钢筋混凝土构件任意截面的承载力计算

第３９卷第４期

２ＯＯ

哈尔滨工业大学学报

ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＡＲＢＩＮＩＮＳＴＩＴＵ７ＩＥＯＦＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ

ＶｏＬ３９Ｎｎ４

７年４月Ａｐｒ．２００７

钢筋混凝土构件任意截面的承载力计算

王宗林１，杨大伟１，刘

宇２

（１．哈尔滨工业大学交通科学与工程学院，哈尔滨１５００９０；２．大连市市政设计研究院有限责任公司，辽宁大连１１６０１１）

摘要：针对解析算法的缺点，建立适合于任意截面钢筋混凝土构件的正截面承载力计算方法．引入计算截面性质常用的节线法，将混凝土构件正截面承载力解析算法列式中的相关项改为受压区高度的隐武函数，使表达式形式与截面形状无关，避免了列式对截面形状的依赖，最后通过数值方法求解非线性方程．数值算法计算流程简洁，简化了由于截面形武限制造成的复杂流程，适合程序实现，计算结果更为精确．关键词：正截面承载力；数值算法；节线法；隐式函数中图分类号：Ｔｕ３１７

文献标识码：Ａ

文章编号：０３６７—６２３４（２００７）０４—０５４９—０３

Ｓｔｒｅｎ缈ｈｃａｐａｃｉｔｙ

ｃａｌｃｌｌｌａｔｉｏｎｏｆ

ｃｏ眦ｒｅｔｅｎｌｅｎｌｂｅｒ谢ｔｈｒ锄ｄｏｍｓｅｃｔｉｏ璐

ＷＡＮＧＺｏｎｇ．１ｉｎｌ，ＹＡＮＧＤａ．ｗｅｉｌ，ＵＵＹｕ２

（１．ｓｃｈ００１

０ｆ

Ｓｃｉｅｎｃｅ锄ｄ

Ｅｎｇｉ捌Ｉｌｇ

ｏｆ

２．“ｌＩｌｉ涮Ｃ锄ｐａｎｙ

Ｃｏ咖ｕＩｌｉｃｍｉ伽，ＨａｒｂｉｎＩ璐ｔｉｔｕｔｅ０ｆ‰１１１１０ｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ１５００９０，Ｃｈｉｎａ；

Ｄ出蚰ＭｕｎｉｃｉｐａｌＤ鹤咖肌ｄＲｅ∞ｍ曲Ｉ鹏ｔｉｔｕｔｅ，蹦ｉ锄１１６０１１，Ｃｈｉｎａ）

０ｆ

ａ

ＡｂｓｔＩ翟ｃｔ：Ａｉｍｉｎｇａｔｔｌｌｅｄｅｆｅｃｔｓｏｆａｎａｌ”ｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｉ８ｐａｐｅｒｐｒｅｓｅｎｔｓｎｕｍｅｄｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｉｔｔｉｎｇｆｏｒ

ｏｎ

ａｎｙｓｅｃｔｉｏｎｓｈ印ｅｏｆｃｏｎｃｒｅｔｅｍｅｍｂｅｒｆｏｒｓｔｒｅｎｇｔｈｃａｐａｃｉｔｙｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｓｉｏｎｌｉｎｅｓｍｅｔｈｏｄｗｈｉｃｈｉｓｔｅｍａｌｆｏｒｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ｄｉＶｉ—

ｏｒｉ百ｎａｌｌｙｕｓｅｄｉｎｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｓｅｃｔｉｏｎｇｅｏｍｅｔＩｙｐｒｏｐｅｎｉｅｓ．Ｗｉｔｈｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄ，ｔ｝ｌｅｉｎ＿

ｅｘｐｒｅｓｓｅｄｗｉｔｈｉｍｐｌｉｃｉｔ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ肌ｄ

ｃａｎ

ｂｅｒｅｓｏｌｖｅｄ诵ｔｈｎｕｍｅｒｉｃａＬｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．Ｔｈｅ

ｉｍｐｌｉｃｉｔｉｎｔｅｍａｌｆｏｒｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｉｎｗｈｉｃｈｅｘｐｒｅｓｓｅｄｂｅｒ，ａｒｅｓｕｉｔａｂｌｅｆｏｒ

