任意相对速度方向下的洛伦兹变换 李思农 恩平市职业技术教育中心
摘要：凡是提到相对论，都会只使用一种特殊的相对运动：相对运动方向沿x 轴。这种情况最简单，却也容易引起歧义。所以本文将给出任意相对速度方向下的洛伦兹变换以供读者参考、使用。
在许多文献和参考书中，都提到了两个作相对运动的惯性系，几乎全部都选取了一个特殊的情况：相对速度v 的方向与两坐标系的x 轴方相同（如图1）。这种情况下的洛伦兹变换关系是最简单的。尽管有简单的好处，但是在一般情况下，或者在讲到四维动量、四维力时，相对速度方向仅与x 轴方向相同就显得不太够了，它展示出来的物理图象过于“特殊情况”或者不完整，容易引起很多歧义。所以本文将给出任意相对速度方向下的洛伦兹变换（如图2），以供读者参考、使用。
相对速度为v 。 图1：两个惯性系之间相对速度方向与x 轴方向相同，
图2：两惯性系之间的相对速度方向是任意方向。
一、相对速度
如图2显示，相对速度方向是任意的，我们先分析一下相对速度。
12
v v v 红色为坐标轴上的相对分量、、如图3，蓝色为相对速度矢量。
v 3。我们采用逆变矢量方式：符号的指标写在上面，并不是表示次
1122
x y v v +v v 平面上的速度分量矢量和方的意思。绿色表示在
。
图3：蓝色是相对速度矢量，红色是其在坐标轴上的分量，绿色是x y
平面上的速度分量矢量和
v 1v 1+v 2v 2
。
很明显最终的转换公式中，这些分量全部都会出现，我们约定凡
是两个相同量相乘的连续写出两次，例如：v 并不是四个v 相乘，我们不再使用指数。
22
v 表示两个v 相乘，
2
根据很简单的三角函数，我们可以得到关系：
cos α=
v 1v v +v v
11
22
、
sin α=
v 2v 1v 1+v 2v 2
、
、
v 1v 1+v 2v 2
cos β=
v v 3
、sin β=v
vv =v 1v 1+v 2v 2+v 3v 3。
二、坐标系的旋转
对于任意相对运动速度方向的情况，我们先将坐标系进行旋转，
图3
变成图1的情况，然后利用简单的洛伦兹变换推出一般情况下的洛伦
兹变换。这种旋转分两步进行。会得到三个坐标系，我们分别用红、绿、蓝三种颜色来表示（如图3）。
先是绕z 轴旋转α角，得到绿色坐从红色坐标系R (red)开始，标系G (green)。再绕绿色坐标系的
y 轴旋转β角，得到蓝色坐标
系B (blue)。这个蓝色坐标系的x 轴沿着相对运动速度的方向。
这里会有两套这种坐标，我们约定第一套的R 、G 、B 坐标分别为(ct , x , y , z ) R 、(ct , x , y , z ) G 、(ct , x , y , z ) B 。第二套的R ′、
G ′
、
B ′
坐标分别为
(c t ′, x ′, y ′, z ′) R ′
、
(c t ′, x ′, y ′, z ′) G ′
、
(c t ′, x ′, y ′, z ′) B ′。两套坐标系间相对速度为v
根据几何，可以得到坐标旋转关系为：
绿色坐标系G 与红色坐标系R 转换关系为
⎛x ⎞⎛cos α⎜⎟⎜
⎜y ⎟=⎜−sin α⎜z ⎟⎜0⎝⎠G ⎝
sin αcos α0
0⎞⎛x ⎞⎟⎜⎟0⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟1⎠⎝z ⎠R
蓝色坐标系B 与绿色坐标系G 转换关系为
⎛x ⎞⎛cos β⎜⎟⎜⎜y ⎟=⎜0⎜z ⎟⎜−sin β⎝⎠B ⎝⎛x ⎞⎛cos β⎜⎟⎜⎜y ⎟=⎜0⎜z ⎟⎜−sin β⎝⎠B ⎝⎛cos βcos α⎜
=⎜−sin α⎜−sin βcos α⎝
0sin β⎞⎛x ⎞
⎟⎜⎟
10⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟0cos β⎠⎝z ⎠G 0sin β⎞⎛cos α⎟⎜
