微分中值定理学科的论文

学科论文（设计）

题 目: 微分中值定理的应用 院 系： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 杨 恒 学 号： [1**********]1 指导教师： 姚 廷 富 教师职称： 讲 师

填写日期： 2012年 12 月 2 日

微分中值定理的应用

杨恒

摘 要：所谓微分中值定理，是联系函数的某个增量f(b)f(a)与其导数

在某个中值ξ的值的公式。为了更好地运用微分中值定理解决实际问题，我们一起讨论几个微分中值定理，进一步观察它们之间有何关系。在日常工作中，我们经常要讨论由导数来推断函数 所应具有的性质。微分中值定理正是用来解决这一问题的有效工具。求极值与最值，用洛比达法则求极限等一些问题中，微分中值定理占有重要的地位了，下面我们就以三个重要的微分中值定理加以讨论、比较和总结。

关键词：罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理 泰勒定理 联系 应用

证明

一、微分中值定理1

1、罗尔（Roller）中值定理:

若函数f满足如下条件： (i) f在闭区间[a,b]上连续 (ii) f在开区间(a,b)内可导 (iii) f(a)f(b)

则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得

f()0 2、拉格朗日（Lagrange）中值定理 若函数f满足如下条件： （i）f在闭区间[a,b]上连续 (ii)f在开区间(a,b)内可导 则在(a,b)内至少存在一点，使得 f()

f(b)f(a)

ba

3、柯西中值定理 设函数f和g满足 （i） 在[a,b]上都连续； （ⅱ）在(a,b)内都可导； （ⅲ）f(x)和g(x)不同时为零； （ⅳ）g(a)g(b) 则存在(a,b),使得

f()f(b)f(a)

 g()g(b)g(a)

二、微分中值定理之间的关系

拉格朗日中值定理与罗尔中值定理，显然，特别的当f(a)f(b)时，拉格朗日定理的结论即为罗尔定理的结论.这表明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特

殊情形.在一元函数微分学中，微分中值定理是应用函数的局部性质研究函数在区间上整体性质的重要工具，它在数学分析中占有重要的地位，其中拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。拉格朗日微分中值定理有许多推广，这些推广有一些基本的特点，这就是把定理条件中可微性概念的拓宽，然后推广微分中值表达公式。微分中值定理的应用为数学的进一步发展提供了广阔的天地，在以后的学习中还会有其他的应用，再做更为全面的总结.

三、微分中值定理在解题中的应用

1、应用微分中值定理证明中值点的存在性

3

利用中值定理证明含有一个中值点，含有两个中值点或含有两个不同的中值点 例1设f(x)在[a,b]上可导，且a,b0,证明至少存在(a,b)使得：

2[f(b)f(a)](b2a2)f()

证：方法一：设g(x)x2，x[a,b]，f(x)和g(x)在[a,b]满足连续、可导且

g(x)2x在(a,b)内g(x)0，b2a20，由柯西中值定理知，至少存在

(a,b)使得

f()f(b)f(a)f()f(b)f(a)

，即= 22

bag()g(b)g(a)2

所以 2[f(b)f(a)](b2a2)f()

方法二；设F(x)x2[f(b)f(a)](b2a2)f(x)，x[a,b]满足连续、可导且

2222

F(a)a2fbfabafaafbbfa; 2222F(b)b2fbfabafbafbbfa; 

由罗尔中值定理知，至少存在一点(a,b)，使得F()0， 又因为F()2[f(b)f(a)](b2a2)f()0 即2[f(b)f(a)]=(b2a2)f()

2、应用中值定理证明不等式

利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中值定理的条件，证明的关键是处理好ξ点，分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要结论，在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进行证明的情况。

babba4

ln. 例2：证明当ba0时，成立不等式baa分析：一般步骤是①规范不等式，构造f(x)②建立辅助函数及定义的区间[a,b]③验证f在[a,b]上满足拉格朗日中值定理④中值等式（不等式） 证：设f(x) lnx, x[a,b]（ba0） 因为f(x)在[a,b]上可导，则由拉格朗日中值定理有

ln

b1

lnblnaba,ab.， a111

，且ba0,所以 ba

由于

bababa

， 

ba

babba

ln. baa

从而

3、用中值定理证明函数的连续性

例3若函数f在区间I上可导，且f'有界，则f在I上一致连续。 证明 对任意x1,x2I,则由拉格朗日中值定理，有 fx1fx2f'x1x2,介于x1，x2之间。

由此可得 又f'在I上有界，所以存在L>0，对任意xI,有f'xL.

f

x1

f

x2

.