ｆｏ珊ａｔ

ｉｓｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｏｆｓｅｃｔｉｏｎｓｈ印ｅｏｆｃｏｎｃｒｅｔｅｍｅｍ—

ｒｅｓｏｌｖｅ．Ｃｏｍｐ撕ｎｇｗｉｔ王ｌｃ印ａｃｉｔｙ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ

ｔｈｅａｎａｌ”ｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｃｏｎｃｉｓｅｉｎｃａｌ－

ｃｕｌａｔｉｏｎｎｏｗａｎｄｅａｓｙｆｏｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．Ｋｅｙ、Ⅳｏｒｄｓ：ｍｅｍｂｅｒ

ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｄｉｖｉｓｉｏｎｌｉＩｌｅｓｍｅｔｈｏｄ；ｉｍｐｌｉｃｉｔｆｕｎｃｔｉｏｎ

在钢筋混凝土或预应力混凝土构件中，正截据具体情况可能按面积等效，也可能按惯矩等效，

面承载力计算是桥梁设计的重要组成部分，许多

类型的构件如受弯、偏压、偏拉构件都存在正截面承载力的计算问题．在实际设计过程中，为了提高

“等效截面”处理方法实际上削弱了电算的效率和可靠性，最终也将影响整体设计结果的可靠性．

产生上述问题的根本原因在于，正截面承载力计算公式的表达是依赖于截面形式的，因此，如

何将正截面承载力计算公式表达为与截面无关的

计算效率和可靠性，这部分工作通常通过计算机程序完成．但是，桥梁结构的截面类型千变万化，在进行截面计算时，若针对每一种具体的截面类

型编程，尽管原理明确，方法简单，但程序将变得非常繁复和庞大．另外，对于一些复杂的截面形式，如空心板、箱形截面等，由于无法直接写出计

形式，从而使得相应的程序不依赖于结构截面形

式，将是解决这一问题的根本途径．

本文根据混凝土构件正截面承载力计算原理，

引入了截面几何性质计算的节线法，改进了正截面

承载力计算的列式形式．基于这种改进的列式形式，建立了混凝土构件正载面承载力计算的统一算法．该算法的表达形式不再受限于特定截面形式，从而使得相应程序在实际使用中具有较强的适用性．

算公式，需要按几何性质等效原则简化为Ｔ形或Ｉ形截面后计算ｕ】．由于等效方式不严格惟一，根

收稿日期：２００５一０７—２５．

作者简介：王宗林（１９６９一），男，博士，教授

万方数据　

・５５０・

哈尔滨工业大学学报

第３９卷

１

数值算法的基本原理

节线法【２１是计算截面几何性质的常用算法，

是以若干水平节线将截面分成几个独立的梯形部分，全截面或部分截面的几何性质由所包含的梯形部分累加而得．对于空心板、箱形等截面存在中

空的情况，可将中空部分视为由若干基本几何单

元的集合，单独计算出中空部分的截面性质，再由外围截面（外轮廓线构成的截面）减去中空部分，得出实际截面计算结果ｐＪ．

大多数复杂的截面形式均可以通过有限节线足够准确地表达．而节线法的计算精度和效率仅依赖于节线数量，与截面形状无关，节线法计算截

面几何性质与截面形式的无关性，为混凝土构件

正截面承载力计算的数值算法奠定了基础．

首先以受弯构件为例，介绍数值算法的基本原理．图１为一受弯构件的正截面强度计算图示，截面形式为任意类型，在平衡方程中涉及到截面几何性质的表达式均以中性轴高度省的隐式函数形式来表达．

图ｌ受弯构件正截面计算图式

根据力的平衡条件可得：水平力平衡

三Ｘ＝０以Ａ（茗）一厶Ａ．＝Ｏ，

（１ａ）

对Ａ。取矩

潮＝０：％鸭≤厶Ａ（髫）（ｋ—ｃ）．

（１ｂ）

其中：Ａ（菇）为混凝土受压区面积；ｃ为混凝土受压区的形心到截面上缘的距离，ｃ＝５（ｘ）／Ａ（ｚ）；ｓ（菇）为混凝土受压区对截面上缘的面积矩．对于矩形截面，Ａ（菇）＝６・髫，ｃ＝菇／２．

