二面角——1定义法
二面角
二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式（设二面角的度数为θ，则cosθ=
S射影三角形S侧面三角形
，多用于求无棱二面角）求出二面角的大小。
求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角.现将二面角大小的求法归类分析如下：
定义法：
利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.用定义法时，要认真观察图形的特性
1.如图，四面体ABCD的棱BD长为2
，其余各棱的长均是，求：二面角A－BD－C、B－AC－D的大小
B
D
解析：(1)取BD的中点O，连AO、OC
在ΔABD中，∵AB＝AD
＝BD＝2，
A
∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，
同理OC⊥BD
∴∠AOC是二面角A－BD－C的平面角。
又AO＝OC＝1，AC
＝∴∠AOC＝90°
即二面角A－BD－C为直二面角。 (2)取AC的中点E，连BE、DE
E
B
D
∵AB＝BC，AD＝DC，∴BD⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BED就是二面角的平面角 在ΔBDE中，BE＝DE
＝
213
由余弦定理，得cosα=-
2.在四棱锥P－ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求二面角B－PC－D的大小。
B
A
D
解：
PA⊥AB⎫
⎪
PA⊥AD⎬⇒PB=PD， AB=AD=a⎪⎭PB=PD⎫
⎪
BC=DC⎬⇒∆PBD≅∆PDCPC=PC⎪⎭
过B作BH⊥PC于H，连结DHB
P
H
A
D
使DH⊥PC，
故∠BHD为二面角B－PC－D的平面角。 因PB
＝,BC＝a,PC
,
12
PB·BC＝S∆PBC＝
12
PC·BH，则BH
＝
3
DH
又BD
＝，在△BHD中由余弦定理，得：
cos∠BHD
＝
⎛⎫⎛⎫
+⎪- ⎪ 333
2π3
2
2
BH+DH-BD
2BH BD
222
)
2
=
3
=-
12
又0＜∠BHD＜π，则∠BHD＝
，二面角B－PC－D的大小是
2π3
。
3.三棱锥A－BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，AB＝AC＝6，AD＝4，求二面角A－BC－D的度数。
B
解：由已知条件∠BAC＝90°，AB＝AC， 设BC的中点设为O，则OA＝OC＝3
BC＝23
DC=BCtan30
=23⨯
2
33
=2
∴AD
2
=AO
2
+OC
2
+CD-2AO⋅CDcosθ
B
解之得：
cosθ=-
12
∴θ=150
4.如图AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，若AC＝CD＝1，∠ABC＝30°，求二面角C-AB-D的大小。
解：cosθ=
33
33
即所求角的大小为arccos（此题也可用垂线法）
。
练习：
1.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，
∠DAB=90,PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=
12
AB=1，M是
PB的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。 方案一：
（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD， ∴由三垂线定理得：CD⊥PD.
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直， ∴CD⊥面PAD.
又CD⊂面PCD，∴面PAD⊥面PCD.
（Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA， 则∠PBE是AC与PB所成的角.
连结AE，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形. 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90° 在Rt△PEB中BE=2，PB=5， ∴cos∠PBE=
BEPB
=
5.
∴AC与PB所成的角为arccos
5
.
（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN. 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角. ∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC， 在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC中，AN·MC=CM
2
-(
AC2
)⋅AC，
2
3
∴AN=
2
⨯52
2=
65
. ∴AB=2，
∴cos∠ANB=
AN
2
+BN
2
-AB
2
2⨯AN⨯BN
23).
=-
23
故所求的二面角为arccos(-
方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，).
21
（Ⅰ）证明：因AP=(0,0,1),DC=(0,1,0),故AP⋅DC=0,所以AP⊥DC. 由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD. （Ⅱ）解：因AC=(1,1,0),PB=(0,2,-1), 故|AC|=
2,|PB|=
5,AC⋅PB=2,所以
=
5.
cos=
（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在λ∈R,使NC=λMC,
NC=(1-x,1-y,-z),MC=(1,0,-
12
),∴x=1-λ,y=1,z=
12
z=0,解得λ=
4512.
λ..
要使AN⊥MC,只需AN⋅MC=0即x-
4
可知当λ
=
12
时,N点坐标为(,1,),能使AN⋅MC=0.5551
2
1
2
此时,AN=(,1,),BN=(,-1,),有BN⋅MC=05555
由AN⋅MC=0,BN⋅MC=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所
求二面角的平面角. |AN|=
305
,|BN|=
305
,AN⋅BN=-
=-2.
45.
∴cos(AN,BN)=
故所求的二面角为arccos(-23
).
