吉林交通科技
SCIENCEANDTECHNOLOGYOFJILINCOMMUNICATIONS
2009年第1期
浅谈桥梁抗震分析方法
高
远
魏志刚
吉林省高等级公路建设局
（长春
130216）
王庆宽
云南省移民开发技术服务中心
（昆明
650000）
天津市市政工程设计研究院
（天津300000）
【内容摘要】本文对桥梁抗震的分析方法进行了综述，介绍了桥梁抗震分析中的静力法、反应谱法、动虚拟激励法等几种方法及其优缺点。力时程分析法、
【关键词】桥梁抗震
静力法
反应谱法
时程法虚拟激励法
1引言
在桥梁抗震分析方法的发展过程中，早期采用
3反应谱法
3.1反应谱法的计算原理
的是简化的静力法，后相继出现了以动力法为基础
的反应谱理论、动力法的动态时程分析法。
目前，在桥梁抗震分析中常用的方法是反应谱法、弹塑性动力时程分析法、等效静力分析法和虚拟激励法等几种方法。2
静力法
早期结构抗震分析采用的是静力理论。静力法假设结构各部分与地震动具有相同的振动，结构物上只作用地面运动加速度乘以结构物质量所产生的惯性力。即忽略地面运动特性与结构的动力特性因素，简单地把结构在地震时的动力反应看作是静止的，以地震惯性力作为地震荷载，并将此以外荷载的形式作用在结构上进行内力分析。1915年，震度法被提出，即在静力法的概念上再多加上结构的10%的重量作为水平地震荷载。
从震动的角度分析，把地震加速度看作是结构破坏的单一因素有极大的局限性，因为它忽略了结构的动力特性。这使得静力法只有当结构物的基本固有周期比地面卓越周期小很多时才能成立，即结构物在受地震振动做用时表现为刚体而几乎不产生任何变形。由于概念简单，计算公式简明扼要，桥台和挡土结构等质量较大的刚性结构的抗震计算常常采用静力法。我国的《公路工程抗震设计规范》JTJ004-89中路基和挡土墙的抗震强度和稳定性均采用的静力法计算地震荷载。
43
相比静力法，反应谱理论能够简单、正确地反映地震动的特性而且同时考虑了结构物的动力特性，因而迅速在世界范围内得到了广泛的承认，在50年代后已被各国的抗震设计规范所应用，它的设防标准采用烈度或加速度来表示。
单自由度体系受到均匀地面激励时的运动方程为：
咬+cy觶+ky=-mx咬（t咬+2ξωy觶+ω2y=-x咬(t)ymy）或gg00其中m，c,k分别是质量、阻尼和刚度，ω0=ξ=c/(2mω0)分别是结构的自振圆频率和临姨，
界阻尼比。y的稳态解可以表示为如下杜哈梅尔(Duhamel)积分形式：
y(t)=-1
ωd
乙
t
e
-ξω（t-τ）
咬(τ)sinω(t-τ)dτxgd
其中ωd=姨1-ξω为有阻尼圆频率。由此可得结构所受的最大地震力Pmax：咬+y|=KβGPmax=m|ymaxgh
其中Kh，β，G即分别为《公路工程抗震设计规
范》中的水平地震系数、动力放大系数和结构总重。水平地震系数Kh的取值根据抗震设防的烈度水准而定。
动力放大系数β是在输入大量的地震加速度记录后所绘制的很多反应谱曲线经过处理后得到的
2009年第1期高远等：浅谈桥梁抗震分析方法
时的耗能相等而计算得出的。
另外，SRSS法长期以来作为一个重要的近似方
法被广泛地使用，但其近似程度也被广泛关注。目前的研究结论是：对于阻尼比为0.05的情况，当自振振型之间的相关就可以忽略不计，频率相差3倍时，
造成的误差约为1%。但对于空间结构有限元模型来说，自振频率经常是成群出现的，而使自振频率相差20%都很难达到。所以SRSS法对于三维有限元分析并不适用。4时程分析法
