2016数学试卷评价报告

2016年普通高等学校招生全国统一考试

数学试卷评价报告

2016年高考是湖南实施自主命题12年后再次启用全国卷的第一年。今年的高考数学试卷，以《考试大纲》、《考试说明》为基础，从“继承经验、稳定发展、改革创新、突出选拔”等方面来体现课程标准的内涵、要求与理念。试卷在整体上体现了“知能并重、深化能力立意；突出作为数学核心的思维能力的考查；合理区别文、理科考生不同的学习要求”的基本风格和特色。

1．试题评价

2016年的全国卷数学试题与2015年以前的湖南数学试题相比，既有体现相同特色的地方，也有些不同的特点。

1.1 题型稳定试题所考主体内容稳定

2016年的文、理试卷相对于2015年的湖南卷增加了两道选择题，力求试题设计的创新而不刻意追求知识点的覆盖面。在三大题型的分值分布中，解答题保持了6题70分的格局，原湖南卷理科解答题中理16题设置的3题选做2题的方式，改为三选一的方式，且文理同题。选择题12题60分，填空题4题20分。近五年题型、题量和分值分布如表1.1。

表1.1 近五年题型、题量及分值分布

近五年试题主要考查的内容载体所占分值情况如表1.2。

表1.2 近五年考查主要内容载体所占分值统计表

对于选修系列四的内容，文理科同题采取选做的形式来处理，在几何证明选讲、不等式选讲、坐标系与参数方程中各命一道解答题（占10分），考生三选一解答。

2016年的试卷，在解答题排序上沿用了原全国卷的做法，三选一的选考题（占10分）放在最后。理科试卷中，三角函数、立体几何、统计与概率、解析几何、函数综合（各占12分）由易到难排列，分别放在17-21题的位置。文科试卷中，数列、立体几何、统计与概率、解析几何、函数综合（各占12分）由易到难排列，分别放在17-21题的位置。只是立体几何题的难度控制失误，使其相对难度达到了试卷中最难的水平，得分率处于最低水平。

1.2 文、理科试卷探索文理同题的方向

文科、理科考生在数学思维方面的水平有整体性的差异，对数学学习的层次要求也有很多的不同。原湖南卷的试题很好的把握了这种差异性，在考查主干知识大致相同的情况下，在考查方式、考查能力层次方面进行了很好的区分。2016年的试题有意减小文理卷的差别，探索文理同卷的方向，似有文科卷向理科靠扰的趋势。如文科18题，立体几何题虽图形背景直顶角正三棱锥比理科题的五面体更为学生熟知，但其图形识别能力的要求却高于理科18题，而在推理论证方面的要求，二者不相上下。文科19题统计与概率题与理科19题相比，除分布列知识点换成了求解析式外，其余知识点和能力要求基本相当。全卷中共有理6与文7、理7与文9、理9与文10、理11与文11、理16与文16和选考题共计8道35分题完全相同。而在对数学理解层次、计算能力、数学思维层次的要求方面。整体上，理科卷要求高于文科卷。

1.3 注重对重要数学思想方法和基本数学能力的考查

2016年的试题与原湖南卷一样，注意对重要数学思想方法和基本数学能力的考查。

2016年数学高考题注重对考生以基础知识为载体的转化与化归、分类与整合的数学思想方法的重点考查，较好的考查了学生的数学思维能力，为数学高水平层次考生提供了展示数学能力的机会。数学思想方法的掌握是解决数学问题的关键，试题对课标中强调转化与化归，分类与整合等数学思想方法的考查突出体现在：

(1) 分类与整合的思想方法，如理21、23、24，文19、21等题； (2) 转化与化归的思想，如理20，文20等题；

2016年较好地体现了“深化能力立意”命题指导思想的重要命题思路。全

面地考查了课标中提出的空间想象能力（如理6文7，文理18）、抽象概括能力（如理20，文19）、推理论证能力（如理20、21，文20、21）、运算求解能力（如理19、20，文19、20）、数据处理能力（如理19，文19）五大基本能力。注重考查学生的综合素质，考查考生综合运用知识的能力以及个性品质（如理17、19、20、21，文17、19、20、21）。

1.4 体现了“在知识网络的交汇点命题”的命题思想

2016年试题与原湖南卷一样，体现了在知识网络的交汇点命题的思想。在知识综合性上较湖南卷弱有下降。

在知识网络的交汇点命题较好地考查了考生对数学知识之间联系及转化的掌握情况与解决问题的能力。2016考卷中的选择、填空题中的部分较难题与解答题通过对知识的交叉、渗透和综合，深刻考查考生的数学思维能力与数学素养。2016年试卷中的6道解答题，除选考题外，其余题分别侧重于三角函数、统计与概率、立体几何、数列、解析几何、函数综合（综合函数、导数、不等式），既体现了知识网络的交汇，又很好地展现了重要的数学思想方法。如理科20题将直线、椭圆、圆等知识点融合在一起，较为全面地考查了学生解析几何的基础知识与基本方法，体现了将几种圆锥曲线综合命题的一种趋势。理科21题将导数、函数、不等式、结合在一起；文科20题则将直线、抛物等知识结合在一起。文科21题，将函数，导数，不等式，等基础知识结合在一起。

明显的，理科试题的知识综合性稍高于文科试题。

1.5 理科试题难度分布合理，文科试题高难度题偏多

2016年试题在难度坡度设计上，减少了原湖南卷过易和过难的试题，增加了中等难度的题。理科卷难度分布合理，文科卷由于立体几何题和统计与概率题的难度把握不准导致高难度题偏多，从而使文科卷的整体难度有了较大幅度的上升。

1.6 突出对数学概念理解水平的考查

2015年的湖南卷强调了对数学思维严谨性的考查，在解答题中，特别强调了对“推理证明”能力的考查，在理数的六道解答题中，仅理18概率题没有明确提

出“证明”，其余五道题中都明确有“证明”的要求，在文数的六道解答题中，仅文20解析几何没有明确提出“证明”，其余五道题中都明确有“证明”或“说明理由”的要求。在理17三角函数题中，讨论SinA+SinC的取值范围时，需考虑角A 的取值范围，在文19数列题中，讨论a n +2与a n 的关系时，需考生特别注意a 3是否满足相应关系，在文20、理20函数综合题中，在x n ≤f (x n ) 中需考生对取等号的情形加以特别考虑。这些体现了考题在思维严谨性上对考生提出了较高的要求。

2016年全国卷试题则突出了对数学概念理解层次水平的考查，具有鲜明的特色。以理科卷为例，理2题对复数概念的考查，理3题对等差数到概念及前几项和的概念的考查，理5题对双曲线概念的考查，理13题对向量垂直概念的考查，理15题对等比数列概念的考查，理20题对椭圆概念的考查, 理21题对函数零点概念的考查。解答这些题，深刻理解相应概念是关键或是直接得分的重要手段。

试题解答强调通性通法的运用，试题不偏不怪（除文科立体几何题所给出的题图外）不强调特殊的解放技巧，这与2015年湖南卷的几道难题强调解题技巧形成鲜明的对照。

2．理科考生答题情况分析

2.1 考生整体成绩统计

对于人工评卷部分(包括填空题20分和解答题70分) ，考生的平均分、难度、0分率及满分率见表2.1. 其中选考题通过22,23,24题加权计算得出平均分.

表2.1 理科各题平均分、标准差、难度、0分及满分情况 (样本数200859)

2.2 理科填空题

2.2.1 得分情况:

13-16题满分20分，平均分11.19分，得分分布见表2.2。

表2.2 理科13-16题分值分布

2.2.2 试题分析

填空题共4小题，第1小题考察平面向量的坐标运算，第2小题考察二项式定理，第3小题主要考察算比数列、等差数列的通项公式与求和公式，第4小题是线性规则在实际问题中的应用，各小题都属于常规题型，是学生平时训练中常见的类型，与往年的命题相比较变化不大，难度略有降低，最后一个小题突出考察了考生运用数学知识解决实际问题的能力，是本次命题中的亮点和新意，从阅卷情况来看，考生完成并不理想，也体现了该题设置的必要性。

从整体上看, 填空题难度适中, 有较好的区分度. 2.2.3 考生失分主要原因

13题、14题运算中出现符号错误，14题部分考生把答案填在15题的位置上。15题部分考生不理解题意，处理等比数列问题的能力不强，16题处理大数据出错，导致结果数末尾多一个零或少一个零。

2.3 理科17题

2.3.1 得分情况

本题满分12分，平均分9.44分，得分分布见表2.3。

表2.3 理科17题分值分布

2.3.2 试题分析

本题考查了正余弦定理、两角和与差的正弦公式，诱导公式等，学生只要熟记这些公式基本上能做出来，所以本题难度不大。但本题对基础知识考查比较全面，要求学生系统掌握三角函数的基础知识及相应基本方法基本技能。

2.3.3 考生失分主要原因

第一问得满分居多，只有极个别学生不能得分。

第二问相对第一问得分较低，很多学生只能拿到4分，大部分学生对三角部分知识掌握较好，分析问题的能力较强，能够熟练应用正余弦定理合理解决问题。

主要失误分析：部分学生概念不清，相应公式记忆错，推理出错。如：

a b c ==直接将a 、b 用SinA 、SinB 替换，而C 不变；cos A cos B cos C

⎧a ∙b =6

等。部分学生运算能力不强，如对于⎨2不能求出正S i n (A +B ) =-S i n C 2

⎩a +b =13

确结果。

2.3.4 本题除“国标”之外的优秀解法

a 2+b 2-c 2a 2+c 2-b 2b 2+c 2-a 2

(a ∙+b ∙) =c （I ）法二：2∙

2ab 2ac 2bc ⇒a 2+b 2-c 2=ab 故CosC =

1π

。所以C =

a 2+c 2-b 2b 2+c 2-a 2

+b ∙) =c 法三：2cos C ∙(a ∙

2ac 2bc ⇒2C ∙cos C =C 故CosC =

1π

，所以C =

法四：利用射影定理c =a cos B +b cos A 后面同法三

a 2=b 2+c 2-2bc cos A

法五：两式相加2C 2=2c (a cos B +b cos A ) （以下同法

b 2=a 2+c 2-2ac cos B 四）

π133

（II ）法二：由已知得ab sin C =，又C =，所以ab =6 ①

322又 a 2+b 2-2ab cos C =7得a 2+b 2-C ∙b =7 ②

⎧a =2⎧a =3

联合①②解得⎨或⎨

b =3b =2⎩⎩所以周长为5+7

法三：如图，设∆ABC 的内切周心为O ，∆ABC 的周长为x ，

则CF =CD =又∠C =

x -2， 2

，所以∠OCF =

则r 内=CD ∙tan

3x -2 ∙

所以S ∆ABC =

113x -2723

x ∙r 内=∙x ∙∙=

22322

解得：x =5+7

2.4 理科18题

2.4.1 得分情况

本题满分12分，平均分6.29分，得分分布见表2.4。

表2.4 理科18题分值分布

2.4.2 试题分析

本题主要考查空间线面关系等基础知识，涉及到垂直关系的证明以及面面角的求法等知识点，同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力。问题求解思维开阔，解题方法多，是一道考查基础知识的同时，又注重考查学生空间思维能力与逻辑推理的好题。第（Ⅰ）问用传统几何方法论证，第（Ⅱ）问计算二面角的余弦值可用传统几何方法, 也可以用空间向量方法，只要空间直角坐标系选择适当，空间向量方法优于传统方法。

本题的难度系数为0.52, 有较好的区分度。 2.4.3 考生失分主要原因

考生基本能准确应用线线垂直、线面垂直、面面垂直的性质与判定，能利用定理进行合理的推理论证，能恰当地应用空间直角坐标系研究空间角。但也有部分考生对线线平行的性质与判定掌握不好，不能灵活运用，同时有部分考生表现

出问题分析能力较弱、数学语言表达不到位、计算能力欠缺等问题。

几种典型失误如下：

(1)基础不扎实, 没有理解和掌握直线与平面垂直的判定定理.

