第二课时 绝对值的化简
什么叫一个数的绝对值？
1.绝对值的几何意义（结合数轴说明）；
2.用文字语言和符号语言分别叙述绝对值的代数意义．
aa0
|a|0a0 非负数的绝对值等于它本身；非正数的绝对值等于它的相反数。
aa0
绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负（就
是非负数的绝对值等于它本身；非正数的绝对值等于它的相反数），借以去掉绝对值
符号的方法大致有三种类型。
一、根据题设条件（已知字母的取值范围，直接能确定绝对值内式子的符号）
例1、当时，化简
例2、设 化简 的结果是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
思路分析 由 可知 可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符
号待合并整理后再用同样方法化去．
解
∴ 应选（B）．
归纳点评 只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路． 二、借助教轴
例3 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式值等于（ ）．
的
（A） （B） （C） （D）
思路分析 由数轴上容易看出掉绝对值符号扫清了障碍．
，这就为去
解 原式 ∴ 应选（C）．
归纳点评 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：
1．原点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．
3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．
三、采用零点分段讨论法
“零点法”：
（1） 使式子中每个绝对值为零，救出字母的值，即得到“零点”；
（2） 将每个“零点”表示在数轴上，它将数轴分成几部分，表示每部分的
范围； （3） 根据每部分对绝对值进行化简
例4 化简
思路分析 本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于
的正负不能确定，由于x是不断变化的，
所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况―一讨论．
解 令 得零点： ；令 得零点： ，把数轴上的数分
为三个部分（如图）
x4
4x2 x2
①当 时,
∴ 原式
②当 时， ，
∴ 原式
③当 时， ，
∴ 原式
∴
归纳点评 虽然
的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分
1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．
2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内
3．在各区段内分别考察问题．
4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．
误区点拨 千万不要想当然地把的结果．
等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误
例5 化简：｜1-3x｜+｜1+2x｜．
分析：（1）找“零点”：令1-3x=0 1+2x=0得x= （2）画数轴将x=
11和x 32
11
和x表示在数轴上 32
11
1
1
从数轴上看出这两个“零点”将数轴分成三：x解： (1)当x
1111
x x
2323
1
时，1-3x＞0，1+2x＜0， 2
∴原式＝(1-3x)+[-(1+2x)]＝-5x； (2)当
11
x时，1-3x＞0，1+2x≥0， 23
∴原式＝(1-3x)＋(1+2x)＝2-x
1
时，1-3x≤0，1+2x＞0， 3
∴原式＝-(1-3x)+(1+2x)＝5x
(3)当x
练习：
请用文本例1、2介绍的方法解答l、2题
1．已知a、b、c、d满足那么
且 ，
2．若 ，则有（ ）。
（A） （B） （C） （D）
请用本文例3介绍的方法解答3、4题
3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子果为（ ）．
化简结
（A） （B） （C） （D）
4．有理数a、b
在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，
中负数的个数是（ ）．
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 请用本文例4、5介绍的方法解答5、6题
5．化简
6．设x是实数， （A）y没有最小值
下列四个结论中正确的是（ ）。
（B）有有限多个x使y取到最小值 （C）只有一个x使y取得最小值 （D）有无穷多个x使y取得最小值
绝对值的另一种理解（数轴上两点间的距离）
｜-8｜表示-8到原点0的距离，也就是数轴上-8和0之间的距离，可表示为｜-8-0｜＝8
数轴上-4和2之间的距离 6就是｜-4-2｜＝6
x
我们说数轴上x1和x2之间距离为｜x1- x2｜
| X|的几何意义是X到原点的距离，也可说是 之间的距离； |x-1|的几何意义是
|3-4|就是 的距离,而|x+1|=|x-(-1)|就是 距离
在学习绝对值的过程中，我们利用了数轴，这体现了数形结合的思想．
我们把有理数分为正数、负数或者零去加以研究和讨论，这应用了分类讨论的思想方法．
