1) ，B 2(0,1)．
sin φ＋1
则MB 1的方程：y ＋1＝x ，
2cos φ
2cos φ
令y ＝0，则x ＝
sin φ＋12cos φ
即|OP |＝||.
1＋sin φ
sin φ－1
MB 2的方程：y －1＝x ，
2cos φ
2cos φ
∴|OQ |＝||.
1－sin φ
∴|OP |·|OQ |＝|
2cos φ2cos φ
|＝4.
1＋sin φ1－sin φ
|OP |·|OQ |
＝
4(
定).
因值
此
⎧x ＝cos θ⎪
1．参数方程⎨，(θ为参数) 化为普通方程为( )
⎪y ＝2sin θ⎩2
y 22y 2
A ．x ＋1 B ．x ＋1
4222x x
C ．y 2＋1 D ．y 2＋1
44
y
【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝
2
2y
∴x 2＋1，故选A.
4
【答案】 A
⎧⎪x cos θ＝a ，
2．方程⎨(θ为参数，ab ≠0) 表示的曲线是( )
⎪y ＝b cos θ，⎩
A ．圆 B ．椭圆
C ．双曲线 D ．双曲线的一部分
a
【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝，
x
代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，
又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D
2
⎧⎪x ＝t ，
3．(2013·陕西高考) 圆锥曲线⎨(t 为参数) 的焦点坐标是________．
⎪y ＝2t ⎩
【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．
【答案】 (1,0)
⎧⎪x ＝t ＋1，
4．(2012·湖南高考) 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎨(t 为参数) 与曲线
⎪y ＝1－2t ⎩
⎧⎪x ＝a sin θ，
C 2：⎨(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.
⎪y ＝3cos θ⎩
【解析】 将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解． ⎧⎪x ＝t ＋1，∵⎨消去参数t 得2x ＋y －3＝0. ⎪y ＝1－2t ，⎩
⎧⎪x ＝a sin θ，x 2y 2又⎨消去参数θ得＝1.
a 9⎪y ＝3cos θ，⎩
33x 2y 29
方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝，将(，0) 代入1，得＝1. 又a >0，∴a
22a 94a
3＝2【
答
案
】
3
2
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
⎧x ＝3cos φ
1．曲线C ：⎨，(φ为参数) 的离心率为( )
⎩y ＝5sin φ
23 B. 353 D. 23
x 2y 2
【解析】 由题设，得＋1，
95
222
∴a ＝9，b ＝5，c ＝4，
c 2
因此e ＝.
a 3
【答案】 A
αα⎧⎪x ＝sin 2＋cos 2
2．参数方程⎨，(α为参数) 的普通方程是( )
⎪⎩y ＝2＋sin α
A ．y 2－x 2＝1 B ．x 2－y 2＝1
C ．y 2－x 2＝1(1≤y 3) D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)
【解析】 因为x 2＝1＋sin α，所以sin α＝x 2－1. 又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1) ， 所以y 2－x 2＝1.
∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[13]． 【答案】 C
2
⎧⎪x ＝t
3．点P (1,0)到曲线⎨(参数t ∈R ) 上的点的最短距离为( )
⎪y ＝2t ⎩
A ．0 B ．1 2 D ．2
【解析】 d 2＝(x －1) 2＋y 2＝(t 2－1) 2＋4t 2＝(t 2＋1) 2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B
⎧⎪x ＝3cos θ
4．已知曲线⎨，(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P ，原点为O ，直线PO 的倾
⎪⎩y ＝4sin θ
π
斜角为，则P 点的坐标是( )
4
A ．(3,4) B ．(，2)
2
1212
C ．(－3，－4) D ．(55
【解析】 由题意知，3cos θ＝4sin θ，
334
∴tan θ0≤θ≤π，则sin θ＝cos θ＝，
455
412
∴x ＝3×cos θ＝3×＝，
55312
y ＝4sin θ＝4×＝，
55
1212
因此点P 的坐标为(，．
55
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
⎧⎪x ＝2cos t π
5．已知椭圆的参数方程⎨(t 为参数) ，点M 在椭圆上，对应参数t ＝O
3⎪⎩y ＝4sin t
为原点，则直线OM 的斜率为________．
π
x ＝2cos 1，
3
【解析】 由
π
y ＝4sin ＝3.
3
⎧⎨⎩
得点M 的坐标为．
23
直线OM 的斜率k ＝3.