10⎟⎜−sin α
⎜00cos β⎟⎠⎝cos βsin αcos α−sin βsin α
sin αcos α0
那么蓝色坐标系B 与红色坐标系R 转换关系为
0⎞⎛x ⎞⎟⎜⎟0⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟1⎠⎝z ⎠R
sin β⎞⎛x ⎞
⎟⎜⎟0⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟cos β⎠⎝z ⎠R
接下来求这个变换关系的逆。
红色坐标系R 与绿色坐标系G 转换关系为
⎛x ⎞⎛cos α⎜⎟⎜
⎜y ⎟=⎜sin α⎜z ⎟⎜0⎝⎠R ⎝
−sin αcos α0
0⎞⎛x ⎞⎟⎜⎟0⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟1⎠⎝z ⎠G
绿色坐标系G 与蓝色坐标系B 转换关系为
⎛x ⎞⎛cos β
⎜⎟⎜⎜y ⎟=⎜0⎜z ⎟⎜sin β⎝⎠G ⎝⎛x ⎞⎛cos α⎜⎟⎜
⎜y ⎟=⎜sin α⎜z ⎟⎜0⎝⎠R ⎝
0−sin β⎞⎛x ⎞
⎟⎜⎟
10⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟0cos β⎠⎝z ⎠B −sin α
cos α0
0⎞⎛cos β⎟⎜0⎟⎜0⎜sin β1⎟⎠⎝
0−sin β⎞⎛x ⎞
⎟⎜⎟
10⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟0cos β⎠⎝z ⎠B
那么红色坐标系R 与蓝色坐标系B 转换关系为
⎛cos αcos β
⎜
=⎜sin αcos β⎜sin β⎝
−sin αcos α0
−cos αsin β⎞⎛x ⎞
⎟⎜⎟
−sin αsin β⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟cos β⎠⎝z ⎠B
三、任意相对速度方向下的洛伦兹转换关系
通过上面的准备，现在可以进入转换关系的求解。大致过程如下，先从红色坐标系R 开始，转换成蓝色坐标系B ，通过简单洛伦兹转换变成蓝色坐标系B ′，再通过逆转换变回红色坐标系R ′。
0⎛1⎛ct ⎞
⎜⎜⎟
⎜0cos αcos β⎜x ⎟
⎜y ⎟=⎜0sin αcos β
⎜⎜⎟
⎜0⎜z ⎟sin β⎝⎠R ⎝
−sin αcos α0
⎞⎛ct ⎞⎟⎜⎟
−cos αsin β⎟⎜x ⎟−sin αsin β⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟⎟⎜z ⎟cos β⎠⎝⎠B
⎛ct ⎞
⎜⎟⎜x ⎟⎜y ⎟⎜⎟⎜z ⎟⎝⎠B
⎛⎜γ⎜v ⎜=γ⎜c ⎜0⎜⎝0
v γc
0010
γ
00
⎞0⎟⎛c t ′⎞⎟⎜⎟x ′⎟⎜⎟0
⎟⎜y ′⎟
⎟ 0⎟⎜⎜z ′⎟⎟⎝⎠B ′1⎠
0cos βsin αcos α−sin βsin α
0⎞⎛c t ′⎞⎟⎜⎟sin β⎟⎜x ′⎟0⎟⎜y ′⎟
⎟⎜⎟⎜z ′⎟cos β⎟⎠⎝⎠R ′
0⎛1⎛c t ′⎞
⎜⎜⎟
⎜0cos βcos α⎜x ′⎟
⎜y ′⎟=⎜0−sin α
⎜⎜⎟
⎜0−sin βcos α⎜z ′⎟
⎝⎠B ′⎝
上式中
γ=
1vv −2
c
。逐个代入，得到结果：
⎛ct ⎞⎜⎟⎜x ⎟⎜y ⎟⎜⎟⎜z ⎟⎝⎠R
⎛⎜γ⎜1⎜v ⎜c γ=⎜2⎜v γ⎜c ⎜v 3⎜γ⎝c ⎞v 1v 2v 3
⎟γγγ
c c c ⎟⎛c t ′⎞111213v v v v v v ⎟⎜⎟1+(γ−1) (γ−1) (γ−1) ⎟x ′
⎜⎟vv vv vv
⎟⎜′⎟
v 1v 2v 2v 2v 2v 3y