时程分析法原理是通过记录的实际地震地面运动加速度数值进行抗震分析与设计的一种方法。由于时程分析法可以考虑结构的弹性和弹塑性性态，可以反映地震动的频谱、振幅和持时，所以时程分析法在复杂工程结构抗震分析和设计中得到了广泛的应用。时程分析法要求提供与设计反应谱相匹配的地面运动加速度时程，建立构件的力－变形滞回模型和轴力－弯矩屈服模型、二维或三维的结构简化计算模型，并采用积分法求出结构在每个时刻的弹塑性地震反应。
4.1时程分析法的计算原理
桥梁结构在各支承处受到地面运动的作用，其运动方程为：
平均反应谱。《公路桥梁抗震设计细则》根据场地土的分类分别给出了临界阻尼比为0.05的不同的反应谱曲线。
对于多质点体系，其振动方程可用下式表达：咬}+[C]{y觶}+[K]{y}=-[M]{E}x咬g(t)[M]{y
其中：[M]，[C]，[K]分别为多质点体系的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。{E}为惯性力指示向量。对于上述的振动方程，若结构的自由度n很高，通常运用振型叠加法求解。由于地震地面运动更容易激起最低振型而不是较高振型的反应，因此仅仅需要几个振型叠加就能得到近似的而又很好的桥梁地震反应情况。
一般情况下，广义单质点体系的最大反应不同时发生，因此需要将它们组合起来，振型组合方法是反应谱理论的另一重要问题，也是影响桥梁地震反应预测精度的关键因素。目前，基于平稳随机振动理论的一致激励振型组合法是各国抗震规范广泛采用的组合方法，如CQC法(完全二次结合CompleteQuadraticCombination)，SRSS法(平方和开平方SquareRootoftheSumofSquares)等。SRSS法是将CQC法中的矩阵交叉项全部忽略，对CQC法进行了近似简化。
3.2反应谱法的优缺点由于反应谱法的概念清晰、计算简单而被广泛应用，至今仍是各国规范的基本计算方法。大多数国家的抗震设计规范都采用了SRSS法，如我国现行《公路工程抗震设计规范》，美国的AASHTO规范，欧洲的Eurocode8规范等。
由于目前采用的反应谱法对结构地震力采用弹性反应谱理论，反应谱法的最大缺点是假定结构是
而地震是弹性状态，原则上只适用于弹性结构体系。
一种不经常发生的偶然荷载，一般是允许结构在强烈地震中进入非线性状态的，所以不能直接使用弹性反应谱法。解决这个问题有两种方法：一种是研究弹塑性反应谱，另一种是在地震力计算时引入一个参数：“修正系数”。我国的《公路工程抗震设计规范》中是利用一个折减系数C（综合影响系数）来考虑Z非线性的。在计算中乘以CZ来体现桥梁受基本烈度地震作用时的非线性影响，调整理论计算与抗震经验之间的差距。CZ是根据钢筋混凝土结构在重复荷载作用下刚度退化的特性，并假定弹性体系在最大位移时所储存的应变能与弹塑性体系达到最大位移
44
=
!"!"!"*+*+
MsMsb
T
MsbMb0
#%%%%$%%%%&
咬Xs
咬Xb
’
%%%%(%%%%)
+
CsCsb
T
CsbCb
#%%%%$%%%%&
觶Xs
觶Xb
’
%%%%(%%%%)
+
KsKsb
T
Xs
KsbKb
Xb
Pb
其中：{Xb}为各支座的地面强迫位移，{Xs}为结构中所有非支座节点的位移，{Pb}为地面作用于各支座的力，即支座的支反力，[M]、[C]、[K]分别为节点的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。
当采用集中质量的离散化模型时，[Msb]=0。绝对位移{Xs}可分解为拟静位移{Ys}和动态相对位移{Yr}，忽略{Xb}所产生的阻尼力，则运动方程可简化为：
咬}+[C]{Y觶}+[K]{Y}[Ms]{Yrrssr