式（１）实质是规范公式【４１的变形．对于任意

给定的石值，由节线法均可容易地求出图１中阴

影面积Ａ（髫）和对截面顶边的静矩５（菇），从而式

（１）是可以求解的．进行截面设计时，首先求解式

（１ｂ）中的中性轴高度菇，然后代人式（１ａ）求得钢筋面积Ａ，．对于承载力计算问题，首先求解式（１ａ）中的茗，然后代入式（１ｂ）得到截面的抗力值．

万　

方数据利用同样的方法，还可以方便地写出其它受

力构件如偏压构件、偏拉构件的截面计算公式．这样的表达形式不依赖于特定的截面形状，因而具

有较强的普适性．２

非线性方程的求解

对于任意形状的截面，由于面积Ａ和面积矩

Ｓ都是受压区高度菇的隐式函数，式（１０）、（１６）均不能以显式解析式表达，从而无法直接求解，必须寻求其它的求解方法．下面以截面配筋设计为例，介绍计算混凝土受压区的高度戈的方法．

将ｃ＝５（菇）／Ａ（戈）代人式（１ａ）得

讹』Ｉ！钆≤厶Ａ（髫）［＾。一Ｓ（ｘ）／Ａ（搿）］．

（２）

将式（２）改为

以髫）＝厶Ａ（菇）［＾。一｜ｓ（戈）／Ａ（髫）］一讹＾纪．（３）

显然，式（３）是关于名的非线性方程．以名）＝０所对应的根戈，即为式（２）的解，也就是混凝土受压区的高度髫．

一般地，在钢筋混凝土构件中，若截面尺寸合适，则在截面高度范围内，对于给定的鸭，有且

仅有一个混凝土受压区高度髫与之对应，也就是式（３）在截面高度［０’ｈ。］范围内为单值函数．可以运用数值计算的方法，来近似地确定方程的根．

二分法就是在给定的区间内，求解非线性方程的根的一种数值分析方法瞪Ｊ．其基本思路是，欲求

方程八髫）＝０在区间［ａ，ｂ］内的单实根，首先计

算区间两端点的函数值八ｏ）以６），若以口）・八６）

＜０，说明在当前区间内，方程以名）与ｘ轴有交点，方程有一个实根．此时，反复将包含方程解的区间减半，直到区间长度小于给定的精度占为止，该区间的中点即为方程的根如图２所示．