1
【答案】 3
⎧⎪x ＝t ，
6．(2013·江西高考) 设曲线C 的参数方程为⎨(t 为参数) ，若以直角坐标系的原点2
⎪y ＝t ⎩
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．
⎧⎪x ＝t ，
【解析】 ⎨化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐2
⎪y ＝t ⎩
标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.
【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝0
三、解答题(每小题10分，共30分)
1
7．(2013·平顶山质检) 如图2－2－3所示，连接原点O 和抛物线y ＝2上的动点M ，延
2
长OM
到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？
图2－2－3
⎧x ＝2t ，⎪
【解】 抛物线标准方程为x 2＝2y ，其参数方程为⎨得M (2t, 2t 2) ． 2
⎪⎩y ＝2t .
设P (x ，y ) ，则M 是OP 中点．
⎧∴⎨y ＋0
2t ＝，⎩2
2
x ＋02t ＝，
2
⎧⎪x ＝4t ∴⎨2(t 为参数) ， ⎪⎩y ＝4t
1
消去t 得y ＝x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．
4
8．(2012·龙岩模拟) 已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0. 以极点为平面直角
⎧⎪x ＝2cos θ
坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎨
⎪y ＝sin θ⎩
(θ为参数) ，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．
【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为： x ＋y －1＝0，① x 22
y ＝1，② 4
①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0，
8
解得x 1＝0，x 2＝.
5
设直线与椭圆交于A 、B 两点，
83
则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，) ，
55
8则|AB |＝(－1)2＋(2＝5558故所求的弦长为.
5
9．(2013·漯河调研) 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数
⎧x 3cos α方程为⎨(α为参数) ．
⎩y ＝sin α
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴
π
正半轴为极轴) 中，点P 的极坐标为(4，，判断点P 与直线l 的位置关系；
2
(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
π
【解】 (1)把极坐标系下的点P (4，化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标
2
(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．
(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为3cos α，sin α) ，从而点Q 到直线l 的距离为
|3cos α－sin α＋4|d π
2cos (α＋)＋4
6
＝
2ππ
＝2cos(α＋＋2，由此得，当cos(α＋＝－1时，d 2.
66
教师备选
33
P (0到这个22
椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的
10．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝
坐标．
⎧⎪x ＝a cos θ
【解】 设椭圆的参数方程是⎨，其中，a >b >0,0≤θ
⎪y ＝b sin θ⎩
22
c 2a －b b b 1
由e ＝＝1－(2可得＝1－e 即a ＝2b .
a a a a 2
设椭圆上的点(x ，y ) 到点P 的距离为d ，
33
则d 2＝x 2＋(y ) 2＝a 2cos 2θ＋(b sin θ2
22
9
＝a 2－(a 2－b 2)sin 2θ－3b sin θ＋
49
＝4b 2－3b 2sin 2θ－3b sin θ＋
4
1
＝－3b 2(sin θ2＋4b 2＋3，
2b
113
即b sin θ＝－1时，d 2有最大值，由题设得(7) 2＝(b ＋) 2，由此得b
2b 22311
＝7－，与b
222
1
因此必有≤1成立，
2b
1
于是当sin θ＝－时，d 2有最大值，
2b
由题设得(7) 2＝4b 2＋3， 由此可得b ＝1，a ＝2.
⎧⎪x ＝2cos θ，
所求椭圆的参数方程是⎨
⎪y ＝sin θ. ⎩
1311
由sin θcos θ＝(－3，－) ，点3到点P 的距离
2222
都是
2
二圆锥曲线的参数方程
1．椭圆的参数方程
2
⎧⎪x ＝2pt
(1)抛物线y ＝2px 的参数方程是⎨(t ∈R ，t 为参数) ．
⎪y ＝2pt ⎩
2
(2)参数t
1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？
⎧⎪x ＝a cos φ
【提示】 椭圆的参数方程⎨(φ为参数) 中的参数φ不是动点M (x ，y ) 的旋转
⎪y ＝b sin φ⎩
角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB ) 的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．
2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？
1π3
【提示】 sec φ＝，其中φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠π.
cos φ22
22
3．类比y ＝2px (p >0)，你能得到x ＝2py (p >0)的参数方程吗？
【R
)
提示】
⎧⎪x ＝2pt ，⎨2⎪y ＝2pt . ⎩
(p >0，t 为参数，t ∈
⎧⎪x ＝5cos θ
将参数方程⎨(θ为参数) 化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点
⎪y ＝3sin θ⎩
坐标．
【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．
x
cos θ＝，⎧5⎪x ＝5cos θ
【自主解答】 由⎨得
y ⎪y ＝3sin θ⎩
sin θ3
x 2y 2
两式平方相加，得1.
