数学奥林匹克高中训练题
第一试
一、填空题（每小题8份，共64分）
1. 函数f (x ) =27-32. 在数列{a n }中, a 1=
x
x +3
+1在区间[0,3]上的最小值为_____.
1
, 且a n +1=2a n -[a n ], 则a 2009+a 2010=_____. 3
3. 若集合A ={x |x =6n -1, n ∈N }, B ={x |x =8n +3, n ∈N }, 则A B 中小于2010的元素个数为_____. 4. 若方程n sin x +(n +1)cos x =n +2在0b >c , a +b +c =0, 且x 1, x 2为ax +bx +c =0的两实根, 则|x 1-x 2|的取值范围为_____. 6. 在四面体O -ABC 中, 若点O 处的三条棱两两垂直,
, 则在该四面体的表面上与点A 距离为2的点形成的曲线长度之和为_____.
7. 有n 个中心在坐标原点, 以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是x =1. 若第k (k =1, 2, , n ) 个椭圆的离心率e k =2, 则这n 个椭圆的长轴之和为_____.
8. 某校进行投篮比赛, 共有64人参加. 已知每个参赛者每次投篮的命中率均为
-k
222
3
, 规定只有连续命中两次4
才能被录取, 一旦录取就停止投篮, 否则一直投满4次. 设ξ表示录取人数, 则E ξ=_____.
二、解答题（共56分）
9.(16分) 设抛物线y =2px (p >0) 的焦点为F , 点A 在x 轴上点F 的右侧, 以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点M , N , 求证:FM +FN =FA .
10.(20分) 是否存在θ∈(0,
11.(20分) 设函数f (x ) =ax +bx +cx +d 的图像Γ上有两个极值点P , Q , 其中P 为坐标原点, (1)当点Q 的坐标为(1,2) 时, 求f (x ) 的解析式；
(2)当点Q 在圆(x -2) +(y -3) =1上时, 求曲线Γ的切线斜率的最大值.
2
23
2
2
π
2
) , 使得sin θ,cos θ,tan θ,cot θ的某一排列成等差数列? 并说明理由.
加试
一、(40分) 设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线AB , BC , CA 上的射影分别为P , Q , R , 且∠ABC
与∠ADC 的平分线交于点E , 求证:点E 在AC 上的充要条件是PR =QR .
二、(40分) 已知周长为1的∆A i B i C i (i =1, 2) 的三条边的长分别为a i , b i , c i .
设p i =a i 2+b i 2+c i 2+4a i b i c i (i =1, 2) , 求证:|p 1-p 2|
1
. 54
三、(50分) 是否存在互不相同的素数p , q , r , s , 使得它们的和为640, 且p 2+qs 和p 2+qr 都是完全平
方数？若存在, 求p , q , r , s 的值；若不存在, 说明理由.
四、(50分) 对n 个互不相等的正整数, 其中任意六个数中都至少存在两个数, 使得其中一个能整除另一个.
求n 的最小值, 使得在这n 个数中一定存在六个数, 其中一个能被另外五个整除.
参 考 答 案 第一试
一、1. -53.
令t =3, x ∈[0,3], 则有f (x ) =g (t ) =t -27t +1, t ∈[1,27], 而g '(t ) =3t -27=3(t -3)(t +3) . 故当t ∈[1,3]时, g '(t ) 0, g (t ) 单调递增. 所以当t =3, g (t ) 取得最小值g min (t ) =g (3)=-53, 即当x =1时, f (x ) 取得最小值-53.
2. 2009. 由已知可得a 1=
x
3
2
241
, a 2=, a 3=. 下面用数学归纳法证明:a n +2-a n =1, a n +a n +1=n .
333
显然, 当n =1时, 结论成立.
假设当n =k 时, 结论成立, 即是有a k +2-a k =1, a k +a k +1=k . 则当n =k +1时,
a k +3-a k +1=2a k +2-[a k +2]-(2a k -[a k ])=2(a k +2-a k ) -([a k +2]-[a k ])=2-（[a k +1]-[a k ])=1. a k +1+a k +2=a k +1+(a k +1) =k +1. 即, 当n =k +1时, 结论也成立.
综上所述, a n +2-a n =1, a n +a n +1=n 总成立. 故a 2009+a 2010=2009.
3. 84.
由题意若x ∈A , 则x ≡5 (mod 6) , 若x ∈B , 则x ≡3 (mod 8) , 故若x ∈A B , 则x ≡11 (mod 24) , 即若x ∈A B , 则x =24k +11, 于是可得满足题意的元素共有84个.
4. 4. 由已知得
1-1-sin x -1-sin x
, 而表示上半个单位圆(不包括端点) 上的动点P (cosx ,sin x ) =-1-
n 2-cos x 2-cos x
与定点Q (2,-1) 的斜率k , 要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点) 有两个不同的交点, 此时k ∈(-, -1) , 从而可得
5. [0,3).