-1
咬}=[Ms][Ks][Ksb]{Xb
利用上式运动方程，采用逐步积分法即可求出
节点的动力位移及加速度增量。节点的总位移为节点的动力位移与拟静力位移之和；每一步单元内力
高远等：浅谈桥梁抗震分析方法
亦是动力位移量引起的内力与拟静力位移引起的内力之和。
4.2时程分析法的优缺点
进行时程分析可以得到数值上较为精确的分析结果，但是存在着在一些参数难以确定的问题，因而本质仍然比较模糊。其他问题如：输入地震动；简化结构分析模型是否与实际相符；结构－基础－土相互作用问题；结构构件的非线性动力特性和屈服后的行为；数值积分的精度及稳定性等都有待于解决。动力时程法的计算量过于庞大，而且由于是用确定性的时间历程来模拟尚未发生的地震，理论上应取许多条地面运动加速度曲线作为样本分别进行计算后进行统计分析较合理。但受到计算效率低的制约，目前在工程上只能用很少几条样本曲线进行结构分析统计。往往难于保证得到可靠的统计量。5
虚拟激励法
在工程应用中，如果假定外部激励是一个平稳的、服从正态分布的随机过程，随机激励的自功率谱
结构分析的主要计算内容是计密度函数Sxx(ω)已知。
算重要的位移、内力等响应的功率谱密度，然后计算出相应的谱矩(特别是方差、二阶矩)，根据这些谱矩计算各种直接应用于工程设计的统计量。
虚拟激励法的计算原理
当线性系统受到自谱密度为Sxx(ω)的单点平稳随机激励x(t)时，通过维纳－辛钦关系，采用频率f=ω（/2π）代替ω，则其响应y的自功率谱Syy(ω)=HSxx；其中H为结构的频率响应函数。即当随机激励x(t)被单位简谐激励eiωt代替时，相应的简谐响应y=Heiωt。若在单位简谐激励前乘以姨xx，则构造出軇(t)=e，其响应为y軇(t)=一个虚拟激励：x姨xx
iωt
iωt
2
2009年第1期
軇*軇=He-iωt·Heiωt=SH=Sxy·xxxy姨xx姨xx軇*軇=H*e-iωt·Heiωt=H*S=Syx·xxyx姨xx姨xx（*表示取复共轭）
若只对结构的某一内力f、应力σ、应变ε计算，则可按虚拟激励公式求得相应参数的虚拟激励响应軇軒和ε軌后计算各自的自谱密度：f、σSff=軇f軌。Sεε=ε
显然，虚拟激励法中的各自谱密度都有简单统
一的类似公式，只要响应与激励之间的关系是线性的，就可以应用虚拟激励法进行计算。同时，虚拟简谐激励因子eiωt与其复共轭e-iωt总是成对出现并最终相乘而抵消，从而使得计算得到简化。6小结
以上对几种抗震分析方法进行了简单介绍。目前，在工程中对结构的抗震分析已经可以通过高效的计算机软件进行，但软件的计算效率和计算结果与其所采有的计算方法有很大联系。所以在能够熟练使用软件的同时也应该对其所采用的计算方法有所了解。
1
参考文献
李国豪.桥梁结构稳定与振动.北京:中国铁
2
2
軒，，Sσσ=σ
2
道出版社，1992年10月
2林家浩,张亚辉.随机振动的虚拟激励法.北京:科学出版社，2004年9月3范立础,卓卫东.桥梁延性抗震设计.北京:人民交通出版社，2001年5月4JTG/TB02-01-2008.公路桥梁抗震设计细则.中华人民共和国交通运输部，2008年
5交通部公路规划设计院.JTJ004-89.公路工程抗震设计规范.北京:人民交通出版社，1999年
6范立础,胡世德,叶爱君.大跨度桥梁抗震设计.北京:人民交通出版社，2001年5月
（收稿日期:2009.1.20）
姨xxHe。
易求得：軇*軇=軇=Hyy·y
2
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Sxx=Syy