(γ−1) 1+(γ−1) (γ−1) ⎟⎜⎟
⎟vv vv vv ⎟⎜′z ⎝⎠R ′132333
⎟v v v v v v
(γ−1) (γ−1) 1+(γ−1) ⎟vv vv vv ⎠
同样手法，可以得到其逆变换
⎛c t ′⎞
⎜⎟⎜x ′⎟⎜y ′⎟⎜⎟⎜z ′⎟⎝⎠R ′
⎛⎜γ⎜1⎜−v ⎜c γ=⎜2⎜−v γ⎜c ⎜−v 3
γ⎜⎝c ⎞−v 1−v 2−v 3
⎟γγγ
c c c ⎟⎛ct ⎞111213v v v v v v ⎟⎜⎟1+(γ−1) (γ−1) (γ−1) ⎟x
⎜⎟vv vv vv
⎟⎜⎟v 1v 2v 2v 2v 2v 3y
(γ−1) 1+(γ−1) (γ−1) ⎟⎜⎟
⎟vv vv vv ⎟⎜z ⎝⎠R 132333
⎟v v v v v v
(γ−1) (γ−1) 1+(γ−1) ⎟vv vv vv ⎠
四、另一相关使用惯例
由于使用习惯不同，有些习惯将时间坐标放入一虚指标i （i ⋅i
=−1）。两套坐标变为，第一套的R 、G 、B 坐标分别为
(ic t ′, x ′, y ′, z ′) R ′
(ict , x , y , z ) R 、(ict , x , y , z ) G 、(ict , x , y , z ) B 。G ′、第二套的R ′、B ′
坐标分别为
、
(ic t ′, x ′, y ′, z ′) G ′
、
(ic t ′, x ′, y ′, z ′) B ′。两套坐标系间相对速度为v 。相比起之前的推导，
它所造成的区别在于简单洛伦兹变换公式不同，而对空间坐标旋转关系没有任何影响。
0⎛ict ⎞⎛1
⎜⎟⎜⎜x ⎟⎜0cos αcos β⎜y ⎟=⎜0sin αcos β⎜⎟⎜⎜z ⎟⎜0sin β⎝⎠R ⎝
0−sin αcos α00010
⎞⎛ict ⎞
⎟⎜⎟
−cos αsin β⎟⎜x ⎟−sin αsin β⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟⎟⎜z ⎟cos β⎠⎝⎠B
⎛ict ⎞
⎜⎟⎜x ⎟⎜y ⎟⎜⎟⎜z ⎟⎝⎠B
⎛⎜γ⎜v ⎜=i γ⎜c ⎜0⎜⎝0
v −i γc
γ
00
⎞
0⎟⎛ic t ′⎞⎟⎜⎟x ′⎟⎜⎟0
⎟⎜y ′⎟
⎟ 0⎟⎜⎜z ′⎟⎟⎝⎠B ′1⎠
0cos βsin αcos α−sin βsin α
0⎞⎛ic t ′⎞⎟⎜⎟sin β⎟⎜x ′⎟0⎟⎜y ′⎟
⎟⎜⎟⎜z ′⎟cos β⎟⎠⎝⎠R ′
0⎛ic t ′⎞⎛1
⎜⎟⎜⎜x ′⎟⎜0cos βcos α⎜y ′⎟=⎜0−sin α⎜⎟⎜⎜z ′⎟⎜0−sin βcos α⎝⎠B ′⎝
结合在一起得结果
⎛ict ⎞⎜⎟⎜x ⎟⎜y ⎟⎜⎟⎜z ⎟⎝⎠R
⎛⎞v 1v 2v 3⎜γ⎟i γi γi γ
c c c ⎜⎟⎛ic t ′⎞1111213
v v v v v v ⎜v ⎟⎜⎟
(γ−1) (γ−1) ⎟x ′⎜−i c γ1+vv (γ−1) ⎜⎟vv vv =⎜⎟⎜′⎟2122223
v v v v v v v y ⎜−i γ(γ−1) 1+(γ−1) (γ−1) ⎟⎜⎟
⎟c vv vv vv ⎜⎟⎜′z ⎝⎠R ′132333
⎜v 3⎟v v v v v v
(1) (1) 1(γ−1) ⎟−−−+i γγγ⎜
c vv vv vv ⎝⎠
其逆为
⎛ic t ′⎞⎜⎟⎜x ′⎟⎜y ′⎟⎜⎟⎜z ′⎟⎝⎠R ′
⎛⎜γ⎜1⎜v ⎜i c γ=⎜2⎜i v γ⎜c ⎜v 3⎜i γ⎝c ⎞v 1v 2v 3
⎟−i γ−i γ−i γ
c c c ⎟⎛ict ⎞111213v v v v v v ⎟⎜⎟1+(γ−1) (γ−1) (γ−1) ⎟x
⎜⎟vv vv vv
⎟⎜⎟v 1v 2v 2v 2v 2v 3y
(γ−1) 1+(γ−1) (γ−1) ⎟⎜⎟
