1、用提公因式法把多项式进行因式分解
【知识精读】
如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：
（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解
【分类解析】
1. 把下列各式因式分解
（1）-a x 2m +2+abx m +1-acx m -ax m +3
（2）a (a -b ) 3+2a 2(b -a ) 2-2ab (b -a )
分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：-a x 2m +2+abx m +1-acx m -ax m +3=-ax m (ax 2-bx +c +x 3)
（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，(a -b )
变换。
解：a (a -b ) +2a (b -a ) -2ab (b -a ) 3222n =(b -a ) 2n ；(a -b ) 2n -1=-(b -a ) 2n -1，是在因式分解过程中常用的因式
=a (a -b ) 3+2a 2(a -b ) 2+2ab (a -b )
=a (a -b )[(a -b ) +2a (a -b ) +2b ]2
=a (a -b )(3a 2-4ab +b 2+2b )
2. 利用提公因式法简化计算过程
例：计算123⨯[1**********]7+268⨯+456⨯+521⨯ [**************]8
分析：算式中每一项都含有
解：原式=987，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 1368987⨯(123+268+456+521) 1368
987⨯1368=987 =1368
3. 在多项式恒等变形中的应用
例：不解方程组⎨⎧2x +y =3，求代数式(2x +y )(2x -3y ) +3x (2x +y ) 的值。
⎩5x -3y =-2
分析：不要求解方程组，我们可以把2x +y 和5x -3y 看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x +y ，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x +y 和5x -3y 的式子，即可求出结果。
解：(2x +y )(2x -3y ) +3x (2x +y ) =(2x +y )(2x -3y +3x ) =(2x +y )(5x -3y ) 把2x +y 和5x -3y 分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。
4. 在代数证明题中的应用
例：证明：对于任意自然数n ，3n +2-2n +2+3n -2n 一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3n +2-2n +2+3n -2n =3n +2+3n -2n +2-2n
=3n (32+1) -2n (22+1)
=10⨯3-5⨯2
n n n 对任意自然数n ，10⨯3和5⨯2都是10的倍数。
∴3
5、中考点拨：
例1。因式分解3x (x -2) -(2-x )
解：3x (x -2) -(2-x ) n +2n -2n +2+3n -2n 一定是10的倍数
=3x (x -2) +(x -2) =(x -2)(3x +1)
说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。
例2．分解因式：4q (1-p ) 3+2(p -1) 2
解：4q (1-p ) 3+2(p -1) 2
=4q (1-p ) 3+2(1-p ) 2
=2(1-p ) [2q (1-p ) +1] 2
=2(1-p ) 2(2q -2pq +1)
说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
题型展示：
例1. 计算：2000⨯20012001-2001⨯20002000
精析与解答：
设2000=a ，则2001=a +1
∴2000⨯20012001-2001⨯20002000
=a [10000(a +1) +(a +1)]-(a +1)(10000a +a )
=a (a +1) ⨯10001-a (a +1) ⨯10001 =a (a +1) ⨯(10001-10001)
=0
说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有2001=2000+1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。
例2. 已知：x +bx +c （b 、c 为整数）是x +6x +25及3x +4x +28x +5的公因式，求b 、c 的值。
分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b 、c ，但比较麻烦。
42注意到x +bx +c 是3(x +6x +25) 及3x +4x +28x +5的因式。因而也是24224242
-(3x 4+4x 2+28x +5) 的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。
42 解： x +bx +c 是3(x +6x +25) 及3x +4x +28x +5的公因式
4242242 ∴也是多项式3(x +6x +25) -(3x +4x +28x +5) 的二次因式
而3(x 4+6x 2+25) -(3x 4+4x 2+28x +5) =14(x 2-2x +5)
b 、c 为整数
得：x +bx +c =x -2x +5
∴b =-2，c =5