由a +b +c =0知方程ax 2+bx +c =0有一个实数根为1, 不妨设x 1=1, 则由韦达定理可知x 2=而a >b >c , a +b +c =0, 故a >0, c -a -c >c , 则-2
6.
2
2
4311
∈(0,) , 故n >3, 即正整数n 的最小值为4. n 3
c
. a
c 11c 2
3π
. 2
如图, 点M , N 分别在棱AB , AC 上, 且AM =AN =2, 点E , F 分别在棱OB , OC 上, 且OE =OF =1, 则AE =AF =2, 因此, 符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内, 以O 为圆心, 1为半径的弧EF , 其长度为
ππ；②在面AOB 内, 以A 为圆心, 2为半径的弧EM , 其长度为；③在26
π面AOC 内, 以A 为圆心, 2为半径的弧FN , 其长度为；④在面ABC 6
2ππππ2π3π
内, 以A 为圆心, 2为半径的弧MN , 其长度为. 所以, 所求的曲线长度之和为+++. =
326632
7. 2-21-n .
a k 2c
设第k 个椭圆的长半轴为a k , 焦半径为c k , 则由题意有=1, e k =k =2-k , 故可得a k =2-k , 于
c k a k
-1-2-n -n
是可得a 1+a 2+ +a n =2+2+ +2=1-2, 故这n 个椭圆的长轴之和为2(1-2) =2-2
-n 1-n
.
8.
189
. 4
[1**********]9
, 故录取人数ξ服从二⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=
[1**********]6
189189189
项分布, 即ξ~B (64,.
) , 所以E ξ=64⨯=
2562564
由于每位参赛者被录取的概率均为p =
p 12a +p 222a -p 2
二、9. 由已知得F (,0) , 设点A (a ,0) , 则FA =a -p , 故以FA 为直径的圆为(x -) +y =() .
2244
2a +p 22a -p 2
令M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) , 则可知x 1, x 2是方程(x -) +2px =() 的两个实数根, 将该方程化简得:
442a -3p 3
2x 2-(2a -3p ) x +ap =0, 由韦达定理得x 1+x 2==a -p .
22
1131
故FM +FN =(x 1+p ) +(x 2+p ) =(a -p ) +p =a -p =FA , 即FM +FN =FA .
2222
10. 当θ∈(0,
π
2
) 时, 函数y =sin x 与y =cos x 的图像关于直线x =
π
4
对称, 函数y =tan x 与y =cot x 的
图像也关于直线x =
π
4
对称, 且当θ=
π
4
时, sin θ,cos θ, tan θ,cot θ的任一排列均不可能成等差数列. 故
只需考虑是否存在θ∈(0,
假设存在θ∈(0,
π
4
) 使得sin θ,cos θ, tan θ,cot θ的某一排列成等差数列即可.
π
4
) 符合题意, 则由sin θ
2
2
而有sin θ+cos θ=sin θ⋅cos θ, 故(sinθ⋅cos θ) =1+2sin θ⋅cos θ=1+sin 2θ. 而(sinθ⋅cos θ)
1+sin 2θ>1, 故假设不成立. 即, 不存在这样的θ, 使得sin θ,cos θ,tan θ,cot θ的某一排列成等差数列.
11. 因为f (x ) =ax +bx +cx +d , 所以f (x ) =3ax +2bx +c . 因为图像Γ上有一个极值点P 为坐标原点, 所以f (0)=0, 且f (0)=0. 故c =d =0.
(1)当点Q 的坐标为(1,2) 时, 由f (1)=0与f (1)=2可得:3a +2b =0, 且a +b =2. 解之, 得:a =-4, b =6. 此时, f (x ) =-4x +6x .
(2)∵f (x ) =3ax +2bx , 且由题意点Q 在圆(x -2) +(y -3) =1上知a
'
'
2
2
2
3
2
'
3
2
'
2
'
∴曲线Γ的切线斜率k 的最大值为f (x ) 的最大值k max
'
b 2
=-.
3a
2
3
2
设点Q 的坐标为(m , n ) , 则有f (m ) =0, 且f (m ) =n , ∴3am +2bm =0, 且am +bm =n .
b 23n b 3m 3n
=⋅. ∴=-, b =2. ∴k max =-
3a 2m a 2m
n 22
表示过原点且与圆(x -2) +(y -3) =1有公共点的直线的斜率, 而过原点且与圆m
(x -2) 2+(y -3) 2=
1有公共点的直线斜率的最大值为2
∵∴k max
b 23n 3=-=⋅≤(2=3+∴曲线Γ
的切线斜率的最大值为33a 2m 2
数学奥林匹克高中训练题
第一试
一、填空题（每小题8份，共64分）
1. 函数f (x ) =27-32. 在数列{a n }中, a 1=
x
x +3
+1在区间[0,3]上的最小值为_____.