如:出现了“DF ⊥AF , DF ⊂平面EFDC ，得出AF ⊥平面EFDC ”的错误. 还有的直接摆出已知条件“四边形ABEF 为正方形，∠AFD =90︒”, 不加推理就得出结论:面CDFE ⊥底面ABEF ；

(2)逻辑混乱, 条理不清. 如，在第（I ）问的论证中，已知条件根本没有运用，而得出许多与问题有关的结论，即表现出没有“因为”、只有“所以”的推理过程；

(3) 推理论证目标不明确。

例如，第（I ）问的论证过程中，许多考生将题设中的所有条件可能得到的结论全部表述后，推导出与之相关的所有结果，从而不能实现题设结论的合理推理论证。还有学生由已知条件得出DF ⊥面ABEF 再的出面C DFE ⊥面ABEF

(4)错误地自造条件。

例如，题设条件是：“五面体………”，而许多考生直接由“五面体………”，直接得出CD ∥EF, 题设条件是“二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60”学生不证明直接得出∠DFE =60︒与∠CEF =60︒

(5) 错误或不恰当地建立空间直角坐标系。

例如，以A 为原点，AB 、AF 、AD 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系；以F 为原点，FA 、FE 、FD 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系等。

（6）不能以最佳方式建立空间直角坐标系，导致相关点的坐标表示全错误（如横纵坐标错位），使得后续平面法向量的计算复杂而出现错误。

（7）在没有通过论证的前提下，使用一些事实性结论。例如，设二面角C —EB —A 的大小为θ，直接应用公式cos θ=面角C —EB —A 的余弦值。

S ∆CBE

计算二S ∆ACB

︒

2.4.4除国标以外的一些解法:主要是第(2) 问法(一) 过C 作DG ⊥EF , 垂足为G , 由(1)

知, DG ⊥平面AB EF ，以G 为坐标原点, GF

的方向为x 轴正方向, CE 为单位长度, 建立

如图的直角坐标系, 由(1)知∠DFE 为二面角

D -AF -E 的平面角, 故∠DFE =60︒,

则DF =

1, CG =

311可得A (, 2, 0) , B (-, 2,0) , E (-

,0,0) , D ，由已

222知, AB ∥EF , 所以AB ∥平面EFDC , 又平面ABCD 平面EFDC =CD ，故AB ∥

CD , CD ∥EF , 由BE ∥AF , 可得B E ⊥平面E F D C , 所以∠C E F 为二面角

1C -B E -F 的平面角，故∠CEF =60，

从而可得C

所以EC =(，

2︒

3EB =(0,2,0)，AC =(-, -，AB =(-2,0,0) ，设n 是平面BCE 的法向量，

2 ⎧1 ⎧⎪n ⋅EC =0z =0⎪x +

则⎨ ，即⎨2，所以

可取n =(，-

⎪⎪2y =0⎩n ⋅EB =0

⎩

⎧⎪m ⋅AC =0

ABCD 设m 是平面的法向量，则⎨ ，同理

可取m =，

⎪⎩m ⋅AB =0

n ⋅m 则cos ==，故二面角E -BC -

A 的余弦值为.

n ⋅m

法(二) 易知∠DFE =60 ，如图建系

则E(0,2,0)，B(2,2,0) ，A(2,0,0)，因为面ABCD 交面EFDC 于CD ，故AB //CD ，CD //EF ，由

BE //AF 可得BE ⊥面EFDC ，所

以∠CEF =60 ，

331

故C(0,

所以EC=(0,-AC =(-2, ， AB =(0,2,0)

222

⎧⎪n 1⋅EC =0

设面EBC 的法向量为n 1=(x 1, y 1, z 1) ，则⎨ ，

⎪⎩n 1⋅EB =0

⎧1 z 1=0⎪-y 1+

所以⎨2，所以n 1= ⎪2x =0⎩

⎧⎪n 2⋅AC =0

设面BCA 的法向量为n 2=(x 2, y 2, z 2) ，则⎨ ，同理可得n 2=

⎪⎩n 2⋅AB =0

n 1⋅n 2所以cos =

，所以两个平面所成角的余弦为 =

n 1⋅n 2法（三）

过DC 中点G 作HG ⊥EF ，垂足为H ，由(1)知， DH ⊥平面AB EF 以

H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴正方

向，建立如图的直角坐标系，由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE =60︒，则DF =

2，

HG =A (2,4,0)，B (-2, 4,0) ，E (-

2,0,0) ，D 由已知，AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC ，又平面ABCD 平面EFDC =CD 。故AB ∥CD ，CD ∥

EF ，由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的

平面角，故∠CEF =60，从而可

得C (-1。所

以EC =(1, 3，)

︒

EB =(0,4,0)，

AC =(-3, -， AB =(-4,0,0) ，设n 是平面BCE 的法向量，

⎧⎧⎪x =0⎪n ⋅EC =0则⎨ ，即⎨，

4y =0⎪⎪⎩⎩n ⋅EB =0

⎧⎪m ⋅AC =0

所以

可取n =(3,0,，设m 是平面ABCD 的法向量，则⎨ ，

⎪⎩m ⋅AB =0

同理

可取m =，---10分

n ⋅m 则cos ==-，故二面角E -BC -

A 的余弦值为-.

1919n ⋅m

解法（四）由题意，知∠DFE =60 , 又AB //EF ，故AB //面EFDC ，

又面ABCD EFDC =CD ，故AB //CD ，CD //EF ，由BE //AF ，所以

BE ⊥面E FDC ，故∠CEF 是二面角C -BE -F 的平面角，所以∠CEF =60 。令

AB =2，则DF =EC =

1，AE =RT CEB 中, 过点E 作EG ⊥BC 于G 点，

则EG =

EB ⨯EC =GC =

BC 等腰梯形ABCD 中，AB =2, CD =

1，AD =BC =过A 作AH ⊥BC 于点

H ，

则AH =则GH =因为AE =AH +HG +GE ， HB =

由BC ，

2 2 2 2 2

所以AE =(AH +HG +GE ) =AH +HG +GE +2AH ⋅HG +2AH ⋅GE +2HG ⋅GE

954520所以8=，+++2⨯cos 得cos =

252525180

+) θ=记二面角为θ

，则c o s (所以cos θ=E -BC -

的余弦值为-。

2.5 理科19题

2.5.1 得分情况

本题满分12分，平均分4.18分，得分分布见表2.5。

表2.5 理科19题分值分布

2.5.2 试题分析

本题具体考查统计与概率的知识，体现了用频率来估计概率的基本思想，考查了概率的加法公式和乘法公式，随机变量的分布列和数学期望值的计算等知识；

本题体现了高考的选拔功能，注意理解能力、逻辑推理能力的考查，对思维的严密性、严格推理能力提出了要求，同时对学生的计算能力也有相应的要求；

本题重视实际应用能力的考查，对日常生活语言、情景考查提出了要求，贯彻了新课标的学习理念：体现了数学来源实际，又为实际生活服务。兼顾了学生未来学习与发展的需要； 2.5.3 考生失分主要原因

从考生答题情况分析，我们认为：考生从实际问题中提取信息的能力不强，不能正确理解题意；数学建模能力薄弱，将实际问题转化为数学模型需要加强；对基本概念和公式掌握较为呆板，达不到灵活运用的层次；数学思维的能力，数学的计算能力，书写表达能力，答题的规范性都有待进一步提高。

解题过程中，考生的典型失误主要体现在以下几个方面：

（1）不能正确审题，理解题意；如第一问变量X 的取值，有很多的同学答题时都当成了一台机器需要的零件数；

（2）基本概念和公式掌握不到位；如在进行概率计算时，不能正确写出各个概率的表达式，不能正确理解P (X ≤n ) 的含义。

（3）数学建模能力不强，生搬硬套；如：用古典概型或超几何分布的公式来进行本题的概率计算，第三小问中通过计算X 的均值来估计n 的取值等；

（4）计算能力薄弱，计算过程中错误百出；本题的第一小问求概率，第三小问的两个期望值计算整体都不理想，有部分同学写出了准确的算式，却不能正确求出结果；

（5）解题习惯欠佳，答题不规范；相当多的试卷卷面不整洁，字迹潦草不清，结构杂乱无章，笔误较多。

（6）典型错误

第三问，用EX =18. 8来判断应选择哪种购买方式；

第三问，直接计算购买零件的期望值为3760，而n =19时费用为3800，更接近3760，从而选择19个

2.5.4 本题除“国标”之外的优秀解法

本题分三小问，第一、二小问解法较为单一，与国标解法大同小异；第三问的解法除国标解法外，有以下几种情况：

【解析】（I ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需要更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0. 2, 0. 4, 0. 2, 0. 2. 变量X 的可能取值为

16, 17, 18, 19, 20, 21, 22.

从而

P (X =16) =0. 2⨯0. 2=0. 04;

1P (X =17) =C 2⨯0. 2⨯0. 4=0. 16;

1P (X =18) =C 2⨯0. 2⨯0. 2+0. 4⨯0. 4=0. 24; 11P (X =19) =C 2⨯0. 2⨯0. 4+C 2⨯0. 2⨯0. 2=0. 24; 1P (X =20) =0. 2⨯0. 2+C 2⨯0. 4⨯0. 2=0. 20; 1P (X =21) =C 2⨯0. 2⨯0. 2=0. 08;

P (X =22) =0. 2⨯0. 2=0. 04;

所以X 的分布列表为

（II ）由（I ）知，P (X ≤18) =0. 44, P (X ≤19) =0. 68，故n 的最小值为19. （III ）解法一：

记Y 表示两台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当n =19时，

EY =19⨯200⨯0. 68+(19⨯200+500) ⨯0. 2+(19⨯200+2⨯500) ⨯0. 08+(19⨯200+3⨯500) ⨯0. 04

=2584+860+384+212

=4040.

当n =20时，

EY =20⨯200⨯0. 88+(20⨯200+500) ⨯0. 08+(20⨯200+2⨯500) ⨯0. 04

=3520+360+200

=4080.

可知当n =19时所需费用的期望值小于n =20所需费用的期望值，故应选n =19. 解法二：

记Y 表示两台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当n =19时，

EY =19⨯200⨯0. 68+(19⨯200+500) ⨯0. 2+(19⨯200+2⨯500) ⨯0. 08+(19⨯200+3⨯500) ⨯0. 04

即有：

EY =19⨯200⨯1+500⨯0. 2+2⨯500⨯0. 08+3⨯500⨯0. 04

=3800+100+80+60

=4040.

当n =20时，

EY =20⨯200⨯0. 88+(20⨯200+500) ⨯0. 08+(20⨯200+2⨯500) ⨯0. 04

即有：EY =20⨯200⨯1+500⨯0. 08+2⨯500⨯0. 04

=4000+40+40

=4080.

可知当n =19时所需费用的期望值小于n =20所需费用的期望值，故应选n =19. 解法三：

记Y 表示两台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 所以当n =19时，Y 的分布列表为

EY =

3800⨯0. 68+4300⨯0. 2+4800⨯0. 08+5300⨯0. 04=4040. 当n =20时， EY =4000⨯0. 88+4500⨯0. 08+5000⨯0. 04=4080

可知当n =19时所需费用的期望值小于n =20所需费用的期望值，故应选n =19. 解法四：

记Y 表示易损零件不足时还需要购买的零件个数，Z 表示两台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 所以当n =19时，Y 的分布列表为

EY =0. 2+0. 16+0. 12=0. 48 Z =19⨯200+

500⨯0. 48=4040.

当n =20时，

EY =1⨯0. 08+2⨯0. 04=0. 16

Z =20⨯200+500⨯0. 16=4080，

可知当n =19时所需费用的期望值小于n =20所需费用的期望值，故应选n =19.