⎟vv vv vv ⎟⎜z ⎝⎠R 132333
⎟v v v v v v
(γ−1) (γ−1) 1+(γ−1) ⎟vv vv vv ⎠
五、总结
至此，我们得到了任意速度下的洛伦兹变换公式：
⎛ct ⎞
⎜⎟⎜x ⎟⎜y ⎟⎜⎟⎜z ⎟⎝⎠R
⎛⎜γ⎜1⎜v ⎜c γ=⎜2⎜v γ⎜c ⎜v 3⎜γ⎝c ⎞v 1v 2v 3
⎟γγγ
c c c ⎟⎛c t ′⎞111213v v v v v v ⎟1+(γ−1) (γ−1) (γ−1) ⎟⎜x ′⎟
⎜⎟vv vv vv
⎟⎜′⎟
v 1v 2v 2v 2v 2v 3y ⎟(γ−1) 1+(γ−1) (γ−1) ⎜⎟
⎟vv vv vv ⎟⎜′z ⎝⎠R ′132333
⎟v v v v v v
(γ−1) (γ−1) 1+(γ−1) ⎟vv vv vv ⎠
其逆为
⎛c t ′⎞
⎜⎟⎜x ′⎟⎜y ′⎟⎜⎟⎜z ′⎟⎝⎠R ′
⎛⎜γ⎜1⎜−v ⎜c γ=⎜2⎜−v γ⎜c ⎜−v 3
γ⎜⎝c ⎞−v 1−v 2−v 3
⎟γγγ
c c c ⎟⎛ct ⎞111213v v v v v v ⎟1+(γ−1) (γ−1) (γ−1) ⎟⎜x ⎟
⎜⎟vv vv vv
⎟⎜⎟v 1v 2v 2v 2v 2v 3y ⎟(γ−1) 1+(γ−1) (γ−1) ⎜⎟
⎟vv vv vv ⎟⎜z ⎝⎠R 132333
⎟v v v v v v
(γ−1) (γ−1) 1+(γ−1) ⎟vv vv vv ⎠
这两个公式在研究四维力、四维动量、电磁场的描述中将非常有用。而且只需将速度的第二与第三分量设为零，很容易转变为相对速度沿
x 轴的简单情况。
至于加入虚指标的情形，
⎛ict ⎞⎜⎟⎜x ⎟⎜y ⎟⎜⎟⎜z ⎟⎝⎠R ⎛⎞v 1v 2v 3⎜γ⎟i γi γi γc c c ⎜⎟⎛ic t ′⎞1111213v v v v v v ⎜v ⎟⎜⎟i −1+(−1) (−1) (−1) γγγγ⎜⎟⎜x ′⎟c vv vv vv =⎜⎟⎜′⎟2122223v v v v v v v y ⎜−i γ⎟(γ−1) 1+(γ−1) (γ−1) ⎜⎟⎟c vv vv vv ⎜⎟⎜′z ⎝⎠R ′⎜v 3⎟v 1v 3v 2v 3v 3v 3
(γ−1) (γ−1) 1+(γ−1) ⎟⎜−i γc vv vv vv ⎝⎠
其逆为
⎛ic t ′⎞⎜⎟⎜x ′⎟⎜y ′⎟⎜⎟⎜z ′⎟⎝⎠R ′⎛⎜γ⎜1⎜v ⎜i c γ=⎜2⎜i v γ⎜c ⎜v 3
⎜i γ⎝c ⎞v 1v 2v 3⎟−i γ−i γ−i γc c c ⎟⎛ict ⎞111213v v v v v v ⎟1+(γ−1) (γ−1) (γ−1) ⎟⎜x ⎟⎜⎟vv vv vv ⎟⎜⎟v 1v 2v 2v 2v 2v 3y ⎟(γ−1) 1+(γ−1) (γ−1) ⎜⎟⎟vv vv vv ⎟⎜z ⎝⎠R ⎟v 1v 3v 2v 3v 3v 3(γ−1) (γ−1) 1+(γ−1) ⎟vv vv vv ⎠
由于逐渐被人们所淘汰，建议读者们不必过多使用。
参考文献：
[1] A first course in general relativity, 1985 B Schutz
[2] Lecture notes on general relativity, Sean M. Carroll
[3] Gravitation, Misner, Thorne, Wheeler
[4] A fundamental explanation for the tiny value of the cosmological constant, Cl´audio Nassif
[5] Self-similar cosmological solutions with dark energy. I: formulation and asymptotic analysis, Tomohiro Harada