说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14x -28x +70，从而简便求得x +bx +c 。
例3. 设x 为整数，试判断10+5x +x (x +2) 是质数还是合数，请说明理由。 解：10+5x +x (x +2)
2222=5(2+x ) +x (x +2) =(x +2)(5+x )
x +2，5+x 都是大于1的自然数
∴(x +2)(5+x ) 是合数
说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。
【实战模拟】
1. 分解因式：
（1）-4m n +12m n -2mn
（2）a x 2n +22332+abx n +1-acx n -adx n -1（n 为正整数）
3222 （3）a (a -b ) +2a (b -a ) -2ab (b -a )
2. 计算：(-2)
A. 210011+(-2) 10的结果是（ ） B. -2 10 C. -2 D. -1
3. 已知x 、y 都是正整数，且x (x -y ) -y (y -x ) =12，求x 、y 。
4. 证明：81-27-9能被45整除。 7913
5. 化简：+x +x (1+x ) +x (1+x ) 2+„x (1+x ) 1995，且当x =0时，求原式的值。
1
试题答案
1. 分析与解答：
（1）-4m n +12m n -2mn
=-2mn (2mn 2-6m 2n +1)
（2）a x 2n +22332+abx n +1-acx n -adx n -1
=ax n -1(ax 3+bx 2-cx -d )
（3）原式=a (a -b ) 3+2a 2(a -b ) 2-2ab (a -b ) 2
=a (a -b ) 2[(a -b ) +2a -2b ]
=a (a -b ) (3a -3b ) 2
=3a (a -b ) 2
注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。
2. B
3. x (x -y ) -y (y -x ) =12
∴(x -y )(x +y ) =12
x 、y 是正整数
∴12分解成1⨯12，2⨯6，3⨯4
又 x -y 与x +y 奇偶性相同，且x -y
⎧x -y =2∴⎨⎩x +y =6 ⎧x =4∴⎨⎩y =2
说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。
4. 证明： 81-27-9 7913
=328-327-326
=326(9-3-1)
=326⨯5
=324⨯32⨯5
=324⨯45
∴81-27-9能被45整除
5. 解：逐次分解：原式=(1+x )(1+x ) +x (1+x ) 2+„x (1+x ) 1995 7913
=(1+x ) 2(1+x ) +„x (1+x ) 1995
=(1+x ) 3(1+x ) +x (1+x ) 4+„x (1+x ) 1995
=„„
=(1+x ) 1996
∴当x =0时，原式=1
1、用提公因式法把多项式进行因式分解
【知识精读】
如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：
（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解
【分类解析】
1. 把下列各式因式分解
（1）-a x 2m +2+abx m +1-acx m -ax m +3
（2）a (a -b ) 3+2a 2(b -a ) 2-2ab (b -a )
分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：-a x 2m +2+abx m +1-acx m -ax m +3=-ax m (ax 2-bx +c +x 3)
（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，(a -b )
变换。
解：a (a -b ) +2a (b -a ) -2ab (b -a ) 3222n =(b -a ) 2n ；(a -b ) 2n -1=-(b -a ) 2n -1，是在因式分解过程中常用的因式
=a (a -b ) 3+2a 2(a -b ) 2+2ab (a -b )
=a (a -b )[(a -b ) +2a (a -b ) +2b ]2
=a (a -b )(3a 2-4ab +b 2+2b )
2. 利用提公因式法简化计算过程
例：计算123⨯[1**********]7+268⨯+456⨯+521⨯ [**************]8
分析：算式中每一项都含有
解：原式=987，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 1368987⨯(123+268+456+521) 1368
987⨯1368=987 =1368
3. 在多项式恒等变形中的应用
例：不解方程组⎨⎧2x +y =3，求代数式(2x +y )(2x -3y ) +3x (2x +y ) 的值。
⎩5x -3y =-2
分析：不要求解方程组，我们可以把2x +y 和5x -3y 看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x +y ，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x +y 和5x -3y 的式子，即可求出结果。
解：(2x +y )(2x -3y ) +3x (2x +y ) =(2x +y )(2x -3y +3x ) =(2x +y )(5x -3y ) 把2x +y 和5x -3y 分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。
4. 在代数证明题中的应用
例：证明：对于任意自然数n ，3n +2-2n +2+3n -2n 一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3n +2-2n +2+3n -2n =3n +2+3n -2n +2-2n
