一、角的概念及任意角的三角函数
1．已知点P ⎛ ⎝sin 3π
cos 3π⎫44⎭落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A. π3π5π7π
4B. 4 C.4D. 4
2. （2015福建卷）．若
sin α=-
5
13，且α为第四象限角，则tan α的值等
1212于（ ）A ．5 B．-55 C．12 D．-
5
12
二、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和与差公式、诱导公式
sin 2
35°－1
3．化简2
cos10°cos80°
＝( )
A ．－2
B ．－1
2．－1 D ．1
4．已知cos θ=13tan(-5π4), 则sin(π
2
-θ) 等于
A
．
3 B．一113 C．3 D
．±3
5．[2014·江苏卷] 已知α∈⎛ π⎫5⎝π⎪⎭
，sin α＝(1)求sin ⎛π⎫
⎝4＋α⎪⎭的值；
(2)求cos ⎛5π⎫⎝6－2α⎪⎭
的值．
6、若，且（ ）
A. B. C. D.
7、[2014·全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3) ，则l1与l2的夹角的正切值等于________．
三、三角函数图像及性质
8、[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎛ π⎫
π⎝
2x ＋3⎭的图像向右平移2个单位长度，
所得图像对应的函数( )
A ．在区间⎡⎢π7π⎤⎡π7π⎤
⎣1212⎥⎦上单调递减 B．在区间⎢⎣12，12⎦上单调递增
C ．在区间⎡⎢ππ⎤⎡ππ⎤
⎣－6，3⎦上单调递减 D．在区间⎢⎣－6
3⎦上单调递增
π
9、已知ϕ是实数，f(x)=cosx·cos(x+3) ，则“
ϕ=
π
3”是“函数f(x)向左平
移ϕ个单位后关于y 轴对称”的( ) A. 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件
10、如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的部分图象，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f (－1) ＝( ) ⎛
⎝
ω>0，0≤φ≤π⎫2⎪⎭
A ．－1 B ．－3 C. 3 D．1
11、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝
cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ⎛ ⎝2x ＋π⎫6⎪⎭，④y ＝tan ⎛ π⎫
⎝
2x －4⎭中，最小正周
期为π的所有函数为( )
A ．①②③ B．①③④ C ．②④ D．①③ 12、（2015浙江卷）、函数f (x )=sin 2x +sin x cos x +1
的最小正周期是，
最小值是 ．
四、解三角形
11、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 已知
3acos C＝2ccos A，tan A＝1
3B= . 12、在
中，
，为
边上的点，且
，
，则
的面积的最大值为 .
13．[2014·重庆卷13]
将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)⎛ π ⎝ω＞0π⎫2≤φ＜⎪2⎪⎭
图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π
6个单位长度
得到y ＝sin x的图像，则f ⎛ π⎫ ⎪
⎝6⎭
＝________．
14．在△ABC 中，已知tan A ＋B
2sin C ，给出以下四个结论：
①tan A
tan B ＝1；②1
C .
其中正确的是________．
四、解答题
15、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE
＝1，EC 7， EA＝2，∠ADC ＝2ππ
3BEC ＝3(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．
（湖南卷）16. （本小题满分12分）
如图3, D 是直角∆ABC 斜边BC 上一点, AB =AD , 记∠CAD =α, ∠ABC =β. (Ⅰ) 证明: sin α+cos 2β=0; (Ⅱ) 若AC =DC , 求β的值.
A
B
D
C
图3
17、[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.
已知 a－c ＝6
6，sin B＝6sin C. (1)求cos A的值；
(2)求cos ⎛ ⎝
2A －π⎫
6⎪⎭的值．
18、（2014•南昌模拟）已知向量=（sin ，1），=（cos ，cos2）．记
f （x ）=•．
（Ⅰ）若f （x ）=，求cos （﹣x ）的值；
（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足（2a ﹣c ）cosB=bcosC，若f （A ）=，试判断△ABC 的形状
19、(10分) 已知0
2β
的值．
20、【2015高考重庆，理18】 已知函数f (x )=sin ⎛ π
⎫2
⎝
2
-x ⎪⎭
sin x x （1）求f (x )的最小正周期和最大值； （2）讨论f (x )在⎢
⎡π⎣
6, 2π⎤
3⎥⎦上的单调性.