任意相对速度方向下的洛伦兹变换 李思农 恩平市职业技术教育中心
摘要：凡是提到相对论，都会只使用一种特殊的相对运动：相对运动方向沿x 轴。这种情况最简单，却也容易引起歧义。所以本文将给出任意相对速度方向下的洛伦兹变换以供读者参考、使用。
在许多文献和参考书中，都提到了两个作相对运动的惯性系，几乎全部都选取了一个特殊的情况：相对速度v 的方向与两坐标系的x 轴方相同（如图1）。这种情况下的洛伦兹变换关系是最简单的。尽管有简单的好处，但是在一般情况下，或者在讲到四维动量、四维力时，相对速度方向仅与x 轴方向相同就显得不太够了，它展示出来的物理图象过于“特殊情况”或者不完整，容易引起很多歧义。所以本文将给出任意相对速度方向下的洛伦兹变换（如图2），以供读者参考、使用。
相对速度为v 。 图1：两个惯性系之间相对速度方向与x 轴方向相同，
图2：两惯性系之间的相对速度方向是任意方向。
一、相对速度
如图2显示，相对速度方向是任意的，我们先分析一下相对速度。
12
v v v 红色为坐标轴上的相对分量、、如图3，蓝色为相对速度矢量。
v 3。我们采用逆变矢量方式：符号的指标写在上面，并不是表示次
1122
x y v v +v v 平面上的速度分量矢量和方的意思。绿色表示在
。
图3：蓝色是相对速度矢量，红色是其在坐标轴上的分量，绿色是x y
平面上的速度分量矢量和
v 1v 1+v 2v 2
。
很明显最终的转换公式中，这些分量全部都会出现，我们约定凡
是两个相同量相乘的连续写出两次，例如：v 并不是四个v 相乘，我们不再使用指数。
22
v 表示两个v 相乘，
2
根据很简单的三角函数，我们可以得到关系：
cos α=
v 1v v +v v
11
22
、
sin α=
v 2v 1v 1+v 2v 2
、
、
v 1v 1+v 2v 2
cos β=
v v 3
、sin β=v
vv =v 1v 1+v 2v 2+v 3v 3。
二、坐标系的旋转
对于任意相对运动速度方向的情况，我们先将坐标系进行旋转，
图3
变成图1的情况，然后利用简单的洛伦兹变换推出一般情况下的洛伦
兹变换。这种旋转分两步进行。会得到三个坐标系，我们分别用红、绿、蓝三种颜色来表示（如图3）。
先是绕z 轴旋转α角，得到绿色坐从红色坐标系R (red)开始，标系G (green)。再绕绿色坐标系的
y 轴旋转β角，得到蓝色坐标
系B (blue)。这个蓝色坐标系的x 轴沿着相对运动速度的方向。
这里会有两套这种坐标，我们约定第一套的R 、G 、B 坐标分别为(ct , x , y , z ) R 、(ct , x , y , z ) G 、(ct , x , y , z ) B 。第二套的R ′、
G ′
、
B ′
坐标分别为
(c t ′, x ′, y ′, z ′) R ′
、
(c t ′, x ′, y ′, z ′) G ′
、
(c t ′, x ′, y ′, z ′) B ′。两套坐标系间相对速度为v
根据几何，可以得到坐标旋转关系为：
绿色坐标系G 与红色坐标系R 转换关系为
⎛x ⎞⎛cos α⎜⎟⎜
⎜y ⎟=⎜−sin α⎜z ⎟⎜0⎝⎠G ⎝
sin αcos α0
0⎞⎛x ⎞⎟⎜⎟0⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟1⎠⎝z ⎠R
蓝色坐标系B 与绿色坐标系G 转换关系为
⎛x ⎞⎛cos β⎜⎟⎜⎜y ⎟=⎜0⎜z ⎟⎜−sin β⎝⎠B ⎝⎛x ⎞⎛cos β⎜⎟⎜⎜y ⎟=⎜0⎜z ⎟⎜−sin β⎝⎠B ⎝⎛cos βcos α⎜
=⎜−sin α⎜−sin βcos α⎝
0sin β⎞⎛x ⎞
⎟⎜⎟
10⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟0cos β⎠⎝z ⎠G 0sin β⎞⎛cos α⎟⎜