第二课时 绝对值的化简
什么叫一个数的绝对值？
1.绝对值的几何意义（结合数轴说明）；
2.用文字语言和符号语言分别叙述绝对值的代数意义．
aa0
|a|0a0 非负数的绝对值等于它本身；非正数的绝对值等于它的相反数。
aa0
绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负（就
是非负数的绝对值等于它本身；非正数的绝对值等于它的相反数），借以去掉绝对值
符号的方法大致有三种类型。
一、根据题设条件（已知字母的取值范围，直接能确定绝对值内式子的符号）
例1、当时，化简
例2、设 化简 的结果是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
思路分析 由 可知 可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符
号待合并整理后再用同样方法化去．
解
∴ 应选（B）．
归纳点评 只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路． 二、借助教轴
例3 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式值等于（ ）．
的
（A） （B） （C） （D）
思路分析 由数轴上容易看出掉绝对值符号扫清了障碍．
，这就为去
解 原式 ∴ 应选（C）．
归纳点评 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：
1．原点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．
3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．
三、采用零点分段讨论法
“零点法”：
（1） 使式子中每个绝对值为零，救出字母的值，即得到“零点”；
（2） 将每个“零点”表示在数轴上，它将数轴分成几部分，表示每部分的
范围； （3） 根据每部分对绝对值进行化简
例4 化简
思路分析 本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于
的正负不能确定，由于x是不断变化的，
所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况―一讨论．
解 令 得零点： ；令 得零点： ，把数轴上的数分
为三个部分（如图）
x4
4x2 x2
①当 时,
∴ 原式
②当 时， ，
∴ 原式
③当 时， ，
∴ 原式
∴
归纳点评 虽然
的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分
1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．
2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内
3．在各区段内分别考察问题．
4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．
误区点拨 千万不要想当然地把的结果．
等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误
例5 化简：｜1-3x｜+｜1+2x｜．
分析：（1）找“零点”：令1-3x=0 1+2x=0得x= （2）画数轴将x=
11和x 32
11
和x表示在数轴上 32
11
1
1
从数轴上看出这两个“零点”将数轴分成三：x解： (1)当x
1111
x x
2323
1
时，1-3x＞0，1+2x＜0， 2
∴原式＝(1-3x)+[-(1+2x)]＝-5x； (2)当
11
x时，1-3x＞0，1+2x≥0， 23
∴原式＝(1-3x)＋(1+2x)＝2-x
1
时，1-3x≤0，1+2x＞0， 3
∴原式＝-(1-3x)+(1+2x)＝5x
(3)当x
练习：
请用文本例1、2介绍的方法解答l、2题
1．已知a、b、c、d满足那么
且 ，
2．若 ，则有（ ）。
（A） （B） （C） （D）
请用本文例3介绍的方法解答3、4题
3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子果为（ ）．
化简结
（A） （B） （C） （D）
4．有理数a、b
在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，
中负数的个数是（ ）．
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 请用本文例4、5介绍的方法解答5、6题
5．化简
6．设x是实数， （A）y没有最小值
下列四个结论中正确的是（ ）。
（B）有有限多个x使y取到最小值 （C）只有一个x使y取得最小值 （D）有无穷多个x使y取得最小值
绝对值的另一种理解（数轴上两点间的距离）
｜-8｜表示-8到原点0的距离，也就是数轴上-8和0之间的距离，可表示为｜-8-0｜＝8
数轴上-4和2之间的距离 6就是｜-4-2｜＝6
x
我们说数轴上x1和x2之间距离为｜x1- x2｜
| X|的几何意义是X到原点的距离，也可说是 之间的距离； |x-1|的几何意义是
|3-4|就是 的距离,而|x+1|=|x-(-1)|就是 距离
在学习绝对值的过程中，我们利用了数轴，这体现了数形结合的思想．
我们把有理数分为正数、负数或者零去加以研究和讨论，这应用了分类讨论的思想方法．