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2009年第1期
浅谈桥梁抗震分析方法
高
远
魏志刚
吉林省高等级公路建设局
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130216）
王庆宽
云南省移民开发技术服务中心
（昆明
650000）
天津市市政工程设计研究院
（天津300000）
【内容摘要】本文对桥梁抗震的分析方法进行了综述，介绍了桥梁抗震分析中的静力法、反应谱法、动虚拟激励法等几种方法及其优缺点。力时程分析法、
【关键词】桥梁抗震
静力法
反应谱法
时程法虚拟激励法
1引言
在桥梁抗震分析方法的发展过程中，早期采用
3反应谱法
3.1反应谱法的计算原理
的是简化的静力法，后相继出现了以动力法为基础
的反应谱理论、动力法的动态时程分析法。
目前，在桥梁抗震分析中常用的方法是反应谱法、弹塑性动力时程分析法、等效静力分析法和虚拟激励法等几种方法。2
静力法
早期结构抗震分析采用的是静力理论。静力法假设结构各部分与地震动具有相同的振动，结构物上只作用地面运动加速度乘以结构物质量所产生的惯性力。即忽略地面运动特性与结构的动力特性因素，简单地把结构在地震时的动力反应看作是静止的，以地震惯性力作为地震荷载，并将此以外荷载的形式作用在结构上进行内力分析。1915年，震度法被提出，即在静力法的概念上再多加上结构的10%的重量作为水平地震荷载。
从震动的角度分析，把地震加速度看作是结构破坏的单一因素有极大的局限性，因为它忽略了结构的动力特性。这使得静力法只有当结构物的基本固有周期比地面卓越周期小很多时才能成立，即结构物在受地震振动做用时表现为刚体而几乎不产生任何变形。由于概念简单，计算公式简明扼要，桥台和挡土结构等质量较大的刚性结构的抗震计算常常采用静力法。我国的《公路工程抗震设计规范》JTJ004-89中路基和挡土墙的抗震强度和稳定性均采用的静力法计算地震荷载。
43
相比静力法，反应谱理论能够简单、正确地反映地震动的特性而且同时考虑了结构物的动力特性，因而迅速在世界范围内得到了广泛的承认，在50年代后已被各国的抗震设计规范所应用，它的设防标准采用烈度或加速度来表示。
单自由度体系受到均匀地面激励时的运动方程为：
咬+cy觶+ky=-mx咬（t咬+2ξωy觶+ω2y=-x咬(t)ymy）或gg00其中m，c,k分别是质量、阻尼和刚度，ω0=ξ=c/(2mω0)分别是结构的自振圆频率和临姨，
界阻尼比。y的稳态解可以表示为如下杜哈梅尔(Duhamel)积分形式：
y(t)=-1
ωd
乙
t
e
-ξω（t-τ）
咬(τ)sinω(t-τ)dτxgd
其中ωd=姨1-ξω为有阻尼圆频率。由此可得结构所受的最大地震力Pmax：咬+y|=KβGPmax=m|ymaxgh
其中Kh，β，G即分别为《公路工程抗震设计规
范》中的水平地震系数、动力放大系数和结构总重。水平地震系数Kh的取值根据抗震设防的烈度水准而定。
动力放大系数β是在输入大量的地震加速度记录后所绘制的很多反应谱曲线经过处理后得到的
2009年第1期高远等：浅谈桥梁抗震分析方法
时的耗能相等而计算得出的。
另外，SRSS法长期以来作为一个重要的近似方
法被广泛地使用，但其近似程度也被广泛关注。目前的研究结论是：对于阻尼比为0.05的情况，当自振振型之间的相关就可以忽略不计，频率相差3倍时，
造成的误差约为1%。但对于空间结构有限元模型来说，自振频率经常是成群出现的，而使自振频率相差20%都很难达到。所以SRSS法对于三维有限元分析并不适用。4时程分析法