53
∴a ＝5，b ＝3
，c ＝4.
因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0) ．
⎧x ＝a cos θ，⎪
椭圆的参数方程⎨(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a 、b 分
⎪y ＝b sin θ
，⎩
别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．
⎧⎪x ＝3cos θ
若本例的参数方程为⎨，(θ为参数) ，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？
⎪y ＝5sin θ⎩
⎧
⎨⎩
⎧⎪x ＝3cos θ
【解】 将⎨，化为
y ⎪y ＝5sin θ⎩
⎧⎨
⎩5＝sin θ，
x
＝cos θ，3
x 2y 2
两式平方相加，得1.
35
其中a ＝5，b ＝
3，c ＝4.
所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4) 与F 2(0,4)．
⎧⎪x ＝－4＋cos t x 2y 2
已知曲线C 1：⎨，(t 为参数) ，曲线C 2：1.
649⎪y ＝3＋sin t ⎩
(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？
π
(2)若C 1上的点P 对应的参数为t Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x
2
－2y －7＝0距离的最小值．
【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M 的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．
⎧⎪x ＝－4＋cos t ，
【自主解答】 (1)由⎨
⎪y ＝3＋sin t ，⎩⎧⎪cos t ＝x ＋4，
得⎨ ⎪⎩sin t ＝y －3.
∴曲线C 1：(x ＋4) 2＋(y －3) 2＝1，
C 1表示圆心是(－4,3) ，半径是1的圆．
x 2y 2
曲线C 2：1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是
649
3的椭圆．
⎧⎪x ＝8cos θ，
其参数方程为⎨(θ为参数)
⎪y ＝3sin θ，⎩
π
(2)依题设，当t ＝P (－4,4) ；
2
且Q (8cos θ，3sin θ) ，
3
故M (－2＋4cos θ，2θ) ．
2
又C 3为直线x －2y －7＝0，
5
M 到C 3的距离d ＝θ－3sin θ－13|
5
5
＝θ＋φ) －13|， 5
4334
从而当cos θsin θ＝－时，(其中φ由sin φ＝，cos φ＝确定)cos(
θ＋φ) ＝1，d 取
5555
85
.
5
1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．
2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M 的轨迹上的点到直线C 3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．
x 22
(2013·开封质检) 已知点P 是椭圆＋y ＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0
4
的距离的最大值．
x 22
【解】 因为P 为椭圆＋y ＝1上任意一点，
4
故可设P (2cos θ，sin θ) ，其中θ∈[0,2π)． 又直线l ：x ＋2y ＝0.
因此点P 到直线l 的距离
π
22|sin(θ＋|
4|2cos θ＋2sin θ|
d ＝.
51＋2
π
π210
所以，当sin(θ＋＝1，即θ＝时，d 取得最大值.
求证：双曲线1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个
a b
定值．
【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．
x 2y 2
【自主解答】 由双曲线－＝1，得
a b
两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ) ， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，
|ab sec φ＋ab tan φ|
则d 1·d 2＝
b ＋a |ab sec φ－ab tan φ|
b ＋(－a )|a b 2(sec 2 φ－tan 2 φ)|a 2b 2＝定值) ．
a ＋b
a ＋b
在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中
22
点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec φ－tan φ＝1的应用．
22
如图2－2－1，设P 为等轴双曲线x －y ＝1上的一点，F
1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.
图2－2－1
【证明】 设P (sec φ，tan φ) ，
∵F 1(，0) ，F 2，0) ， ∴|PF 1|＝(sec φ＋2)2＋tan 2φ ＝2sec 2φ＋2φ＋1， |PF 2|＝(sec φ2)2＋tan 2φ ＝2sec 2φ－22sec φ＋
1
， |PF 1|·|PF 2|＝
(2sec φ＋1)－8sec φ＝2sec 2φ－1. ∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 22
PQ
⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．
【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2, 2pt )(t 为参数) ，
1
当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝x ，
t
p
QF 的方程为y ＝－2t (x －) ，
2
它们的交点M (x ，y ) 由方程组
1y ＝x
t
确定， p
y ＝－2t (x －)
2
⎧⎨⎩
p
两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x (x －) ，
2
22
∴点M 的轨迹方程为2x －px ＋y ＝0(x ≠0) ．
当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.
