勾股定理精讲 一、 重点考点：
勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方， 即：a+b=c,其中a和b是直角边，c是斜边。
勾股定理的逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
2
2
2
一、例题讲解
例1、若三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶1∶1,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则a、b、c三边的关系是______________
例2、已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于 cm
E
F
例3．在∆ABC中,AB=AC=1,BC 边上有2006个不同的点P1,P2, P2006,记
mi=APi2+BPi⋅PC(i=1,2, 2006)im1+m2+ m2006=_____.
,则
2
2
2
2
例4、a、b为任意正数，且a>b，求证：边长为2ab、 a－b、a+b形是直角三角形
的三角
例5：已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。 求证：△ABC是直角三角形。
例6、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
D
C
C
D
E
B
例7、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
E
A
例8、如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，求EB的长.
B
E
C
A
D
变式：如图，在矩形ABCD中，AB=6将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，C落在C'处，若AE:BE=1:2，求折痕EF的长
例9、如图，已知：∠C=90︒，AM=CM，MP⊥AB于P．求证： BP2
=AP2
+BC2
．P
C
M
A
例10、如图，在Rt∆ABC中,∠BAC=90︒,AC=AB,∠DAE=45︒,且BD=3,
CE=4,求DE的长.
三 、课后巩固
1、三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2
-b2
=c2
C．a2
=(b+c)(b-c) D． a:b:c =13∶5∶12
2、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A. 24cm2
B. 36cm2
C. 48cm2
D. 60cm
2
3、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A、56
B、48
C、40
D、32
4、直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A．121
B．120
C．90
D．不能确定
5、一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是__________
6、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m
7、如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，延长AB到F，使BF=为什么？
1
AB，那么FE与FA 相等吗？4
8、一梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图所示，则得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
C
B
D
E A
9、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？
B 6km
A
8km
C
10.边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点D，求（1）三角形ADC的面积，（2）点B1的坐标，（3）AB1所在的直线解析式.
勾股定理精讲 一、 重点考点：
勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方， 即：a+b=c,其中a和b是直角边，c是斜边。
勾股定理的逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
2
2
2
一、例题讲解
例1、若三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶1∶1,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则a、b、c三边的关系是______________
例2、已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于 cm
E
F
例3．在∆ABC中,AB=AC=1,BC 边上有2006个不同的点P1,P2, P2006,记
mi=APi2+BPi⋅PC(i=1,2, 2006)im1+m2+ m2006=_____.
,则
2
2
2
2
例4、a、b为任意正数，且a>b，求证：边长为2ab、 a－b、a+b形是直角三角形
的三角
例5：已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。 求证：△ABC是直角三角形。
例6、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
D
C
C
D
E
B
例7、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
E
A
例8、如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，求EB的长.
B
E
C
A
D
变式：如图，在矩形ABCD中，AB=6将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，C落在C'处，若AE:BE=1:2，求折痕EF的长
例9、如图，已知：∠C=90︒，AM=CM，MP⊥AB于P．求证： BP2
=AP2
+BC2
．P
C
M
A
例10、如图，在Rt∆ABC中,∠BAC=90︒,AC=AB,∠DAE=45︒,且BD=3,
CE=4,求DE的长.
三 、课后巩固
1、三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2
-b2
=c2
C．a2
=(b+c)(b-c) D． a:b:c =13∶5∶12
2、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A. 24cm2
B. 36cm2
C. 48cm2
D. 60cm
2
3、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A、56
B、48
C、40
D、32
4、直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A．121
B．120
C．90
D．不能确定
5、一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是__________
6、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m
7、如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，延长AB到F，使BF=为什么？
1
AB，那么FE与FA 相等吗？4
8、一梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图所示，则得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
C
B
D
E A
9、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？
B 6km
A
8km
C
10.边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点D，求（1）三角形ADC的面积，（2）点B1的坐标，（3）AB1所在的直线解析式.