1
, 且a n +1=2a n -[a n ], 则a 2009+a 2010=_____. 3
3. 若集合A ={x |x =6n -1, n ∈N }, B ={x |x =8n +3, n ∈N }, 则A B 中小于2010的元素个数为_____. 4. 若方程n sin x +(n +1)cos x =n +2在0b >c , a +b +c =0, 且x 1, x 2为ax +bx +c =0的两实根, 则|x 1-x 2|的取值范围为_____. 6. 在四面体O -ABC 中, 若点O 处的三条棱两两垂直,
, 则在该四面体的表面上与点A 距离为2的点形成的曲线长度之和为_____.
7. 有n 个中心在坐标原点, 以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是x =1. 若第k (k =1, 2, , n ) 个椭圆的离心率e k =2, 则这n 个椭圆的长轴之和为_____.
8. 某校进行投篮比赛, 共有64人参加. 已知每个参赛者每次投篮的命中率均为
-k
222
3
, 规定只有连续命中两次4
才能被录取, 一旦录取就停止投篮, 否则一直投满4次. 设ξ表示录取人数, 则E ξ=_____.
二、解答题（共56分）
9.(16分) 设抛物线y =2px (p >0) 的焦点为F , 点A 在x 轴上点F 的右侧, 以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点M , N , 求证:FM +FN =FA .
10.(20分) 是否存在θ∈(0,
11.(20分) 设函数f (x ) =ax +bx +cx +d 的图像Γ上有两个极值点P , Q , 其中P 为坐标原点, (1)当点Q 的坐标为(1,2) 时, 求f (x ) 的解析式；
(2)当点Q 在圆(x -2) +(y -3) =1上时, 求曲线Γ的切线斜率的最大值.
2
23
2
2
π
2
) , 使得sin θ,cos θ,tan θ,cot θ的某一排列成等差数列? 并说明理由.
加试
一、(40分) 设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线AB , BC , CA 上的射影分别为P , Q , R , 且∠ABC
与∠ADC 的平分线交于点E , 求证:点E 在AC 上的充要条件是PR =QR .
二、(40分) 已知周长为1的∆A i B i C i (i =1, 2) 的三条边的长分别为a i , b i , c i .
设p i =a i 2+b i 2+c i 2+4a i b i c i (i =1, 2) , 求证:|p 1-p 2|
1
. 54
三、(50分) 是否存在互不相同的素数p , q , r , s , 使得它们的和为640, 且p 2+qs 和p 2+qr 都是完全平
方数？若存在, 求p , q , r , s 的值；若不存在, 说明理由.
四、(50分) 对n 个互不相等的正整数, 其中任意六个数中都至少存在两个数, 使得其中一个能整除另一个.
求n 的最小值, 使得在这n 个数中一定存在六个数, 其中一个能被另外五个整除.
参 考 答 案 第一试
一、1. -53.
令t =3, x ∈[0,3], 则有f (x ) =g (t ) =t -27t +1, t ∈[1,27], 而g '(t ) =3t -27=3(t -3)(t +3) . 故当t ∈[1,3]时, g '(t ) 0, g (t ) 单调递增. 所以当t =3, g (t ) 取得最小值g min (t ) =g (3)=-53, 即当x =1时, f (x ) 取得最小值-53.
2. 2009. 由已知可得a 1=
x
3
2
241
, a 2=, a 3=. 下面用数学归纳法证明:a n +2-a n =1, a n +a n +1=n .
333
显然, 当n =1时, 结论成立.
假设当n =k 时, 结论成立, 即是有a k +2-a k =1, a k +a k +1=k . 则当n =k +1时,
a k +3-a k +1=2a k +2-[a k +2]-(2a k -[a k ])=2(a k +2-a k ) -([a k +2]-[a k ])=2-（[a k +1]-[a k ])=1. a k +1+a k +2=a k +1+(a k +1) =k +1. 即, 当n =k +1时, 结论也成立.
综上所述, a n +2-a n =1, a n +a n +1=n 总成立. 故a 2009+a 2010=2009.
3. 84.
由题意若x ∈A , 则x ≡5 (mod 6) , 若x ∈B , 则x ≡3 (mod 8) , 故若x ∈A B , 则x ≡11 (mod 24) , 即若x ∈A B , 则x =24k +11, 于是可得满足题意的元素共有84个.
4. 4. 由已知得
1-1-sin x -1-sin x
, 而表示上半个单位圆(不包括端点) 上的动点P (cosx ,sin x ) =-1-
n 2-cos x 2-cos x
与定点Q (2,-1) 的斜率k , 要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点) 有两个不同的交点, 此时k ∈(-, -1) , 从而可得
5. [0,3).