15、(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos ∠EDC ，
于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD ，即CD2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD＝－3舍去) ．
在△CDE 中，由正弦定理，得EC CD
sin ∠EDC sin α
.
CD ·sin 2π23
于是，sin α＝32
21
EC 7
＝7，即 sin ∠CED ＝21
7.
(2)由题设知，0＜α＜π
3，于是由(1)知，
cos α1－sin2α1－27
49＝7而∠AEB 2π
3－α，所以
cos ∠AEB ＝cos ⎛ 2π⎝3－α⎫⎪⎭
＝cos 2π2π
3α＋sin 3sin α
13
2cos α＋2α
1×273217272×714.
在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA 2
BE ＝BE ，故
BE ＝2cos ∠AEB 2
7
47.
1416、(1)．如图3，
α=
π
-(π-
2β) =2β-
π
π
2
2
, ∴sin α=sin(2β-
2) =-cos 2β
， 即sin α+cos 2β=0． （2）．在∆ABC 中，由正弦定理得
DC sin α=AC
sin(
π-β) , ⇒DC sin α=∴sin β=α
由(1)得sin α=-
cos 2
β，
∴sin β=β=-2sin 2
β),
即2β-sin β=0. 解得sin β=
2sin β=-3． 0
π
2
∴, s βi =⇒β=, π
3
.
17、解：(1)在△ABC 中，由b c
sin B＝sin Csin B 6sin C ，可得b 6
c. 又由a －c 6
6b ，有a ＝2c.
所以cos A＝b2＋c2－a22bc 6c2＋c2－4c226c2
＝6
4. (2)在△ABC 中，由cos A ＝6A ＝10
4，可得sin 4. 于是cos 2A ＝2cos2A －1
＝－1sin 2A＝2sin A·cos A1544.
所以cos ⎛ π⎫ππ153⎝
2A －6⎪⎭＝cos 2A·cos 6sin 2A·sin 6＝8.
19、解：(1)∵tan α1
2＝2 2tan α2×1∴tan α2
＝2
＝4
1－tan α⎛1⎫
3 21－ ⎝2⎪2
⎭
由⎧sin α⎨cos α＝43
⎩sin 2α＋cos 2α＝1，
解得sin α＝4⎛
5 4⎫⎝sin α＝－5舍去⎪⎭. (2)由(1)知cos α1－sin α＝
1－⎛ 4⎫23
⎝5⎭
＝5， 又0
2β
10
∴sin(β－α) ＝1－cos (β－α)＝1－⎛ 2⎫22
⎝10⎭
＝10，于是sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α) ＋cos αsin(β－α) ＝423722510＋5102.
又β∈⎛ π⎫3π⎝
2，π⎪⎭
，∴β4.