甲

五

五正

二７

ｙ习Ｌ∞，

茗

一

６

工

～－

ｎｉ扛：ｚ。

图２二分法求解非线性方程

在计算包含方程解区间的中点对应的函数值范围内混凝土的面积Ａ（髫）和面积矩Ｓ（石），将其代入式（３）即得到函数值．

以菇ｉ）时，均可由节线法计算出名；对应的截面高度

第４期王宗林，等：钢筋混凝土构件任意截面的承载力计算

３

算例

为说明本文数值算法的方便性，引用文献

［１］中两例题，对比解析算法和数值算法的计算

过程和计算结果，进一步说明数值算法的优点．

算例１某预制钢筋混凝土简支空心板，截

面尺寸如图３（单位：ｍｍ），截面设计弯矩鸭＝

５６０

ｋＮ・ｍ，结构重要性系数ｙｏ＝Ｏ．９．拟采用

Ｃ２５’混凝土，ＨＲＢ３３５钢筋．

１００

３００

２００

３００

１００

图３空心板截面

在计算钢筋面积时，文献［１］按抗弯等效进

行换算．换算后构件上下翼缘宽度不变，缘面为上下翼板厚为９５ｍｍ，腹板厚４５６ｍｍ的Ｉ形截面．

据此截面求得中性轴高度茗＝１６９．１ｍｍ，计算钢

筋面积Ａｓ＝５２８９．６

ｍｍ２．

采用数值算法求解，首先将整体矩形截面视为上下两条节线描述的矩形，中空部分为两个等直径圆．程序计算得中性轴高度髫＝１６３．７

ｍｍ，

计算所需钢筋面积为Ａ。＝５２８７．Ｏｍｍ２．对比两种

方法，计算结果几乎相等，数值算法计算更为简洁，并且省去了两类Ｔ形的判断．

算例２某混凝土拱桥主拱圈采用箱形截面

如图４（单位：ｍｍ）．单箱内力设计值肌＝

７３６６．６８

ｋＮ，眠＝３２０８．０

ｋＮ・ｍ．采用Ｃ２５混凝

土，Ｒ２３５钢筋．采用对称配筋．

图４箱形截面

万　

方数据根据文献［１］中偏压构件正截面承载力内力

平衡式，直接给出数值算法的新列式为

７０＾０≤厶Ａ（菇）＋厂“Ａ７，一盯，Ａ，，（４ａ）

讹％≤厶ｍ）【¨滁１＋

厂“Ａ’，（＾。一口’，），

（４ｂ）吒：ｏ．００３３Ｅ，（婴一１）．

（４ｃ）

丑／，‘０

根据题意，方程组中还需补充条件Ａ’。＝Ａ．．

将式（４ｃ）代人式（４ａ）得

ｙ。也≤厶ｍ）＋厂∥ｓ－０．００３３即ｓ（装一１）．

（５）

式（５）是关于菇的非线性方程，将其写成类似于式

（３）的形式，则以菇）＝Ｏ所对应的解即为中性轴

高度茹，代人式（４ｂ）中求得钢筋面积．

按解析方法求得中性轴高度菇＝９９１ｍｍ，相

应的钢筋面积Ａ７ｓ＝Ａｓ＝７

１４３．３

ｍｍ２．数值算法

茗＝９９４

ｍｍ，钢筋面积Ａ７ｓ＝Ａｓ＝６

６７０．５

ｍｍ２．前

者计算中为了套用以Ｔ形截面为基础的计算公式，忽略了截面中的抹角部分，使得中性轴高度的

计算结果与数值解略有不同．同时，在求解菇过程中，需求解三次方程，方程的列式繁冗，给程序实现带来不便．而数值解的方程表达十分简洁，且能得到更为精确的计算结果．

参考文献：

［１］

张树仁．钢筋混凝土及预应力混凝土桥梁结构设计原理［Ｍ］．北京：人民交通出版社，２００４．

［２］石洞．桥梁结构电算［Ｍ］．上海：同济大学出版社，

１９８７．

・

［３］王宗林．公路桥梁结构电算［Ｍ］．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，１９９５．

［４］中交公路规划设计院．公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范［Ｍ］．人民交通出版社，２００４．

［５］Ｓｔｅｖｎ，Ｃｈ印ｒａ，Ｒａｙｍｏｎｄｐ，ｅ￡Ⅱ正Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓ

ｉｎ

ｅｎ舀ｎｅｅ强［Ｍ］．Ｍｃ掣Ｅｗ—ｈｉＵ，ＩＮＣ，２０００．

（编辑魏希柱）

钢筋混凝土构件任意截面的承载力计算

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

王宗林， 杨大伟， 刘宇， WANG Zong-lin， YANG Da-wei， LIU Yu

王宗林,杨大伟,WANG Zong-lin,YANG Da-wei(哈尔滨工业大学,交通科学与工程学院,哈尔滨,150090) ， 刘宇,LIU Yu(大连市市政设计研究院有限责任公司,辽宁,大连,116011)哈尔滨工业大学学报

JOURNAL OF HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY2007,39(4)

参考文献(5条)

1. 张树仁 钢筋混凝土及预应力混凝土桥梁结构设计原理 20042. 石洞 桥梁结构电算 19873. 王宗林 公路桥梁结构电算 1995

4. 中交公路规划设计院 公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范 20045. Stevn Chapra;Raymondp Numerical methods in engineers 2000

本文读者也读过(3条)

1. 谢官模. 苗润池 大跨度斜拉-悬索协作体系桥缆索无应力长度研究[会议论文]-20102. 王翯. WANG He 独塔空间索面自锚式悬索桥主缆线形分析[期刊论文]-上海公路2010(4)

3. 吴悦琴. 陈杰喜. WU Yue-qin. CHEN Jie-xi 混凝土外观质量控制技术的探讨[期刊论文]-山西建筑2007,33(12)

引证文献(1条)

1. 张会平. 卫国祥 钢筋混凝土受弯构件正截面承载力简便计算[期刊论文]-工程力学 2010(z1)

