2013中考数学压轴题函数平行四边形问题精选解析(一)

2013中考数学压轴题函数平行四边形问题精选解析(一)

例 1

已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数y在正比例函数y

3

x3的图像与y轴交于点A，点M4

3

x的图像上，且MO＝MA．二次函数 2

2

y＝x＋bx＋c的图像经过点A、M．

（1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二

3

次函数的图像上，点D在一次函数yx3的图像上，且四

4

边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

图1

解析

（1）当x＝0时，y

3

x33，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3． 4

33

如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为．将y代

22入y

33 x，得x＝1．所以点M的坐标为(1,)．因此AM22

c3,235

（2）因为抛物线y＝x＋bx＋c经过A(0，3)、M(1,)，所以解得，b3221bc.2

5

c3．所以二次函数的解析式为yx2x3．

2

（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E． 在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．

因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入yx2

5

x3，得2

32m16m210m3．解得m

1

或者m＝0（舍去）． 2

因此点C的坐标为（2，2）．

图2 图3

考点伸展

如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：

727

如图4，点C的坐标为(,)．

416

图4

例2

将抛物线c1

：y2x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示． （1）请直接写出抛物线c2的表达式；

（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．

①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

图1

解析

（1）抛物线c2

的表达式为y2

（2）抛物线c1

：y2x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，

顶点为． 抛物线c2

：y2x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)

，顶点为(0,． 抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M

的坐标为(m，与x轴的两个交点为

A(1m,0)、B(1m,0)，AB＝2．

抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N

的坐标为(m,，与x轴的两个交点为

D(1m,0)、E(1m,0)．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．

①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：

1

情形一，如图2，B在D的左侧，此时ABAE2，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得

3

m＝2．

2

情形二，如图3，B在D的右侧，此时ABAE2，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得

3m

1．

2

图2 图3 图4

22

②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM＝m＋3，所

22

以4(1＋m)＝4(m＋3)．解得m＝1（如图4）．

考点伸展

第（2）题②，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：

在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB

ABM是等边三角形． 同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合． 因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．

2013中考数学压轴题函数平行四边形问题精选解析(一)

例 1

已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数y在正比例函数y

3

x3的图像与y轴交于点A，点M4

3

x的图像上，且MO＝MA．二次函数 2

2

y＝x＋bx＋c的图像经过点A、M．

（1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二

3

次函数的图像上，点D在一次函数yx3的图像上，且四

4

边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

图1

解析

（1）当x＝0时，y

3

x33，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3． 4

33

如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为．将y代

22入y

33 x，得x＝1．所以点M的坐标为(1,)．因此AM22

c3,235

（2）因为抛物线y＝x＋bx＋c经过A(0，3)、M(1,)，所以解得，b3221bc.2

5

c3．所以二次函数的解析式为yx2x3．

2

（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E． 在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．

因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入yx2

5

x3，得2

32m16m210m3．解得m

1

或者m＝0（舍去）． 2

因此点C的坐标为（2，2）．

图2 图3

考点伸展

如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：

727

如图4，点C的坐标为(,)．

416

图4

例2

将抛物线c1

：y2x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示． （1）请直接写出抛物线c2的表达式；

（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．

①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

图1

解析

（1）抛物线c2

的表达式为y2

（2）抛物线c1

：y2x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，

顶点为． 抛物线c2

：y2x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)

，顶点为(0,． 抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M

的坐标为(m，与x轴的两个交点为

A(1m,0)、B(1m,0)，AB＝2．

抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N

的坐标为(m,，与x轴的两个交点为

D(1m,0)、E(1m,0)．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．

①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：

1

情形一，如图2，B在D的左侧，此时ABAE2，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得

3

m＝2．

2

情形二，如图3，B在D的右侧，此时ABAE2，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得

3m

1．

2

图2 图3 图4

22

②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM＝m＋3，所

22

以4(1＋m)＝4(m＋3)．解得m＝1（如图4）．

考点伸展

第（2）题②，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：

在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB

ABM是等边三角形． 同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合． 因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．