因此，对任意0,取=



L

0，对任意x1,x2I,且x1x2,都有

这就证明了f在I上一致连续的。

4、解决含高阶导数的中值问题5

一般原理是；若有x0x1...xn，使得F(x0)F(x1)...F(xn)，则相继n次应用罗尔中值定理得出x0,xn,使得Fn()0。 例4 设f(1)0，则存在0,,使得

f''()2f

'

cotf.

证 首先变换待证中值公式为

0=f

''

sin2f'

sin

f

sin

d2

=f2d

F'',

其中Fxfxsinx.显然F0=F1F，故用两次罗尔中值定理得所要证。

5、求近似值

例5 求0.97的近似值

解 0.97是f(x)x在x0.97处的值, 令x01,xx0x0.97 则x0.03,

,使得由拉格朗日中值定理中值定理,存在一点(0.97，f()f(1)f

(0. 9

(0.03)112(0.03)0.985 可取1近似计算,得0.971xx1

四、微分中值定理中构造辅助函数证明实例

辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，找到一个辅

助函数，通过求导确定函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。常用的方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，另不等号右端为零，左端即为所求辅助函数

1、从函数本身出发构造辅助函数

2

例6 设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，证明：存在(0,1),使得：

f()f(1)f()f(1)

分析：从本题要证的结论可以看出函数f(x)及其变形f(1x)是解题的突破口，很容易联想到利用函数f(x)及其变形f(1x)来构造辅助函数. 令：F(x)f(x)f(1x)则：F(x)f(x)f(1x)f(x)f(1x) 显然：F(0)f(0)f(1)F(1)

又因为：f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导， 所以：F(x)也在上[0,1]连续，在(0,1)内可导， 即：F(x)满足罗尔定理条件

因此：存在一点(0,1)使得：F(x)0 即：f()f(1)f()f(1)

例7设f(x)在(0,1)上可微，且满足：f(1)2使得：f()f()

分析：本题的关键在于如何使用f(1)2

1/2

1/2

xf(x)dx，求证：存在(0,1)，

xf(x)dx这个条件，

从结论来看最终还是要回到函数f(x)本身，作辅助函数. 令：F(x)xf(x)

显然有：F(1)f(1)2xf(x)dxF(c)，其中c∈[0,1/2]

1/2

又 0=f()f()F'()

于是在[c,1]上用罗尔定理得，存在(0,1)，使得f()f()

以上这两个证明题有个共同的特征：要证的目标式都只与已知函数f(x)有关， 对于这一类题目的证明一般都是直接利用函数f(x)或f(x)的变形来构造辅助函数就能够得证.

2、利用指数、对数、三角函数等初等函数构造辅助函数 例8 证明：若函数f在,内满足关系式f'xfx,且

f01,则

fxex,x,.

证明 作辅助函数Fxexfx,则由f'xfx知

F'xexf

'

x

f'(x)0，

从而FxC

例9设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f(0)f(1)0， 试证：存在(0,1)使得：f()lnf() 证明：令F(x)lnxf(x) 则：F(x)1lnxf(x)

显然：F(0)F(1)0，且F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，由罗尔定理可知： 存在一点(0,1)使得：F()0即：f()lnf()

例10设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，试证：存在

(a,b)使得：sinf()cosf()

证明：令Fxcosxfx则：Fxcosxf'xsinxfx 显然：FaFb0，且Fx在a,b上连续，在a,b上可导， 由罗尔定理可知：存在一点a,b

使得：F0即：sinf()cosf()

在证明这三个例题时我们采用的一个共同方法就是利用初等函数来构造辅助函数，对于这类证明题我们主要是从目标式出发找出所需要的初等函数来构造函数.

3、从目标式出发将目标式作适当的变化后构造辅助函数 例11设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导(0ab),f(a)f(b)， 证明：存在,(a,b)使得：f()

ab

f'() 2

ab

f'() 2

分析：本题要证的目标式是存在两点：,(a,b)，使得：f()显然一定要两次应用中值定理才能证得结论. 将目标式两边同乘ba得：

2f()(ba)f()b2a2

令F(x)x,G(x)x,H(x)x2

显然：F(x),G(x) ,H(x)在a,b上连续， 在

2f(x1)(b2a2)f(x2)4x2ab2lnba2x3f(x3)， 2f(x1)(b2a2)f(x2)4x2ab2lnba2x3f(x3) 内可导； 将F(x)与G(x)，F(x),H(x)分别应用柯西中值定理有： 存在(a,b)使得：

f(b)f(a)f()(G(b)G(a))f()(ba)