3
二面角——1定义法
二面角
二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式（设二面角的度数为θ，则cosθ=
S射影三角形S侧面三角形
，多用于求无棱二面角）求出二面角的大小。
求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角.现将二面角大小的求法归类分析如下：
定义法：
利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.用定义法时，要认真观察图形的特性
1.如图，四面体ABCD的棱BD长为2
，其余各棱的长均是，求：二面角A－BD－C、B－AC－D的大小
B
D
解析：(1)取BD的中点O，连AO、OC
在ΔABD中，∵AB＝AD
＝BD＝2，
A
∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，
同理OC⊥BD
∴∠AOC是二面角A－BD－C的平面角。
又AO＝OC＝1，AC
＝∴∠AOC＝90°
即二面角A－BD－C为直二面角。 (2)取AC的中点E，连BE、DE
E
B
D
∵AB＝BC，AD＝DC，∴BD⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BED就是二面角的平面角 在ΔBDE中，BE＝DE
＝
213
由余弦定理，得cosα=-
2.在四棱锥P－ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求二面角B－PC－D的大小。
B
A
D
解：
PA⊥AB⎫
⎪
PA⊥AD⎬⇒PB=PD， AB=AD=a⎪⎭PB=PD⎫
⎪
BC=DC⎬⇒∆PBD≅∆PDCPC=PC⎪⎭
过B作BH⊥PC于H，连结DHB
P
H
A
D
使DH⊥PC，
故∠BHD为二面角B－PC－D的平面角。 因PB
＝,BC＝a,PC
,
12
PB·BC＝S∆PBC＝
12
PC·BH，则BH
＝
3
DH
又BD
＝，在△BHD中由余弦定理，得：
cos∠BHD
＝
⎛⎫⎛⎫
+⎪- ⎪ 333
2π3
2
2
BH+DH-BD
2BH BD
222
)
2
=
3
=-
12
又0＜∠BHD＜π，则∠BHD＝
，二面角B－PC－D的大小是
2π3
。
3.三棱锥A－BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，AB＝AC＝6，AD＝4，求二面角A－BC－D的度数。
B
解：由已知条件∠BAC＝90°，AB＝AC， 设BC的中点设为O，则OA＝OC＝3
BC＝23
DC=BCtan30
=23⨯
2
33
=2
∴AD
2
=AO
2
+OC
2
+CD-2AO⋅CDcosθ
B
解之得：
cosθ=-
12
∴θ=150
4.如图AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，若AC＝CD＝1，∠ABC＝30°，求二面角C-AB-D的大小。
解：cosθ=
33
33
即所求角的大小为arccos（此题也可用垂线法）
。
练习：
1.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，
∠DAB=90,PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=
12
AB=1，M是
PB的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。 方案一：
（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD， ∴由三垂线定理得：CD⊥PD.
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直， ∴CD⊥面PAD.
又CD⊂面PCD，∴面PAD⊥面PCD.
（Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA， 则∠PBE是AC与PB所成的角.
连结AE，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形. 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90° 在Rt△PEB中BE=2，PB=5， ∴cos∠PBE=
BEPB
=
5.
∴AC与PB所成的角为arccos
5
.
（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN. 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角. ∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC， 在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC中，AN·MC=CM
2
-(
AC2
)⋅AC，
2
3
∴AN=
2
⨯52
2=
65
. ∴AB=2，
∴cos∠ANB=
AN
2
+BN
2
-AB
2
2⨯AN⨯BN
23).
=-
23
故所求的二面角为arccos(-
方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，).
21
（Ⅰ）证明：因AP=(0,0,1),DC=(0,1,0),故AP⋅DC=0,所以AP⊥DC. 由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD. （Ⅱ）解：因AC=(1,1,0),PB=(0,2,-1), 故|AC|=
2,|PB|=
5,AC⋅PB=2,所以
=
5.
cos=
（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在λ∈R,使NC=λMC,
NC=(1-x,1-y,-z),MC=(1,0,-
12
),∴x=1-λ,y=1,z=
12
z=0,解得λ=
4512.
λ..
要使AN⊥MC,只需AN⋅MC=0即x-
4
可知当λ
=
12
时,N点坐标为(,1,),能使AN⋅MC=0.5551
2
1
2
此时,AN=(,1,),BN=(,-1,),有BN⋅MC=05555
由AN⋅MC=0,BN⋅MC=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所
求二面角的平面角. |AN|=
305
,|BN|=
305
,AN⋅BN=-
=-2.
45.
∴cos(AN,BN)=
故所求的二面角为arccos(-23
).
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