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_hebgydxxb200704010.aspx

第３９卷第４期

２ＯＯ

哈尔滨工业大学学报

ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＡＲＢＩＮＩＮＳＴＩＴＵ７ＩＥＯＦＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ

ＶｏＬ３９Ｎｎ４

７年４月Ａｐｒ．２００７

钢筋混凝土构件任意截面的承载力计算

王宗林１，杨大伟１，刘

宇２

（１．哈尔滨工业大学交通科学与工程学院，哈尔滨１５００９０；２．大连市市政设计研究院有限责任公司，辽宁大连１１６０１１）

摘要：针对解析算法的缺点，建立适合于任意截面钢筋混凝土构件的正截面承载力计算方法．引入计算截面性质常用的节线法，将混凝土构件正截面承载力解析算法列式中的相关项改为受压区高度的隐武函数，使表达式形式与截面形状无关，避免了列式对截面形状的依赖，最后通过数值方法求解非线性方程．数值算法计算流程简洁，简化了由于截面形武限制造成的复杂流程，适合程序实现，计算结果更为精确．关键词：正截面承载力；数值算法；节线法；隐式函数中图分类号：Ｔｕ３１７

文献标识码：Ａ

文章编号：０３６７—６２３４（２００７）０４—０５４９—０３

Ｓｔｒｅｎ缈ｈｃａｐａｃｉｔｙ

ｃａｌｃｌｌｌａｔｉｏｎｏｆ

ｃｏ眦ｒｅｔｅｎｌｅｎｌｂｅｒ谢ｔｈｒ锄ｄｏｍｓｅｃｔｉｏ璐

ＷＡＮＧＺｏｎｇ．１ｉｎｌ，ＹＡＮＧＤａ．ｗｅｉｌ，ＵＵＹｕ２

（１．ｓｃｈ００１

０ｆ

Ｓｃｉｅｎｃｅ锄ｄ

Ｅｎｇｉ捌Ｉｌｇ

ｏｆ

２．“ｌＩｌｉ涮Ｃ锄ｐａｎｙ

Ｃｏ咖ｕＩｌｉｃｍｉ伽，ＨａｒｂｉｎＩ璐ｔｉｔｕｔｅ０ｆ‰１１１１０ｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ１５００９０，Ｃｈｉｎａ；

Ｄ出蚰ＭｕｎｉｃｉｐａｌＤ鹤咖肌ｄＲｅ∞ｍ曲Ｉ鹏ｔｉｔｕｔｅ，蹦ｉ锄１１６０１１，Ｃｈｉｎａ）

０ｆ

ａ

ＡｂｓｔＩ翟ｃｔ：Ａｉｍｉｎｇａｔｔｌｌｅｄｅｆｅｃｔｓｏｆａｎａｌ”ｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｉ８ｐａｐｅｒｐｒｅｓｅｎｔｓｎｕｍｅｄｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｉｔｔｉｎｇｆｏｒ

ｏｎ

ａｎｙｓｅｃｔｉｏｎｓｈ印ｅｏｆｃｏｎｃｒｅｔｅｍｅｍｂｅｒｆｏｒｓｔｒｅｎｇｔｈｃａｐａｃｉｔｙｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｓｉｏｎｌｉｎｅｓｍｅｔｈｏｄｗｈｉｃｈｉｓｔｅｍａｌｆｏｒｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ｄｉＶｉ—

ｏｒｉ百ｎａｌｌｙｕｓｅｄｉｎｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｓｅｃｔｉｏｎｇｅｏｍｅｔＩｙｐｒｏｐｅｎｉｅｓ．Ｗｉｔｈｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄ，ｔ｝ｌｅｉｎ＿

ｅｘｐｒｅｓｓｅｄｗｉｔｈｉｍｐｌｉｃｉｔ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ肌ｄ

ｃａｎ

ｂｅｒｅｓｏｌｖｅｄ诵ｔｈｎｕｍｅｒｉｃａＬｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．Ｔｈｅ

ｉｍｐｌｉｃｉｔｉｎｔｅｍａｌｆｏｒｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｉｎｗｈｉｃｈｅｘｐｒｅｓｓｅｄｂｅｒ，ａｒｅｓｕｉｔａｂｌｅｆｏｒ