2.6 理科20题

2.6.1 得分情况

本题满分12分，平均分1.64分，得分分布见表2.6。

表2.6 理科20题分值分布

2.6.2 试题分析

该题为解析几何压轴题，考查了直线方程、圆方程、椭圆方程、弦长问题面积的取值范围问题。第一问涉及动点轨迹方程的求法，第二问涉及变量的取值范围的求法。着力点为直线和同锥曲线的位置关系，考查的是分类讨论的思想、数形结合的思想和函数的思想，命题平实却不平凡，对基础较好，做题速度较快的学生没有太大的难度，具有很好的选拔功能。69%的学生得分在1分（含1分）

以下，整体得分不高的的一个重要原因是考生做到此题时时间严重不足，而本题计算量较大，很多中等程度学生在匆忙中第一问都没做好，没算对。会而不对，对而不全现象普遍存在。 2.6.3 考生失分主要原因

（1）考试时间不够，相当一部分考生没做或没做完；

（2）审题失误：如考生没能准确给出示意图，没注意到直线L 不与X 轴重合；第二问中错看成PQ 为直线和椭圆相交时的弦长等。

（3）计算失误：计算弦长错误特别多，基本运算不过关，第1) 问计算椭圆中a 、b 、c 出错，第2) 问计算弦长求函数值域出错。

（4）书写不规范：必要的推理过程不完整，必要的讨论缺失或不全面。（5）转化问题能力弱：第1) 问部分考生没有抓住等腰三角形的性质，所选方法费时费力，第2) 问中求弦长，PQ 没有充分运用勾股定理，解题方法选择不当。

2.7 理科21题

2.7.1 得分情况

本题满分12分，平均分0.71分，得分分布见表2.7。

表2.7 理科21题分值分布

2.7.2 试题分析

2016年全国卷21题给人温和亲切感，起点不高，难度也不是很大，考生面对试题不会立即排斥放弃，大多考生都会尝试去动笔，这是与2015年湖南卷21题的最大区别。反映至全国卷重视考生参与，给考生自信与鼓励，而且这种由易到难，由浅入深的考察方式，并没有缺失对考生思维品质的考察，思维能力强的考生同样能脱颖而出。 2.7.3 考生失分主要原因

1) 、公式记忆错误，如对函数f (x ) =(x -2) e x +a (x -1) 2的求导，以及对参数

(x -2) e x

a 分离后构造的函数f (x ) =-求导，有相当一部分考生求导错误，导致2

(x -1) 做法不对。

2) 、考虑问题不全面，如对f ' (x ) =(x -1)(e x +2a ) 分析时，漏掉a =0情形，

(x -2) e x

以及分离参数a =-时，漏掉x =1情形，反映出思维严谨性不够。 2

(x -1)

3) 、以图代证，关键得分点论证缺失。

例如（I ）问中a >0和a 0，

f (2) =a >0。

4) 、运算能力不强，计算能力不过关

例如把x =ln(-2a ) 写成x =ln 2a ，丢掉负号等。 5) 、方法掌握不牢

如（I ）问中分类讨论思想，有很大一部分考生面对已知函数

f (x ) =(x -2) e x +a (x -1) 2求导后，不能合理对参数a 进行有效讨论。

6) 、思维品质欠佳

例如数学中的观察能力、化归能力、分析能力所需要的思维品质——灵活性、敏捷性、深刻性，考生普遍缺失，例如（I ）问中对a =0情形分析，只需简单分析观察已知函数f (x ) =(x -2) e x +a (x -1) 2，得到其零点个数，压根不需通过求导判断。

（I ）问中a

f (x )

2.8 理科22题

2.8.1 得分情况

本题满分10分，平均分3.32分，得分分布见表2.8。

表2.8 理科22题分值分布

2.8.2 试题分析

第22题是平面几何选做题。第（1）问主要考查等腰三解形、直角三角形与圆的切线；第（2）问主要考查四点共圆，垂径定理与平行关系的证明，难度相对较大。总体而言，选做此题的考生基本上都能动笔，是本题的一个特点。 2.8.3 考生失分主要原因

1）证明思路方面存在的问题

（1）很多考生在证明第（1）问时，把线段AB 的中点直接看作AB 与圆O 的交点，没有通过含30°角的Rt ∆的边长关系给出证明。

（2）要证明直线AB 与圆O 相切，需得出∆AOB 的中线OE ⊥AB ，且

OE =OA =r ，很多考生只证明了其中一个条件。

（3）考生对“垂径分弦”及“弦的中垂线必过圆心”结论掌握不熟练，导致不能找到解决第（2）问的突破口，导致第（2）问的得分很低。

2）证明过程中逻辑推理方面存在的问题：

（1）“因为”与“所以”之间的因果逻辑不显然，甚至不成立，如：因为AE ⊥AB ，所以∠AOE=60°。

（2）很多考生在第（2）问中出现循环论证，用结论来证明结论成立，主要体现在用圆内接四边形对角互补，再用同旁内角互补来证明平行。

3）证明语言的表达与书写方面的问题

（1）三角形“全等”与“相似”的符号不能正确使用，∆AOE=∆BOE ；AOE=BOE=60°；EF ⊥AB ⊥CD 。

（2）作辅助线时，不用语言描述作法，重复使用同一字母标注点。（3）作法描述不规范：如连接OE ⊥AB 于点E ；连接AB 中点于圆O ；延长O 点至AB 的中点等。

2.8.4 本题除“国标”之外的优秀解法

法一：（反论法）假设AB 与CD 不平行，则AB 、CD 的中线垂线交于点O 。由圆的性质，弦的中垂线必过圆心，可得过A 、B 、C 、D 的圆的圆心是点O ，又OA=2OD，得出矛盾，故AB ∥CD 成立。

法二：（解析法）以O 点为原点，过点O 且与AB 平行的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设圆O 的半径为r ，则圆O 方程为：x 2+y 2=r 2„„ ①

又由于A 、B 、C 、D 四点艺圆，由此圆圆心必在y 轴上，设M 为（O 、b ）其中b ≠0。则圆M 方程可设为x 2+(y -b ) 2=R 2„„②

所以CD 为圆O 与圆M 的公共弦，由①-②得：

b 2+r 2-R 2

„„③ 2by =b +r -R 即y =

所以C 、D 两点的纵坐标相同，故AB ∥CD 。

法三（反证法）假设CD 与AB 不平行，没CD 与AB 交于点F ，则

FE 2=FC ∙FD „„①

因为A 、B 、C 、D 四点共圆。

所以FC ·FD=FA·FB=(FE-AE)(FE+BE) 又因为AE=BE

所以FC ·FD=(FE-AE)（FE+BE）=FE2-AE 2„„②

由①②可知矛盾，所以假设不成立，故AB ∥CD 。

F A E

法四：（同一法）由（1）知OE ⊥AB ，设D 关于直线OE 的对称点为D′，则D′必在圆O 上。

所以OE 为线段AB 与线段D D′的中垂线。所以A 、B 、D 、D′四点共圆。又因为A 、B 、C 、D 四点共圆。所以点A 、B 、D 、D′在同一圆上。所以该圆与圆O 有三个公共点C 、D 、D′。所以点C 、D′重合，即CD ⊥OE 。所以AB ∥CD 。

2.9 理科23题

2.9.1 得分情况

本题满分10分，平均分6.86分，得分分布见表2.9。

表2.9 理科23题分值分布

2.9.2 试题分析

本题主要考查的知识点是参数方程与极坐标，以及三者之间的相互转化，考生选择此题的比例较大，基本上都能得到部分分数，对此题涉及到的知识点和考点方向感较强，并且方法灵活多样，计算也不复杂。大部分同学对于第一问参数方程化成普通方程掌握较好，少数同学由于对公式记忆不准确和计算能力欠佳，不会转化或者化错。第二问主要是两种解题思路，一种是极坐标法，一种是普通方程法，前者较容易，但学生用此法的较少，后者选用的较多，但是解答过程不够完善，忘记检验。总之，此题的总体难度一般，有一定的区分度。 2.9.3 考生失分主要原因

（1）概念理解不清：

例如：①对圆的标准方程与椭圆标准方程理解不清，有考生把方程写成

x 2(y -1) 2

+=1直接判断成椭圆； 22a a

②对圆的参数方程与直线的参数方程理解不清，把C 1的参数方程

⎧x =a cos t

（t 为参数）误记成过定点(0,1)的直线方程； ⎨

y =1+a sin t ⎩

（2）公式记忆错误：

例如：x 2+(y -1) 2=a 2转化为极坐标方程时误记成x =ρsin θ, y =ρcos θ，从而把极坐标方程写成了ρ2-2ρcos θ+1=a 2；

（3）运算能力不强：

例如：①x 2+(y -1) 2=a 2转化为极坐标方程时写成了ρ2+2ρsin θ+1=a 2和

ρ2+2ρsin θ-1=a 2，以及半径a

②极坐标方程(ρc o θs 2+)

在化简的过程中写成了ρ(s θ-i n 2=a 1)

ρc o 2s θ+ρs 2i n θ-ρ2s +θi n a = 21

（4）思维品质欠佳：

例如：①利用国标解法时，对ρ=0没有进行检验以及利用C 2，C 3的交点在

C 1上，均只代入一个交点坐标就得出结果；

②有学生利用相交弦的方法来处理时，直接表示成C 1-C 2=C 3得出结果，即

4x -2y +1-a 2=2x -y 从而得到a 2=1。 2.9.4 本题除“国标”之外的优秀解法

解法一：由（1）知C 1的普通方程为x 2+(y -1) 2=a 2 …………………① 由C 2的极坐标方程可得其直角坐标方程为x 2+y 2-4x =0………………② ①-②可得公共弦所在直线方程为

1-a 24x -2y +1-a =0⇔2x -y +=0

由题意可得C 3的直角坐标方程为2x -y =0 因为C 1，C 2的公共点都在C 3上

1-a 2

=0，解得a =-1（舍去）所以，a =1 2

经检验，当a =1时，C 1与C 2相交

解法二：由C 2的极坐标方程可得其直角坐标方程为x 2+y 2-4x =0 ① 由题意可得C 3的直角坐标方程为2x -y =0 ②

联立①②可得其交点坐标为(0,0)和(, )

因为C 1，C 2的公共点都在C 3上，即(0,0)和(, ) 为C 1，C 2，C 3的公共点

所以把(0,0)和(, ) 分别代入C 1： x 2+(y -1) 2=a 2中

均可得a 2=1，解得a =-1（舍去），a =1

解法三：由C 2的极坐标方程可得其直角坐标方程为x 2+y 2-4x =0 由题意可得C 3的直角坐标方程为2x -y =0

因为C 1，C 2的公共点都在C 3上，设C 1，C 2，C 3的公共点坐标为(x 0,2x 0)

222⎧⎪x 0+(2x 0-1) =a

把(x 0,2x 0) 代入C 1，C 2中可得⎨2 2

⎪⎩x 0+4x 0-4x 0=0

计算可得a 2=1，解得a =-1（舍去），a =1

2.10 理科24题

2.10.1 得分情况

本题满分10分，平均分6.72分，得分分布见表2.10。

表2.10 理科24题分值分布

2.10.2 试题分析

本题是“三选一”，不等式选讲专题. 主要考查（1）分段函数（含绝对值）图像画法；（2）含绝对值不等式解法。

（3）分美讨论，数形结合和转化与化归思想。 2.10.3 考生失分主要原因

选做本题理科考生总人数56468人。只要选做本题的考生基本上能动笔，难度较易。相当部分的考生能准确画出函数的图像，能很好把握本题函数的图像特点，利用图像解决本题的第二小问的不等式问题，能抓住关键点。但还有大部分的考生出现的问题也是层出不穷。

常见的典型失误有：在第一小问中（1）关键点（

35，），相当部分考生画在点（2，2） 22

（2）不会去绝对值化成分段函数，从而导致所画的图像千奇百怪。（例如有的考生直接取点x =1，y =1；x =2，y =2；x =3，y =1„„来做题）

（3）画图不规范，如直线画成曲线

在第二小问中, (1)|f (x ) |>1解成-|f (x ) |

（2）不会借助函数图像，数形结合求解不等式，能利用图像的又有部分考生求不出或求不全x 的四个值，求正确了，又不会取范围。（例如，取成3

( 3）因为第1问的图像不对，导自第二问的解出错; 有部分考生分区间讨论解不等式、讨论不全，思维不严谨，（如解|f (x ) |>1）的解集，直接求f (x ) >1的解集;

（4）计算能力不强，导致错误层出不穷。 2.10.4 本题除“国标”之外的优秀解法

方法一：由y =f (x ) 的图像作出y =|f (x ) |的图像

当|f (x ) |=1可得x =1或x =3或x =或x =5

由图像可得|f (x ) |>1的解集为(-∞, ) (1, 3) (5, +∞)

方法二，由不等|f (x ) |>1可得

⎧x ≤-1(1)⎨得x ≤-1 ｜x -4｜>1⎩

3⎧-1

-1

32⎪⎩|3x -2|>13⎧

3⎪x >

(3)⎨得5 2

2⎪|-x +4|>1⎩

得|f (x ) |>1的解集为(-∞, ) (1, 3) (5, +∞)

3 文科考生答题情况分析

3.1 考生整体成绩统计

对于人工评卷部分(包括填空题20分和解答题70分) ，考生的平均分、标准差、难度、0分率及满分率见表3.1。其中选考题通过22,23,24题加权计算得出平均分.