10⎟⎜−sin α
⎜00cos β⎟⎠⎝cos βsin αcos α−sin βsin α
sin αcos α0
那么蓝色坐标系B 与红色坐标系R 转换关系为
0⎞⎛x ⎞⎟⎜⎟0⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟1⎠⎝z ⎠R
sin β⎞⎛x ⎞
⎟⎜⎟0⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟cos β⎠⎝z ⎠R
接下来求这个变换关系的逆。
红色坐标系R 与绿色坐标系G 转换关系为
⎛x ⎞⎛cos α⎜⎟⎜
⎜y ⎟=⎜sin α⎜z ⎟⎜0⎝⎠R ⎝
−sin αcos α0
0⎞⎛x ⎞⎟⎜⎟0⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟1⎠⎝z ⎠G
绿色坐标系G 与蓝色坐标系B 转换关系为
⎛x ⎞⎛cos β
⎜⎟⎜⎜y ⎟=⎜0⎜z ⎟⎜sin β⎝⎠G ⎝⎛x ⎞⎛cos α⎜⎟⎜
⎜y ⎟=⎜sin α⎜z ⎟⎜0⎝⎠R ⎝
0−sin β⎞⎛x ⎞
⎟⎜⎟
10⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟0cos β⎠⎝z ⎠B −sin α
cos α0
0⎞⎛cos β⎟⎜0⎟⎜0⎜sin β1⎟⎠⎝
0−sin β⎞⎛x ⎞
⎟⎜⎟
10⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟0cos β⎠⎝z ⎠B
那么红色坐标系R 与蓝色坐标系B 转换关系为
⎛cos αcos β
⎜
=⎜sin αcos β⎜sin β⎝
−sin αcos α0
−cos αsin β⎞⎛x ⎞
⎟⎜⎟
−sin αsin β⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟cos β⎠⎝z ⎠B
三、任意相对速度方向下的洛伦兹转换关系
通过上面的准备，现在可以进入转换关系的求解。大致过程如下，先从红色坐标系R 开始，转换成蓝色坐标系B ，通过简单洛伦兹转换变成蓝色坐标系B ′，再通过逆转换变回红色坐标系R ′。
0⎛1⎛ct ⎞
⎜⎜⎟
⎜0cos αcos β⎜x ⎟
⎜y ⎟=⎜0sin αcos β
⎜⎜⎟
⎜0⎜z ⎟sin β⎝⎠R ⎝
−sin αcos α0
⎞⎛ct ⎞⎟⎜⎟
−cos αsin β⎟⎜x ⎟−sin αsin β⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟⎟⎜z ⎟cos β⎠⎝⎠B
⎛ct ⎞
⎜⎟⎜x ⎟⎜y ⎟⎜⎟⎜z ⎟⎝⎠B
⎛⎜γ⎜v ⎜=γ⎜c ⎜0⎜⎝0
v γc
0010
γ
00
⎞0⎟⎛c t ′⎞⎟⎜⎟x ′⎟⎜⎟0
⎟⎜y ′⎟
⎟ 0⎟⎜⎜z ′⎟⎟⎝⎠B ′1⎠
0cos βsin αcos α−sin βsin α
0⎞⎛c t ′⎞⎟⎜⎟sin β⎟⎜x ′⎟0⎟⎜y ′⎟
⎟⎜⎟⎜z ′⎟cos β⎟⎠⎝⎠R ′
0⎛1⎛c t ′⎞
⎜⎜⎟
⎜0cos βcos α⎜x ′⎟
⎜y ′⎟=⎜0−sin α
⎜⎜⎟
⎜0−sin βcos α⎜z ′⎟
⎝⎠B ′⎝
上式中
γ=
1vv −2
c
。逐个代入，得到结果：
⎛ct ⎞⎜⎟⎜x ⎟⎜y ⎟⎜⎟⎜z ⎟⎝⎠R
⎛⎜γ⎜1⎜v ⎜c γ=⎜2⎜v γ⎜c ⎜v 3⎜γ⎝c ⎞v 1v 2v 3
⎟γγγ
c c c ⎟⎛c t ′⎞111213v v v v v v ⎟⎜⎟1+(γ−1) (γ−1) (γ−1) ⎟x ′
⎜⎟vv vv vv
⎟⎜′⎟