时程分析法原理是通过记录的实际地震地面运动加速度数值进行抗震分析与设计的一种方法。由于时程分析法可以考虑结构的弹性和弹塑性性态，可以反映地震动的频谱、振幅和持时，所以时程分析法在复杂工程结构抗震分析和设计中得到了广泛的应用。时程分析法要求提供与设计反应谱相匹配的地面运动加速度时程，建立构件的力－变形滞回模型和轴力－弯矩屈服模型、二维或三维的结构简化计算模型，并采用积分法求出结构在每个时刻的弹塑性地震反应。
4.1时程分析法的计算原理
桥梁结构在各支承处受到地面运动的作用，其运动方程为：
平均反应谱。《公路桥梁抗震设计细则》根据场地土的分类分别给出了临界阻尼比为0.05的不同的反应谱曲线。
对于多质点体系，其振动方程可用下式表达：咬}+[C]{y觶}+[K]{y}=-[M]{E}x咬g(t)[M]{y
其中：[M]，[C]，[K]分别为多质点体系的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。{E}为惯性力指示向量。对于上述的振动方程，若结构的自由度n很高，通常运用振型叠加法求解。由于地震地面运动更容易激起最低振型而不是较高振型的反应，因此仅仅需要几个振型叠加就能得到近似的而又很好的桥梁地震反应情况。
一般情况下，广义单质点体系的最大反应不同时发生，因此需要将它们组合起来，振型组合方法是反应谱理论的另一重要问题，也是影响桥梁地震反应预测精度的关键因素。目前，基于平稳随机振动理论的一致激励振型组合法是各国抗震规范广泛采用的组合方法，如CQC法(完全二次结合CompleteQuadraticCombination)，SRSS法(平方和开平方SquareRootoftheSumofSquares)等。SRSS法是将CQC法中的矩阵交叉项全部忽略，对CQC法进行了近似简化。
3.2反应谱法的优缺点由于反应谱法的概念清晰、计算简单而被广泛应用，至今仍是各国规范的基本计算方法。大多数国家的抗震设计规范都采用了SRSS法，如我国现行《公路工程抗震设计规范》，美国的AASHTO规范，欧洲的Eurocode8规范等。
由于目前采用的反应谱法对结构地震力采用弹性反应谱理论，反应谱法的最大缺点是假定结构是
而地震是弹性状态，原则上只适用于弹性结构体系。
一种不经常发生的偶然荷载，一般是允许结构在强烈地震中进入非线性状态的，所以不能直接使用弹性反应谱法。解决这个问题有两种方法：一种是研究弹塑性反应谱，另一种是在地震力计算时引入一个参数：“修正系数”。我国的《公路工程抗震设计规范》中是利用一个折减系数C（综合影响系数）来考虑Z非线性的。在计算中乘以CZ来体现桥梁受基本烈度地震作用时的非线性影响，调整理论计算与抗震经验之间的差距。CZ是根据钢筋混凝土结构在重复荷载作用下刚度退化的特性，并假定弹性体系在最大位移时所储存的应变能与弹塑性体系达到最大位移
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其中：{Xb}为各支座的地面强迫位移，{Xs}为结构中所有非支座节点的位移，{Pb}为地面作用于各支座的力，即支座的支反力，[M]、[C]、[K]分别为节点的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。
当采用集中质量的离散化模型时，[Msb]=0。绝对位移{Xs}可分解为拟静位移{Ys}和动态相对位移{Yr}，忽略{Xb}所产生的阻尼力，则运动方程可简化为：
咬}+[C]{Y觶}+[K]{Y}[Ms]{Yrrssr
-1
咬}=[Ms][Ks][Ksb]{Xb
利用上式运动方程，采用逐步积分法即可求出