20、（I ）由题意知f (x )=sin 2x 1+cos ⎛
⎝2x +π⎫2⎪
⎭2-2
=
sin 2x 1-2-sin 2x 2=sin 2x -1
2
由-
π
2
+2k π≤2x ≤
π
2
+2k π, k ∈Z 可得-
π
4
+k π≤x ≤
π
4
+k π, k ∈Z
由
π
2
+2k π≤2x ≤
3π2+2k π, k ∈Z 可得π4+k π≤x ≤3π
4
+k π, k ∈Z 所以函数f (x ) 的单调递增区间是⎢⎡-
ππ⎣4+k π, 4+k π⎤
⎥⎦
(k ∈Z ) ；
单调递减区间是⎢
⎡π⎣4+k π
, 3π4+k π⎤⎥⎦(k ∈Z )
一、角的概念及任意角的三角函数
1．已知点P ⎛ ⎝sin 3π
cos 3π⎫44⎭落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A. π3π5π7π
4B. 4 C.4D. 4
2. （2015福建卷）．若
sin α=-
5
13，且α为第四象限角，则tan α的值等
1212于（ ）A ．5 B．-55 C．12 D．-
5
12
二、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和与差公式、诱导公式
sin 2
35°－1
3．化简2
cos10°cos80°
＝( )
A ．－2
B ．－1
2．－1 D ．1
4．已知cos θ=13tan(-5π4), 则sin(π
2
-θ) 等于
A
．
3 B．一113 C．3 D
．±3
5．[2014·江苏卷] 已知α∈⎛ π⎫5⎝π⎪⎭
，sin α＝(1)求sin ⎛π⎫
⎝4＋α⎪⎭的值；
(2)求cos ⎛5π⎫⎝6－2α⎪⎭
的值．
6、若，且（ ）
A. B. C. D.
7、[2014·全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3) ，则l1与l2的夹角的正切值等于________．
三、三角函数图像及性质
8、[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎛ π⎫
π⎝
2x ＋3⎭的图像向右平移2个单位长度，
所得图像对应的函数( )
A ．在区间⎡⎢π7π⎤⎡π7π⎤
⎣1212⎥⎦上单调递减 B．在区间⎢⎣12，12⎦上单调递增
C ．在区间⎡⎢ππ⎤⎡ππ⎤
⎣－6，3⎦上单调递减 D．在区间⎢⎣－6
3⎦上单调递增
π
9、已知ϕ是实数，f(x)=cosx·cos(x+3) ，则“
ϕ=
π
3”是“函数f(x)向左平
移ϕ个单位后关于y 轴对称”的( ) A. 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件
10、如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的部分图象，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f (－1) ＝( ) ⎛
⎝
ω>0，0≤φ≤π⎫2⎪⎭
A ．－1 B ．－3 C. 3 D．1
11、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝
cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ⎛ ⎝2x ＋π⎫6⎪⎭，④y ＝tan ⎛ π⎫
⎝
2x －4⎭中，最小正周
期为π的所有函数为( )
A ．①②③ B．①③④ C ．②④ D．①③ 12、（2015浙江卷）、函数f (x )=sin 2x +sin x cos x +1
的最小正周期是，
最小值是 ．
四、解三角形
11、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 已知
3acos C＝2ccos A，tan A＝1
3B= . 12、在
中，
，为
边上的点，且
，
，则
的面积的最大值为 .
13．[2014·重庆卷13]
将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)⎛ π ⎝ω＞0π⎫2≤φ＜⎪2⎪⎭
图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π
6个单位长度
得到y ＝sin x的图像，则f ⎛ π⎫ ⎪
⎝6⎭
＝________．
14．在△ABC 中，已知tan A ＋B
2sin C ，给出以下四个结论：
①tan A
tan B ＝1；②1
C .
其中正确的是________．
四、解答题
15、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE
＝1，EC 7， EA＝2，∠ADC ＝2ππ
3BEC ＝3(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．
（湖南卷）16. （本小题满分12分）
如图3, D 是直角∆ABC 斜边BC 上一点, AB =AD , 记∠CAD =α, ∠ABC =β. (Ⅰ) 证明: sin α+cos 2β=0; (Ⅱ) 若AC =DC , 求β的值.
A
B
D
C
图3
17、[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.
已知 a－c ＝6
6，sin B＝6sin C. (1)求cos A的值；
(2)求cos ⎛ ⎝
2A －π⎫
6⎪⎭的值．
18、（2014•南昌模拟）已知向量=（sin ，1），=（cos ，cos2）．记
f （x ）=•．
（Ⅰ）若f （x ）=，求cos （﹣x ）的值；
（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足（2a ﹣c ）cosB=bcosC，若f （A ）=，试判断△ABC 的形状
19、(10分) 已知0
2β
的值．
20、【2015高考重庆，理18】 已知函数f (x )=sin ⎛ π
⎫2
⎝
2
-x ⎪⎭
sin x x （1）求f (x )的最小正周期和最大值； （2）讨论f (x )在⎢
⎡π⎣
6, 2π⎤
3⎥⎦上的单调性.