存在(a,b)使得：

f()

 2f()

H(b)H(a)(b2a2)

2

由上面两式可知：

f()

f()(ba)(b2a2)

2ab

f() 即f()2f()(ba)

例12：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内可，ab0，证明：在a,b内

存在x1,x2,x3使得：

f(x1)2x1(b2a2)f(x2)4x2lnbab2a2x3f(x3)

分析：本题要证的目标式是在a,b内存在三点x1,x2,x3使得：

222

)f(x1)x1(b+af

2

(4x)2x

blnab2

2

a f3(x),3x

显然要三次应用中值定理才能证得结论. 将目标式分别同乘((b2a2)得：

f(x1)2x1(b2a2)f(x2)4x2(b4a4)x3f(x3)(lnblna)在a,b上分别对f(x)与x2, f(x)与x4，f(x)与lnx用柯西中值定理有： 存在x1a,b使得：f(b)f(a)f(x1)2x1(b2a2) 存在x2a,b使得：

f(b)f(a)f(x2)4x2(b4a4)

存在x3(a,b)使得：f(b)f(a)f(x3)x3(lnblna) 由上面三式可知：

f(x2)4x2b4a4x3f(x3)(lnblna) f(x)2x(b2a2）

即：f(x1)2x1(b2a2)f(x2)4x2lnbab2a2x3f(x3)

这两个证明题的共同特点是：要多次应用中值定理才能证得结论，对于这一类问

题我们通常是从目标式出发，对目标式作变形后才能构造出相应的辅助函数来应用中值定理。

结语

在微分中值定理的应用中，广泛地使用辅助函数是作证明题的关键，我们在学习时应掌

握一些常用的构造辅助函数方法。在作证明题时一般先从要证的结论出发，观察目标式的特征，分析目标式可能要用的辅助函数，然后对目标式作相应的变形，这是构造辅助函数的关键。有了辅助函数就可以直接对辅助函数应用中值定理得到结论。

参考文献：

[1]陈传章.数学分析[M].北京:高等教育出版社，1983.7

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社，2006.4

[3]孙玉泉.数学分析学习巩固与提高(上)[M].北京:机械工业出版社,2011.2 [4]杜其奎.数学分析精读讲义(上)[M].北京:科学出版社,2012.6 [5]胡适耕.数学分析.北京:科学出版社，2007.1

学科论文（设计）

题 目: 微分中值定理的应用 院 系： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 杨 恒 学 号： [1**********]1 指导教师： 姚 廷 富 教师职称： 讲 师

填写日期： 2012年 12 月 2 日

微分中值定理的应用

杨恒

摘 要：所谓微分中值定理，是联系函数的某个增量f(b)f(a)与其导数

在某个中值ξ的值的公式。为了更好地运用微分中值定理解决实际问题，我们一起讨论几个微分中值定理，进一步观察它们之间有何关系。在日常工作中，我们经常要讨论由导数来推断函数 所应具有的性质。微分中值定理正是用来解决这一问题的有效工具。求极值与最值，用洛比达法则求极限等一些问题中，微分中值定理占有重要的地位了，下面我们就以三个重要的微分中值定理加以讨论、比较和总结。

关键词：罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理 泰勒定理 联系 应用

证明

一、微分中值定理1

1、罗尔（Roller）中值定理:

若函数f满足如下条件： (i) f在闭区间[a,b]上连续 (ii) f在开区间(a,b)内可导 (iii) f(a)f(b)

则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得

f()0 2、拉格朗日（Lagrange）中值定理 若函数f满足如下条件： （i）f在闭区间[a,b]上连续 (ii)f在开区间(a,b)内可导 则在(a,b)内至少存在一点，使得 f()

f(b)f(a)

ba

3、柯西中值定理 设函数f和g满足 （i） 在[a,b]上都连续； （ⅱ）在(a,b)内都可导； （ⅲ）f(x)和g(x)不同时为零； （ⅳ）g(a)g(b) 则存在(a,b),使得

f()f(b)f(a)

 g()g(b)g(a)

二、微分中值定理之间的关系

拉格朗日中值定理与罗尔中值定理，显然，特别的当f(a)f(b)时，拉格朗日定理的结论即为罗尔定理的结论.这表明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特

殊情形.在一元函数微分学中，微分中值定理是应用函数的局部性质研究函数在区间上整体性质的重要工具，它在数学分析中占有重要的地位，其中拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。拉格朗日微分中值定理有许多推广，这些推广有一些基本的特点，这就是把定理条件中可微性概念的拓宽，然后推广微分中值表达公式。微分中值定理的应用为数学的进一步发展提供了广阔的天地，在以后的学习中还会有其他的应用，再做更为全面的总结.