ｆｏ珊ａｔ

ｉｓｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｏｆｓｅｃｔｉｏｎｓｈ印ｅｏｆｃｏｎｃｒｅｔｅｍｅｍ—

ｒｅｓｏｌｖｅ．Ｃｏｍｐ撕ｎｇｗｉｔ王ｌｃ印ａｃｉｔｙ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ

ｔｈｅａｎａｌ”ｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｃｏｎｃｉｓｅｉｎｃａｌ－

ｃｕｌａｔｉｏｎｎｏｗａｎｄｅａｓｙｆｏｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．Ｋｅｙ、Ⅳｏｒｄｓ：ｍｅｍｂｅｒ

ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｄｉｖｉｓｉｏｎｌｉＩｌｅｓｍｅｔｈｏｄ；ｉｍｐｌｉｃｉｔｆｕｎｃｔｉｏｎ

在钢筋混凝土或预应力混凝土构件中，正截据具体情况可能按面积等效，也可能按惯矩等效，

面承载力计算是桥梁设计的重要组成部分，许多

类型的构件如受弯、偏压、偏拉构件都存在正截面承载力的计算问题．在实际设计过程中，为了提高

“等效截面”处理方法实际上削弱了电算的效率和可靠性，最终也将影响整体设计结果的可靠性．

产生上述问题的根本原因在于，正截面承载力计算公式的表达是依赖于截面形式的，因此，如

何将正截面承载力计算公式表达为与截面无关的

计算效率和可靠性，这部分工作通常通过计算机程序完成．但是，桥梁结构的截面类型千变万化，在进行截面计算时，若针对每一种具体的截面类

型编程，尽管原理明确，方法简单，但程序将变得非常繁复和庞大．另外，对于一些复杂的截面形式，如空心板、箱形截面等，由于无法直接写出计

形式，从而使得相应的程序不依赖于结构截面形

式，将是解决这一问题的根本途径．

本文根据混凝土构件正截面承载力计算原理，

引入了截面几何性质计算的节线法，改进了正截面

承载力计算的列式形式．基于这种改进的列式形式，建立了混凝土构件正载面承载力计算的统一算法．该算法的表达形式不再受限于特定截面形式，从而使得相应程序在实际使用中具有较强的适用性．

算公式，需要按几何性质等效原则简化为Ｔ形或Ｉ形截面后计算ｕ】．由于等效方式不严格惟一，根

收稿日期：２００５一０７—２５．

作者简介：王宗林（１９６９一），男，博士，教授

万方数据　

・５５０・

哈尔滨工业大学学报

第３９卷

１

数值算法的基本原理

节线法【２１是计算截面几何性质的常用算法，

是以若干水平节线将截面分成几个独立的梯形部分，全截面或部分截面的几何性质由所包含的梯形部分累加而得．对于空心板、箱形等截面存在中

空的情况，可将中空部分视为由若干基本几何单

元的集合，单独计算出中空部分的截面性质，再由外围截面（外轮廓线构成的截面）减去中空部分，得出实际截面计算结果ｐＪ．

大多数复杂的截面形式均可以通过有限节线足够准确地表达．而节线法的计算精度和效率仅依赖于节线数量，与截面形状无关，节线法计算截

面几何性质与截面形式的无关性，为混凝土构件

正截面承载力计算的数值算法奠定了基础．

首先以受弯构件为例，介绍数值算法的基本原理．图１为一受弯构件的正截面强度计算图示，截面形式为任意类型，在平衡方程中涉及到截面几何性质的表达式均以中性轴高度省的隐式函数形式来表达．

图ｌ受弯构件正截面计算图式

根据力的平衡条件可得：水平力平衡

三Ｘ＝０以Ａ（茗）一厶Ａ．＝Ｏ，

（１ａ）

对Ａ。取矩

潮＝０：％鸭≤厶Ａ（髫）（ｋ—ｃ）．

（１ｂ）

其中：Ａ（菇）为混凝土受压区面积；ｃ为混凝土受压区的形心到截面上缘的距离，ｃ＝５（ｘ）／Ａ（ｚ）；ｓ（菇）为混凝土受压区对截面上缘的面积矩．对于矩形截面，Ａ（菇）＝６・髫，ｃ＝菇／２．