15、(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos ∠EDC ，
于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD ，即CD2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD＝－3舍去) ．
在△CDE 中，由正弦定理，得EC CD
sin ∠EDC sin α
.
CD ·sin 2π23
于是，sin α＝32
21
EC 7
＝7，即 sin ∠CED ＝21
7.
(2)由题设知，0＜α＜π
3，于是由(1)知，
cos α1－sin2α1－27
49＝7而∠AEB 2π
3－α，所以
cos ∠AEB ＝cos ⎛ 2π⎝3－α⎫⎪⎭
＝cos 2π2π
3α＋sin 3sin α
13
2cos α＋2α
1×273217272×714.
在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA 2
BE ＝BE ，故
BE ＝2cos ∠AEB 2
7
47.
1416、(1)．如图3，
α=
π
-(π-
2β) =2β-
π
π
2
2
, ∴sin α=sin(2β-
2) =-cos 2β
， 即sin α+cos 2β=0． （2）．在∆ABC 中，由正弦定理得
DC sin α=AC
sin(
π-β) , ⇒DC sin α=∴sin β=α
由(1)得sin α=-
cos 2
β，
∴sin β=β=-2sin 2
β),
即2β-sin β=0. 解得sin β=
2sin β=-3． 0
π
2
∴, s βi =⇒β=, π
3
.
17、解：(1)在△ABC 中，由b c
sin B＝sin Csin B 6sin C ，可得b 6
c. 又由a －c 6
6b ，有a ＝2c.
所以cos A＝b2＋c2－a22bc 6c2＋c2－4c226c2
＝6
4. (2)在△ABC 中，由cos A ＝6A ＝10
4，可得sin 4. 于是cos 2A ＝2cos2A －1
＝－1sin 2A＝2sin A·cos A1544.
所以cos ⎛ π⎫ππ153⎝
2A －6⎪⎭＝cos 2A·cos 6sin 2A·sin 6＝8.
19、解：(1)∵tan α1
2＝2 2tan α2×1∴tan α2
＝2
＝4
1－tan α⎛1⎫
3 21－ ⎝2⎪2
⎭
由⎧sin α⎨cos α＝43
⎩sin 2α＋cos 2α＝1，
解得sin α＝4⎛
5 4⎫⎝sin α＝－5舍去⎪⎭. (2)由(1)知cos α1－sin α＝
1－⎛ 4⎫23
⎝5⎭
＝5， 又0
2β
10
∴sin(β－α) ＝1－cos (β－α)＝1－⎛ 2⎫22
⎝10⎭
＝10，于是sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α) ＋cos αsin(β－α) ＝423722510＋5102.
又β∈⎛ π⎫3π⎝
2，π⎪⎭
，∴β4.
20、（I ）由题意知f (x )=sin 2x 1+cos ⎛
⎝2x +π⎫2⎪
⎭2-2
=
sin 2x 1-2-sin 2x 2=sin 2x -1
2
由-
π
2
+2k π≤2x ≤
π
2
+2k π, k ∈Z 可得-
π
4
+k π≤x ≤
π
4
+k π, k ∈Z
由
π
2
+2k π≤2x ≤
3π2+2k π, k ∈Z 可得π4+k π≤x ≤3π
4
+k π, k ∈Z 所以函数f (x ) 的单调递增区间是⎢⎡-
ππ⎣4+k π, 4+k π⎤
⎥⎦
(k ∈Z ) ；
单调递减区间是⎢
⎡π⎣4+k π
, 3π4+k π⎤⎥⎦(k ∈Z )