表3.1 文科各题平均分、标准差、难度、0分及满分情况 (样本数 127431)

3.2 文科填空题

3.2.1 得分情况

13-16题满分20分，平均分5.78分，得分分布见表3.2。

表3.2 文科13-16题分值分布

3.2.2 试题分析

与湖南卷比较，填空题单一，答案简单，好入手，无难题。

第13题考查向量垂直的坐标表示，这个知识点要求考生正确理解公式

x 1x 2+y 1y 2=0的应用，是容易题，区分度低。

第14题考查诱导公式，同角三角函数关系式，需要考生能利用公式、准确运算，或借助θ+

与θ-

的差为

这个关系求解。 2

第15题考查直线与圆的位置关系，可用代数法与几何法求解，主要检验学生的数形结合思想及基本的代数运算能力。

第16题的关键在于能否运用线性规划知识，设产品A 、B 分别为x 、y 件，利润之和为z ，列出约束条件

⎧1. 5x +0. 5y ≤150⎪x +0. 3y ≤90⎪⎪

⎨5x +3y ≤600目标函数 ⎪x ≥0⎪⎪⎩y ≥0

为z =2100x +900y ，求解问题因此而解决。 3.2.3 考生失分主要原因

考生在13题（向量数量积及坐标运算）做得较好，得分较高，而16题为高科技产品利润，考查了线性规划的应用得分率低。在第14题中，部分学生不能正确建立θ+

与θ-

的联系，从而失分，第16题由于文字性的叙述较长，纵

横关系稍显复杂，导致考生不能理清思路，不能抓住关键信息，算不出答案。

部分学生书写不规范，π号写成了n 、a;3写得很像2.

3.3 文科17题

3.3.1 得分情况

本题满分12分，平均分6.77分，得分分布见表3.3。

表3.3 文科17题分值分布

3.3.2 试题分析

本题主要考查数列的基本定义，特别是等差数列，等比数列的通项公式，前n 项和公式，属于基础题。

今年全国卷数列题具有典型的特点，主要体现对公式的基本运用，以往湖南卷数列题属于中档题，主要考查裂项相消，分组求和，错位相减求和以及数列不等式，对考生要求较高。 3.3.3 考生失分主要原因

大部分考生能够掌握等差，等比数列的基本概念，通项、首项、公差、公比，

b 1(1-q n ) 前n 项和等基本知识点，能够完整表达出a n =a 1+(n -1) d ，的形式，s n =

1-q 求出其中关键数据a 1及q 。

部分考生概念混淆不清，特别是（1）由已知a n b n +1+b n +1=nb n 得出变形

b n +1b 1n n n

，就得出{b n }以为公比的等比数列，直接==2=得

b n a n +1a n +1a n +1b 13

。 a n =3n -1（此结论正确）

（2）b 1=1，b 2=故{b n }为q =的等比数列

111

a n ∙() n +() n =n ∙() n -1得a n =3n -1再由（I ）进一步得（II ）结论

333

a 1(1-q n ) b 1(1-q n ) （3）习惯性将公式S n =写成S n =

1-q 1-q b 1(1-q n -1) b (1-q n )

（4）将S n =记成S n =

1-q 1-q

（5）将n =1代入a n b n +1+b n +1=nb n 得a 1=c (c ≠2) 错误，正确结论a 1=2，但是后面改变结论，即发现了a 1=2的正确结论，但是没有回头将c =2改过来。

（6）（I ）中a n =3n -1算错了，代入（II ）中得出

b n +1n

c ≠0，但是=

b n 3n +c

直接设{b n }是以q =为公比的等比数列（猜想），但实际上得不到该结论。

3.4 文科18题

3.4.1 得分情况

本题满分12分，平均分0.99分，得分分布见表3.4。

表3.4 文科18题分值分布

3.4.2 试题分析

文科第18题是一个以锥体为背景，考查重点关系，由线面垂直性质PD ⊥面ABC ⇒AB ⊥PD ，DE ⊥面PAB ⇒AB ⊥DE ，导出线线垂直，又由线线垂直，根据线面垂直判定，推出AB ⊥面PED 再进一步得出AB ⊥PG ，最后由等腰三角形PAB 三线合一得出，G 为AB 中点，第一问主要考查基础知识和考生分析推理能力，更多的是在知识层面立意，第二问作图与证明，形式上考查考生动手作图能力，更注重性质转化及分析能力，考生要指出面CAP ⊥面BAP 这个概念前提下

才能定好F 点位置，在两个平面BAP 与CAP 交线上，又注意到BP ⊥面CAP ，EF ∥BP ，具备这两个条件，问题就迎刃而解了，第三问，考生若联系到第2问，找出三棱锥P-DEF 的高为DF ，先定好高，问题就容易解决了。 3.4.3 考生失分主要原因

（1）概念理解不清，如证明（1）时出现PC ⊥PG ，DE ⊥PG ⇒PC ∥DE 的结论。

（2）循环论证：题目中要证明G 为AB 中点，用C 、D 、G 三点共线，证明AB 为中点G 。

（3）公式记忆不牢VD -PFE =S ∆PFE ∙DE ，某些考生要么丢了，要么丢

331

了。 2

（4）运算能力不强，求四面体PDEF 体积时，有些考生每条棱长计算对了，但最后运算体积时结果错了，有些考生将DE 算成22等出现不该出现的错误。

（5）思维品质欠佳，第2问找F 位置时，由于考生不能分析得出，面BAP ⊥面CAP ，故不能发现F 点在面BAP 与面CAP 交线点，或求DPFE 体积时，将高求错等。

3.4.4 除“国标”外的优秀解法

在文科答题中，第18题也出现了“图标”外的优秀解法在此例举两例。如1，将三校锥置于整体背景之下，即补体法，能化繁为简，优化思维简化了计算。（1）如图三校锥P-ABC 为正方体PBHC-AQMN 的一个角，由等积公式

有V p -ABC =V A -PBC ⇒PD =则D 为体对解线PM 的一个三等分点

因为M 在侧面PAQB 投影为PQ ，即D 在平面PAQB 内投影E 在PQ 上，故G 点为PQ 与AB 交点，所以G 为AB 中点。

（2）作EF ∥AQ 交PA 于F ，则EF ∥PB 。所以PB ⊥面 PAC 。所以EF ⊥面PAC ，即点F 为E 在面PAC 内正投影，由（1）知E 为PQ 三等分点，D 为PM

111

三等分点，DE ∥MQ ，EF ∥AQ ，且EF=AQ ，S ∆PEF=S ∆PAQ ，又DG=GC 。

333

V D -PEF =

11134, V C -APG =⨯⨯6⨯6⨯6= 2727323

如2：将图形倒置过来

第2问BP ⊥PA ，BP ⊥PC 所以PB ⊥面PAC

所以P 为点B 在平面PAC 上正投影过点E 作PB 平行线交PA 于点F 。所以EF ⊥面PAC ，即点F 为E 在面PAC 内正投影 D 为三角形ABC 中心，所以GD ：GC=1：3 又DE ⊥面PAB ，PC ⊥面PAB 故DE ∥PC DE ：PC=GE：GP=1：3又PC=6故DE=2

又EF ∥PB ，故EF=PB=2

在等腰直角三角形PFE 中，可得S ∆PEF=2 又DE ⊥面PAB ，故三校锥D-PFE 高为DE

所以四面体PDEF 体积V =V D -PFE =⨯2⨯2=。

3.5 文科19题

3.5.1 得分情况

本题满分12分，平均分1.95分，得分分布见表3.5。

表3.5 文科19题分值分布

3.5.2 试题分析

本题是一道函数和统计知识交汇的综合应用题、考察的知识点是分段函数的求法，频数和频率的联系，利用分段函数条件求样本数据的平均数，并利用平均数分析优化决策的问题，考察了学生理解题意、分析柱状图的数据特征，考察学生的观察能力和思维能力，要求学生从样本频数分布条形图中抽象出分段函数关系，利用所得函数解析式求值分析决策的能力，也考察了考生利用统计学知识对样本数据科学分析处理问题的能力。能考察考生数学建模（函数模型）的思想；难易程度对文科考生是中等难度题，区分度好，可信度高，有助于选拔人才，选拔的有效度高，需要思维品质好，数学底蕴扎实，解题能力强的考生才做得到满分，试题考察了适当的知识深度和广度，是一道好的文科数学选拔题。

就本题而言，全国卷在考察统计概率知识点时，出题注重和其它知识（如函数）的交汇综合，考察时有适当的深度和广度，出题特别注重以解决实际问题为背景，考察考生的读题能力，分析和读图的能力，处理数据的能力，理解和解决实际问题的能力，在本卷中是中难题。

而以往湖南卷的概率统计题考察知识点比较单一，对考生而言是易做的基础题，属考生的保底得分题。

3.5.3 考生失分主要原因

（1）许多考生没有理解题意，不能按题意和条件做题，对题中柱状图所提供的数字特征不能准确把握，将实际问题转化成数学问题的能力欠缺，不能很好地利用条件中的特征值n 19作为分段条件的分界点，写出了分段函数解析式、理解问题，用数学知识分析问题和解决问题的能力还不够。

（2）许多考生对统计样本中的中位数、平均数、众数、频数的关系与作用分辨不清，解题思路不中题意，错误形式多种多样，列式和计算能力缺乏，对结果不能正确分析和优化。

（3）大部分考生不能完整解题得分不多；但也有少部分考生基本功扎实，求新思维灵活，对新题能理解题意，准确把握条件，用所学知识解决实际问题，解题能力强得了满分。

（4）少部分考生可能是读不懂题意，找不出解题方法，思维不活跃，缺乏对知识的联想能力，没有动笔或下笔离题，得零分。

（5）部分考生没有认真分析所给条件n =19在统计样本中的意义（n =19实际上是是这组数据中的一个众数），不能依题意正确简便的写出函数解析式，对分段函数的分段条件把握不清，没有写对分段条件，解题欠规范。