三、微分中值定理在解题中的应用

1、应用微分中值定理证明中值点的存在性

3

利用中值定理证明含有一个中值点，含有两个中值点或含有两个不同的中值点 例1设f(x)在[a,b]上可导，且a,b0,证明至少存在(a,b)使得：

2[f(b)f(a)](b2a2)f()

证：方法一：设g(x)x2，x[a,b]，f(x)和g(x)在[a,b]满足连续、可导且

g(x)2x在(a,b)内g(x)0，b2a20，由柯西中值定理知，至少存在

(a,b)使得

f()f(b)f(a)f()f(b)f(a)

，即= 22

bag()g(b)g(a)2

所以 2[f(b)f(a)](b2a2)f()

方法二；设F(x)x2[f(b)f(a)](b2a2)f(x)，x[a,b]满足连续、可导且

2222

F(a)a2fbfabafaafbbfa; 2222F(b)b2fbfabafbafbbfa; 

由罗尔中值定理知，至少存在一点(a,b)，使得F()0， 又因为F()2[f(b)f(a)](b2a2)f()0 即2[f(b)f(a)]=(b2a2)f()

2、应用中值定理证明不等式

利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中值定理的条件，证明的关键是处理好ξ点，分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要结论，在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进行证明的情况。

babba4

ln. 例2：证明当ba0时，成立不等式baa分析：一般步骤是①规范不等式，构造f(x)②建立辅助函数及定义的区间[a,b]③验证f在[a,b]上满足拉格朗日中值定理④中值等式（不等式） 证：设f(x) lnx, x[a,b]（ba0） 因为f(x)在[a,b]上可导，则由拉格朗日中值定理有

ln

b1

lnblnaba,ab.， a111

，且ba0,所以 ba

由于

bababa

， 

ba

babba

ln. baa

从而

3、用中值定理证明函数的连续性

例3若函数f在区间I上可导，且f'有界，则f在I上一致连续。 证明 对任意x1,x2I,则由拉格朗日中值定理，有 fx1fx2f'x1x2,介于x1，x2之间。

由此可得 又f'在I上有界，所以存在L>0，对任意xI,有f'xL.

f

x1

f

x2

.

因此，对任意0,取=



L

0，对任意x1,x2I,且x1x2,都有

这就证明了f在I上一致连续的。

4、解决含高阶导数的中值问题5

一般原理是；若有x0x1...xn，使得F(x0)F(x1)...F(xn)，则相继n次应用罗尔中值定理得出x0,xn,使得Fn()0。 例4 设f(1)0，则存在0,,使得

f''()2f

'

cotf.

证 首先变换待证中值公式为

0=f

''

sin2f'

sin

f

sin

d2

=f2d

F'',

其中Fxfxsinx.显然F0=F1F，故用两次罗尔中值定理得所要证。

5、求近似值

例5 求0.97的近似值

解 0.97是f(x)x在x0.97处的值, 令x01,xx0x0.97 则x0.03,

,使得由拉格朗日中值定理中值定理,存在一点(0.97，f()f(1)f

(0. 9

(0.03)112(0.03)0.985 可取1近似计算,得0.971xx1

四、微分中值定理中构造辅助函数证明实例

辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，找到一个辅

助函数，通过求导确定函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。常用的方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，另不等号右端为零，左端即为所求辅助函数

1、从函数本身出发构造辅助函数

2

例6 设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，证明：存在(0,1),使得：

f()f(1)f()f(1)

分析：从本题要证的结论可以看出函数f(x)及其变形f(1x)是解题的突破口，很容易联想到利用函数f(x)及其变形f(1x)来构造辅助函数. 令：F(x)f(x)f(1x)则：F(x)f(x)f(1x)f(x)f(1x) 显然：F(0)f(0)f(1)F(1)

又因为：f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导， 所以：F(x)也在上[0,1]连续，在(0,1)内可导， 即：F(x)满足罗尔定理条件

因此：存在一点(0,1)使得：F(x)0 即：f()f(1)f()f(1)

例7设f(x)在(0,1)上可微，且满足：f(1)2使得：f()f()

分析：本题的关键在于如何使用f(1)2

1/2

1/2

xf(x)dx，求证：存在(0,1)，

xf(x)dx这个条件，

从结论来看最终还是要回到函数f(x)本身，作辅助函数. 令：F(x)xf(x)

显然有：F(1)f(1)2xf(x)dxF(c)，其中c∈[0,1/2]

1/2

又 0=f()f()F'()

于是在[c,1]上用罗尔定理得，存在(0,1)，使得f()f()

以上这两个证明题有个共同的特征：要证的目标式都只与已知函数f(x)有关， 对于这一类题目的证明一般都是直接利用函数f(x)或f(x)的变形来构造辅助函数就能够得证.