式（１）实质是规范公式【４１的变形．对于任意

给定的石值，由节线法均可容易地求出图１中阴

影面积Ａ（髫）和对截面顶边的静矩５（菇），从而式

（１）是可以求解的．进行截面设计时，首先求解式

（１ｂ）中的中性轴高度菇，然后代人式（１ａ）求得钢筋面积Ａ，．对于承载力计算问题，首先求解式（１ａ）中的茗，然后代入式（１ｂ）得到截面的抗力值．

万　

方数据利用同样的方法，还可以方便地写出其它受

力构件如偏压构件、偏拉构件的截面计算公式．这样的表达形式不依赖于特定的截面形状，因而具

有较强的普适性．２

非线性方程的求解

对于任意形状的截面，由于面积Ａ和面积矩

Ｓ都是受压区高度菇的隐式函数，式（１０）、（１６）均不能以显式解析式表达，从而无法直接求解，必须寻求其它的求解方法．下面以截面配筋设计为例，介绍计算混凝土受压区的高度戈的方法．

将ｃ＝５（菇）／Ａ（戈）代人式（１ａ）得

讹』Ｉ！钆≤厶Ａ（髫）［＾。一Ｓ（ｘ）／Ａ（搿）］．

（２）

将式（２）改为

以髫）＝厶Ａ（菇）［＾。一｜ｓ（戈）／Ａ（髫）］一讹＾纪．（３）

显然，式（３）是关于名的非线性方程．以名）＝０所对应的根戈，即为式（２）的解，也就是混凝土受压区的高度髫．

一般地，在钢筋混凝土构件中，若截面尺寸合适，则在截面高度范围内，对于给定的鸭，有且

仅有一个混凝土受压区高度髫与之对应，也就是式（３）在截面高度［０’ｈ。］范围内为单值函数．可以运用数值计算的方法，来近似地确定方程的根．

二分法就是在给定的区间内，求解非线性方程的根的一种数值分析方法瞪Ｊ．其基本思路是，欲求

方程八髫）＝０在区间［ａ，ｂ］内的单实根，首先计

算区间两端点的函数值八ｏ）以６），若以口）・八６）

＜０，说明在当前区间内，方程以名）与ｘ轴有交点，方程有一个实根．此时，反复将包含方程解的区间减半，直到区间长度小于给定的精度占为止，该区间的中点即为方程的根如图２所示．