（6）部分考生对样本中频数和频率的关系理解不到位，因而求不准n 的最小值，对数学答号语言的运用和书写不规范，表示不清。

（7）部分考生不能准确利用条件和分段情况正确写出所求平均数的表达式，有的考生运算能力欠缺，结果算不准，也有考生不按要求不扣题，误求本题的方差。

3.5.4 除“国标”外的优秀解法

（1）求分段函数解析式时，有的考生先用分段函数的一般形式⎧200n , (x ≤n ) 表示，再将条件值n =19代入上式化简解析式，得y =⎨⎩200n +500(x -n ), (x >n )

n , (x ≤19) ⎧3800 y =⎨⎩3800+500(x -19), (x >19)

（2）求n 的最小值时，有的考生分析样本中的中位数，用一组数据从小到大排列到中位数时累计所对应频率恰好是0.5，再观察中位数落在哪一组，从而确定n 的最小值为19；有的考生直接利用样本中频数和频率的关系，100个数据中频数数到50时，所对频率是0.50，从而确定n 的最小值为19，也有考生逐但算频率后累加分析的，从而求出n 的最小值，都是较好的方法。

（3）本题第3问是求平均数后进行优化分析决策的，有的考生也列出了和国标不同的式子，但结果是正确的，只是式子的意义不易理解，可能不是最简便的算法。

3.6 文科20题

3.6.1 得分情况

本题满分12分，平均分1.1分，得分分布见表3.6。

表3.6 文科20题分值分布

3.6.2 试题分析

本题考查的知识及能力要求：

1）、本题为直线与抛物线的位置关系综合题，第一问主要考查了抛物线的概念及性质、中点坐标性质、直线方程、二元二次方程组的解法；第二问主要考查了直线与抛物线的位置关系及存在性问题探究。

2）、要求学生能根据题目文字表达充分理解题意，明白出题者的意图。

3）、本题为全字母运算，对学生计算能力要求比较高，同时要求学生在计算中要细心严谨。

4）、要求学生根据已知条件写出直线方程相当熟悉，对联立方程组消元，解一元二次方程相当熟练。

本题与以往湖南卷考题的对比：

1）、在湖南前几年高考中，圆锥曲线内容一般都是主要考椭圆，因此很多老师和学生都认为抛物线内容很简单而忽略了对抛物线的复习，从而相当部分学生对抛物线的性质不熟悉。

2）、在以往高考中，圆锥曲线第一问一般是根据条件直接求圆锥曲线的方程，而本次考试中却全为字母运算，让很多学生不知所从。

3）、本题难度不是很大，考查知识也就是抛物线的概念和性质，直线方程，中点坐标等基本知识点。但因本次出题出乎了很多学生的意料，从而让很多学生直接选择放弃。即使学生选择来做，也有相当多的学生落入了以往的定势思维误区。

4）、学生的计算能力本就欠缺，而本题为全字母的计算，加大了计算难度，进一步降低了本题的得分。

3.6.3 考生失分主要原因

在考生的答题中，存在学生表达书写不规范、逻辑思维混乱。如叙述文字欠缺，表达不完整，不知哪些该表达，又该如何表达；演算过程中详、略把握不当；很多学生没有调用已知就直接跳跃式写出一些结论，如第一问中，应由条件先写出M 点坐标，再由抛物线的性质得到P 点坐标，从而可根据对称点的性质得到N 点的坐标。再得到直线ON 方程，根据直线与抛物线的性质求出交点H 的坐标，最后得到|OH |的值。①、很多学生没有读懂题意的条件下，就根据以往的定势|ON |

性思维直接设点M 、 P、N 的坐标，然后又回头来求未知数，甚至不求就直接用所设的未知数进行计算，从而很简单的问题被复杂化了。②、相当部分学生直接无理由就得到了点N 坐标，后面又反过头来求点P 、M 的坐标。③、学生理解P 、M 、N 三点之间的关系出错（很多学生把P 点当作了中点），从而N 点的坐标出错，导致后面的解题过程中虽然思想方法完全正确，但全都是无用功，浪费了时间却得不到分。学生在求直线ON 的方程时，写法多种多样，却没有化成最简形式，在与抛物线方程联立方程组时从而求解出错。或省略消元得到一元二次方程步骤相接得出结果，但结果却又出错。⑤、在求|OH |的值时大部分同学是直接用距|ON |

离公式求出距离来进行运算，一部分学生忘记开平方而出错，还有部分学生的观察分析能力欠缺，从而不知约分得不到数值2。在第二问中，相当部分学生没有去画图分析，或者抛物线的性质不熟悉，错误理解题意，就直接根据以往解题的习惯性思维认为一定会存在一点，进而假设存在另一个交点设出坐标进行计算。本来计算过程完全正确，但最后却得出错误的结论。

在本题中因全部是字母进行计算，这对学生的计算能力要求比较高，有一部分学生会望而止步；还有一部分学生思路完全正确，但在第开始求H 点坐标时计算出错，导致后面全错。

3.7 文科21题

3.7.1 得分情况

本题满分12分，平均分1.15分，得分分布见下表表3.7。

表3.7 文科21题分值分布

3.7.2 试题分析

考查导数，导数乘法公式，基本初等孙数的导权公式，利用导数研究函数的单调性；考查能力，综合分析问题，分类讨证解决问题能力；难易程度：难。区分度：除顶尖学生外，对大部分学生区分度不太高。

2016年的全国卷与2015年的湖南卷相比较，总体上，难度加大，特别是今年的考题虽然注重了基础，但是起点还是偏高。对于中等基础但综合分析能力一般的学生，得分偏低，会让这部分学生害怕数学。

3.7.3 考生失分主要原因

本题是文科第21题，是全卷中难度最大的的大题。

（1）第1问讨论函数f (x ) =(x -2) e x +a (x -1) 2的单调性，首先考查学生基本初等函数的导数公式，导数乘法公式及复合函数求导（也可展开完全平方，再用幂函数的导数）。从阅卷过程获知，相当一部分学生得分止于求出f (x ) 的导数。大部分学生的导数不能完全求对，导致后续解题无法完成或出错。

（2）第1问考查学生的分类讨论的数学思想方法。求导并化为乘积形式以后，部分学生利用f ' (x ) =0求可能的极值点，未注意形式ln(-2a ) 中(-2a ) >0的条件，因而不能准确找出分类讨论的突破点。

（3）分类讨论过程中，部分学生思路不清楚，考虑问题不严谨，导致分类不完整，例如：分出a ≥0，0>a >-

情况。

（4）计算能力差。基础知识不扎实，体现在分类讨论时，解ln(-2a )

e 的范围时由-2a -三类，都未考虑a =-未这个222

方向未改变；其二，解ln(-2a )

1给出a >-。 2

3.8 文科22题

3.8.1 得分情况

本题满分10分，平均分2.02分，得分分布见表3.8。

表3.8 文科22题分值分布

3.8.2 试题分析

（以下部分同理22题）

3.9 文科23题

3.9.1 得分情况

本题满分10分，平均分4.62分，得分分布见表3.8。

表

3.9 文科23题分值分布

3.9.2 试题分析

（以下部分同理23题）

3.10文科24题

3.10.1 得分情况

本题满分10分，平均分3.44分，得分分布见表3.8。

表

3.8 文科24题分值分布

3.10.2 试题分析

（本部分同理24题）

3.10.3 考生失分主要原因

选做本题的考生大部分不能准确画出函数的图像，不会利用公式或图像解含绝对值不等式，属中档题，出现的问题层出不穷。

第1小问：（1）没将解析式化简为发段函数导致图像不准确。

（2）函数解析式去绝对值有误：分类不全，漏端点。

（3）分段函数画图：分界点坐标计算有误 35如将（, ）算成（2，2），将（-1，5）算成（-1，-4）画图不规范，直线22

画成曲线。

第2小问：（1）不会使用公式|f (x ) |>1⇔f (x ) 1

（2）不会借助函数图像，数形结合思想求解不等式问题。

（3）计算能力有待提高，方法用对、答案算错。

（4）大部分考生分区间讨论解不等式：讨论不全，思维不严谨。

4．对教学的启示

4.1 夯实基础，循序渐进

基础知识和基本技能是学习数学的基础和必要条件，对它们的掌握情况直接影响学生数学能力的发展，从今年的高考题来看，也体现了对学生“双基”的考查，但是从阅卷情况来看，学生的基础普遍比较薄弱对数学概念的理解不准确不深刻。如在理科20题中很多学生对椭圆的定义不熟练，判断不出满足条件的曲线为椭圆。同样，文科17题许多学生对等比数列知识不熟练，认错用错通项求和公式。

在平时教学中，有些教师常常认为内容简单，就不进行基础练习，直接跳跃到难度大的题目，导致学生也不愿意再做容易的题目，结果容易的没掌握，难题目也做不出。这些问题启发我们应该夯实基础，上新课时，让学生弄清概念、定理、公式的来龙去脉，扎实掌握解题的通法；练习题时，从基本的题目出发，循序渐进，在高一、高二讲授新课时不宜过多与高考难题接轨，容易导致学生畏难，失去信心和兴趣，影响后续学习。

4.2 重视数学思想方法的教学

数学思想方法是数学知识的精髓、灵魂，它是对数学本质的理解和认识，是

数学学习的根本目的。历年高考小题和大题的压轴题注重的都是数学思想方法的考查，今年高考对这方面的考查力度较大，所以许多考生和教师都认为试题偏难。如理科7、18题和文科9、18题都是考查数形结合的思想方法；在压轴大题上，如文科和理科的21题考查的都是转换化归的思想。除了压轴题，大多数题都考查转化思想。分类讨论的思想的运用是每年的难点。所有这些涉及思想方法考查的题目，学生的得分率都非常低，说明学生对数学思想方法应用存在较大问题。

由于数学思想方法是基于数学知识而高于数学知识的一种隐性知识，要在学生的反复实践和体验中才能被逐渐认识，需要教师长期渗透，这是教学中最难的部分。我们可以通过以下途径实现数学思想方法教学：在教材中充分挖掘数学思想方法，如讲数列通项时，结合归纳法、方程思想和转化思想；在概念形成过程中渗透数学思想方法；在问题解决过程不能只是就题论题，要揭示数学思想方法，在知识整理总结中概括和提炼数学思想方法，如解析几何中强调的是把几何问题转化为代数问题。

4.3 注重数学表达能力的培养

新课程标准提出高中数学课程要注意提高学生数学表达和交流的能力。但从今年的阅卷情况来看，我们发现有相当一部分学生的数学表达能力很弱，书写很不规范。如立体几何题的证明，有些学生的解题方向明确，但写法不到位，啰嗦、词不达意和绕弯子。

数学语言是数学思维的外壳，数学的交流和表达离不开简明、正确、灵活、完整、逻辑性强的语言。由此可见，培养学生的数学语言表达能力是高中教学的一项极其重要的任务。教师在教学过程中首先要保证自己表达、书写的准确性、逻辑的严密性，板书工整，并重视学生的书写和表达能力，使学生养成言之有据、解题规范的习惯。

4.4 加强运算能力的培养

运算能力也是数学能力中非常重要的一种能力，是中学数学学习中必须掌握的能力。今年的考题，对运算能力提出了较高要求，在阅卷过程中，我们发现很多学生思路明确，但是计算错误，导致会而不对，得分率低。有的学生是算的太少，如在文科和理科的20题能把方程联立后却求解不出答案；有的学生缺乏运

算技巧，如文理科19题概率计算花时较多，算出来的都是错误结果。

教师在课堂上给予学生运算的时间太少，为了避免学生运算花费过多的课堂时间，有时直接省略计算过程写答案。或是老师自己在黑板上演示，展示运用技巧。有时，教师的方法的确精彩，但多数同学仅限于听懂，离自己独立的准确运算相差甚远。教师不妨多给学生参与运算的机会，即使一开始速度慢也无妨，至少知道在运算方面自己的不足在哪里，是粗心还是知识掌握不扎实，或是没有掌握运算技巧，这是非常有价值的。尤其是几何的题目，有些学生常常抱怨自己运算能力不行，其实很多时候是没有注意到几何关系，设的参量太多才使运算复杂。