节点的动力位移及加速度增量。节点的总位移为节点的动力位移与拟静力位移之和；每一步单元内力
高远等：浅谈桥梁抗震分析方法
亦是动力位移量引起的内力与拟静力位移引起的内力之和。
4.2时程分析法的优缺点
进行时程分析可以得到数值上较为精确的分析结果，但是存在着在一些参数难以确定的问题，因而本质仍然比较模糊。其他问题如：输入地震动；简化结构分析模型是否与实际相符；结构－基础－土相互作用问题；结构构件的非线性动力特性和屈服后的行为；数值积分的精度及稳定性等都有待于解决。动力时程法的计算量过于庞大，而且由于是用确定性的时间历程来模拟尚未发生的地震，理论上应取许多条地面运动加速度曲线作为样本分别进行计算后进行统计分析较合理。但受到计算效率低的制约，目前在工程上只能用很少几条样本曲线进行结构分析统计。往往难于保证得到可靠的统计量。5
虚拟激励法
在工程应用中，如果假定外部激励是一个平稳的、服从正态分布的随机过程，随机激励的自功率谱
结构分析的主要计算内容是计密度函数Sxx(ω)已知。
算重要的位移、内力等响应的功率谱密度，然后计算出相应的谱矩(特别是方差、二阶矩)，根据这些谱矩计算各种直接应用于工程设计的统计量。
虚拟激励法的计算原理
当线性系统受到自谱密度为Sxx(ω)的单点平稳随机激励x(t)时，通过维纳－辛钦关系，采用频率f=ω（/2π）代替ω，则其响应y的自功率谱Syy(ω)=HSxx；其中H为结构的频率响应函数。即当随机激励x(t)被单位简谐激励eiωt代替时，相应的简谐响应y=Heiωt。若在单位简谐激励前乘以姨xx，则构造出軇(t)=e，其响应为y軇(t)=一个虚拟激励：x姨xx
iωt
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2009年第1期
軇*軇=He-iωt·Heiωt=SH=Sxy·xxxy姨xx姨xx軇*軇=H*e-iωt·Heiωt=H*S=Syx·xxyx姨xx姨xx（*表示取复共轭）
若只对结构的某一内力f、应力σ、应变ε计算，则可按虚拟激励公式求得相应参数的虚拟激励响应軇軒和ε軌后计算各自的自谱密度：f、σSff=軇f軌。Sεε=ε
显然，虚拟激励法中的各自谱密度都有简单统
一的类似公式，只要响应与激励之间的关系是线性的，就可以应用虚拟激励法进行计算。同时，虚拟简谐激励因子eiωt与其复共轭e-iωt总是成对出现并最终相乘而抵消，从而使得计算得到简化。6小结
以上对几种抗震分析方法进行了简单介绍。目前，在工程中对结构的抗震分析已经可以通过高效的计算机软件进行，但软件的计算效率和计算结果与其所采有的计算方法有很大联系。所以在能够熟练使用软件的同时也应该对其所采用的计算方法有所了解。
1
参考文献
李国豪.桥梁结构稳定与振动.北京:中国铁
2
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軒，，Sσσ=σ
2
道出版社，1992年10月
2林家浩,张亚辉.随机振动的虚拟激励法.北京:科学出版社，2004年9月3范立础,卓卫东.桥梁延性抗震设计.北京:人民交通出版社，2001年5月4JTG/TB02-01-2008.公路桥梁抗震设计细则.中华人民共和国交通运输部，2008年
5交通部公路规划设计院.JTJ004-89.公路工程抗震设计规范.北京:人民交通出版社，1999年
6范立础,胡世德,叶爱君.大跨度桥梁抗震设计.北京:人民交通出版社，2001年5月
（收稿日期:2009.1.20）
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