2
⎧x ＝2pt ，⎪
1．抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎨(t 为参数) ，参数t 为任意实数，它表
⎪y ＝2pt ⎩
示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．
2
⎧⎪x ＝2pt ，
(2012·天津高考) 已知抛物线的参数方程为⎨(t 为参数) ，其中p >0，焦点为F ，
⎪y ＝2pt ⎩
准线为l . 过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.
【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所p p p
以E (－，6p ) ，F (0) ，所以3p ＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍
222
去) ．
【答案】
2
(教材第34页习题2.2，第5题) x 2y 2
已知椭圆1上任意一点M (除短轴端点外) 与短轴两端点B 1，B 2的连线分别与x
a b
轴交于P 、Q 两点，O 为椭圆的中心．求证：|OP |·|OQ |为定值．
x 22
(2012·徐州模拟) 如图2－2－2，已知椭圆y ＝1上任一点M (除短轴端点外)
4
与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点．
图2－2－2
求证：|OP |·|OQ |为定值． 【命题意图】 本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力．
【证明】 设M (2cos φ，sin φ)(φ为参数) ， B 1(0，－1) ，B 2(0,1)．
sin φ＋1
则MB 1的方程：y ＋1＝x ，
2cos φ
2cos φ
令y ＝0，则x ＝
sin φ＋12cos φ
即|OP |＝||.
1＋sin φ
sin φ－1
MB 2的方程：y －1＝x ，
2cos φ
2cos φ
∴|OQ |＝||.
1－sin φ
∴|OP |·|OQ |＝|
2cos φ2cos φ
|＝4.
1＋sin φ1－sin φ
|OP |·|OQ |
＝
4(
定).
因值
此
⎧x ＝cos θ⎪
1．参数方程⎨，(θ为参数) 化为普通方程为( )
⎪y ＝2sin θ⎩2
y 22y 2
A ．x ＋1 B ．x ＋1
4222x x
C ．y 2＋1 D ．y 2＋1
44
y
【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝
2
2y
∴x 2＋1，故选A.
4
【答案】 A
⎧⎪x cos θ＝a ，
2．方程⎨(θ为参数，ab ≠0) 表示的曲线是( )
⎪y ＝b cos θ，⎩
A ．圆 B ．椭圆
C ．双曲线 D ．双曲线的一部分
a
【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝，
x
代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，
又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D
2
⎧⎪x ＝t ，
3．(2013·陕西高考) 圆锥曲线⎨(t 为参数) 的焦点坐标是________．
⎪y ＝2t ⎩
【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．
【答案】 (1,0)
⎧⎪x ＝t ＋1，
4．(2012·湖南高考) 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎨(t 为参数) 与曲线
⎪y ＝1－2t ⎩
⎧⎪x ＝a sin θ，
C 2：⎨(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.
⎪y ＝3cos θ⎩
【解析】 将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解． ⎧⎪x ＝t ＋1，∵⎨消去参数t 得2x ＋y －3＝0. ⎪y ＝1－2t ，⎩
⎧⎪x ＝a sin θ，x 2y 2又⎨消去参数θ得＝1.
a 9⎪y ＝3cos θ，⎩
33x 2y 29
方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝，将(，0) 代入1，得＝1. 又a >0，∴a
22a 94a
3＝2【
答
案
】
3
2
(时间40分钟，满分60分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
⎧x ＝3cos φ
1．曲线C ：⎨，(φ为参数) 的离心率为( )
⎩y ＝5sin φ
23 B. 353 D. 23
x 2y 2
【解析】 由题设，得＋1，
95
222
∴a ＝9，b ＝5，c ＝4，
c 2
因此e ＝.
a 3
【答案】 A
αα⎧⎪x ＝sin 2＋cos 2
2．参数方程⎨，(α为参数) 的普通方程是( )
⎪⎩y ＝2＋sin α
A ．y 2－x 2＝1 B ．x 2－y 2＝1
C ．y 2－x 2＝1(1≤y 3) D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)
【解析】 因为x 2＝1＋sin α，所以sin α＝x 2－1. 又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1) ， 所以y 2－x 2＝1.
∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[13]． 【答案】 C
2
⎧⎪x ＝t
3．点P (1,0)到曲线⎨(参数t ∈R ) 上的点的最短距离为( )
⎪y ＝2t ⎩
A ．0 B ．1 2 D ．2
【解析】 d 2＝(x －1) 2＋y 2＝(t 2－1) 2＋4t 2＝(t 2＋1) 2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B
⎧⎪x ＝3cos θ
4．已知曲线⎨，(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P ，原点为O ，直线PO 的倾
⎪⎩y ＝4sin θ
π
斜角为，则P 点的坐标是( )
4
A ．(3,4) B ．(，2)
2
1212
C ．(－3，－4) D ．(55
【解析】 由题意知，3cos θ＝4sin θ，
334
∴tan θ0≤θ≤π，则sin θ＝cos θ＝，
455
412
∴x ＝3×cos θ＝3×＝，
55312
y ＝4sin θ＝4×＝，
55
1212
因此点P 的坐标为(，．
55
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
⎧⎪x ＝2cos t π
5．已知椭圆的参数方程⎨(t 为参数) ，点M 在椭圆上，对应参数t ＝O
3⎪⎩y ＝4sin t
为原点，则直线OM 的斜率为________．
π
x ＝2cos 1，
3
【解析】 由
π
y ＝4sin ＝3.
3
⎧⎨⎩
得点M 的坐标为．
23
直线OM 的斜率k ＝3.
1
【答案】 3
⎧⎪x ＝t ，
6．(2013·江西高考) 设曲线C 的参数方程为⎨(t 为参数) ，若以直角坐标系的原点2
⎪y ＝t ⎩
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．
⎧⎪x ＝t ，
【解析】 ⎨化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐2
⎪y ＝t ⎩
标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.
【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝0
三、解答题(每小题10分，共30分)
1
7．(2013·平顶山质检) 如图2－2－3所示，连接原点O 和抛物线y ＝2上的动点M ，延
2
长OM
到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？
图2－2－3
⎧x ＝2t ，⎪
【解】 抛物线标准方程为x 2＝2y ，其参数方程为⎨得M (2t, 2t 2) ． 2
⎪⎩y ＝2t .
设P (x ，y ) ，则M 是OP 中点．
⎧∴⎨y ＋0
2t ＝，⎩2
2
x ＋02t ＝，
2
⎧⎪x ＝4t ∴⎨2(t 为参数) ， ⎪⎩y ＝4t
1
消去t 得y ＝x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．
4
8．(2012·龙岩模拟) 已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0. 以极点为平面直角
⎧⎪x ＝2cos θ
坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎨
⎪y ＝sin θ⎩
(θ为参数) ，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．
【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为： x ＋y －1＝0，① x 22
y ＝1，② 4
①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0，
8
解得x 1＝0，x 2＝.
5
设直线与椭圆交于A 、B 两点，
83
则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，) ，
55
8则|AB |＝(－1)2＋(2＝5558故所求的弦长为.
5
9．(2013·漯河调研) 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数
⎧x 3cos α方程为⎨(α为参数) ．
⎩y ＝sin α
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴
π
正半轴为极轴) 中，点P 的极坐标为(4，，判断点P 与直线l 的位置关系；
2
(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
π
【解】 (1)把极坐标系下的点P (4，化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标
2
(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．
(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为3cos α，sin α) ，从而点Q 到直线l 的距离为
|3cos α－sin α＋4|d π
2cos (α＋)＋4
6
＝
2ππ
＝2cos(α＋＋2，由此得，当cos(α＋＝－1时，d 2.
66
教师备选
33
P (0到这个22
椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的
10．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝
坐标．
⎧⎪x ＝a cos θ
【解】 设椭圆的参数方程是⎨，其中，a >b >0,0≤θ
⎪y ＝b sin θ⎩
22
c 2a －b b b 1
由e ＝＝1－(2可得＝1－e 即a ＝2b .
a a a a 2
设椭圆上的点(x ，y ) 到点P 的距离为d ，
33
则d 2＝x 2＋(y ) 2＝a 2cos 2θ＋(b sin θ2
22
9
＝a 2－(a 2－b 2)sin 2θ－3b sin θ＋
49
＝4b 2－3b 2sin 2θ－3b sin θ＋
4
1
＝－3b 2(sin θ2＋4b 2＋3，
2b
113
即b sin θ＝－1时，d 2有最大值，由题设得(7) 2＝(b ＋) 2，由此得b
2b 22311
＝7－，与b
222
1
因此必有≤1成立，
2b
1
于是当sin θ＝－时，d 2有最大值，
2b
由题设得(7) 2＝4b 2＋3， 由此可得b ＝1，a ＝2.
⎧⎪x ＝2cos θ，
所求椭圆的参数方程是⎨
⎪y ＝sin θ. ⎩
1311
由sin θcos θ＝(－3，－) ，点3到点P 的距离
2222
都是
2