4.5 实施分层教学

在阅卷过程中，我们发现有很多学生基础知识非常薄弱，基本的概念都不清楚，很多题目都有许多打零分的，对于这部分学生应该给予个别的指导和交流。教师在教学过程中应充分了解学生，只有切合学生实际情况的教学才会是最有效的。这要求教师多与学生沟通，及时了解学生的学习情况并及时调整教学。在教学中还应根据学生情况因材施教，人人学有用的数学，使不同的学生得到不同的发展。根据学校情况，实施分层教学是解决学生差异性的途径。

5．对高考命题的建议

高考改革是当今教育改革的头等大事，高考命题是否也应有些改革的动作，考试中心应对此作些专项研究。

2016年高考数学试题存在一些值得思考的问题，以下仅针对本试卷提出几点建议：

5.1在题型设置上，应逐步淘汰单选题，至少应取消单选题中的难题。单选题的优势功能已基本不再，而选拔功能上的问题，却十分明显，如11、12题，其通过率为百分之二十几，与猜中答案的概率相当，较优秀的考生花大量时间解答这些题还不如较差考生胡乱猜几个答案的得分高，区分度有些已为负值, 这极大地妨碍了数学优生的选抜。

5.2适度增加创新题。建议文理科卷可适当增加创新题，且创新点可置于填空题和解答题的最后一题，用以考查较高水平的考生，利于培养学生的创新能力。

5.3文科18题难度难于去年，是近五年来难度较大的一次，对学生的区分度

可能不大，能拿下该题的考生也很少。特别是所给图形，对学生识图能力要求高，对解题产生较多负面影响。

5.4理科21函数综合题区分度小，建议保持“好入手”这一特点，降低第一问的难度，保持第二问思维步骤和难度。

5.5建议将填空题的答题位置放在同一横排（不用排成两行），以减少考生答案写错位置的情况的发生。

5.6建议在高考试题中，尽量避免使用陈旧试题。

湖南省高考数学评卷组二○一六年六月十八日

2016年普通高等学校招生全国统一考试

数学试卷评价报告

1．试题评价

2016年的全国卷数学试题与2015年以前的湖南数学试题相比，既有体现相同特色的地方，也有些不同的特点。

1.1 题型稳定试题所考主体内容稳定

表1.1 近五年题型、题量及分值分布

近五年试题主要考查的内容载体所占分值情况如表1.2。

表1.2 近五年考查主要内容载体所占分值统计表

1.2 文、理科试卷探索文理同题的方向

1.3 注重对重要数学思想方法和基本数学能力的考查

2016年的试题与原湖南卷一样，注意对重要数学思想方法和基本数学能力的考查。

(1) 分类与整合的思想方法，如理21、23、24，文19、21等题； (2) 转化与化归的思想，如理20，文20等题；

2016年较好地体现了“深化能力立意”命题指导思想的重要命题思路。全

1.4 体现了“在知识网络的交汇点命题”的命题思想

2016年试题与原湖南卷一样，体现了在知识网络的交汇点命题的思想。在知识综合性上较湖南卷弱有下降。

明显的，理科试题的知识综合性稍高于文科试题。

1.5 理科试题难度分布合理，文科试题高难度题偏多

1.6 突出对数学概念理解水平的考查

2．理科考生答题情况分析

2.1 考生整体成绩统计

对于人工评卷部分(包括填空题20分和解答题70分) ，考生的平均分、难度、0分率及满分率见表2.1. 其中选考题通过22,23,24题加权计算得出平均分.

表2.1 理科各题平均分、标准差、难度、0分及满分情况 (样本数200859)

2.2 理科填空题

2.2.1 得分情况:

13-16题满分20分，平均分11.19分，得分分布见表2.2。

表2.2 理科13-16题分值分布

2.2.2 试题分析

从整体上看, 填空题难度适中, 有较好的区分度. 2.2.3 考生失分主要原因

2.3 理科17题

2.3.1 得分情况

本题满分12分，平均分9.44分，得分分布见表2.3。

表2.3 理科17题分值分布

2.3.2 试题分析

2.3.3 考生失分主要原因

第一问得满分居多，只有极个别学生不能得分。

主要失误分析：部分学生概念不清，相应公式记忆错，推理出错。如：

a b c ==直接将a 、b 用SinA 、SinB 替换，而C 不变；cos A cos B cos C

⎧a ∙b =6

等。部分学生运算能力不强，如对于⎨2不能求出正S i n (A +B ) =-S i n C 2

⎩a +b =13

确结果。

2.3.4 本题除“国标”之外的优秀解法

a 2+b 2-c 2a 2+c 2-b 2b 2+c 2-a 2

(a ∙+b ∙) =c （I ）法二：2∙

2ab 2ac 2bc ⇒a 2+b 2-c 2=ab 故CosC =

1π

。所以C =

a 2+c 2-b 2b 2+c 2-a 2

+b ∙) =c 法三：2cos C ∙(a ∙

2ac 2bc ⇒2C ∙cos C =C 故CosC =

1π

，所以C =

法四：利用射影定理c =a cos B +b cos A 后面同法三

a 2=b 2+c 2-2bc cos A

法五：两式相加2C 2=2c (a cos B +b cos A ) （以下同法

b 2=a 2+c 2-2ac cos B 四）

π133

（II ）法二：由已知得ab sin C =，又C =，所以ab =6 ①

322又 a 2+b 2-2ab cos C =7得a 2+b 2-C ∙b =7 ②

⎧a =2⎧a =3

联合①②解得⎨或⎨

b =3b =2⎩⎩所以周长为5+7

法三：如图，设∆ABC 的内切周心为O ，∆ABC 的周长为x ，

则CF =CD =又∠C =

x -2， 2

，所以∠OCF =

则r 内=CD ∙tan

3x -2 ∙

所以S ∆ABC =

113x -2723

x ∙r 内=∙x ∙∙=

22322

解得：x =5+7

2.4 理科18题

2.4.1 得分情况

本题满分12分，平均分6.29分，得分分布见表2.4。

表2.4 理科18题分值分布

2.4.2 试题分析

本题的难度系数为0.52, 有较好的区分度。 2.4.3 考生失分主要原因

出问题分析能力较弱、数学语言表达不到位、计算能力欠缺等问题。

几种典型失误如下：

(1)基础不扎实, 没有理解和掌握直线与平面垂直的判定定理.

(3) 推理论证目标不明确。

(4)错误地自造条件。

(5) 错误或不恰当地建立空间直角坐标系。

例如，以A 为原点，AB 、AF 、AD 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系；以F 为原点，FA 、FE 、FD 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系等。

（6）不能以最佳方式建立空间直角坐标系，导致相关点的坐标表示全错误（如横纵坐标错位），使得后续平面法向量的计算复杂而出现错误。

（7）在没有通过论证的前提下，使用一些事实性结论。例如，设二面角C —EB —A 的大小为θ，直接应用公式cos θ=面角C —EB —A 的余弦值。

S ∆CBE

计算二S ∆ACB

︒

2.4.4除国标以外的一些解法:主要是第(2) 问法(一) 过C 作DG ⊥EF , 垂足为G , 由(1)

知, DG ⊥平面AB EF ，以G 为坐标原点, GF

的方向为x 轴正方向, CE 为单位长度, 建立

如图的直角坐标系, 由(1)知∠DFE 为二面角

D -AF -E 的平面角, 故∠DFE =60︒,

则DF =

1, CG =

311可得A (, 2, 0) , B (-, 2,0) , E (-

,0,0) , D ，由已

222知, AB ∥EF , 所以AB ∥平面EFDC , 又平面ABCD 平面EFDC =CD ，故AB ∥

CD , CD ∥EF , 由BE ∥AF , 可得B E ⊥平面E F D C , 所以∠C E F 为二面角

1C -B E -F 的平面角，故∠CEF =60，

从而可得C

所以EC =(，

2︒

3EB =(0,2,0)，AC =(-, -，AB =(-2,0,0) ，设n 是平面BCE 的法向量，

2 ⎧1 ⎧⎪n ⋅EC =0z =0⎪x +

则⎨ ，即⎨2，所以

可取n =(，-

⎪⎪2y =0⎩n ⋅EB =0

⎩

⎧⎪m ⋅AC =0

ABCD 设m 是平面的法向量，则⎨ ，同理

可取m =，

⎪⎩m ⋅AB =0

n ⋅m 则cos ==，故二面角E -BC -

A 的余弦值为.

n ⋅m

法(二) 易知∠DFE =60 ，如图建系

则E(0,2,0)，B(2,2,0) ，A(2,0,0)，因为面ABCD 交面EFDC 于CD ，故AB //CD ，CD //EF ，由

BE //AF 可得BE ⊥面EFDC ，所

以∠CEF =60 ，

331

故C(0,

所以EC=(0,-AC =(-2, ， AB =(0,2,0)

222

⎧⎪n 1⋅EC =0

设面EBC 的法向量为n 1=(x 1, y 1, z 1) ，则⎨ ，

⎪⎩n 1⋅EB =0

⎧1 z 1=0⎪-y 1+

所以⎨2，所以n 1= ⎪2x =0⎩

⎧⎪n 2⋅AC =0

设面BCA 的法向量为n 2=(x 2, y 2, z 2) ，则⎨ ，同理可得n 2=

⎪⎩n 2⋅AB =0

n 1⋅n 2所以cos =

，所以两个平面所成角的余弦为 =

n 1⋅n 2法（三）

过DC 中点G 作HG ⊥EF ，垂足为H ，由(1)知， DH ⊥平面AB EF 以

H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴正方

向，建立如图的直角坐标系，由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE =60︒，则DF =

2，

HG =A (2,4,0)，B (-2, 4,0) ，E (-

2,0,0) ，D 由已知，AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC ，又平面ABCD 平面EFDC =CD 。故AB ∥CD ，CD ∥

EF ，由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的

平面角，故∠CEF =60，从而可

得C (-1。所

以EC =(1, 3，)

︒

EB =(0,4,0)，

AC =(-3, -， AB =(-4,0,0) ，设n 是平面BCE 的法向量，

⎧⎧⎪x =0⎪n ⋅EC =0则⎨ ，即⎨，

4y =0⎪⎪⎩⎩n ⋅EB =0

⎧⎪m ⋅AC =0

所以

可取n =(3,0,，设m 是平面ABCD 的法向量，则⎨ ，

⎪⎩m ⋅AB =0

同理

可取m =，---10分

n ⋅m 则cos ==-，故二面角E -BC -

A 的余弦值为-.

1919n ⋅m

解法（四）由题意，知∠DFE =60 , 又AB //EF ，故AB //面EFDC ，

又面ABCD EFDC =CD ，故AB //CD ，CD //EF ，由BE //AF ，所以

BE ⊥面E FDC ，故∠CEF 是二面角C -BE -F 的平面角，所以∠CEF =60 。令

AB =2，则DF =EC =

1，AE =RT CEB 中, 过点E 作EG ⊥BC 于G 点，

则EG =

EB ⨯EC =GC =

BC 等腰梯形ABCD 中，AB =2, CD =

1，AD =BC =过A 作AH ⊥BC 于点

H ，

则AH =则GH =因为AE =AH +HG +GE ， HB =

由BC ，

2 2 2 2 2

所以AE =(AH +HG +GE ) =AH +HG +GE +2AH ⋅HG +2AH ⋅GE +2HG ⋅GE

954520所以8=，+++2⨯cos 得cos =

252525180

+) θ=记二面角为θ

，则c o s (所以cos θ=E -BC -

的余弦值为-。

2.5 理科19题

2.5.1 得分情况

本题满分12分，平均分4.18分，得分分布见表2.5。

表2.5 理科19题分值分布

2.5.2 试题分析

解题过程中，考生的典型失误主要体现在以下几个方面：

（1）不能正确审题，理解题意；如第一问变量X 的取值，有很多的同学答题时都当成了一台机器需要的零件数；

（2）基本概念和公式掌握不到位；如在进行概率计算时，不能正确写出各个概率的表达式，不能正确理解P (X ≤n ) 的含义。

（3）数学建模能力不强，生搬硬套；如：用古典概型或超几何分布的公式来进行本题的概率计算，第三小问中通过计算X 的均值来估计n 的取值等；

（5）解题习惯欠佳，答题不规范；相当多的试卷卷面不整洁，字迹潦草不清，结构杂乱无章，笔误较多。

（6）典型错误

第三问，用EX =18. 8来判断应选择哪种购买方式；

第三问，直接计算购买零件的期望值为3760，而n =19时费用为3800，更接近3760，从而选择19个

2.5.4 本题除“国标”之外的优秀解法

本题分三小问，第一、二小问解法较为单一，与国标解法大同小异；第三问的解法除国标解法外，有以下几种情况：

【解析】（I ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需要更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0. 2, 0. 4, 0. 2, 0. 2. 变量X 的可能取值为

16, 17, 18, 19, 20, 21, 22.