v 1v 2v 2v 2v 2v 3y
(γ−1) 1+(γ−1) (γ−1) ⎟⎜⎟
⎟vv vv vv ⎟⎜′z ⎝⎠R ′132333
⎟v v v v v v
(γ−1) (γ−1) 1+(γ−1) ⎟vv vv vv ⎠
同样手法，可以得到其逆变换
⎛c t ′⎞
⎜⎟⎜x ′⎟⎜y ′⎟⎜⎟⎜z ′⎟⎝⎠R ′
⎛⎜γ⎜1⎜−v ⎜c γ=⎜2⎜−v γ⎜c ⎜−v 3
γ⎜⎝c ⎞−v 1−v 2−v 3
⎟γγγ
c c c ⎟⎛ct ⎞111213v v v v v v ⎟⎜⎟1+(γ−1) (γ−1) (γ−1) ⎟x
⎜⎟vv vv vv
⎟⎜⎟v 1v 2v 2v 2v 2v 3y
(γ−1) 1+(γ−1) (γ−1) ⎟⎜⎟
⎟vv vv vv ⎟⎜z ⎝⎠R 132333
⎟v v v v v v
(γ−1) (γ−1) 1+(γ−1) ⎟vv vv vv ⎠
四、另一相关使用惯例
由于使用习惯不同，有些习惯将时间坐标放入一虚指标i （i ⋅i
=−1）。两套坐标变为，第一套的R 、G 、B 坐标分别为
(ic t ′, x ′, y ′, z ′) R ′
(ict , x , y , z ) R 、(ict , x , y , z ) G 、(ict , x , y , z ) B 。G ′、第二套的R ′、B ′
坐标分别为
、
(ic t ′, x ′, y ′, z ′) G ′
、
(ic t ′, x ′, y ′, z ′) B ′。两套坐标系间相对速度为v 。相比起之前的推导，
它所造成的区别在于简单洛伦兹变换公式不同，而对空间坐标旋转关系没有任何影响。
0⎛ict ⎞⎛1
⎜⎟⎜⎜x ⎟⎜0cos αcos β⎜y ⎟=⎜0sin αcos β⎜⎟⎜⎜z ⎟⎜0sin β⎝⎠R ⎝
0−sin αcos α00010
⎞⎛ict ⎞
⎟⎜⎟
−cos αsin β⎟⎜x ⎟−sin αsin β⎟⎜y ⎟
⎟⎜⎟⎟⎜z ⎟cos β⎠⎝⎠B
⎛ict ⎞
⎜⎟⎜x ⎟⎜y ⎟⎜⎟⎜z ⎟⎝⎠B
⎛⎜γ⎜v ⎜=i γ⎜c ⎜0⎜⎝0
v −i γc
γ
00
⎞
0⎟⎛ic t ′⎞⎟⎜⎟x ′⎟⎜⎟0
⎟⎜y ′⎟
⎟ 0⎟⎜⎜z ′⎟⎟⎝⎠B ′1⎠
0cos βsin αcos α−sin βsin α
0⎞⎛ic t ′⎞⎟⎜⎟sin β⎟⎜x ′⎟0⎟⎜y ′⎟
⎟⎜⎟⎜z ′⎟cos β⎟⎠⎝⎠R ′
0⎛ic t ′⎞⎛1
⎜⎟⎜⎜x ′⎟⎜0cos βcos α⎜y ′⎟=⎜0−sin α⎜⎟⎜⎜z ′⎟⎜0−sin βcos α⎝⎠B ′⎝
结合在一起得结果
⎛ict ⎞⎜⎟⎜x ⎟⎜y ⎟⎜⎟⎜z ⎟⎝⎠R
⎛⎞v 1v 2v 3⎜γ⎟i γi γi γ
c c c ⎜⎟⎛ic t ′⎞1111213
v v v v v v ⎜v ⎟⎜⎟
(γ−1) (γ−1) ⎟x ′⎜−i c γ1+vv (γ−1) ⎜⎟vv vv =⎜⎟⎜′⎟2122223
v v v v v v v y ⎜−i γ(γ−1) 1+(γ−1) (γ−1) ⎟⎜⎟
⎟c vv vv vv ⎜⎟⎜′z ⎝⎠R ′132333
⎜v 3⎟v v v v v v
(1) (1) 1(γ−1) ⎟−−−+i γγγ⎜
c vv vv vv ⎝⎠
其逆为
⎛ic t ′⎞⎜⎟⎜x ′⎟⎜y ′⎟⎜⎟⎜z ′⎟⎝⎠R ′
⎛⎜γ⎜1⎜v ⎜i c γ=⎜2⎜i v γ⎜c ⎜v 3⎜i γ⎝c ⎞v 1v 2v 3
⎟−i γ−i γ−i γ
c c c ⎟⎛ict ⎞111213v v v v v v ⎟⎜⎟1+(γ−1) (γ−1) (γ−1) ⎟x
⎜⎟vv vv vv
⎟⎜⎟v 1v 2v 2v 2v 2v 3y
(γ−1) 1+(γ−1) (γ−1) ⎟⎜⎟
⎟vv vv vv ⎟⎜z ⎝⎠R 132333