甲

五

五正

二７

ｙ习Ｌ∞，

茗

一

６

工

～－

ｎｉ扛：ｚ。

图２二分法求解非线性方程

在计算包含方程解区间的中点对应的函数值范围内混凝土的面积Ａ（髫）和面积矩Ｓ（石），将其代入式（３）即得到函数值．

以菇ｉ）时，均可由节线法计算出名；对应的截面高度

第４期王宗林，等：钢筋混凝土构件任意截面的承载力计算

３

算例

为说明本文数值算法的方便性，引用文献

［１］中两例题，对比解析算法和数值算法的计算

过程和计算结果，进一步说明数值算法的优点．

算例１某预制钢筋混凝土简支空心板，截

面尺寸如图３（单位：ｍｍ），截面设计弯矩鸭＝

５６０

ｋＮ・ｍ，结构重要性系数ｙｏ＝Ｏ．９．拟采用

Ｃ２５’混凝土，ＨＲＢ３３５钢筋．

１００

３００

２００

３００

１００

图３空心板截面

在计算钢筋面积时，文献［１］按抗弯等效进

行换算．换算后构件上下翼缘宽度不变，缘面为上下翼板厚为９５ｍｍ，腹板厚４５６ｍｍ的Ｉ形截面．

据此截面求得中性轴高度茗＝１６９．１ｍｍ，计算钢

筋面积Ａｓ＝５２８９．６

ｍｍ２．

采用数值算法求解，首先将整体矩形截面视为上下两条节线描述的矩形，中空部分为两个等直径圆．程序计算得中性轴高度髫＝１６３．７

ｍｍ，

计算所需钢筋面积为Ａ。＝５２８７．Ｏｍｍ２．对比两种

方法，计算结果几乎相等，数值算法计算更为简洁，并且省去了两类Ｔ形的判断．

算例２某混凝土拱桥主拱圈采用箱形截面

如图４（单位：ｍｍ）．单箱内力设计值肌＝

７３６６．６８

ｋＮ，眠＝３２０８．０

ｋＮ・ｍ．采用Ｃ２５混凝

土，Ｒ２３５钢筋．采用对称配筋．

图４箱形截面

万　

方数据根据文献［１］中偏压构件正截面承载力内力

平衡式，直接给出数值算法的新列式为

７０＾０≤厶Ａ（菇）＋厂“Ａ７，一盯，Ａ，，（４ａ）

讹％≤厶ｍ）【¨滁１＋

厂“Ａ’，（＾。一口’，），

（４ｂ）吒：ｏ．００３３Ｅ，（婴一１）．

（４ｃ）

丑／，‘０

根据题意，方程组中还需补充条件Ａ’。＝Ａ．．

将式（４ｃ）代人式（４ａ）得

ｙ。也≤厶ｍ）＋厂∥ｓ－０．００３３即ｓ（装一１）．

（５）

式（５）是关于菇的非线性方程，将其写成类似于式

（３）的形式，则以菇）＝Ｏ所对应的解即为中性轴

高度茹，代人式（４ｂ）中求得钢筋面积．

按解析方法求得中性轴高度菇＝９９１ｍｍ，相

应的钢筋面积Ａ７ｓ＝Ａｓ＝７

１４３．３

ｍｍ２．数值算法

茗＝９９４

ｍｍ，钢筋面积Ａ７ｓ＝Ａｓ＝６

６７０．５

ｍｍ２．前

者计算中为了套用以Ｔ形截面为基础的计算公式，忽略了截面中的抹角部分，使得中性轴高度的

计算结果与数值解略有不同．同时，在求解菇过程中，需求解三次方程，方程的列式繁冗，给程序实现带来不便．而数值解的方程表达十分简洁，且能得到更为精确的计算结果．

参考文献：

［１］

张树仁．钢筋混凝土及预应力混凝土桥梁结构设计原理［Ｍ］．北京：人民交通出版社，２００４．

［２］石洞．桥梁结构电算［Ｍ］．上海：同济大学出版社，

１９８７．

・

［３］王宗林．公路桥梁结构电算［Ｍ］．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，１９９５．

［４］中交公路规划设计院．公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范［Ｍ］．人民交通出版社，２００４．

［５］Ｓｔｅｖｎ，Ｃｈ印ｒａ，Ｒａｙｍｏｎｄｐ，ｅ￡Ⅱ正Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓ

ｉｎ

ｅｎ舀ｎｅｅ强［Ｍ］．Ｍｃ掣Ｅｗ—ｈｉＵ，ＩＮＣ，２０００．

（编辑魏希柱）

钢筋混凝土构件任意截面的承载力计算

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

王宗林， 杨大伟， 刘宇， WANG Zong-lin， YANG Da-wei， LIU Yu

王宗林,杨大伟,WANG Zong-lin,YANG Da-wei(哈尔滨工业大学,交通科学与工程学院,哈尔滨,150090) ， 刘宇,LIU Yu(大连市市政设计研究院有限责任公司,辽宁,大连,116011)哈尔滨工业大学学报

JOURNAL OF HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY2007,39(4)

参考文献(5条)

1. 张树仁 钢筋混凝土及预应力混凝土桥梁结构设计原理 20042. 石洞 桥梁结构电算 19873. 王宗林 公路桥梁结构电算 1995

4. 中交公路规划设计院 公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范 20045. Stevn Chapra;Raymondp Numerical methods in engineers 2000

本文读者也读过(3条)

1. 谢官模. 苗润池 大跨度斜拉-悬索协作体系桥缆索无应力长度研究[会议论文]-20102. 王翯. WANG He 独塔空间索面自锚式悬索桥主缆线形分析[期刊论文]-上海公路2010(4)

3. 吴悦琴. 陈杰喜. WU Yue-qin. CHEN Jie-xi 混凝土外观质量控制技术的探讨[期刊论文]-山西建筑2007,33(12)

引证文献(1条)

1. 张会平. 卫国祥 钢筋混凝土受弯构件正截面承载力简便计算[期刊论文]-工程力学 2010(z1)

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_hebgydxxb200704010.aspx