2、利用指数、对数、三角函数等初等函数构造辅助函数 例8 证明：若函数f在,内满足关系式f'xfx,且

f01,则

fxex,x,.

证明 作辅助函数Fxexfx,则由f'xfx知

F'xexf

'

x

f'(x)0，

从而FxC

例9设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f(0)f(1)0， 试证：存在(0,1)使得：f()lnf() 证明：令F(x)lnxf(x) 则：F(x)1lnxf(x)

显然：F(0)F(1)0，且F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，由罗尔定理可知： 存在一点(0,1)使得：F()0即：f()lnf()

例10设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，试证：存在

(a,b)使得：sinf()cosf()

证明：令Fxcosxfx则：Fxcosxf'xsinxfx 显然：FaFb0，且Fx在a,b上连续，在a,b上可导， 由罗尔定理可知：存在一点a,b

使得：F0即：sinf()cosf()

在证明这三个例题时我们采用的一个共同方法就是利用初等函数来构造辅助函数，对于这类证明题我们主要是从目标式出发找出所需要的初等函数来构造函数.

3、从目标式出发将目标式作适当的变化后构造辅助函数 例11设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导(0ab),f(a)f(b)， 证明：存在,(a,b)使得：f()

ab

f'() 2

ab

f'() 2

分析：本题要证的目标式是存在两点：,(a,b)，使得：f()显然一定要两次应用中值定理才能证得结论. 将目标式两边同乘ba得：

2f()(ba)f()b2a2

令F(x)x,G(x)x,H(x)x2

显然：F(x),G(x) ,H(x)在a,b上连续， 在

2f(x1)(b2a2)f(x2)4x2ab2lnba2x3f(x3)， 2f(x1)(b2a2)f(x2)4x2ab2lnba2x3f(x3) 内可导； 将F(x)与G(x)，F(x),H(x)分别应用柯西中值定理有： 存在(a,b)使得：

f(b)f(a)f()(G(b)G(a))f()(ba)

存在(a,b)使得：

f()

 2f()

H(b)H(a)(b2a2)

2

由上面两式可知：

f()

f()(ba)(b2a2)

2ab

f() 即f()2f()(ba)

例12：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内可，ab0，证明：在a,b内

存在x1,x2,x3使得：

f(x1)2x1(b2a2)f(x2)4x2lnbab2a2x3f(x3)

分析：本题要证的目标式是在a,b内存在三点x1,x2,x3使得：

222

)f(x1)x1(b+af

2

(4x)2x

blnab2

2

a f3(x),3x

显然要三次应用中值定理才能证得结论. 将目标式分别同乘((b2a2)得：

f(x1)2x1(b2a2)f(x2)4x2(b4a4)x3f(x3)(lnblna)在a,b上分别对f(x)与x2, f(x)与x4，f(x)与lnx用柯西中值定理有： 存在x1a,b使得：f(b)f(a)f(x1)2x1(b2a2) 存在x2a,b使得：

f(b)f(a)f(x2)4x2(b4a4)

存在x3(a,b)使得：f(b)f(a)f(x3)x3(lnblna) 由上面三式可知：

f(x2)4x2b4a4x3f(x3)(lnblna) f(x)2x(b2a2）

即：f(x1)2x1(b2a2)f(x2)4x2lnbab2a2x3f(x3)

这两个证明题的共同特点是：要多次应用中值定理才能证得结论，对于这一类问

题我们通常是从目标式出发，对目标式作变形后才能构造出相应的辅助函数来应用中值定理。

结语

在微分中值定理的应用中，广泛地使用辅助函数是作证明题的关键，我们在学习时应掌

握一些常用的构造辅助函数方法。在作证明题时一般先从要证的结论出发，观察目标式的特征，分析目标式可能要用的辅助函数，然后对目标式作相应的变形，这是构造辅助函数的关键。有了辅助函数就可以直接对辅助函数应用中值定理得到结论。

参考文献：

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