绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |，|a -b |≤|a |+|b | 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5
即函数的最小值是-5，最大值是5
也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5
解绝对值不等式题根探讨
题根四 解不等式|x 2-5x +5|
第1变 右边的常数变代数式
［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|x 2
－2x －6|
［请你试试4—1］
1．解不等式（1）｜x-x 2
-2｜>x2
-3x-4；（2）3x
x 2-4
≤1
第2变 含两个绝对值的不等式
［变题2］解不等式（1）|x －1|5.
（2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5.
［请你试试4—2］
1 解关于x 的不等式|log a (1-x ) |>|log a (1+x ) |(a >0且a ≠1)
2．不等式|x+3|-|2x-1|
x
2
+1的解集为。 3．求不等式log 1
1x +log 3
3
3-x
≥1的解集.
第3变 解含参绝对值不等式
［变题3］解关于x 的不等式x 2
-4mx +4m 2
>m +3
［请你试试4—3］
1．解关于x 的不等式：x x -a ≤2a 2
9
(a >0)
2．关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。
第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题
［变题4］若不等式|x －4|+|3－x |
2）f (x )≤a 有解⇒a ≥f (x )m i n ；f (x )≤a 解集为空集
⇒a
f (x )f ()x m i n
；f (x )f (x )max 。
f (x )≥a 有解⇒a ≤f ()x m
a x
；f (x )≥a 解集为空集
⇒a >f (x )max ；这两者互补。f (x )≥a 恒成立⇒a ≤f (x )min 。
f (x )>a 有解⇒a
a x
；f (x )>a 解集为空集
⇒a ≤f (x )max ；这两者互补。f (x )>a 恒成立⇒a ≤f (x )min 。
［请你试试4—4］
1．对任意实数x ，若不等式|x +1|－|x －2|>k 恒成立，求k 的取值范围。
2．对任意实数x ，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求实数a 的取值范围。
3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|
变题：
1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x 恒成立，求a 的取值范围
2、若不等式|x-4|-|x-3|
3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R 上恒成立，求a 的取值范围 评注：
1、此题运用了绝对值的定义，绝对值不等式的性质，以及绝对值的几何意义等多种方法。
4、构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法 5
设0
4
1
x -a 2
2
技巧三： 分离
x 2+7x +10
例3. 求y =(x >-1) 的值域。
x +1
技巧九、取平方
5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x 2y 的最值.
变式:
求函数y =1
2
2
应用二：利用均值不等式证明不等式
第5变 绝对值三角不等式问题
［变题5］已知函数f (x ) =a x 2
+b x
+(c , a , b ∈c ，) R 当x ∈[-1, 1]时
|f (x ) |≤1，求证： (1)|b |≤1；
(2)若g (x ) =bx 2+ax +c (a , b , c ∈R ) ，则当x ∈[-1,1]时，求证：|g (x ) |≤2。
［
［请你试试4—5］
1．已知函数f(x)=+x 2，a,b ∈R ，且a ≠b ，求证|f(a)-f(b)|发展题：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|>a的解集非空，求a 的取值范围。 （2）已知不等式|x-3|+|x+1|≤a 的解集非空，求a 的取值范围。 3．已知f(x)的定义域为[0,1]，且f(0)=f(1)，如果对于任意不同的x 1,x 2
∈[0,1]，都有|f(x1
1)-f(x2)|
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋11
2x （2）y ＝x ＋x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知x
5
，求函数y =4x -2+14的最大值。 4x -5
技巧二：凑系数 例1. 当时，求y =x (8-2x ) 的最大值。
技巧四：换元
求y =x 2+7x +10
x +1
(x >-1) 的值域。
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函2
数f (x ) =x +
a
x 的单调性。
例：求函数y =的值域。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （
1
）
y =x 2+3x +1x
,(x >0)
（2）
y =2x +
1
x -3, x >3 (3)
y =2sin x +1
sin x
, x ∈(0,π) 2．已知0
1，求函数
y =的最大值. ；3．0
23
，求函数
y =.
条件求最值
1. 若实数满足a +b =2，则3a
+3b
的最小值是.
变式：若log y =2，求1x +1
4x +log 4y
的最小值. 并求x,y 的值
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知x >0, y >0，且1x +9
y
=1，求x +y 的最小值。
、已知x ，y 为正实数，且x 2
＋y 2
技巧七2＝1，求x 1＋y 的最大值.
技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab 的最小值. 变式：1. 已知a >0，b >0，ab －(a ＋b ) ＝1，求a ＋b 的最小值。
2. 若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
1．已知a , b , c 为两两不相等的实数，求证：a
2
+b 2+c 2>ab +bc +ca
1）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c ) ≥8abc 2）
3）例6：已知a 、b 、c ∈R +
，且a +b +c =1。求证： ⎛1⎫⎛1⎫⎛⎝a -1⎪⎭⎝b -1⎪1⎭⎝c -1⎫
⎪⎭
≥8
应用三：均值不等式与恒成立问题
例：已知x >0, y >0且1x +9y
=1，求使不等式x +y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围。
应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若a >b >1, P =lg a ⋅lg b , Q =
12(lga +lg b ), R =lg(a +b
2
) ，
则P , Q , R 的大小关系是.
绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |，|a -b |≤|a |+|b | 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5
即函数的最小值是-5，最大值是5
也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5
解绝对值不等式题根探讨
题根四 解不等式|x 2-5x +5|
第1变 右边的常数变代数式
［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|x 2
－2x －6|
［请你试试4—1］
1．解不等式（1）｜x-x 2
-2｜>x2
-3x-4；（2）3x
x 2-4
≤1
第2变 含两个绝对值的不等式
［变题2］解不等式（1）|x －1|5.
（2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5.
［请你试试4—2］
1 解关于x 的不等式|log a (1-x ) |>|log a (1+x ) |(a >0且a ≠1)
2．不等式|x+3|-|2x-1|
x
2
+1的解集为。 3．求不等式log 1
1x +log 3
3
3-x
≥1的解集.
第3变 解含参绝对值不等式
［变题3］解关于x 的不等式x 2
-4mx +4m 2
>m +3
［请你试试4—3］
1．解关于x 的不等式：x x -a ≤2a 2
9
(a >0)
2．关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。
第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题
［变题4］若不等式|x －4|+|3－x |
2）f (x )≤a 有解⇒a ≥f (x )m i n ；f (x )≤a 解集为空集
⇒a
f (x )f ()x m i n
；f (x )f (x )max 。
f (x )≥a 有解⇒a ≤f ()x m
a x
；f (x )≥a 解集为空集
⇒a >f (x )max ；这两者互补。f (x )≥a 恒成立⇒a ≤f (x )min 。
f (x )>a 有解⇒a
a x
；f (x )>a 解集为空集
⇒a ≤f (x )max ；这两者互补。f (x )>a 恒成立⇒a ≤f (x )min 。
［请你试试4—4］
1．对任意实数x ，若不等式|x +1|－|x －2|>k 恒成立，求k 的取值范围。
2．对任意实数x ，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求实数a 的取值范围。
3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|
变题：
1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x 恒成立，求a 的取值范围
2、若不等式|x-4|-|x-3|
3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R 上恒成立，求a 的取值范围 评注：
1、此题运用了绝对值的定义，绝对值不等式的性质，以及绝对值的几何意义等多种方法。
4、构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法 5
设0
4
1
x -a 2
2
技巧三： 分离
x 2+7x +10
例3. 求y =(x >-1) 的值域。
x +1
技巧九、取平方
5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x 2y 的最值.
变式:
求函数y =1
2
2
应用二：利用均值不等式证明不等式
第5变 绝对值三角不等式问题
［变题5］已知函数f (x ) =a x 2
+b x
+(c , a , b ∈c ，) R 当x ∈[-1, 1]时
|f (x ) |≤1，求证： (1)|b |≤1；
(2)若g (x ) =bx 2+ax +c (a , b , c ∈R ) ，则当x ∈[-1,1]时，求证：|g (x ) |≤2。
［
［请你试试4—5］
1．已知函数f(x)=+x 2，a,b ∈R ，且a ≠b ，求证|f(a)-f(b)|发展题：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|>a的解集非空，求a 的取值范围。 （2）已知不等式|x-3|+|x+1|≤a 的解集非空，求a 的取值范围。 3．已知f(x)的定义域为[0,1]，且f(0)=f(1)，如果对于任意不同的x 1,x 2
∈[0,1]，都有|f(x1
1)-f(x2)|
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋11
2x （2）y ＝x ＋x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知x
5
，求函数y =4x -2+14的最大值。 4x -5
技巧二：凑系数 例1. 当时，求y =x (8-2x ) 的最大值。
技巧四：换元
求y =x 2+7x +10
x +1
(x >-1) 的值域。
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函2
数f (x ) =x +
a
x 的单调性。
例：求函数y =的值域。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （
1
）
y =x 2+3x +1x
,(x >0)
（2）
y =2x +
1
x -3, x >3 (3)
y =2sin x +1
sin x
, x ∈(0,π) 2．已知0
1，求函数
y =的最大值. ；3．0
23
，求函数
y =.
条件求最值
1. 若实数满足a +b =2，则3a
+3b
的最小值是.
变式：若log y =2，求1x +1
4x +log 4y
的最小值. 并求x,y 的值
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知x >0, y >0，且1x +9
y
=1，求x +y 的最小值。
、已知x ，y 为正实数，且x 2
＋y 2
技巧七2＝1，求x 1＋y 的最大值.
技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab 的最小值. 变式：1. 已知a >0，b >0，ab －(a ＋b ) ＝1，求a ＋b 的最小值。
2. 若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
1．已知a , b , c 为两两不相等的实数，求证：a
2
+b 2+c 2>ab +bc +ca
1）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c ) ≥8abc 2）
3）例6：已知a 、b 、c ∈R +
，且a +b +c =1。求证： ⎛1⎫⎛1⎫⎛⎝a -1⎪⎭⎝b -1⎪1⎭⎝c -1⎫
⎪⎭
≥8
应用三：均值不等式与恒成立问题
例：已知x >0, y >0且1x +9y
=1，求使不等式x +y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围。
应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若a >b >1, P =lg a ⋅lg b , Q =
12(lga +lg b ), R =lg(a +b
2
) ，
则P , Q , R 的大小关系是.