从而

P (X =16) =0. 2⨯0. 2=0. 04;

1P (X =17) =C 2⨯0. 2⨯0. 4=0. 16;

1P (X =18) =C 2⨯0. 2⨯0. 2+0. 4⨯0. 4=0. 24; 11P (X =19) =C 2⨯0. 2⨯0. 4+C 2⨯0. 2⨯0. 2=0. 24; 1P (X =20) =0. 2⨯0. 2+C 2⨯0. 4⨯0. 2=0. 20; 1P (X =21) =C 2⨯0. 2⨯0. 2=0. 08;

P (X =22) =0. 2⨯0. 2=0. 04;

所以X 的分布列表为

（II ）由（I ）知，P (X ≤18) =0. 44, P (X ≤19) =0. 68，故n 的最小值为19. （III ）解法一：

记Y 表示两台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当n =19时，

EY =19⨯200⨯0. 68+(19⨯200+500) ⨯0. 2+(19⨯200+2⨯500) ⨯0. 08+(19⨯200+3⨯500) ⨯0. 04

=2584+860+384+212

=4040.

当n =20时，

EY =20⨯200⨯0. 88+(20⨯200+500) ⨯0. 08+(20⨯200+2⨯500) ⨯0. 04

=3520+360+200

=4080.

可知当n =19时所需费用的期望值小于n =20所需费用的期望值，故应选n =19. 解法二：

记Y 表示两台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当n =19时，

EY =19⨯200⨯0. 68+(19⨯200+500) ⨯0. 2+(19⨯200+2⨯500) ⨯0. 08+(19⨯200+3⨯500) ⨯0. 04

即有：

EY =19⨯200⨯1+500⨯0. 2+2⨯500⨯0. 08+3⨯500⨯0. 04

=3800+100+80+60

=4040.

当n =20时，

EY =20⨯200⨯0. 88+(20⨯200+500) ⨯0. 08+(20⨯200+2⨯500) ⨯0. 04

即有：EY =20⨯200⨯1+500⨯0. 08+2⨯500⨯0. 04

=4000+40+40

=4080.

可知当n =19时所需费用的期望值小于n =20所需费用的期望值，故应选n =19. 解法三：

记Y 表示两台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 所以当n =19时，Y 的分布列表为

EY =

3800⨯0. 68+4300⨯0. 2+4800⨯0. 08+5300⨯0. 04=4040. 当n =20时， EY =4000⨯0. 88+4500⨯0. 08+5000⨯0. 04=4080

可知当n =19时所需费用的期望值小于n =20所需费用的期望值，故应选n =19. 解法四：

记Y 表示易损零件不足时还需要购买的零件个数，Z 表示两台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 所以当n =19时，Y 的分布列表为

EY =0. 2+0. 16+0. 12=0. 48 Z =19⨯200+

500⨯0. 48=4040.

当n =20时，

EY =1⨯0. 08+2⨯0. 04=0. 16

Z =20⨯200+500⨯0. 16=4080，

可知当n =19时所需费用的期望值小于n =20所需费用的期望值，故应选n =19.

2.6 理科20题

2.6.1 得分情况

本题满分12分，平均分1.64分，得分分布见表2.6。

表2.6 理科20题分值分布

2.6.2 试题分析

（1）考试时间不够，相当一部分考生没做或没做完；

（2）审题失误：如考生没能准确给出示意图，没注意到直线L 不与X 轴重合；第二问中错看成PQ 为直线和椭圆相交时的弦长等。

（3）计算失误：计算弦长错误特别多，基本运算不过关，第1) 问计算椭圆中a 、b 、c 出错，第2) 问计算弦长求函数值域出错。

2.7 理科21题

2.7.1 得分情况

本题满分12分，平均分0.71分，得分分布见表2.7。

表2.7 理科21题分值分布

2.7.2 试题分析

1) 、公式记忆错误，如对函数f (x ) =(x -2) e x +a (x -1) 2的求导，以及对参数

(x -2) e x

a 分离后构造的函数f (x ) =-求导，有相当一部分考生求导错误，导致2

(x -1) 做法不对。

2) 、考虑问题不全面，如对f ' (x ) =(x -1)(e x +2a ) 分析时，漏掉a =0情形，

(x -2) e x

以及分离参数a =-时，漏掉x =1情形，反映出思维严谨性不够。 2

(x -1)

3) 、以图代证，关键得分点论证缺失。

例如（I ）问中a >0和a 0，

f (2) =a >0。

4) 、运算能力不强，计算能力不过关

例如把x =ln(-2a ) 写成x =ln 2a ，丢掉负号等。 5) 、方法掌握不牢

如（I ）问中分类讨论思想，有很大一部分考生面对已知函数

f (x ) =(x -2) e x +a (x -1) 2求导后，不能合理对参数a 进行有效讨论。

6) 、思维品质欠佳

（I ）问中a

f (x )

2.8 理科22题

2.8.1 得分情况

本题满分10分，平均分3.32分，得分分布见表2.8。

表2.8 理科22题分值分布

2.8.2 试题分析

1）证明思路方面存在的问题

（1）很多考生在证明第（1）问时，把线段AB 的中点直接看作AB 与圆O 的交点，没有通过含30°角的Rt ∆的边长关系给出证明。

（2）要证明直线AB 与圆O 相切，需得出∆AOB 的中线OE ⊥AB ，且

OE =OA =r ，很多考生只证明了其中一个条件。

（3）考生对“垂径分弦”及“弦的中垂线必过圆心”结论掌握不熟练，导致不能找到解决第（2）问的突破口，导致第（2）问的得分很低。

2）证明过程中逻辑推理方面存在的问题：

（1）“因为”与“所以”之间的因果逻辑不显然，甚至不成立，如：因为AE ⊥AB ，所以∠AOE=60°。

（2）很多考生在第（2）问中出现循环论证，用结论来证明结论成立，主要体现在用圆内接四边形对角互补，再用同旁内角互补来证明平行。

3）证明语言的表达与书写方面的问题

（1）三角形“全等”与“相似”的符号不能正确使用，∆AOE=∆BOE ；AOE=BOE=60°；EF ⊥AB ⊥CD 。

2.8.4 本题除“国标”之外的优秀解法

法二：（解析法）以O 点为原点，过点O 且与AB 平行的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设圆O 的半径为r ，则圆O 方程为：x 2+y 2=r 2„„ ①

又由于A 、B 、C 、D 四点艺圆，由此圆圆心必在y 轴上，设M 为（O 、b ）其中b ≠0。则圆M 方程可设为x 2+(y -b ) 2=R 2„„②

所以CD 为圆O 与圆M 的公共弦，由①-②得：

b 2+r 2-R 2

„„③ 2by =b +r -R 即y =

所以C 、D 两点的纵坐标相同，故AB ∥CD 。

法三（反证法）假设CD 与AB 不平行，没CD 与AB 交于点F ，则

FE 2=FC ∙FD „„①

因为A 、B 、C 、D 四点共圆。

所以FC ·FD=FA·FB=(FE-AE)(FE+BE) 又因为AE=BE

所以FC ·FD=(FE-AE)（FE+BE）=FE2-AE 2„„②

由①②可知矛盾，所以假设不成立，故AB ∥CD 。

F A E

法四：（同一法）由（1）知OE ⊥AB ，设D 关于直线OE 的对称点为D′，则D′必在圆O 上。

2.9 理科23题

2.9.1 得分情况

本题满分10分，平均分6.86分，得分分布见表2.9。

表2.9 理科23题分值分布

2.9.2 试题分析

（1）概念理解不清：

例如：①对圆的标准方程与椭圆标准方程理解不清，有考生把方程写成

x 2(y -1) 2

+=1直接判断成椭圆； 22a a

②对圆的参数方程与直线的参数方程理解不清，把C 1的参数方程

⎧x =a cos t

（t 为参数）误记成过定点(0,1)的直线方程； ⎨

y =1+a sin t ⎩

（2）公式记忆错误：

例如：x 2+(y -1) 2=a 2转化为极坐标方程时误记成x =ρsin θ, y =ρcos θ，从而把极坐标方程写成了ρ2-2ρcos θ+1=a 2；

（3）运算能力不强：

例如：①x 2+(y -1) 2=a 2转化为极坐标方程时写成了ρ2+2ρsin θ+1=a 2和

ρ2+2ρsin θ-1=a 2，以及半径a

②极坐标方程(ρc o θs 2+)

在化简的过程中写成了ρ(s θ-i n 2=a 1)

ρc o 2s θ+ρs 2i n θ-ρ2s +θi n a = 21

（4）思维品质欠佳：

例如：①利用国标解法时，对ρ=0没有进行检验以及利用C 2，C 3的交点在

C 1上，均只代入一个交点坐标就得出结果；

②有学生利用相交弦的方法来处理时，直接表示成C 1-C 2=C 3得出结果，即

4x -2y +1-a 2=2x -y 从而得到a 2=1。 2.9.4 本题除“国标”之外的优秀解法

1-a 24x -2y +1-a =0⇔2x -y +=0

由题意可得C 3的直角坐标方程为2x -y =0 因为C 1，C 2的公共点都在C 3上

1-a 2

=0，解得a =-1（舍去）所以，a =1 2

经检验，当a =1时，C 1与C 2相交

解法二：由C 2的极坐标方程可得其直角坐标方程为x 2+y 2-4x =0 ① 由题意可得C 3的直角坐标方程为2x -y =0 ②

联立①②可得其交点坐标为(0,0)和(, )

因为C 1，C 2的公共点都在C 3上，即(0,0)和(, ) 为C 1，C 2，C 3的公共点

所以把(0,0)和(, ) 分别代入C 1： x 2+(y -1) 2=a 2中

均可得a 2=1，解得a =-1（舍去），a =1

解法三：由C 2的极坐标方程可得其直角坐标方程为x 2+y 2-4x =0 由题意可得C 3的直角坐标方程为2x -y =0

因为C 1，C 2的公共点都在C 3上，设C 1，C 2，C 3的公共点坐标为(x 0,2x 0)

222⎧⎪x 0+(2x 0-1) =a

把(x 0,2x 0) 代入C 1，C 2中可得⎨2 2

⎪⎩x 0+4x 0-4x 0=0

计算可得a 2=1，解得a =-1（舍去），a =1

2.10 理科24题

2.10.1 得分情况

本题满分10分，平均分6.72分，得分分布见表2.10。

表2.10 理科24题分值分布

2.10.2 试题分析

本题是“三选一”，不等式选讲专题. 主要考查（1）分段函数（含绝对值）图像画法；（2）含绝对值不等式解法。

（3）分美讨论，数形结合和转化与化归思想。 2.10.3 考生失分主要原因

常见的典型失误有：在第一小问中（1）关键点（

35，），相当部分考生画在点（2，2） 22

（2）不会去绝对值化成分段函数，从而导致所画的图像千奇百怪。（例如有的考生直接取点x =1，y =1；x =2，y =2；x =3，y =1„„来做题）

（3）画图不规范，如直线画成曲线

在第二小问中, (1)|f (x ) |>1解成-|f (x ) |

（2）不会借助函数图像，数形结合求解不等式，能利用图像的又有部分考生求不出或求不全x 的四个值，求正确了，又不会取范围。（例如，取成3

（4）计算能力不强，导致错误层出不穷。 2.10.4 本题除“国标”之外的优秀解法

方法一：由y =f (x ) 的图像作出y =|f (x ) |的图像

当|f (x ) |=1可得x =1或x =3或x =或x =5

由图像可得|f (x ) |>1的解集为(-∞, ) (1, 3) (5, +∞)

方法二，由不等|f (x ) |>1可得

⎧x ≤-1(1)⎨得x ≤-1 ｜x -4｜>1⎩

3⎧-1

-1

32⎪⎩|3x -2|>13⎧

3⎪x >

(3)⎨得5 2

2⎪|-x +4|>1⎩

得|f (x ) |>1的解集为(-∞, ) (1, 3) (5, +∞)

3 文科考生答题情况分析

3.1 考生整体成绩统计

对于人工评卷部分(包括填空题20分和解答题70分) ，考生的平均分、标准差、难度、0分率及满分率见表3.1。其中选考题通过22,23,24题加权计算得出平均分.