由a +b +c =0知方程ax 2+bx +c =0有一个实数根为1, 不妨设x 1=1, 则由韦达定理可知x 2=而a >b >c , a +b +c =0, 故a >0, c -a -c >c , 则-2
6.
2
2
4311
∈(0,) , 故n >3, 即正整数n 的最小值为4. n 3
c
. a
c 11c 2
3π
. 2
如图, 点M , N 分别在棱AB , AC 上, 且AM =AN =2, 点E , F 分别在棱OB , OC 上, 且OE =OF =1, 则AE =AF =2, 因此, 符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内, 以O 为圆心, 1为半径的弧EF , 其长度为
ππ；②在面AOB 内, 以A 为圆心, 2为半径的弧EM , 其长度为；③在26
π面AOC 内, 以A 为圆心, 2为半径的弧FN , 其长度为；④在面ABC 6
2ππππ2π3π
内, 以A 为圆心, 2为半径的弧MN , 其长度为. 所以, 所求的曲线长度之和为+++. =
326632
7. 2-21-n .
a k 2c
设第k 个椭圆的长半轴为a k , 焦半径为c k , 则由题意有=1, e k =k =2-k , 故可得a k =2-k , 于
c k a k
-1-2-n -n
是可得a 1+a 2+ +a n =2+2+ +2=1-2, 故这n 个椭圆的长轴之和为2(1-2) =2-2
-n 1-n
.
8.
189
. 4
[1**********]9
, 故录取人数ξ服从二⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=
[1**********]6
189189189
项分布, 即ξ~B (64,.
) , 所以E ξ=64⨯=
2562564
由于每位参赛者被录取的概率均为p =
p 12a +p 222a -p 2
二、9. 由已知得F (,0) , 设点A (a ,0) , 则FA =a -p , 故以FA 为直径的圆为(x -) +y =() .
2244
2a +p 22a -p 2
令M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) , 则可知x 1, x 2是方程(x -) +2px =() 的两个实数根, 将该方程化简得:
442a -3p 3
2x 2-(2a -3p ) x +ap =0, 由韦达定理得x 1+x 2==a -p .
22
1131
故FM +FN =(x 1+p ) +(x 2+p ) =(a -p ) +p =a -p =FA , 即FM +FN =FA .
2222
10. 当θ∈(0,
π
2
) 时, 函数y =sin x 与y =cos x 的图像关于直线x =
π
4
对称, 函数y =tan x 与y =cot x 的
图像也关于直线x =
π
4
对称, 且当θ=
π
4
时, sin θ,cos θ, tan θ,cot θ的任一排列均不可能成等差数列. 故
只需考虑是否存在θ∈(0,
假设存在θ∈(0,
π
4
) 使得sin θ,cos θ, tan θ,cot θ的某一排列成等差数列即可.
π
4
) 符合题意, 则由sin θ
2
2
而有sin θ+cos θ=sin θ⋅cos θ, 故(sinθ⋅cos θ) =1+2sin θ⋅cos θ=1+sin 2θ. 而(sinθ⋅cos θ)
1+sin 2θ>1, 故假设不成立. 即, 不存在这样的θ, 使得sin θ,cos θ,tan θ,cot θ的某一排列成等差数列.
11. 因为f (x ) =ax +bx +cx +d , 所以f (x ) =3ax +2bx +c . 因为图像Γ上有一个极值点P 为坐标原点, 所以f (0)=0, 且f (0)=0. 故c =d =0.
(1)当点Q 的坐标为(1,2) 时, 由f (1)=0与f (1)=2可得:3a +2b =0, 且a +b =2. 解之, 得:a =-4, b =6. 此时, f (x ) =-4x +6x .
(2)∵f (x ) =3ax +2bx , 且由题意点Q 在圆(x -2) +(y -3) =1上知a
'
'
2
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3
2
'
3
2
'
2
'
∴曲线Γ的切线斜率k 的最大值为f (x ) 的最大值k max
'
b 2
=-.
3a
2
3
2
设点Q 的坐标为(m , n ) , 则有f (m ) =0, 且f (m ) =n , ∴3am +2bm =0, 且am +bm =n .
b 23n b 3m 3n
=⋅. ∴=-, b =2. ∴k max =-
3a 2m a 2m
n 22
表示过原点且与圆(x -2) +(y -3) =1有公共点的直线的斜率, 而过原点且与圆m
(x -2) 2+(y -3) 2=
1有公共点的直线斜率的最大值为2
∵∴k max
b 23n 3=-=⋅≤(2=3+∴曲线Γ
的切线斜率的最大值为33a 2m 2