=3n (32+1) -2n (22+1)
=10⨯3-5⨯2
n n n 对任意自然数n ，10⨯3和5⨯2都是10的倍数。
∴3
5、中考点拨：
例1。因式分解3x (x -2) -(2-x )
解：3x (x -2) -(2-x ) n +2n -2n +2+3n -2n 一定是10的倍数
=3x (x -2) +(x -2) =(x -2)(3x +1)
说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。
例2．分解因式：4q (1-p ) 3+2(p -1) 2
解：4q (1-p ) 3+2(p -1) 2
=4q (1-p ) 3+2(1-p ) 2
=2(1-p ) [2q (1-p ) +1] 2
=2(1-p ) 2(2q -2pq +1)
说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
题型展示：
例1. 计算：2000⨯20012001-2001⨯20002000
精析与解答：
设2000=a ，则2001=a +1
∴2000⨯20012001-2001⨯20002000
=a [10000(a +1) +(a +1)]-(a +1)(10000a +a )
=a (a +1) ⨯10001-a (a +1) ⨯10001 =a (a +1) ⨯(10001-10001)
=0
说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有2001=2000+1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。
例2. 已知：x +bx +c （b 、c 为整数）是x +6x +25及3x +4x +28x +5的公因式，求b 、c 的值。
分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b 、c ，但比较麻烦。
42注意到x +bx +c 是3(x +6x +25) 及3x +4x +28x +5的因式。因而也是24224242
-(3x 4+4x 2+28x +5) 的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。
42 解： x +bx +c 是3(x +6x +25) 及3x +4x +28x +5的公因式
4242242 ∴也是多项式3(x +6x +25) -(3x +4x +28x +5) 的二次因式
而3(x 4+6x 2+25) -(3x 4+4x 2+28x +5) =14(x 2-2x +5)
b 、c 为整数
得：x +bx +c =x -2x +5
∴b =-2，c =5
说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14x -28x +70，从而简便求得x +bx +c 。
例3. 设x 为整数，试判断10+5x +x (x +2) 是质数还是合数，请说明理由。 解：10+5x +x (x +2)
2222=5(2+x ) +x (x +2) =(x +2)(5+x )
x +2，5+x 都是大于1的自然数
∴(x +2)(5+x ) 是合数
说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。
【实战模拟】
1. 分解因式：
（1）-4m n +12m n -2mn
（2）a x 2n +22332+abx n +1-acx n -adx n -1（n 为正整数）
3222 （3）a (a -b ) +2a (b -a ) -2ab (b -a )
2. 计算：(-2)
A. 210011+(-2) 10的结果是（ ） B. -2 10 C. -2 D. -1
3. 已知x 、y 都是正整数，且x (x -y ) -y (y -x ) =12，求x 、y 。
4. 证明：81-27-9能被45整除。 7913
5. 化简：+x +x (1+x ) +x (1+x ) 2+„x (1+x ) 1995，且当x =0时，求原式的值。
1
试题答案
1. 分析与解答：
（1）-4m n +12m n -2mn
=-2mn (2mn 2-6m 2n +1)
（2）a x 2n +22332+abx n +1-acx n -adx n -1
=ax n -1(ax 3+bx 2-cx -d )
（3）原式=a (a -b ) 3+2a 2(a -b ) 2-2ab (a -b ) 2
=a (a -b ) 2[(a -b ) +2a -2b ]
=a (a -b ) (3a -3b ) 2
=3a (a -b ) 2
注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。
2. B
3. x (x -y ) -y (y -x ) =12
∴(x -y )(x +y ) =12
x 、y 是正整数
∴12分解成1⨯12，2⨯6，3⨯4
又 x -y 与x +y 奇偶性相同，且x -y
⎧x -y =2∴⎨⎩x +y =6 ⎧x =4∴⎨⎩y =2
说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。
4. 证明： 81-27-9 7913
=328-327-326
=326(9-3-1)
=326⨯5
=324⨯32⨯5
=324⨯45
∴81-27-9能被45整除
5. 解：逐次分解：原式=(1+x )(1+x ) +x (1+x ) 2+„x (1+x ) 1995 7913
=(1+x ) 2(1+x ) +„x (1+x ) 1995
=(1+x ) 3(1+x ) +x (1+x ) 4+„x (1+x ) 1995
=„„
=(1+x ) 1996
∴当x =0时，原式=1