表3.1 文科各题平均分、标准差、难度、0分及满分情况 (样本数 127431)

3.2 文科填空题

3.2.1 得分情况

13-16题满分20分，平均分5.78分，得分分布见表3.2。

表3.2 文科13-16题分值分布

3.2.2 试题分析

与湖南卷比较，填空题单一，答案简单，好入手，无难题。

第13题考查向量垂直的坐标表示，这个知识点要求考生正确理解公式

x 1x 2+y 1y 2=0的应用，是容易题，区分度低。

第14题考查诱导公式，同角三角函数关系式，需要考生能利用公式、准确运算，或借助θ+

与θ-

的差为

这个关系求解。 2

第15题考查直线与圆的位置关系，可用代数法与几何法求解，主要检验学生的数形结合思想及基本的代数运算能力。

第16题的关键在于能否运用线性规划知识，设产品A 、B 分别为x 、y 件，利润之和为z ，列出约束条件

⎧1. 5x +0. 5y ≤150⎪x +0. 3y ≤90⎪⎪

⎨5x +3y ≤600目标函数 ⎪x ≥0⎪⎪⎩y ≥0

为z =2100x +900y ，求解问题因此而解决。 3.2.3 考生失分主要原因

与θ-

的联系，从而失分，第16题由于文字性的叙述较长，纵

横关系稍显复杂，导致考生不能理清思路，不能抓住关键信息，算不出答案。

部分学生书写不规范，π号写成了n 、a;3写得很像2.

3.3 文科17题

3.3.1 得分情况

本题满分12分，平均分6.77分，得分分布见表3.3。

表3.3 文科17题分值分布

3.3.2 试题分析

本题主要考查数列的基本定义，特别是等差数列，等比数列的通项公式，前n 项和公式，属于基础题。

大部分考生能够掌握等差，等比数列的基本概念，通项、首项、公差、公比，

b 1(1-q n ) 前n 项和等基本知识点，能够完整表达出a n =a 1+(n -1) d ，的形式，s n =

1-q 求出其中关键数据a 1及q 。

部分考生概念混淆不清，特别是（1）由已知a n b n +1+b n +1=nb n 得出变形

b n +1b 1n n n

，就得出{b n }以为公比的等比数列，直接==2=得

b n a n +1a n +1a n +1b 13

。 a n =3n -1（此结论正确）

（2）b 1=1，b 2=故{b n }为q =的等比数列

111

a n ∙() n +() n =n ∙() n -1得a n =3n -1再由（I ）进一步得（II ）结论

333

a 1(1-q n ) b 1(1-q n ) （3）习惯性将公式S n =写成S n =

1-q 1-q b 1(1-q n -1) b (1-q n )

（4）将S n =记成S n =

1-q 1-q

（5）将n =1代入a n b n +1+b n +1=nb n 得a 1=c (c ≠2) 错误，正确结论a 1=2，但是后面改变结论，即发现了a 1=2的正确结论，但是没有回头将c =2改过来。

（6）（I ）中a n =3n -1算错了，代入（II ）中得出

b n +1n

c ≠0，但是=

b n 3n +c

直接设{b n }是以q =为公比的等比数列（猜想），但实际上得不到该结论。

3.4 文科18题

3.4.1 得分情况

本题满分12分，平均分0.99分，得分分布见表3.4。

表3.4 文科18题分值分布

3.4.2 试题分析

（1）概念理解不清，如证明（1）时出现PC ⊥PG ，DE ⊥PG ⇒PC ∥DE 的结论。

（2）循环论证：题目中要证明G 为AB 中点，用C 、D 、G 三点共线，证明AB 为中点G 。

（3）公式记忆不牢VD -PFE =S ∆PFE ∙DE ，某些考生要么丢了，要么丢

331

了。 2

（4）运算能力不强，求四面体PDEF 体积时，有些考生每条棱长计算对了，但最后运算体积时结果错了，有些考生将DE 算成22等出现不该出现的错误。

（5）思维品质欠佳，第2问找F 位置时，由于考生不能分析得出，面BAP ⊥面CAP ，故不能发现F 点在面BAP 与面CAP 交线点，或求DPFE 体积时，将高求错等。

3.4.4 除“国标”外的优秀解法

有V p -ABC =V A -PBC ⇒PD =则D 为体对解线PM 的一个三等分点

因为M 在侧面PAQB 投影为PQ ，即D 在平面PAQB 内投影E 在PQ 上，故G 点为PQ 与AB 交点，所以G 为AB 中点。

（2）作EF ∥AQ 交PA 于F ，则EF ∥PB 。所以PB ⊥面 PAC 。所以EF ⊥面PAC ，即点F 为E 在面PAC 内正投影，由（1）知E 为PQ 三等分点，D 为PM

111

三等分点，DE ∥MQ ，EF ∥AQ ，且EF=AQ ，S ∆PEF=S ∆PAQ ，又DG=GC 。

333

V D -PEF =

11134, V C -APG =⨯⨯6⨯6⨯6= 2727323

如2：将图形倒置过来

第2问BP ⊥PA ，BP ⊥PC 所以PB ⊥面PAC

又EF ∥PB ，故EF=PB=2

在等腰直角三角形PFE 中，可得S ∆PEF=2 又DE ⊥面PAB ，故三校锥D-PFE 高为DE

所以四面体PDEF 体积V =V D -PFE =⨯2⨯2=。

3.5 文科19题

3.5.1 得分情况

本题满分12分，平均分1.95分，得分分布见表3.5。

表3.5 文科19题分值分布

3.5.2 试题分析

而以往湖南卷的概率统计题考察知识点比较单一，对考生而言是易做的基础题，属考生的保底得分题。

3.5.3 考生失分主要原因

（4）少部分考生可能是读不懂题意，找不出解题方法，思维不活跃，缺乏对知识的联想能力，没有动笔或下笔离题，得零分。

（6）部分考生对样本中频数和频率的关系理解不到位，因而求不准n 的最小值，对数学答号语言的运用和书写不规范，表示不清。

3.5.4 除“国标”外的优秀解法

（1）求分段函数解析式时，有的考生先用分段函数的一般形式⎧200n , (x ≤n ) 表示，再将条件值n =19代入上式化简解析式，得y =⎨⎩200n +500(x -n ), (x >n )

n , (x ≤19) ⎧3800 y =⎨⎩3800+500(x -19), (x >19)

3.6 文科20题

3.6.1 得分情况

本题满分12分，平均分1.1分，得分分布见表3.6。

表3.6 文科20题分值分布

3.6.2 试题分析

本题考查的知识及能力要求：

2）、要求学生能根据题目文字表达充分理解题意，明白出题者的意图。

3）、本题为全字母运算，对学生计算能力要求比较高，同时要求学生在计算中要细心严谨。

4）、要求学生根据已知条件写出直线方程相当熟悉，对联立方程组消元，解一元二次方程相当熟练。

本题与以往湖南卷考题的对比：

2）、在以往高考中，圆锥曲线第一问一般是根据条件直接求圆锥曲线的方程，而本次考试中却全为字母运算，让很多学生不知所从。

4）、学生的计算能力本就欠缺，而本题为全字母的计算，加大了计算难度，进一步降低了本题的得分。

3.6.3 考生失分主要原因

3.7 文科21题

3.7.1 得分情况

本题满分12分，平均分1.15分，得分分布见下表表3.7。

表3.7 文科21题分值分布

3.7.2 试题分析

3.7.3 考生失分主要原因

本题是文科第21题，是全卷中难度最大的的大题。

（3）分类讨论过程中，部分学生思路不清楚，考虑问题不严谨，导致分类不完整，例如：分出a ≥0，0>a >-

情况。

（4）计算能力差。基础知识不扎实，体现在分类讨论时，解ln(-2a )

e 的范围时由-2a -三类，都未考虑a =-未这个222

方向未改变；其二，解ln(-2a )

1给出a >-。 2

3.8 文科22题

3.8.1 得分情况

本题满分10分，平均分2.02分，得分分布见表3.8。

表3.8 文科22题分值分布

3.8.2 试题分析

（以下部分同理22题）

3.9 文科23题

3.9.1 得分情况

本题满分10分，平均分4.62分，得分分布见表3.8。

表

3.9 文科23题分值分布

3.9.2 试题分析

（以下部分同理23题）

3.10文科24题

3.10.1 得分情况

本题满分10分，平均分3.44分，得分分布见表3.8。

表

3.8 文科24题分值分布

3.10.2 试题分析

（本部分同理24题）

3.10.3 考生失分主要原因

选做本题的考生大部分不能准确画出函数的图像，不会利用公式或图像解含绝对值不等式，属中档题，出现的问题层出不穷。

第1小问：（1）没将解析式化简为发段函数导致图像不准确。

（2）函数解析式去绝对值有误：分类不全，漏端点。

（3）分段函数画图：分界点坐标计算有误 35如将（, ）算成（2，2），将（-1，5）算成（-1，-4）画图不规范，直线22

画成曲线。

第2小问：（1）不会使用公式|f (x ) |>1⇔f (x ) 1

（2）不会借助函数图像，数形结合思想求解不等式问题。

（3）计算能力有待提高，方法用对、答案算错。

（4）大部分考生分区间讨论解不等式：讨论不全，思维不严谨。

4．对教学的启示

4.1 夯实基础，循序渐进

4.2 重视数学思想方法的教学

数学思想方法是数学知识的精髓、灵魂，它是对数学本质的理解和认识，是

4.3 注重数学表达能力的培养

4.4 加强运算能力的培养

算技巧，如文理科19题概率计算花时较多，算出来的都是错误结果。

4.5 实施分层教学

5．对高考命题的建议

高考改革是当今教育改革的头等大事，高考命题是否也应有些改革的动作，考试中心应对此作些专项研究。

2016年高考数学试题存在一些值得思考的问题，以下仅针对本试卷提出几点建议：

5.3文科18题难度难于去年，是近五年来难度较大的一次，对学生的区分度

可能不大，能拿下该题的考生也很少。特别是所给图形，对学生识图能力要求高，对解题产生较多负面影响。

5.4理科21函数综合题区分度小，建议保持“好入手”这一特点，降低第一问的难度，保持第二问思维步骤和难度。

5.5建议将填空题的答题位置放在同一横排（不用排成两行），以减少考生答案写错位置的情况的发生。

5.6建议在高考试题中，尽量避免使用陈旧试题。

湖南省高考数学评卷组二○一六年六月十八日

2016数学试卷评价报告

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