⎟v v v v v v
(γ−1) (γ−1) 1+(γ−1) ⎟vv vv vv ⎠
五、总结
至此，我们得到了任意速度下的洛伦兹变换公式：
⎛ct ⎞
⎜⎟⎜x ⎟⎜y ⎟⎜⎟⎜z ⎟⎝⎠R
⎛⎜γ⎜1⎜v ⎜c γ=⎜2⎜v γ⎜c ⎜v 3⎜γ⎝c ⎞v 1v 2v 3
⎟γγγ
c c c ⎟⎛c t ′⎞111213v v v v v v ⎟1+(γ−1) (γ−1) (γ−1) ⎟⎜x ′⎟
⎜⎟vv vv vv
⎟⎜′⎟
v 1v 2v 2v 2v 2v 3y ⎟(γ−1) 1+(γ−1) (γ−1) ⎜⎟
⎟vv vv vv ⎟⎜′z ⎝⎠R ′132333
⎟v v v v v v
(γ−1) (γ−1) 1+(γ−1) ⎟vv vv vv ⎠
其逆为
⎛c t ′⎞
⎜⎟⎜x ′⎟⎜y ′⎟⎜⎟⎜z ′⎟⎝⎠R ′
⎛⎜γ⎜1⎜−v ⎜c γ=⎜2⎜−v γ⎜c ⎜−v 3
γ⎜⎝c ⎞−v 1−v 2−v 3
⎟γγγ
c c c ⎟⎛ct ⎞111213v v v v v v ⎟1+(γ−1) (γ−1) (γ−1) ⎟⎜x ⎟
⎜⎟vv vv vv
⎟⎜⎟v 1v 2v 2v 2v 2v 3y ⎟(γ−1) 1+(γ−1) (γ−1) ⎜⎟
⎟vv vv vv ⎟⎜z ⎝⎠R 132333
⎟v v v v v v
(γ−1) (γ−1) 1+(γ−1) ⎟vv vv vv ⎠
这两个公式在研究四维力、四维动量、电磁场的描述中将非常有用。而且只需将速度的第二与第三分量设为零，很容易转变为相对速度沿
x 轴的简单情况。
至于加入虚指标的情形，
⎛ict ⎞⎜⎟⎜x ⎟⎜y ⎟⎜⎟⎜z ⎟⎝⎠R ⎛⎞v 1v 2v 3⎜γ⎟i γi γi γc c c ⎜⎟⎛ic t ′⎞1111213v v v v v v ⎜v ⎟⎜⎟i −1+(−1) (−1) (−1) γγγγ⎜⎟⎜x ′⎟c vv vv vv =⎜⎟⎜′⎟2122223v v v v v v v y ⎜−i γ⎟(γ−1) 1+(γ−1) (γ−1) ⎜⎟⎟c vv vv vv ⎜⎟⎜′z ⎝⎠R ′⎜v 3⎟v 1v 3v 2v 3v 3v 3
(γ−1) (γ−1) 1+(γ−1) ⎟⎜−i γc vv vv vv ⎝⎠
其逆为
⎛ic t ′⎞⎜⎟⎜x ′⎟⎜y ′⎟⎜⎟⎜z ′⎟⎝⎠R ′⎛⎜γ⎜1⎜v ⎜i c γ=⎜2⎜i v γ⎜c ⎜v 3
⎜i γ⎝c ⎞v 1v 2v 3⎟−i γ−i γ−i γc c c ⎟⎛ict ⎞111213v v v v v v ⎟1+(γ−1) (γ−1) (γ−1) ⎟⎜x ⎟⎜⎟vv vv vv ⎟⎜⎟v 1v 2v 2v 2v 2v 3y ⎟(γ−1) 1+(γ−1) (γ−1) ⎜⎟⎟vv vv vv ⎟⎜z ⎝⎠R ⎟v 1v 3v 2v 3v 3v 3(γ−1) (γ−1) 1+(γ−1) ⎟vv vv vv ⎠
由于逐渐被人们所淘汰，建议读者们不必过多使用。
参考文献：
[1] A first course in general relativity, 1985 B Schutz
[2] Lecture notes on general relativity, Sean M. Carroll
[3] Gravitation, Misner, Thorne, Wheeler
[4] A fundamental explanation for the tiny value of the cosmological constant, Cl´audio Nassif
[5] Self-similar cosmological solutions with dark energy. I: formulation and asymptotic analysis, Tomohiro Harada